Apostila Concreto_2019 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
Curso de Concreto Armado 
Sylvia Regina Mesquita de Almeida 
Daniel de Lima Araújo 
Apostila das disciplinas de Concreto Estrutural I e Concreto 
Estrutural II do curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal de Goiás. 
Goiânia, 2018
1 FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO 
1.1 GENERALIDADES 
O concreto simples é um material que possui alta resistência à compressão, mas uma resistência 
pequena à tração (algo em torno de 10% de sua resistência à compressão). Ele é constituído, 
basicamente, por cimento, água, agregados miúdos e graúdos. A esta mistura podem ser adicionados 
diversos materiais como aditivos químicos, sílica, escória de alto forno, cinza volante etc. com o 
objetivo de melhorar suas propriedades tanto no estado fresco quanto no estado endurecido. 
A idéia de se juntar ao concreto simples barras de aço na região tracionada surgiu na França e 
teve seu maior desenvolvimento na Alemanha, onde surgiu a primeira teoria consistente e 
cientificamente comprovada, com publicação em 1902 por seu idealizador E. Mörsch. Estes dois 
materiais formam uma perfeita combinação, sendo as tensões de compressão resistidas pelo concreto e 
as tensões de tração resistidas pela armadura. Esta ação conjunta em vigas submetidas à flexão, por 
exemplo, implica num aumento significativo da resistência da viga e em uma completa alteração na 
sua forma de ruptura. 
Na Figura 1.1 é mostrada uma viga simplesmente apoiada submetida a duas forças 
concentradas nos terços médios. No primeiro caso têm-se uma viga de concreto simples. Ao se 
aumentar a intensidade da força aplicada, as tensões de tração na borda inferior da viga crescem, entre 
as duas forças concentradas, devido à atuação de um momento fletor. Quando estas tensões superam a 
resistência à tração do concreto simples, surge uma fissura que se prolonga ao longo da altura da viga 
até atingir a sua face superior, levando a ruína da viga. No segundo caso, a viga é armada com barras 
de aço na face inferior. Neste caso, quando as tensões superam a resistência à tração do concreto 
simples, surge a primeira fissura que é impedida de se propagar pela armadura. Isto possibilita um 
acréscimo na força aplicada, o qual é seguido pela formação de novas fissuras na região entre as duas 
forças concentradas. Neste caso, a ruína da viga se dá pelo esgotamento da capacidade resistente da 
armadura ou do concreto simples na região comprimida. O binário formado pelas forças na armadura e 
no concreto simples da região comprimida constitui um momento resistente que equilibra o momento 
fletor solicitante devido à atuação das duas forças concentradas. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 3 
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Figura 1.1 – Reforço de vigas de concreto com armadura na região tracionada. 
 
 
Para se ter uma ordem de grandeza do aumento na resistência de peças estruturais de concreto 
devido à colocação de armaduras, seja uma viga de concreto com seção retangular de 10 cm de largura 
por 25 cm de altura confeccionada com concreto de resistência à compressão igual a 25 MPa (Figura 
1.2). 
Esta viga possui vão de 1,20 metros e é solicitada por uma força concentrada no meio do vão. 
No primeiro caso, a viga é de concreto simples, ou seja, não é colocada nenhuma armadura no seu 
interior. Solicitando esta viga até a ruína, chega-se a uma força máxima aplicada de 10 kN. A ruína se 
dá de forma brusca pela formação de uma fissura única no meio do vão. Repetindo o ensaio com uma 
viga idêntica, porém com armadura de flexão e de cisalhamento, chega-se a uma força máxima 
aplicada de 74 kN, ou seja, mais de sete vezes superior à encontrada na viga de concreto simples. 
Além disso, a forma de ruptura é alterada, passando a se processar de modo gradual. Observa-se, 
também, a formação de uma fissura principal no meio do vão e de uma série de fissuras menores ao 
longo do vão. E no terceiro caso, é ensaia-se uma viga idêntica as anteriores, porém armada apenas 
com armadura de flexão, neste caso chega-se a uma força máxima aplicada de 45 kN, menor que a 
anterior, porém ainda mais de quatro vezes superior à encontrada na viga de concreto simples. Neste 
ensaio, a força máxima resistida pela viga diminui pela ausência da armadura de cisalhamento, e a 
forma de ruína também é alterada. 
4 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Posteriormente, quando do estudo do cisalhamento, será explicado como as tensões de 
cisalhamento influenciam a ruína de vigas de concreto. Por ora, basta observar que a adição de barras 
de aço ao concreto simples é de fundamental importância. Sem elas o concreto jamais poderia ser 
empregado como uma material estrutural. 
Figura 1.2 – Influência da armadura na resistência de vigas de concreto (Daniel Carmo). 
 
1,20 m
F
 
(a) Esquema de carregamento 
 
(b) Seção Transversal 
 
 
 
(c) Viga de concreto simples (F=10 kN) 
 
 
 
(d) Viga reforçada com armadura de flexão e 
de cisalhamento (F = 74 kN) 
 
