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Apostila Concreto_2019 (1)

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"a" representa o caso de tração uniforme, correspondente à aplicação de uma carga de 
tração no centro de gravidade da seção. Nesse caso, a seção se deforma uniformemente e, como não se 
considera a resistência do concreto à tração, o estado limite último é atingido quando a deformação na 
armadura atinge 1,0 %. 
Quando à carga de tração aplicada ao centro de gravidade da seção somam-se os efeitos de um 
momento fletor, a deformação na seção deixa de ser uniforme. Nos casos de pequena excentricidade, 
ou seja, nos casos em que a relação entre o momento fletor e a carga aplicada normal seja pequena, a 
seção estará inteiramente tracionadada, ainda que de forma não uniforme. A ruptura se dará quando a 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 251 
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deformação na armadura mais tracionada atingir 1,0 %. A deformação nas demais fibras da seção 
podem atingir quaisquer valores entre 0 e 1,0 %. Tal situação corresponde ao domínio 1 da NBR 6118. 
Nos casos de grande excentricidade, a ação do momento fletor combinada a uma força normal 
de tração ou de compressão provoca compressão em uma extremidade da seção e tração na outra 
extremidade. A ruptura pode se dar tanto pelo escoamento do aço, quanto pelo esmagamento do 
concreto à compressão. Os casos de ruptura apenas por escoamento do aço correspondem ao domínio 2 
, onde a deformação na armadura tracionada é 1,0 %. A fibra mais comprimida pode ter deformação 
entre 0 e 0,35 %. 
Os casos em que se atinge simultaneamente o escoamento do aço e a ruptura do concreto 
encontram-se representados no domínio 3. A deformação na fibra mais comprimida é 0,35 %, 
enquanto que a deformação na armadura tracionada pode variar entre yd e 1,0 %. 
A ruptura também pode ser caracterizada apenas pelo esmagamento do concreto, 
correspondente ao domínio 4. Nesse caso, a deformação na fibra mais comprimida corresponde a 
0,35 %, enquanto a deformação na armadura tracionada varia entre 0 eyd. Nos casos de flexo-
compressão, a presença de um momento fletor de grande intensidade (casos de grande excentricidade) 
correspondem aos domínios 2, 3 e 4, já apresentados, onde determinadas fibras encontram-se 
comprimidas enquanto que determinadas fibras encontram-se tracionadas. 
Os casos de compressão com pequena excentricidade correspondem aos domínios 4a e 5, onde 
toda a armadura encontra-se comprimida. O caso em que a seção encontra-se totalmente comprimida 
corresponde ao domínio 5, apresentando características especiais em relação aos demais domínios. 
Nesse caso, a deformação na fibra situada a 3h/7 da fibra mais comprimida corresponde a 0,2 %, 
podendo as deformações nas demais fibras variar entre 0 e 0,35 %. Observa-se assim, que a ruptura 
pode ser atingida sem que alguma fibra apresente a deformação máxima de 0,35 %. No limite extremo 
do domínio 5, correspondente à reta b da figura (7.1), a deformação da seção é uniforme igual a 0,2 %. 
Tal fato pode ser explicado considerando-se que a ruptura é atingida para o menor trabalho de 
deformação. Considerando-se que o valor último da resistência do concreto (0,85 fcd) é atingido a partir 
da deformação de 0,2 %, o menor trabalho de deformação para a seção uniformemente comprimida se 
dará para uma de formação de 0,2 % na fibra situada a 3h/7 da fibra mais comprimida . 
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7.2 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (SEÇÕES RETANGULARES) 
7.2.1 TRAÇÃO AXIAL OU UNIFORME 
Para a reta a da figura (7.1), toda a seção, se encontra sob deformação uniforme igual a 10%o e 
a tensão na armadura correspondente a essa deformação tem valor fyd. Assim, como os esforços 
resistentes devem ser iguais aos atuantes tem-se: 
ydsd fAN  (7.1) 
onde, nesse caso, As corresponde à área de aço total na seção. 
7.2.2 Tração reta com pequena excentricidade 
Os casos de pequena excentricidade correspondem ao domínio 1, ou seja, àqueles em que toda 
a seção encontra-se tracionada. 
dh
d”
d’
As2
As1
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs1d
Rs2d
s1d
s2d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES 
Figura 7.2 - Tração com pequena excentricidade. 
 
