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Apostila Concreto_2019 (1)

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78 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
  0158, (3.13) 
Assim para cocncretos até classe C50 tem-se que: 
para   0 158, Dom. 2 
para 












ydyd ,
,
,
,
,


00350
00140
1
00350
002380
1580 Dom. 3 
para 












ydyd ,
,
,
,


00350
00140
1
00350
002380
 Dom. 4 
ou em função da posição da linha neutra, 
para  
7
27
 Dom. 2 
para 
yd,
,




00350
00350
27
7
 Dom. 3 
para 
yd,
,




00350
00350
 Dom. 4 
O dimensionamento no domínio 4 era geralmente evitado pois nesse caso o colapso se daria 
antes que o aço entrasse em escoamento, não sendo portanto antecedido por grandes deformações. 
Nesse caso diz-se que a ruptura se deu "sem aviso prévio". O procedimento adotado na prática de 
projeto para os casos em que o dimensionamento das seções conduzia a seções superarmadas consistia 
em se aumentar a altura da viga ou adotar uma armadura na zona comprimida para reforçar a 
resistência à compressão da peça. O mesmo procedimento deve ser adotado para se garantir a condição 
imposta pela NBR 61181:2014 para a posição da linha neutra, adotando-se para L e L os valores 
prescritos em (3.9). 
Muitas vezes é comum se comparar não os valores de do coeficiente , mas a própria 
altura útil da peça. 
wcdL bf
Md
dd

1
lim  (3.14) 
com L estabelecido em (3.13). 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 79 
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Assim, o primeiro passo do dimensionamento de seções retangulares de concreto armado 
consiste em se determinar o domínio em correspondente às dimensões estimadas para a seção e para o 
momento fletor de dimensionamento Md. Para tanto, calcula-se o coeficiente  (equação 3.9) e 
compara-se com os limites estabelecidos para os domínios (tabela 3.1 e expressão 3.13). O mesmo 
pode ser feito utilizando-se os dados relativos à altura útil da seção (equação 3.14). 
3.2 DIMENSIONAMENTO 
3.2.1 Domínios 3 e 4 
As seções dimensionadas nos domínios 3 e 4 apresentam as deformações e as resultantes de 
tensões apresentadas na Figura 3.8. 
Figura 3.8 – Deformações e resultantes de tensão para seções retangulares dimensionadas nos 
domínios 3 e 4. 
 
cd = cu 
X 
0  sd   
cd = α fcd 
Rcd 
Rsd 
λ X 
Z 
bw 
d h 
d’ 
Md 
As 
 
A resultante de cálculo no concreto pode ser expressa pela equação 3.4, enquanto que a resultante no 
aço 
sdsd AsR  (3.15) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura tem-se 






 xdRzRMd cdcd
2

 (3.16) 
onde, adotando-se, 
80 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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


2
1 (3.17) 
tem-se 
dRMd cd  (3.18) 
Desenvolvendo-se a equação (3.12) e rearranjando-se os termos chega-se à equação do 2
o
 grau, 
0
2 2
2












dbf
Md
d
x
d
x
wcd

 para todas as classes de concreto (3.19a) 
0
68,0
4,0
2
2












dbf
Md
d
x
d
x
wcd
 específico para concretos até classe C50 (3.19b) 
que resolvida fornece a raiz 






 




2
11
1
 para todas as classes de concreto (3.20a) 






 
68,0
6,1
1125,1 específico para concretos até classe C50 (3.20b) 
 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
cdsd
X
Xd


 (3.21) 
Uma vez conhecido sd, é possível se determinar o valor da tensão na armadura sd em função 
do tipo de aço. E, uma vez conhecida a tensão na armadura é possível se resolver a equação de 
equilíbrio em forças igualando-se as equações (3.22a) e (3.22a) 
xbfAs wcdsd   para todas as classes de concreto (3.22a) 
xbfAs wcdsd 8,085,0 específico para concretos até classe C50 (3.22b) 
que rescrita nas formas (3.23) e (3.24) fornecem a área de aço procurada 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 81 
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para o domínio 4 
sdsd
wcd
d
Mdxbf
As