10 cm
2
5
 c
m
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 5 
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(e) Viga reforçada apenas com armadura de flexão (F = 45 kN) 
1.2 VIABILIDADE DO CONCRETO ARMADO 
O concreto armado se torna viável devido, basicamente, a três fatores indispensáveis: 
a) Trabalho conjunto do concreto e do aço: 
O trabalho conjunto do concreto e do aço é garantido pela aderência entre ambos. Sem ela, o 
concreto armado não poderia ser empregado como material estrutural. Sua importância pode ser 
verificada observando, novamente, a Figura 1.1. Ao ser solicitada à flexão, a seção central da viga se 
deforma, surgindo tensões de tração na borda inferior e tensões de compressão na borda superior. 
Associada a essas tensões têm-se uma distribuição linear de deformação das fibras ao longo da 
altura da viga que pode ser calculada a partir dos conceitos da Resistência dos Materiais. Na fibra do 
concreto correspondente à posição da armadura, a deformação do concreto é transferida para a 
armadura, a qual se alonga introduzindo uma força de tração proporcional ao seu alongamento. É fácil 
de perceber que caso não houvesse nenhuma aderência entre o concreto e a armadura, esta viga se 
comportaria como uma viga de concreto simples, ou seja, sem armadura. 
b) Coeficientes de dilatação térmica do concreto e do aço praticamente iguais: 
O coeficiente de dilatação térmica do concreto é da ordem de 1,0 x 10-5 /0C e o coeficiente de 
dilatação térmica do aço é da ordem de 1,2 x 10-5 /0C. Esta pequena diferença entre os coeficientes de 
dilatação térmica permite que para níveis usuais de variação de temperatura (< 500C) seja desprezada 
6 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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a variação volumétrica diferencial entre elas. Esta variação somente é importante em situações em que 
a estrutura é sujeita a elevadas temperaturas como, por exemplo, no caso de incêndios. Nestes casos, a 
maior variação volumétrica do aço provoca inúmeras fissuras na região superficial da peça de 
concreto. Nas situações em que mesmo em serviço haja uma grande variação de temperatura, é 
recomendado o emprego de maiores cobrimentos de concreto ou, o que é mais indicado, o emprego de 
isolação térmica na superfície da peça em contato com a fonte de calor. 
c) Concreto funcionando como protetor contra oxidação da armadura: 
O concreto é um material alcalino que propicia um ambiente pouco favorável à oxidação da 
armadura. Esta alcalinidade é devido ao hidróxido de cálcio que se forma durante o processo de 
hidratação do cimento. Por esta razão, patologias que retirem este hidróxido, como a lixiviação, 
reduzem a alcalinidade do concreto, propiciando um ambiente favorável à oxidação da armadura. O 
problema da oxidação da armadura é que ela afeta não só a aparência da estruturacomo a sua 
resistência mecânica. Ao se oxidar, a armadura sofre uma expansão que tende a expulsar o cobrimento 
de concreto. Uma vez expulso este cobrimento, o processo de oxidação é acelerado. Do ponto de vista 
estrutural, a oxidação da armadura tem duas implicações. Uma delas é a redução da seção transversal 
das barras, pois o aço vai sendo aos poucos transformado em óxido de ferro, produto final da corrosão. 
Por outro lado, o acúmulo deste material na interface da armadura com concreto gera uma camada que 
reduz a aderência. Esta perda de aderência pode até mesmo ser mais prejudicial que a redução da seção 
transversal das barras(i). 
Além do efeito de oxidação da armadura, outras patologias podem surgir nas estruturas de 
concreto tais como a despassivação por carbonatação ou por elevada concentração de íons cloretos 
(ambos induzindo a corrosão da armadura). Além delas, o concreto simples pode sofrer ainda processo 
de deterioração provocado pela reação álcali-agregado ou pela expansão provocada pela presença de 
sulfatos. Todas elas devem ser evitadas num projeto de estruturas de concreto e, em maior ou menor 
grau, interferem na resistência mecânica das peças estruturais. 
1.3 FISSURAÇÃO DO CONCRETO ARMADO 
O concreto armado pode sofrer um processo de fissuração de duas formas: fissuras por retração 
acelerada do concreto e fissuras por tensões de tração superiores à resistência mecânica do concreto 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 7 
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endurecido. No primeiro caso, as fissuras podem surgir ainda no concreto plástico ou no concreto 
endurecido caso as deformações da estrutura sejam impedidas. No segundo caso, as fissuras aparecem 
devido às tensões que surgem na peça quando ela é solicitada. 
As fissuras podem ser nocivas ou não à estrutura. Como é praticamente impossível evitar a 
formação de fissuras no concreto armado, deve-se limitar sua abertura quando da peça em serviço. A 
justificativa para o aparecimento inevitável de fissuras reside no fato que o concreto fissura com 
pequenas deformações. Caso as peças de concreto fossem dimensionadas para evitar a formação de 
fissuras, as deformações correspondentes no aço seriam muito inferiores aquelas necessárias para o 
perfeito aproveitamento da sua capacidade resistente. Se assim fosse, o custo das estruturas de 
concreto armado seria tão elevado que inviabilizaria o seu emprego. 
Como não é possível evitar a formação de fissuras, deve-se controlar sua abertura de modo a 
evitar a penetração de agentes agressivos ao concreto que podem provocar a despassivação da 
armadura e sua consequente oxidação. Além disso, fissuram muito abertas e visíveis podem transmitir 
uma sensação de insegurança aos usuários de uma edificação e são pouco estéticas. 
1.4 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO ARMADO 
As principais vantagens do concreto armado dizem respeito à economia, variedade de formas, 
facilidade de execução, manutenção de baixíssimo custo, resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e 
desgastes mecânicos e ao fato de resultar em uma estrutura monolítica (única) o que não ocorre com as 
de aço, madeira e pré-moldado. Há aderência entre o concreto já endurecido e o lançado 
posteriormente. 
A economia do concreto armado vem da disponibilidade em abundância e a preços 
relativamente baixos de seus componentes, principalmente dos agregados. É verdade que outros custos 
devem ser somados quando da análise econômica do concreto, tais como custos de fôrmas de madeira, 
escoramentos, transporte etc. Porém, por qualquer lado que se olhe, o concreto armado ainda é mais 
econômico que seu principal concorrente, as estruturas metálicas. 
Devido à facilidade de moldagem do concreto, as estruturas de concreto armado podem admitir 
as mais variadas formas, adaptando-se com facilidade às exigências arquitetônicas. Além disso, elas 
8 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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apresentam grande resistência ao fogo, ao desgaste mecânico e às intempéries, necessitando de baixa 
manutenção. Outro fator importante é que a resistência do concreto aumenta com o tempo, garantindo 
uma maior reserva de segurança à estrutura. 
Seu peso próprio elevado, contudo, constitui sua principal desvantagem, seguida de 
dificuldades para reformas ou demolições e o baixo grau de proteção térmica que oferece às 
construções. Algumas dessas desvantagens podem ser minimizadas. Por exemplo, o seu peso próprio 
pode ser reduzido empregando agregados leves (mais especificamente, a argila expandida). 
Usualmente são obtidos concretos leves estruturais com massa específica seca variando de 1300 kg/m3 
a 1900 kg/m3. Esses valores são inferiores aos encontrados nos concretos normais, cuja massa 
específica seca varia de 2200 kg/m3 a 2400 kg/m3. No caso do concreto armado, estes valores podem 
chegar a 2500 kg/m3 devido à presença da armadura. 
Com relação às dificuldades de demolição e reforma, o emprego de estruturas pré-moldadas de 
concreto podem minimizar este problema. Neste caso, as ligações entre as peças devem ser feitas, 
preferencialmente, com parafusos para possibilitar a desmontagem. Quanto à baixa proteção térmica, 
isto pode ser facilmente resolvido revestindo a estrutura com argamassas isolantes, como as feitas com 
Vermiculita Expandida. 
No Brasil, o projeto de estruturas de concreto armado deve obedecer à NBR 6118:2014, 
atualmente em processo revisão, em fase de consulta pública. Outras normas internacionais 
importantes são o ACI 318, do American Concrete Institute, adotado Estados Unidos. Essa norma é 
utilizada como referência nos demais países da América do Norte e em alguns países da América 
Latina, Ásia e Oceania. . O CEB90, código do Comité Euro-International du Béton e o EUROCODE 2 
são adotados na Europa e utilizados como referência também no Brasil. 
1.5 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES MECÂNICAS DO 
CONCRETO EM COMPRESSÃO 
A resistência à compressão constitui uma das mais importantes propriedades mecânicas do 
concreto e sua determinação se dá através de ensaios de resistência normalizados (NBR5738, 
NBR5739, NBR12655). 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 9 
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A resistência à compressão é obtida de ensaios em corpos-de-prova padronizados, sendo usual 
no Brasil os cilíndricos com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura. Também são empregados em 
concretos de alta resistência os corpos-de-prova cilíndricos com 10 cm de diâmetro e 20 cm de altura. 
Outras dimensões podem ser empregadas desde que seja respeitada a relação de 1:2 entre o 
diâmetro e a altura do cilindro. Esta relação surge para evitar a influência do atrito que surge durante o 
ensaio entre os pratos do equipamento de ensaio e o corpo-de-prova. Este atrito tende a exercer uma 
ação de confinamento nas extremidades dos corpo-de-prova, aumentando a resistência final do 
concreto. Além disso, o diâmetro do corpo-de-prova deve ser igual ou maior que quatro vezes o 
diâmetro máximo do agregado. 
Na Europa, principalmente na Alemanha, é usual o corpo-de-prova cúbico com lados de 20 cm. 
A resistência do concreto medida por este corpo-de-prova tende a ser maior que a obtida do corpo-de-
prova cilíndrico em virtude das forças de atrito que surgem no prato do equipamento já mencionadas. 
As resistências obtidas em corpos-de-prova cilíndricos e em corpos-de-prova cúbicos podem ser 
relacionadas entre se como mostrado na Tabela 1.1 Nesta tabela, os coeficientes apresentados fazem a 
conversão da resistência dos corpos-de-prova para o cilíndrico com medida de 15 cm x 30 cm. 
Tabela 1.1 – Coeficientes médios para conversão da resistência para cilindros de 15 cm x 30 cm. 
Forma do corpo de prova (cm) Coeficiente médio de conversão 
Cilíndrico 10 x 20 0,97 
Cilíndrico 15 x 30 1,00 
Cilíndrico 25 x 50 1,05 
Cilíndrico 45 x 90 1,15 
Cúbico 15 x 15 x 15 0,80 
Cúbico20 x 20 x 20 0,83 
Cúbico 30 x 30 x 30 0,90 
 
A partir do resultado dos ensaios de compressão, faz-se uma análise estatística das resistências 
obtidas, obtendo-se o chamado valor característico. Denomina-se resistência característica do concreto 
(fck) o valor abaixo do qual encontram-se 5% dos resultados obtidos, ou seja, um valor para o qual se 
têm no mínimo 95% de segurança em relação à ruptura por compressão Figura 1.3. 
10 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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A resistência à compressão constitui uma das mais importantes propriedades mecânicas do 
concreto e sua determinação se dá através de ensaios de resistência normalizados ( NBR 5738, 
NBR 5739, NBR 12655 ). A partir do resultado desses ensaios, faz-se uma análise estatística das 
resistências obtidas, obtendo-se o chamado valor característico. Denomina-se resistência característica 
do concreto (fck) o valor abaixo do qual se encontram apenas 5% dos resultados obtidos, ou seja, um 
valor para o qual se têm no mínimo 95% de segurança em relação à ruptura por compressão. Para um 
lote de concreto ensaiado, o valor de sua resistência característica à idade em questão a ser considerada 
nos cálculos pode ser estabelecido pela equação (1.1). 
dcmck sff 65,1 (1.1) 
onde, 
fcm - é a resistência média para o lote em questão; 
fck - é a resistência característica do concreto; 
sd - é o desvio padrão do lote ensaiado. 
O desvio padrão é influenciado primordialmente pela qualidade da execução, mostrando-se 
independente da resistência do concreto. Assim, para corpos de prova cilíndricos pode-se adotar os 
seguintes valores médios para o desvio padrão: 
 sd = 4,0 MPa - para concreto executado com controle tecnológico, rigorosa fiscalização, 
materiais medidos em peso e correção de água e agregado miúdo em função de determinação rigorosa 
da umidade; 
 sd = 5,5 MPa - para concreto executado com controle tecnológico, rigorosa fiscalização, 
cimento medido em peso, agregados em volume e correção de água e agregado miúdo em função de 
determinação rigorosa da umidade; 
 sd = 7,0 MPa - para concreto executado com cimento medido em peso, agregados em volume e 
correção de água e agregado miúdo em função de estimativa da umidade. 
Figura 1.3. – Curva teórica de distribuição dos resultados dos ensaios de compressão. 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 11 
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A equação (1.1) é obtida da curva de distribuição de freqüência de Gauss. Com ela é possível 
determinar a resistência média desejada de um lote de concreto especificada a resistência característica 
em projeto. Observe que não é possível em projeto especificar a resistência média do concreto, uma 
vez que dependendo do desvio padrão resultante do processo de produção do concreto teremos 
diferentes resistências características, conforme mostrado na Figura 1.4. Nesta figura, para um dado 
concreto com resistência á compressão média (fcm) de 27,5 MPa, a resistência característica pode variar 
de 0,67fcm a 0,85fcm quando o coeficiente de variação varia de 20% a 9,1% (o coeficiente de variação é 
definido pela relação entre o desvio padrão - s - e a o valor médio - fcm). 
Caso sejam fixos os valores de fcm e de fck ao mesmo tempo, se o desvio padrão da amostra 
variar não se poderia mais garantir que 95% das resistências seriam superiores ao valor característico. 
Por estas razão, em projeto sempre deve-se especificar o valor característico do concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
12 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Figura 1.4 – Variação da resistência característica do concreto em função do desvio padrão.
 