Considerando-se uma seção retangular de altura "h" e estabelecendo-se o equilíbrio 
momentos em relação à armadura superior, tem-se, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 253 
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 
"
"5,0
1
dd
dhe
NR dds


 (7.2) 
ou seja, 
yd
ds
s
f
R
A 11  (7.3) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura inferior tem-se, 
 
"
5,0
2
dd
ehd
NR dds


 (7.4) 
ou seja, 
yd
ds
s
f
R
A 22  (7.5) 
Observa-se que, na realidade a posição da linha neutra pode assumir um valor qualquer, isto é 
existem infinitas configurações que satisfazem o equilíbrio de forças e momentos. Assim, toma-se 
aquelas configurações para as quais se tem s2d  yd , ou seja, s2d = fyd em (7.5). 
Para efeito de dimensionamento torna-se interessante estabelecer o limite entre flexo-tração de 
pequena e de grande excentricidade. Nos casos de pequena excentricidade a armadura As2 é necessária 
e encontra-se tracionada. Assim, basta fazer na expressão (7.5), ou seja, 
d h e  0 5 0, (7.6) 
Assim, considera-se pequena excentricidade quando, (obs: válido se d’ = d’’) 
e
c f

2
 (7.7) 
onde, cf é a distância entre as armaduras. 
254 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
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7.2.3 FLEXO-TRAÇÃO RETA DE GRANDE EXCENTRICIDADE 
O caso de flexo-tração com grande excentricidade pode ser entendido transferindo-se a força 
normal de tração para a posição da armadura tracionada, conforme mostra a figura (7.3). Assim, a 
seção deve ser dimensionada para um momento Msd conforme a expressão (7.8). 
 M N e h dsd d  0 5, (7.8) 
Figura 7.3 - Caso de grande excentricidade. 
dh
d’
As
Nd
e
Nd
Msd
 
7.2.3.1 Domínios 2 e 3 
Para dimensionamento nos domínios 2 ou 3, as resultantes de tensões podem ser representadas 
conforme a figura (7.4). A resultante de tensões na armadura será, 
R f b xcd cd w 0 85 0 8, , (7.9) 
Figura 7.4 - Resultantes de tensões. 
 
0,8 X
0,85 fcd
d – 0,4 X
Rcd
Rsd
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 255 
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A equação da linha neutra pode ser obtida como no caso de flexão simples, fazendo-se o 
equilíbrio de tensões em relação à armadura. Uma vez que a força normal foi transferida para a posição 
da armadura, a mesma não terá influência sobre essa equação. Assim, calcula-se a posição da linha 
neutra pela expressão, 
    






x
d
1 25 1 1
16
0 68
,
,
,
 (7.10) 
e o braço de alavanca, 
 4,01
d
z
 (7.11) 
onde, 
2dbf
M
wcd
d (7.12) 
Por equilíbrio de forças, 
N R Rd sd cd  (7.13) 
e lembrando que, por equilíbrio de momentos em relação à armadura, 
M R z R dsd cd cd   (7.14) 
Assim, tem-se 
yd
d
yd
sd
f
N
fd
M
As 

 (7.15) 
A primeira parcela da equação (7.15) corresponde à expressão já deduzida para flexão simples, 
bastando, para dimensionamento à flexão composta normal, acrescentar a segunda parcela, 
correspondente ao esforço normal. 
256 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
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7.2.3.2 Domínio 4 
Da mesma forma que no caso de flexão simples, procura-se evitar o dimensionamento no 
domínio 4, optando-se por dimensionar a seção no limite dos domínios 3 e 4, acrescentando-se uma 
armadura de compressão. Por raciocínio análogo ao empregado no item (2.3.1), pode-se empregar as 
mesmas expressões já deduzidas para o caso de flexão simples, bastando acrescentar o esforço normal 
à equação de equilíbrio de forças. Assim, tem-se, 
2
wcdLd1 dbfM  (7.16) 
d1sdd2 MMM  (7.17) 
A resultante no concreto será então, 
R f b dcd cd w L 0 68,  (7.18) 
Assim, a armadura de tração pode ser calculada por.

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