 (3.23a) 
para o domínio 4 e concretos com fck até 50MPa 
sdsd
wcd
d
Mdxbf
As


68,0
 (3.23b) 
para o domínio 3 
ydyd
wcd
fd
Md
f
xbf
As


 (3.24a) 
para o domínio 3 e concretos com fck até 50MPa 
ydyd
wcd
fd
Md
f
xbf
As


68,0
 (3.24b) 
Cabe lembrar que o dimensionamento no domínio 4 é geralmente evitado, optando-se por se 
aumentar a altura da viga ou se adotar uma armadura na zona comprimida para reforçar a resistência à 
compressão da peça. Com as exigências sobre a posição da linha neutra para garantia de ductilidade, 
descarta-se praticamente o dimensionamento no domínio 4. 
Exemplo 3.1: 
Determine a área de aço para a viga a seguir: 
 
 
 
mkNMkMd .280200.4,1.4,1  
MPa
fck
fcd
c
3,14
4.1
20


 
 
172,0
025,07,0.25,0.10.3,14
280
.. 232



dbwfcd
Md
 
 32,01L de acordo com a NBR6118:ABNT/2003 
mkNMk
CA
MPafck
.200
50
20



?
5,2'


As
cmd
82 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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 158,02L limite entre os domínios 2 e 3 
 32,0158,0  domínio 3 
OK





 5,0286,0172,0.
68,0
6,1
1125,1 
Como a seção está no domínio 3 fydsd  
Por (1) 
 
 
224
3
3
8,1010.8,10
10.15,1500
025,07,0.286,0.25,0.10.3,14.68,0
cmmAs 

  
Por (2) 
   
224
3
8,1010.8,10
10.15,1500.025,07,0.286,0.4,01
280
cmmAs 

  
 
Exemplo 3.2: 
Dada a seção transversal a seguir, calcular o máximo momento que ela suporta, considere que a 
seção seja no apoio da viga: 
 
50
20


CA
MPafck
 
 
 
  sdsd
sd
dAsdAsMd
d
Md
As 

..4,01....
..

 
fydsd  
kNfydAsRsd 2,66110.435.10.2,15.
34  
 
22,15
45
cmAs
cmd


Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 83 
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kNfydAsxbwfcdRR sdcd 2,661..8,0...85,0  
mx 16,0
8,0.3,0.10.20.85,0
2,661
3

 
 45,036,0
45,0
16,0
d
x
 não está no domínio 4 
 259,01L limite do domínio 2  45,02L limite do 
domínios 3 
 45,0259,0  domínio 3 
    kNfyddAsMd 25510.435.45,0.36,0.4,0110.2,15..4,01. 34   
3.2.2 DOMÍNIO 2 
No domínio 2 o fenômeno de ruptura apresenta características especiais. O processo se inicia 
pelo escoamento da armadura. Nesse instante, como a deformação no concreto é inferior a 
c2 
o 
diagrama de tensões ainda não corresponde ao diagrama parábola - retângulo para o qual a norma 
permite a transformação em diagrama retangular. No entanto, convém observar que o escoamento da 
armadura se inicia a partir do escoamento do aço, para um valor de deformação inferior à deformação 
de ruptura. Há então um processamento de ruptura onde se verifica que durante o escoamento da 
armadura o momento se mantém constante. Considerando-se a fase final da ruptura, quando o 
escoamento da armadura é suficiente para que seja atingido o encurtamento máximo do concreto, tem-
se a seguinte configuração pela figura 3.9, com uma correção introduzindo o coeficiente Ψ. 
Figura 3.9 - Deformações e resultantes de tensão para seções retangulares dimensionadas no domínio 2. 
 
 
sd = 1,0% 
X 
0  cd  2 
cd = αΨ fcd 
Rcd 
Rsd 
0,8 X 
Z 
bw 
d h 
d’ 
Md 
As 
 
84 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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Como a distribuição de tensões no concreto obedece à mesma configuração já estudada para os 
domínios 3 e 4. Logo a posição da linha neutra pode ser obtida pela equação 3.25. 






 




*2
11
1
 para todas as classes de concreto (3.25a) 






 


68,0
6,1
1125,1 específico para concretos até classe C50 (3.25b) 
Assim a equação de equilíbrio em forças fornece a área de aço necessária. 
ydyd
wcd
fd
Md
f
xbf
As


 para todas as classes de concreto (3.26a) 
ydyd
wcd
fd
Md
f
xbf
As



68,0
 específico

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