Além da padronização dos ensaios, foi necessário se padronizar também a idade do concreto 
quando da execução do ensaio, pois sabe-se que o concreto apresenta um grande incremento de 
resistência nos primeiros dias após a moldagem, estabilizando-se esse crescimento após certo tempo. 
Adotou-se para análise da resistência característica valores obtidos para concreto com idade de 28 dias, 
por se tratar da idade convencional em que uma estrutura usual é colocada sob seu carregamento total. 
O carregamento que atua em uma peça de concreto armado pode ser dividido em ações de 
longa e de curta duração. Constituem ações de longa duração o peso próprio da estrutura, o de 
materiais usados para revestimento e alguns tipos de sobrecarga que, em função de sua natureza, possa 
ser considerada praticamente permanente. As sobrecargas móveis decorrentes da utilização da 
estrutura são consideradas ações de curta duração. 
Estudos e ensaios realizados principalmente por H. Rüsch apontam para uma redução na 
resistência do concreto quando submetido a carregamentos de longa duração. Essa redução pode ser 
considerada da ordem 15% e é levada em consideração nas normas atuais multiplicando-se a 
resistência característica de compressão obtida em ensaios de curta duração por 0,85. 
1.5.1 Evolução da resistência do concreto 
As propriedades do concreto, tais como módulo de deformação longitudinal e as resistências à 
tração e compressão, sofrem uma contínua variação no tempo, em virtude das reações químicas 
decorrentes da hidratação do cimento. 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 13 
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Esse fenômeno, denominado envelhecimento, ocorre durante praticamente toda a vida útil da 
estrutura, sendo muito acentuado nos primeiros dias após a concretagem. As propriedades do concreto 
em uma idade t dependem do tipo do cimento e das condições de cura (temperatura e umidade). 
Segundo o CEB90, para uma temperatura de 20°C, a resistência média à compressão do concreto em 
uma idade t dias pode ser obtida pela equação (1.2). 
28,)()( cmcccm fttf  (1.2) 
onde, 























2
1
28
1exp)(
t
stcc
 
(1.3) 
 
 s = 0,38 para cimentos de endurecimento lento (CPIII e IV); 
 s = 0,25 para cimentos de endurecimento normal (CPI e II); 
 s = 0,20 para cimentos de endurecimento rápido (CPV-ARI); 
 t é a idade efetiva do concreto em dias. 
 
Na Figura 1.5, representa-se a variação da resistência à compressão do concreto com a idade, de 
acordo com a equação 1.2. Nesses concretos foi utilizado cimento pozolânico, portanto, s = 0,38. 
 
 
 
 
 
 
14 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Figura 1.5 – Variação da resistência a compressão com a idade. 
 
1.5.2 Módulo de elasticidade e coeficiente de poisson 
O diagrama tensão x deformação do concreto é curvo, como mostra a Figura 1.6, e não 
apresenta limite de proporcionalidade entre tensões e deformações. Define-se então módulo de 
elasticidade inicial ou tangente do concreto (Eco) como a tangente à curva tensão x deformação, ou seja 
a derivada da curva, na origem. Tal valor é de especial importância pois o trecho inicial do diagrama, 
no qual se concentram as tensões no concreto em serviço, sofre uma variação muito pequena de 
inclinação da curva. Em geral, esse trecho praticamente linear corresponde a tensões até 0,5 fck e, em 
alguns casos, até 0,7 fck. 
Figura 1.6 - Diagrama tensão x deformação do concreto. 
c
c
 fc
Eco
Ecs0,5 fc
 
Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto utilizado 
na idade de 28 dias, o valor módulo de elasticidade tangente pode ser estimado a partir da resistência 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 15 
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média à compressão do concreto. A partir de ensaios comparativos, chegou-se às expressões adotadas 
pela NBR6118-2014 (1.4a e 1.4b), para Eco e fck em MPa. 
ckEco fE 600.5 para fck de 20 MPa a 50 MPa (1.4a) 
3/1
3 25,1
10
105,21 





 ckEco
f
E  para fck de 55 MPa a 90 MPa (1.4b) 
Onde: αE = 1,2 para basalto ediabásio; αE = 1,0 para granito e gnaisse; αE = 0,9 para calári; αE = 
0,7 para arenito. 
O módulo de elasticidade inicial numa idade inferior ou igual a 7 dias pode também ser 
avaliado através desta equação, substituindo-se fck por fckj. 
Nas análises elásticas, deve-se utilizar o módulo de elasticidade secante, especialmente para 
determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, pela equação (1.5), 
onde o valor de αi é dado pela equação (1.6). 
ciics EE  (1.5) 
0,1
80
2,08,0  cki
f
 (1.6) 
A Tabela 1.2 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
16 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Tabela 1.2- Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como 
agregado graúdo), Tabela 8.1 da NRB 6118:2014. 
Classe de 
resistência 
C20 C25 C30 C45 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs(GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, especialmente 
da natureza dos agregados. Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção 
transversal, pode ser adotado o módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo 
de deformação secante Eci. No cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo 
de elasticidade inicial Eci. O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode ser 
avaliado pelas equações (1.7a e 1.7b). 
  ci
ck
ckj
ci E
f
f
tE
5,0








 para fck de 20 MPa a 50 MPa (1.7a) 
  ci
ck
ckj
ci E
f
f
tE
3,0








 para fck de 55 MPa a 90 MPa (1.7b) 
Onde Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 
28 dias; fckj é a resistência característica à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar 
o módulo de elasticidade, em megapascal (MPa). 
Permite-se adotar um módulo único para tração e compressão, correspondente ao módulo 
secante (1.3), na avaliação do comportamento de uma peça ou seção de concreto armado. Já na 
avaliação do comportamento global da estrutura, deve-se utilizar o módulo de elasticidade inicial (1.5a 
e 1.5b). 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 17 
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O coeficiente de deformação transversal do concreto, ν, chamado coeficiente de Poisson, sofre 
pequena variação com a resistência à compressão. A NBR 6118:2014 prescreve o valor médio de 
ν= 0,2, para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct. O módulo 
de elasticidade transversal, Gc, pode ser tomado como Gc = Ecs/2,4. 
1.5.3 Diagrama tensão x deformação simplificado 
Em ensaios realizados por E. Grasper para concretos com fck variados observou-se que a tensão 
máxima corresponde a deformações da ordem de 0,2 % e que a ruptura é atingida para uma 
deformação em torno de 0,35 %, isso até concretos de classe C50. Assim, as modernas normas para 
projeto de estruturas de concreto, inclusive a NBR 6118:2014, passaram a adotar o diagrama 
simplificado da Figura 1.7 como base para o dimensionamento de concreto armado. 
Figura 1.7 - Diagrama tensão x deformação simplificado do concreto em compressão (Figura 8.2 da NBR 6118:2014). 
 
c 
c c2 
 
cu 
u 
0,85 fcd 
A B 
O 
D C 
αfcd 
 
Segundo o diagrama, o trecho inicial AO ou OC comporta-se como uma parábola cuja equação 
(1.8) é válida para c entre 0 e c2. Posteriormente a tensão fica constante já que o trecho OB ou OD é 
dado por uma reta, paralela ao eixo das deformações, válida para c entre c2 e cu. O que muda do 
trcho OB para OD é a classe do concreto, onde o OC é para concretos até classes C50 e OD para 
qualquer classe. 















n
002,0
11 ccdc f

 (1.8) 
O valor de alfa é dado pela equação 1.9a e 1.9b, dependendo do fck do concreto. 
18 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
85,0 , para concreto até classe C50 (1.9a) 
 





 

200
50
185,0 ck
f
 , para concreto de classe C50 até C90 (1.9b) 
Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2(deformação específica de encurtamento do 
concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do concreto na 
ruptura) são definidos na Tabela 1.3: 
Tabela 1.3 - Valores a serem adotados para os parâmetros εc2 e εcu 
Concreto até classe C50 Concreto para classes maiores que C50 

c2
= 2,0 ‰ 
c2
= 2,0 ‰ + 0,085 ‰ (fck – 50)0,53 

cu
= 3,5 ‰ 
cu
.= 2,6 ‰ + 35 ‰[(90 – fck)/100]
4
 
n=2 n=1,4+23,4[(90- fck)/100]
4
 
 
Há varias outras expressões disponíveis na literatura que relacionam as tensões de compressão 
no concreto com a sua deformação. Por exemplo, Desayi e Krishnan
 
propuseram a equação 1.10 para 
representar o diagrama tensão versus deformação do concreto. 



























2
1
0
0
21
2





c
c
cmc f
 (1.10) 
O CEB90 adota uma outra relação tensão versus deformação para o concreto em compressão 
simples: 
  












21
2
k
k
f cmc (1.11) 
onde, 
cm
cc
f
E
k

 (1.12) 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 19 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
0

 c (1.13) 
1.5.4 Comportamento sob solicitações biaxiais 
Uma condição de tensão biaxial acontece se as tensões agirem somente em duas direções, isto 
é, as tensões agem em um plano e a terceira tensão, normal ao plano, é zero. Na Figura 1.8 apresenta-
se as combinações de tensões diretas de ruptura em duas direções, como encontrado por Kupfer, 
Hilsdorf e Rüsch. Estes pesquisadores concluíram que a resistência do concreto sujeito a compressão 
biaxial pode ser até 27% superior á resistência uniaxial. Para resistências biaxiais de compressão 
iguais, o acréscimo da resistência é de aproximadamente 16%. 
A menor resistência de tração biaxial é aproximadamente igual à resistência a tração uniaxial. 
Contudo, combinando carregamentos de tração e compressão, reduz-se ambas as resistências na 
ruptura. Segundo a NBR6118:ABNT/2014, estando o concreto submetido às tensões principais 
123   , deve-se ter ckf1 e 13 4  ckf , sendo as tensões de compressão consideradas 
positivas e as de tração negativas Figura 1.9. 
Figura 1.8 – Resistência do concreto a tensões normais combinadas biaxiais (estado plano de tensões). 
 
20 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Figura 1.9 – Resistência no estado multiaxial de tensões (NBR6118:ABNT/2014). 
 
1.6 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES MECÂNICAS DO 
CONCRETO EM TRAÇÃO 
A resistência à tração do concreto pode ser determinada por meio de três ensaios diferentes: 
ensaio de tração axial (Figura 1.10-a), ensaio de compressão diametral (Figura 1.10-b) ou ensaio de 
flexão (Figura 1.10-c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 21 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
 
 
Figura 1.10 – Ensaios para determinação da resistência à tração. 
 
As normas NBR 7222 e NBR 12142 estabelecem formas de determinação da resistência à 
tração indireta, fct,sp, e da resistência à tração na flexão, fct,f, respectivamente. A resistência à tração 
direta, fct, pode ser considerada como 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f . Na falta de ensaios para determinação de fct,sp 
e de fct,f , a NBNBR 6118:2014 permite que se utilize a equação (1.14) para o cálculo da resistência à 
tração direta média, com valores em MPa para concretos até C50 e a equação (1.15) para concretos 
C50 até C90. 
d
P
f spct

2
, 
22 Cursode Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
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3
2
3,0 ckctm ff  
 (1.14) 
 ckctm ff 11,01ln12,2  (1.15) 
Os limites inferior e superior da resistência característica do concreto à tração serão então, 
ctmctk ff 7,0inf,  (1.16) 
ctmctk ff 3,1inf,  (1.17) 
Se o fck for maior que 7MPa, as equações 1.14 até 1.117 podem ser adotadas para idades 
diferentes de 28 dias. 
Para concreto não fissurado, a NBR 6118:2014 permite que se utilize o diagrama 
tensão x deformação bilinear da Figura 1.11. 
Figura 1.11 - Diagrama tensão x deformação simplificado do concreto na tração. 
 
ct
ct0,15 %
Eco
fctk
0,90 fctk
 
1.7 CARACTERÍSTICAS REOLÓGICAS 
1.7.1 Comportamento Reológico do Concreto 
O comportamento reológico do concreto, isto é, sua deformabilidade dependente do tempo, tem 
uma considerável importância na análise estrutural. As deformações dependentes do tempo são 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 23 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
convencionalmente separadas em duas: a fluência e a retração. Tanto a fluência, quanto a retração, 
diminuem com a redução do fator água-cimento e do consumo do cimento. 
Em virtude dos efeitos do envelhecimento, a fluência do concreto depende, além da duração do 
carregamento, da idade da aplicação das cargas. O comportamento do material também é influenciado 
pela troca de água com o meio ambiente. Quanto mais seco for o meio externo, maiores serão a 
fluência e a retração. A fluência e a retração serão tanto maiores quanto menores forem as dimensões 
do elemento. 
A temperatura ambiente é outro fator que afeta as deformações do material. A elevação da 
temperatura acelera o processo de envelhecimento e também o fenômeno da fluência. 
Ambos os fenômenos apresentam uma série de efeitos indesejáveis tais como: aumento das 
flechas de lajes e vigas, perda de protensão em estruturas de concreto protendido, aumento da 
curvatura de pilares devido a fluência e fissuração das superfícies externas devido à retração. Além 
disso, a retração e a dilatação térmica, introduzem esforços indesejáveis em estruturas aporticadas 
devido à retração e dilatação térmica. Por outro lado, a fluência do concreto contribui favoravelmente 
para eliminação de concentração de tensões em nós de pórticos, por exemplo, e de tensões impostas 
por recalques de apoios em estruturas hiperestáticas. 
1.7.2 Variação de temperatura 
O comportamento do concreto quando submetido à variação de temperatura se traduz em uma 
variação de volume da peça, podendo a mesma ser ou não danosa à estrutura. No caso de estruturas 
submetidas a variações uniformes de temperatura, tal ação impõe à peça deformações que, em caso de 
estruturas hiperestáticas, introduzem esforços à mesma. 
tct   (1.18) 
Em geral, do ponto de vista estrutural aborda-se o problema de como sendo uma variação 
uniforme de temperatura. Somente em casos muito especiais considera-se variação diferencial de 
temperatura entre as fibras. Para estimativa dos efeitos de variação de temperatura adota-se para o com 
coeficiente de dilatação térmica do concreto ( o valor de 10
-5
/°C. A NBR6118:ABNT/2003
(Erro! 
Indicador não definido.)
 aborda a variação de temperatura da estrutura, de maneira genérica, adotando os 
seguintes valores: 
24 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 Para elementos com menor dimensão inferior a 50 cm, considera-se oscilação de temperatura 
em torno de 10°C a 15°C; 
 Para elementos cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, considera-se oscilação de 
temperatura em torno de 5°C a 10°C; 
 Para elementos com menor dimensão entre 50 cm e 70 cm, interpola-se linearmente os 
valores indicados anteriormente. 
1.7.3 Retração 
A retração é um fenômeno que se caracteriza pela perda de água intersticial Figura 1.12, 
ocasionando diminuição de volume da peça, daí o nome retração. Devido a esse fenômeno podem 
surgir tensões de compressão no interior e de tração na superfície das peças capazes de provocar 
fissuras caso não seja colocada armadura para evitar tal ocorrência. 
Embora o fenômeno da retração se faça sentir até 2 ou 3 anos após a concretagem, o processo é 
mais intenso nas primeiras 6 a 18 horas, devendo-se tomar especial cuidado em relação ao processo de 
cura do concreto. 
Figura 1.12 – Esquema de um poro do concreto, contendo ar e água, mostrando as tensões superficiais dos meniscos de 
água, cuja resultantes provoca compressão tridimensional no esqueleto sólido do concreto. Os poros do concreto possuem 
raios da ordem de 20 x 10
-8
 cm. 
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 25 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Na grande maioria dos casos, permite-se determinar o valor da deformação específica de 
retração do concreto ( cs ) pela interpolação dos valores da Tabela 1.4. 
Nos casos correntes das obras de concreto armado pode ser adotado igual a 510.15 cs , 
desde que, as dimensões do elemento estejam entre 10 cm e 100 cm e a umidade relativa do ar seja 
superior a 75%. 
Para se reduzir os efeitos da retração deve-se tomar alguns cuidados, a saber: 
 umedecer as fôrmas e os agregados; 
 reduzir o tempo entre a colocação do concreto e o início da cura; 
 manter a superfície do concreto úmida e protegida da ação do vento e da radiação solar. 
 
Tabela 1.4 – Valores característicos superiores de deformação específica de retração  0, ttcs  e do coeficiente de 
fluência  0, tt (NBR6118:2014). 
Umidade Ambiente 
% 
40 55 75 90 
Espessura Fictícia 
uAc2 cm 
20 60 20 60 20 60 20 60 
 0, tt
Concreto 
Das Classes C20 
a C45 
0t 
dias 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
 0, tt
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
26 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Concreto 
Das Classes C50 
a C90 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
 0, ttcs  
00
0
 
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15 
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15 
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15 
cA é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. Os valores 
dessa tabela são relativos a temperatura do concreto admitida entre 0°C e 40°C, concretos plásticos e 
cimento Portland comum. 
1.7.4 Deformação lenta 
Quando o concreto é carregado, uma deformação elástica instantânea desenvolve-se como 
mostrado na Figura 1.13. Se este carregamento permanecer na peça, deformações adicionais por 
fluência aparecem com o tempo. Isto ocorre porque a camada de água adsorvida tende a se tornar mais 
fina entre as partículas do gel que estão transmitindo tensão de compressão. Esta mudança na 
espessura ocorre rapidamente no começo, ficando lenta com o tempo, devido a formação de novos 
vínculos entre as partículas de gel e suas novas posições. Se o carregamento for eventualmente 
removido, uma parcela de deformação é elasticamente recuperada e outra parcela é recuperada ao 
longo do tempo por fluência, porém uma deformação residual fica devido à vinculação das partículas 
de gel na posição deformada. 
As deformações por fluência são da ordem de uma a para três vezes a deformação elástica 
instantânea. A razão da deformação por fluência ocorrida depois de um certo período pela deformação 
elástica é chamada de coeficiente de fluência -  0, tt . Nos casos em que a tensão  0tc é 
praticamente constante, permite-se que as deformações decorrentes da fluência  0,ttc  sejam 
calculadas pela equação 1.19. 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 27 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
Figura 1.13– Corpo de prova de concreto sujeito a tensão normal de compressão ( c ). 
 
 
   
 
 
 






28
1
0
0,
00
00,
cc
cc
E
tt
tE
ttt

 (1.19) 
onde, 
 00 tEc = módulo de elasticidade longitudinal na idade 0t ; 
 280cE = módulo de elasticidade longitudinal na idade 28 dias; 
 0, tt determinado pela 
Tabela. 
28 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
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1.8 AÇO PARA CONCRETO ARMADO 
Até recentemente, o aço empregado em concreto armado era fabricado em duas categorias. Na 
fabricação do aço de categoria A, obtido após laminação a quente seguida de resfriamento ao ar livre, 
utilizam-se elementos químicos adicionais, visando a obtenção de ligas especiais. O aço de categoria B 
também é obtido após laminação a quente, com encruamento por deformação a frio. Não se utilizam, 
no entanto, ligas especiais no processo de fabricação. O processo de fabricação do aço tipo A tem 
custo ligeiramente superior aos do tipo B. A NBR 7480:2007 eliminou essa classificação antiga em 
classes(A e B), deixando a classificação de CA25, CA50, CA60. 
O aço empregado em concreto armado tem nomenclatura em função da tensão de escoamento, 
composta pelas letras CA, de concreto armado, seguida da tensão de escoamento em kgf/mm
2
. Assim 
um aço CA-50 é um aço para concreto armado com tensão de escoamento de 500 MPa. 
As barras utilizadas como armadura são fornecidas com comprimento entre 11 e 12 metros, 
apresentando os seguintes diâmetros padronizados: 5; 6,3; 8; 10; 12,5; 16; 20; 25 e 32 milímetros. 
Normalmente, o aço CA-60 só é encontrado nos diâmetros 5 e 6 mm. 
1.9 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
1.9.1 Diagrama tensão x deformação 
As categorias A e B do aço para concreto armado apresentam diferenças em relação ao 
diagrama tensão x deformação. O primeiro apresenta patamar de escoamento definido, o mesmo não 
acontecendo com o segundo. 
A Figura 1.14 apresenta o diagrama tensão x deformação simplificado do aço para concreto 
armado adotado pela NBR 6118:2014, que corresponde ao diagrama simplificado usualmente adotado 
para o aço de categoria A. 
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 29 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
 
 
Figura 1.14 - Diagrama tensão x deformação aproximado do aço para concreto armado. 
 
s
s
f yd
1, 0 %O
A B
yd
 
 
No trecho 0-A do digrama, correspondente à fase elástica, há uma proporcionalidade direta 
entre tensões e deformações, dada pela equação (1.20). No trecho A-B, correspondente à fase plástica, 
a tensão se mantém constante equação (1.21). 
sss E   para s entre 0 e yd (1.20) 
 s ydf para s entre yd e 1 % (1.21) 
1.10 AS BASES DO DIMENSIONAMENTO 
O objetivo do dimensionamento de uma estrutura em concreto armado é garantir uma adequada 
segurança contra ruptura provocada pelas solicitações, limitar as deformações de forma a não se 
comprometer o uso a que a construção de destina e garantir a durabilidade da mesma adotando-se 
providências necessárias para se evitar corrosão da armadura. Assim, diz-se que uma estrutura se torna 
inviável ao uso quando atinge um estado tal que se vê comprometido um ou mais dos três requisitos 
indispensáveis a seu emprego. Conforme se dê o comprometimento da estrutura estabelecem-se os 
estados limites: último, quando a estrutura é levada à ruína, ou de utilização, quando se verifica a 
inadequação ao uso ou o comprometimento da durabilidade. 
30 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
1.10.1 Estados Limites Últimos 
São estados relacionados ao colapso da estrutura ou a qualquer outra forma de ruína estrutural 
que impeça sua utilização. Deve-se garantir a segurança das estruturas de concreto em relação aos 
seguintes estados limites últimos: 
 Perda do equilíbrio da estrutura de uma parte ou de toda a estrutura quando considerada 
como um corpo rígido. Tal ruptura geralmente envolveria inclinação ou deslizamento de 
toda a estrutura e ocorreria se as reações necessárias para o equilíbrio não pudessem ser 
desenvolvidas; 
 Esgotamento da capacidade resistente da estrutura como um todo ou de parte da mesma 
devido às solicitações normais e tangenciais. 
 Esgotamento da capacidade resistente da estrutura como um todo ou de parte, considerando-
se os efeitos de segunda ordem (instabilidade elástica ou flambagem); 
 Estado limite último provocado por solicitações dinâmicas. Pode-se, devido aos ciclos 
repetidos de tensão, ocorrer colapso total ou parcial de uma estrutura, como por exemplo, a 
fadiga, que resulta da aplicação repetida das cargas de serviço; 
 Ruptura ou deformação plástica excessivas dos materiais. Um mecanismo é formado quando 
a armadura flexiona para formar articulações plásticas em seções suficientes para tornar a 
estrutura instável; 
 Colapso progressivo. Em alguns casos, uma pequena ruptura localizada pode causar a 
sobrecarga e a ruptura das peças adjacentes, levando toda a estrutura a entrar em 
colapso.Uma vez que tais rupturas ocorrem freqüentemente durante a construção, o projetista 
deve estar consciente das cargas de construção e dos procedimentos; 
 Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando 
exposição ao fogo, conforme NBR 15421:2006; 
 Outros que, eventualmente, podem ocorrer em casos especiais. 
Nas verificações relativas ao estado limite de esgotamento da capacidade resistente, pode-se 
admitir redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptação 
plástica da estrutura. Pode-se admitir em geral que as verificações para as solicitações normais e 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 31 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
tangenciais sejam feitas como se as mesmas atuassem separadamente. Em determinadas situações, 
indicadas explicitamente pela NBR 6118:2014, a interação entre elas deve ser considerada. 
Em construções especiais, pode ser necessário se verificar a segurança em relação a outros 
estados limites últimos que podem ocorrer inclusive durante as fases executivas. 
O esgotamento da capacidade resistente da estrutura pode ter diversas causas, a saber: 
 ruptura de seções críticas da estrutura, ou seja, incapacidade dessas seções de absorver as 
solicitações atuantes; 
 perda total ou parcial de estabilidade da estrutura, ou seja, incapacidade da mesma de 
absorver as reações de apoio ou forças de ligação dos vínculos internos; 
 formação de um mecanismo de colapso após a plastificação de uma ou mais seções da 
estrutura; 
 deterioração por fadiga. 
1.10.2 Estados Limites de serviço 
Os estados limites de serviço ou de utilização caracterizam a impossibilidade de utilização da 
estrutura, mesmo que não tenha sido esgotada a capacidade resistente da mesma, tanto em relação aos 
usuários quanto em relação às maquinas e aos equipamentos utilizados. Várias causas podem 
determinar um estado tal que se vejam comprometidas as condições de conforto, durabilidade e 
utilização funcional da estrutura, a saber: 
 aparecimento de deformações excessivas para uma utilização normal da estrutura (ELS-
DEF). Deformações excessivas podem causar mal funcionamento de maquinário e podem se 
visualmente, podendo causar danos aos elementos estruturais ou a redistribuição das forças. 
No caso de telhados, por exemplo, as deformações devido ao peso da água podem levar a 
deformações maiores, aumentando a profundidade da lâmina de água, e daí por diante até 
que a capacidade do telhado se exceda; 
 fissuração excessiva nas mesmas condições (ELS-F e ELS-W). Embora o concreto possa 
fissurar antes da ação da armadura, é possível detalhar a armadura par minimizar as larguras 
das fissuras. As fissurações excessivas levam a vazamentos pelo concreto, corrosão da 
armadura e gradual deterioração do concreto, além do que, as fissuras não são esteticamente 
atrativas. Os estados limites relativos à fissuração excessiva se dividem em estado limite de 
32 Curso deConcreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
formação de fissuras (ELS-F) e estado limite de abertura de fissuras (ELS-W). A 
necessidade de verificação de um ou de outro estado limite depende do tipo de estrutura 
projetada. Em estruturas de concreto armado deve-se verificar ao estado limite de abertura de 
fissuras; 
 vibração excessiva (ELS-VE). Vibrações verticais de pisos e vibrações laterais de prédios 
altos podem perturbar o usuário. Em prédios de concreto armado, as vibrações são um raro 
problema; 
 Em construções especiais, pode ser necessário verificar a segurança em relação a outros 
estados limites, definidos ou não na norma, como as estruturas protendidas, que devem ser 
verificadas ainda quanto ao estado limite de descompressão (ELS-D), onde a tensão normal 
deve ser nula em um ou mais pontos da seção transversal verificada, e o estado limite de 
compressão excessiva (ELS-CE), onde as tensões de compressão atingem o limite 
convencional estabelecido. 
 existência de danos indesejáveis como corrosão etc.; 
Os estados limites relativos à fissuração inaceitável se dividem em estado limite de formação de 
fissuras (ELS-F) e estado limite de abertura de fissuras (ELS-W). A necessidade de verificação de um 
ou de outro estado limite depende do tipo de estrutura projetada. Estruturas de concreto armado devem 
ser verificadas em relação ao estado limite de abertura de fissuras. Estruturas protendidas devem ser 
verificadas ainda em relação ao estado limite de descompressão (ELS-D), onde a tensão normal deve 
ser nula em um ou mais pontos da seção transversal verificada. Essas estruturas também devem ser 
verificadas em relação ao estado limite de compressão excessiva (ELS-CE), onde as tensões de 
compressão atingem o limite convencional estabelecido. 
1.10.3 Estados limites especiais 
Essa classe de estados limites envolvem danos á estrutura ou ruptura da mesma devido ás 
condições ou carregamentos anormais e incluem: 
 danos ou colapso em grandes terremotos; 
 efeitos estruturais do fogo, explosões ou colisões veiculares; 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 33 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 efeitos estruturais de corrosão ou deterioração, particularmente quando exposto a 
componentes de gelo; 
 instabilidade física ou química de longo prazo. 
1.11 AÇÕES 
As ações F que determinam as solicitações S podem ser classificadas em diretas, indiretas e ter 
caráter permanente, variável ou excepcional. 
1.11.1 Ações diretas 
São forças efetivamente aplicadas à estrutura, que podem ser desmembradas conforme sua 
atuação ao longo do tempo em permanentes Fg, acidentais Fq ou excepcionais. 
1.11.2 Cargas permanentes 
São constituídas pelo peso próprio da estrutura, por sobrecargas fixas, determinadas para cada 
caso específico, e pelos empuxos permanentes de terra e de outros materiais granulosos quando os 
mesmos não forem removidos. 
São considerados concretos com massa específica normal aqueles que depois de secos em 
estufa apresentam massa específica entre 2.000 kg/m
3
 e 2.800 kg/m
3
. Para a estimativa do peso próprio 
da estrutura , nos casos em que for conhecida a massa específica real, a NBR 6118:2014 permite que 
se adote os valores 2.400 kg/m
3
 para concreto simples e de 2.500 kg/m
3
 para concreto armado. Quando 
a massa específica real do concreto utilizado for conhecida, pode-se considerar a massa específica do 
concreto armado como a do concreto simples acrescida de um valor entre 100 kg/m
3
 e 150 kg/m
3
. 
Concretos especiais devem ter sua massa específica determinada experimentalmente conforme as 
prescrições da NBR 12655. 
As massas específicas dos materiais de construção correntes, necessárias para o cálculo do peso 
dos elementos estruturais fixos, podem ser avaliadas com base nos valores indicados na NBR 6120. Os 
pesos de instalações permanentes devem são considerados com os valores nominais indicados pelos 
respectivos fornecedores. 
34 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
1.11.3 Cargas acidentais 
As cargas acidentais são prescritas pela NBR 6120 no caso de edificações usuais e pelas 
NBR 7188 e NBR 7189 no caso de estruturas sujeitas a carregamento móvel e devem ser dispostas nas 
posições mais desfavoráveis para o elemento estudado. São exemplos de cargas acidentais: 
 as cargas verticais de uso da construção; 
 as cargas móveis, com a consideração do impacto vertical; 
 as forças resultantes de impacto lateral; 
 a força longitudinal devida à frenagem ou à aceleração; 
 a força centrífuga. 
1.11.4 Ação do vento 
A NBR 6118:2014 determina a obrigatoriedade de se considerar a ação do vento. Os esforços 
devidos a essa ação devem ser determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123, sendo 
permitido o emprego de regras simplificadoras previstas em normas brasileiras específicas. 
1.11.5 Ação da água 
A ação da água deve ser considerada no dimensionamento de estruturas como reservatórios, 
tanques ou decantadores, ou ainda em estruturas em que a água da chuva possa ficar retida devido a 
deficiências de caimento ou de deformações da própria estrutura. No primeiro caso, deve-se considerar 
um nível d’água característico, que pode ser admitido como igual ao máximo compatível com o 
sistema de extravasão. No segundo caso, deve ser considerada uma lâmina ‘água correspondente ao 
nível de drenagem efetivamente garantido pela construção. 
1.11.6 Ações variáveis durante a construção 
Em algumas estruturas, a verificação da segurança da estrutura para a etapa relativa à obra 
acabada não garante a segurança durante a execução da mesma. Nesse caso, devem ser feitas 
verificações adicionais em relação as fases construtivas mais significativas e sua influência na fase 
final Em cada uma dessas fases, deve-se considerar as estruturas provisórias auxiliares com os 
respectivos pesos e as cargas acidentais de execução. 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 35 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
1.11.7 Ações indiretas 
São ações que redundam em deformações impostas à estrutura e são oriundas de efeitos de 
variação de temperatura, retração do concreto, fluência do concreto, recalques de apoio, imperfeições 
geométricas ou protensão. Algumas dessas ações, que não introduzem esforços em estruturas 
isostáticas, em estruturas hiperestáticas causam esforços, que são tanto maiores quanto maior for a 
rigidez da estrutura. 
1.11.8 Ações excepcionais 
São ações decorrentes de catástrofes como terremotos, incêndios, explosões etc., e por isso 
mesmo de ocorrência muito pouco provável. As ações excepcionais são aquelas que têm uma duração 
muita curta e uma probabilidade muito pequena de ocorrer durante a vida da construção, mas que 
devem ser consideradas no projeto de determinados tipos de estruturas. 
1.12 CRITÉRIOS DE SEGURANÇA 
O objetivo do dimensionamento de uma estrutura é se conciliar o menor custo possível com a 
garantia de que a mesma não atinja um estado limite. Para tanto deve-se levar em consideração a 
incerteza em relação à resistência dos materiais que compõem o concreto armado, a possibilidade de 
avaliação inexata das ações estimadas, e erros devido à introdução de hipóteses simplificadoras 
usualmente adotadas no processo de cálculo. Em função de estudos probabilísticos que levam em 
conta o controle de qualidade exercido no processo de confecção dos diversos materiais e a 
possibilidade de combinação das diversas ações, a NBR 6118:2014 estabelece valores para 
coeficientes de segurança para minoração da resistência dos materiais e para combinação das 
solicitações. 
1.12.1 Resistência 
Os valores característicos fk das resistências são aqueles que têm uma determinada 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido mais desfavorável em relação à segurança, em um 
lote de material. No dimensionamento das peças deconcreto armado os valores de resistência 
característicos devem ser minorados de um coeficiente m para obtenção das resistências de cálculo fd. 
36 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
m
k
d
f
f

 (1.22) 
No estado limite último devem ser adotados os coeficientes da Tabela (1.5). No caso de 
peças para as quais se preveja condições desfavoráveis de execução deve-se multiplicar o coeficiente 
c por 1,1. Essas condições desfavoráveis podem ser relativas, por exemplo, ao transporte do concreto, 
à utilização de adensamento manual ou a condições deficientes de concretagem por concentração de 
armadura. No caso de peças pré-moldadas e pré-fabricados, deve-se consultar a NBR 9062. 
Em obras de pequena importância, pode-se utilizar o aço CA-25, sem que seja necessário 
realizar o controle de qualidade estabelecido pela NBR 7480. Para tanto, deve-se multiplicar o 
coeficiente de segurança do aço s por 1,1. 
 
Tabela 1.5 – Valores dos coeficientes de minoração de resistência previstos pela NBR 6118:2014. 
Combinações 
Concreto 
( c ) 
Aço 
( s ) 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,00 
Os coeficientes de minoração expressam a incerteza sobre o resultado do processo de 
fabricação do material. Como o aço é um material homogêneo com processo de fabricação controlado, 
a incerteza sobre sua resistência característica é inferior à que há em relação ao concreto. Por isso, os 
coeficientes de minoração de resistência do aço empregados pela NBR 6118:2014 são inferiores aos do 
concreto. 
Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições desfavoráveis 
(por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por 
concentração de armadura), o coeficiente c deve ser multiplicado por 1,1. Admite-se, no caso de 
testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor de c por 1,1. Nas verificações relativas aos estados 
limites de serviço não é necessário minorar a resistência dos materiais, ou seja, m = 1,0. 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 37 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
1.12.2 Valores representativos das ações 
Os valores representativos das ações podem ser valores característicos, valores característicos 
nominais, valores reduzidos de combinação, valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de 
utilização e valores raros de utilização. 
1.12.3 Valores representativos para estados limites últimos 
a) Valores característicos 
Para as ações variáveis, correspondem a valores com 25% a 35% de probabilidade de serem 
ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. 
Os valores característicos das ações permanentes correspondem, para efeitos desfavoráveis, ao 
quantil de 95% da respectiva distribuição da probabilidade (valor característico superior) e ao quantil 
de 5% de suas distribuições (valor característico inferior) , para efeitos favoráveis nas estruturas. 
b) Valores característicos nominais 
São valores convencionalmente escolhidos que substituem as ações que não tenham sua 
variabilidade adequadamente expressa por distribuição de probabilidade como: sobrecarga em 
edifícios e cargas móvel em ponte. 
c) Valores reduzidos de combinação 
São valores empregados quando existem ações variáveis de diferentes naturezas e levam em 
conta que é muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas 
ou mais ações variáveis de natureza diferentes. 
d) Valores convencionais excepcionais 
São valores arbitrados estabelecidos por consenso entre proprietários da construção e as 
autoridades governamentais. 
1.12.4 Valores representativos para estados limites de serviço 
a) Valores reduzidos de utilização 
38 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Os valores reduzidos de utilização são determinados a partir dos valores característicos e 
são empregados na verificação da segurança decorrentes de ações que repetem muitas vezes e ações de 
longa duração. 
b) Valores raros de utilização 
Estes valores quantificam as ações que podem acarretar estados limites de serviço, mesmo 
que atuem com duração muito curta. 
 
1.12.5 Coeficientes de ponderação de solicitações 
Um estado limite é atingido devido a uma combinação das diversas ações que atuam na 
estrutura. Os coeficientes de majoração diferem entre si conforme se esteja dimensionando para um 
estado limite último ou para um estado limite de utilização. De forma geral, as ações podem agir no 
sentido favorável ou desfavorável em relação à segurança, de acordo com a combinação de solicitação 
em estudo. Quando a ação tende a aumentar a solicitação, diz-se que a mesma é favorável e emprega-
se a ela um coeficiente de majoração. No caso de uma ação que diminua a solicitação, a mesma é 
desfavorável e deve ser utilizado um coeficiente de minoração. 
O coeficiente f é composto por três parcelas: a primeira, f 1, considera a variabilidade das 
ações; a segunda, f 2, considera a probabilidade de ocorrência simultânea das ações; e a terceira, f 3, 
considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista 
das solicitações. 
321 ffff   (1.23) 
 
 
 
 
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 39 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Tabela 1.6 – Parcela ( f 1 f 3 ) do coeficiente f para combinações no estado limite último. 
 
Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) 
Recalque de 
apoio e retração 
Desf. Fav. Geral 
Tempo
rária 
Desf. Fav. Desf. Fav. 
Normais 1,4 0,9 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0,0 
Especiais ou de construção 1,3 0,9 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0,0 
Excepcionais 1,2 0,9 1,0 0,0 1,2 0,9 0,0 0,0 
 
A Tabela 1.6 apresenta a parcela ( f 1 f 3 ) do coeficiente de ponderação para as ações 
prescritos pela NBR 6118:2014 para combinações relativas ao estado limite último. Esses valores 
podem ser modificados em casos especiais, de acordo com a NBR 8681. Para combinações relativas 
aos estados limites de utilização, adota-se f 1 f 3 = 1. 
Nos casos em que são previstas mais de uma ação variável, deve-se levar em conta a probabilidade 
de sua ocorrência simultânea. Para a ação com maior probabilidade de ocorrência, dita principal, 
adota-se f 2 = 1. Para as cargas secundárias, utiliza-se o coeficiente de ponderação da Tabela 1.7. Nas 
verificações relativas aos estados limites últimos, f 2 = 0. Nas verificações relativas aos estados 
limites de utilização, adota-se: 
 f 2 = 1, para as combinações raras; 
 f 2 = 1, para as combinações freqüentes; 
 f 2 = 2, para as combinações quase permanentes. 
É totalmente desprovida de sentido a verificação dos estados limites de utilização para solicitações 
devidas às ações excepcionais, uma vez que além de tais ações terem pouquíssima probabilidade de 
ocorrência, nesses casos torna-se irrelevante garantir condições de conforto e durabilidade, bastando 
garantir as condições de segurança à ruptura. 
40 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Tabela 1.7 – Coeficiente γf 2 para ponderação das ações variáveis. 
Ações 0 1
(1)
 2 
Cargas acidentais de edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que 
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,5 0,4 0,3 
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento 
 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0,0 
Temperatura 
 
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
(1)
 Nos casos de pontes e principalmente de problemas de fadiga, consultaro capítulo 23 da NBR 6118:2003 
 
Exemplo 1: 
Nas estruturas usuais de edifícios residenciais e comerciais - exceto indústrias, depósitos e 
congêneres - devem ser verificadas pelo menos duas combinações de carregamento: 
  gkk2qk1qgkgkd F6,02,1F5,0F4,1F2,1F4,1F   (1.16) 
onde, 
combinação 1: Fgk – cargas permanentes 
 Fq1k – vento 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 41 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 Fq2k – carga acidental 
 Fgk – efeito da temperatura 
combinação 2: Fgk – cargas permanentes 
 Fq1k – carga acidental 
 Fq2k – vento 
 Fgk – efeito da temperatura 
Nos edifícios com nós pouco deslocáveis, ou seja, naqueles em que os efeitos de segunda 
ordem sejam desprezíveis, permite-se substituir essas duas combinações por apenas uma. 
  gkwkqkgkgkd FFFFFF  6,02,18,04,12,14,1  (1.17) 
onde, 
Fqk – carga acidental 
Fwk – vento 
 
Exemplo 2: 
Nos projetos de bibliotecas, arquivos, oficinas e estacionamentos, deve-se verificar pelo menos 
duas combinações: 
combinação 1 
  gkkqkqgkgkd FFFFFF  6,02,18,04,12,14,1 21  (1.18) 
onde, 
Fgk – cargas permanentes 
Fq1k – vento 
Fq2k – carga acidental 
42 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Fgk – efeito da temperatura 
combinação 2 
  gkkqkqgkgkd FFFFFF  6,02,16,04,12,14,1 21  (1.19) 
onde, 
Fgk – cargas permanentes 
Fq1k – carga acidental 
Fq2k – vento 
Fgk – efeito da temperatura 
Exemplo 3: 
a) combinação quase permanente: ELS deformação excessiva 
 
 

m
1i
n
1j
k,qjj2k,gid FFF 
- edifício residencial 
qkk1qgkgkd F3,0F3,0FFF   
b) combinação frequente: ELS abertura de fissuras 
 
 

m
1i
n
2j
k,qjj2k,1qj1k,gid FFFF 
- edifício residencial 
acidental carga F ,F3,0F4,0FFF q1qkk1qgkgkd   
 vento F , F3,0F3,0F3,0FFF q1qkk1qk2qgkgkd   
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 43 
D.L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
1.13 CONDIÇÕES DE SEGURANÇA 
O princípio básico da verificação de segurança das estruturas de concreto estabelece que as 
resistências devem ser maiores ou no máximo iguais às solicitações. As condições de segurança devem 
ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos previstos para o tipo de 
construção considerada. 
dd SR  (1.20) 
Onde, 
Rd – são os valores de cálculo dos esforços resistentes; 
Sd – são os valores de cálculo dos esforços solicitantes; 
Os esforços resistentes são função dos valores de cálculo das propriedades dos materiais, fd, 
enquanto os esforços atuantes são função dos valores de cálculo das ações, Fd. Os esforços resistentes 
e atuantes são função ainda de parâmetros que descrevem a geometria da estrutura e de constantes que 
representam as restrições pré-estabelecidas de projeto, para as resistências e para as solicitações, 
respectivamente. 
Os valores de cálculo dos esforços resistentes devem ser determinados a partir dos valores de 
cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo. As 
solicitações de cálculo são calculadas para a combinação de ações considerada, de acordo com a 
análise estrutural. As Tabelas 1.8 e 1.9 apresentam um resumo das combinações a serem consideradas 
em projeto para os estados limites últimos e de serviço, respectivamente.. 
Os critérios de segurança não dizem respeito apenas às condições analíticas, a serem observadas 
em projeto. Na fase de construção devem ser tomados cuidados especiais em relação a: 
 critérios de detalhamento, conforme previsto pela NBR 6118:2014; 
 controle dos materiais conforme normas específicas, especialmente a NBR 12655; 
44 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 controle de execução da obra conforme a norma específica brasileira, ainda em fase de 
elaboração. 
A NBR 6118:2014 permite que o cálculo das solicitações seja feito tanto em regime elástico quanto 
em regime elasto-plástico. Embora o segundo represente melhor o comportamento da estrutura, 
permitindo um dimensionamento mais econômico, o primeiro é ainda hoje muito mais empregado 
devido à maior simplicidade dos modelos e métodos de cálculo. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 45 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Tabela 1.8 – Combinações de solicitações para os estados limites últimos 
Combinações 
últimas 
Normais 
Esgotamento da capacidade resistente para 
peças de concreto armado 
qkq
n
qjkjkqqgkggkgd FFFFFF   0
2
01 







  
Esgotamento da capacidade resistente para 
peças de concreto protendido 
Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão como 
carregamento externo com os valores Pkmáx ou Pkmín, caso ela seja desfavorável 
ou favorável, respectivamente. 
Perda de equilíbrio como corpo rígido 
   
mínsqsnkqnkgnnd
dskgssd
ndsd
QQGF
RGF
FsFs
.




 
Especiais ou de construção 
qkq
n
qjkjkqqgkggkgd FFFFFF   0
2
01 







  
Excepcionais 
qkq
n
qjkkqqexcqgkggkgd FFFFFFF   0
2
011 







  
46 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última 
Fgk representa as ações permanentes diretas 
Fsk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fgk e variáveis como a temperatura Fqk 
Fqk representa as ações variáveis diretas, nas quais Fq1k é a principal 
g, g, q, q de acordo com a tabela (1.2) 
0j e 0 de acordo com a tabela (1.3) 
Fsd representa as ações estabilizantes 
Fnd representa as ações não estabilizantes 
Gsk é a ação permanente estabilizante 
Rd é oesforço resistente, considerado como estabilizante, quando houver 
Gnk é a ação permanente instabilizante 



m
j
jkjknk QQQ
2
01
 
Q1k é a ação variável instabilizante considerada como principal 
0j Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido 
Qs,mín é a ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 
(1)
 No caso geral, deverão ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de g = 0,9 
No caso de estruturas usuais de edifícios, essas combinações que consideram g reduzido (0,9) não precisam ser consideradas 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 47 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
Tabela 1.9– Combinações de solicitações para os estados limites de serviço 
Combinações 
de serviço 
Combinações quase-
permanentes de serviço (CQP) 
Todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase-
permanentes 2 Fqk 


n
j
qjkj
m
i
gikserd FFF
1
2
1
,
 
Combinações freqüentes de 
serviço (CF) 
A ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente 1 Fq1k 
e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase-
permanentes 2 Fqk 



n
j
qjkjkq
m
i
gikserd FFFF
2
211
1
,
 
Combinações raras de serviço 
(CR) 
A ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico 
Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores 
freqüentes 1 Fqk 



n
j
qjkjkq
m
i
gikserd FFFF
2
11
1
,
 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinação de serviço 
Fq1k representa o valor característico das ações variáveis principais diretas 
1 representa o fator de redução de combinação freqüente para o ELS 
2 representa o fator de redução de combinação quase-permanente para o ELS 
48 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
O conceito de segurança em estruturas, costuma ter dois aspectos. O primeiro aspecto é 
qualitativo, quando diz-se que a possui ou não segurança. O segundoé quantitativo, quando procura-se 
determinar valor a esta segurança. 
Analisando o primeiro aspecto, conclui-se que uma estrutura segura é aquela capaz de suportar 
todas as ações de solicitação, desde a faz da construção até o final da vida útil. Quanto a vida útil, 
exceto quando claramente definida pelo proprietário da obra, as estruturas devem ser projetadas para 
uma vida útil de pelo menos 50 anos. 
Quanto ao segundo aspecto, o assunto torna-se mais complexo. Para esta quantificação diversos 
métodos baseados em hipóteses determinísticos, ou seja, para um mesmo corpo, com as mesmas 
vinculações, a aplicação de determinada solicitação, se pudesse ser repetida diversas vezes, produziria 
as mesmas deformações e deslocamentos. A seguir são apresentados diversos métodos que são 
adotados com a finalidade de estabelecer um número que sirva como medida da segurança empregada. 
1.14 MÉTODO DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA INTERNO (MÉTODO 
DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS) 
A introdução da segurança estrutural, por este método, é feita através do coeficiente de 
segurança interno i , impondo-se que as maiores tensões que aparecem pela utilização da estrutura 
e , não ultrapassem o valor das correspondentes tensões de ruptura ou escoamento dos materiais 
max , divididas por i maior que 1. O cociente da tensão de ruptura, ou de escoamento, por i , 
recebe o nome de tensão admissíveis. 
i
e


 max (1.21) 
A determinação desse coeficiente de segurança interno é empírica, sendo os seus valores 
justificados pelos resultados disponíveis de estruturas conhecidas com a sua utilização. 
 
Exemplo 1.4: 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 49 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Determine a máxima força P que pode ser suportada pela viga da Figura 1.15 que possui 
seção constante, e = 18 kN/cm², e coeficiente de segurança interno i = 2. 
Figura 1.15 – Exemplo 1.4. 
 
O momento máximo, bem como as tensões máximas surgem na seção central do meio do vão, 
cujos valores são: 
PP
hb
P
.0125,0.
60.20.4
6.600
.
6
.
4
.
22max


 
A condição de segurança do método permite escrever: 
i
e


 max 
Ou seja: 
2
18
.0125,0 P 
Portanto: 
720P kN 
1.14.1 Método do coeficiente de segurança externo 
Se uma estrutura fosse de resposta linear durante toda a sua vida útil, seria possível dar uma 
interpretação externa ao coeficiente de segurança interno i , que passaria a ser um coeficiente que, ao 
P 
6 m 
3 m 
b = 20 cm 
h
 =
 6
0
 c
m
 
50 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
multiplicar o carregamento de utilização da estrutura q , definiria um carregamento proporcional ao 
mesmo rupturaq , que produziria a ruptura equação (1.22). 
e
rupturaq
q

 (1.22) 
1.14.2 Métodos probabilísticos 
Os métodos probabilísticos para verificação da segurança são baseados na probabilidade de 
ruína. Por exemplo: 
 a probabilidade de morrer em acidente automobilístico é de 0,7%; 
 a probabilidade de morrer em acidente aéreo voando 10 horas por ano ou morrer em 
acidente ferroviário realizando 300 viagens por ano é de 0,2%; 
 a probabilidade de uma pessoa saudável morrer no fim do dia é de 10-5. 
Os valores da probabilidade de ruína (  ) são fixado pelas normas e embutido nos parâmetros 
especificados, levando em consideração aspectos técnicos, éticos e econômicos. Em geral adota-se  
entre 10
-3
 e 10
-6
. Na Tabela Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no 
documento..1 tem-se a probabilidade de falha aceitas pelo CEB90
(Erro! Indicador não definido.)
. 
a) Aspectos técnicos: 
Imperfeito conhecimento dos fatores que influem na segurança das estruturas, como: ações, 
solicitações, resistências, geometria da estrutura etc. Neste contesto as pesquisas ainda são recentes e 
não podem determinar com precisão a probabilidade de ruína, constituindo assim, em uma das maiores 
dificuldades do método. 
b) Aspectos éticos: 
O engenheiro deve definir as probabilidades de ruína em cada situação, levando em conta não 
só os riscos humanos e materiais envolvidos, mas também o fato que o risco é inevitável. Distinguir a 
caso de acidentes, aqueles devidos a erros de projeto ou execução, daqueles devidos à aleatoriedade 
inevitável dos fatores de que a segurança depende. 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 51 
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S. R. M. ALMEIDA 
c) Aspectos econômicos: 
Fixar a probabilidade de ruína levando em conta os custos da construção e o montante dos danos 
decorrentes de uma eventual ruína da mesma. 
 
Tabela Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..1 – Probabilidade de falha 
implicitamente aceitas (CEB90). 
Número de pessoas 
atingidas 
Conseqüências 
econômicas 
pequenas 
Conseqüências 
econômicas 
graves 
Conseqüências 
econômicas 
muito graves 
Pequeno 10
-3
 10
-4
 10
-5
 
Médio 10
-4
 10
-5
 10
-6
 
Grande 10
-5
 10
-6
 10
-7
 
 
Exemplo 1.6: 
Seja o pilar da Figura 1.16, de seção transversal constante, submetido a uma força P = 
3000 kN. Admitindo e = 30 kN/cm² e E = 2.104 kN/cm², calcular: 
Figura 1.16 – Exemplo 1.6. 
 
 
40 cm 
10 cm 
 = 2 m 
52 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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a) Coeficiente de segurança interno ( i ): 
5,7
40.10
3000
max 
A
P
 kN/cm² 
4
5,7
30
max



 ei 
b) Coeficiente de segurança externo ( e ): 
Se a estrutura mantivesse resposta linear até a ruptura, i = e = 4. No entanto, ao atingir 
a carga de flambagem, as tensões internas crescem muito mais que o carregamento, sendo a ruptura 
atingida pouco superior à carga de flambagem ( fP ). 
4112
200.4.12
10.40.10.2.
.4
.
2
342
2
2



EI
Pf kN 
37,1
3000
4112

P
Pf
i 
c) Probabilidade de ruína admitindo que apenas E seja uma variável aleatória com 
coeficiente de variação de 15% (adotar curva de distribuição normal): 
A probabilidade de ruína será a probabilidade de se ter  PPPP f  , uma vez que 
como e é determinado, e como já foi verificado no item b, a ruptura deverá ocorrer por flambagem. 
4
2
2
2
2
10.46,13000.
.
.4
.4
.
3000 
I
E
EI
PP f

 

 kN/cm² 
Logo, basta  410.46,1EP 
 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 53 
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Curva normal reduzida: 
 
s
FxF m 
44 10.3,010.2.15,0.  m
mm
Es
E
s
X
s
 kN/cm² 
O valor de  corresponde a E = 1,46.104 é: 
8,1
10.3,0
10.210.46,1
4
44
1 




s
EE m 
De uma tabela de áreas da distribuição normal retira-se: 
  0359,09641,011 1  F 
Que é a probabilidade de E tornar-se menor ou igual a 
410.46,1 kN/cm², o que faria 
3000fP kN. 
Assim, conclui-se que a probabilidade de ruína é de 3,59% 
d) Qual o valor da força que pode ser aplicada ao pilar admitindo-se uma 
probabilidade de ruína de 10
-3
 (0,1%)? 
  09,3110 11
3   FP 
444
1 10.07,110.3,0.09,310.2.  sEE m  kN/cm² 
2206
200.4.12
10.40.10.07,1.
2
342


P kN  86,1e e  44,5i 
 1 
f() 
1-F() 
54 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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1.14.3 Métodos Semi-Probabialistícos 
No método semi-probabilístico, continua-se com número empírico, baseados na tradição, mas 
se introduzem dados estatísticos e conceitos probabilístico, na medida do possível. É o melhor que se 
tem condições de aplicar atualmente, sendo uma situação transitória, até se conseguir maior 
aproximação com métodos probabilístico puro. 
Sendo Rk e Sk os valores característicos da resistência e da solicitação, respectivamente, e Rd e 
Sd os seus valores de cálculo, m o coeficiente de minoração das resistências e f o coeficiente de 
majoração das solicitações. O método pode ser representado pela Figura 1.17. 
Figura 1.17 – Esquema do método dos coeficientes