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Apostila Concreto_2019 (1)

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diabásio; αE = 1,0 para granito e gnaisse; αE = 0,9 para calári; αE = 
0,7 para arenito. 
O módulo de elasticidade inicial numa idade inferior ou igual a 7 dias pode também ser 
avaliado através desta equação, substituindo-se fck por fckj. 
Nas análises elásticas, deve-se utilizar o módulo de elasticidade secante, especialmente para 
determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, pela equação (1.5), 
onde o valor de αi é dado pela equação (1.6). 
ciics EE  (1.5) 
0,1
80
2,08,0  cki
f
 (1.6) 
A Tabela 1.2 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
16 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Tabela 1.2- Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como 
agregado graúdo), Tabela 8.1 da NRB 6118:2014. 
Classe de 
resistência 
C20 C25 C30 C45 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs(GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, especialmente 
da natureza dos agregados. Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção 
transversal, pode ser adotado o módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo 
de deformação secante Eci. No cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo 
de elasticidade inicial Eci. O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode ser 
avaliado pelas equações (1.7a e 1.7b). 
  ci
ck
ckj
ci E
f
f
tE
5,0








 para fck de 20 MPa a 50 MPa (1.7a) 
  ci
ck
ckj
ci E
f
f
tE
3,0








 para fck de 55 MPa a 90 MPa (1.7b) 
Onde Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 
28 dias; fckj é a resistência característica à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar 
o módulo de elasticidade, em megapascal (MPa). 
Permite-se adotar um módulo único para tração e compressão, correspondente ao módulo 
secante (1.3), na avaliação do comportamento de uma peça ou seção de concreto armado. Já na 
avaliação do comportamento global da estrutura, deve-se utilizar o módulo de elasticidade inicial (1.5a 
e 1.5b). 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 17 
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O coeficiente de deformação transversal do concreto, ν, chamado coeficiente de Poisson, sofre 
pequena variação com a resistência à compressão. A NBR 6118:2014 prescreve o valor médio de 
ν= 0,2, para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct. O módulo 
de elasticidade transversal, Gc, pode ser tomado como Gc = Ecs/2,4. 
1.5.3 Diagrama tensão x deformação simplificado 
Em ensaios realizados por E. Grasper para concretos com fck variados observou-se que a tensão 
máxima corresponde a deformações da ordem de 0,2 % e que a ruptura é atingida para uma 
deformação em torno de 0,35 %, isso até concretos de classe C50. Assim, as modernas normas para 
projeto de estruturas de concreto, inclusive a NBR 6118:2014, passaram a adotar o diagrama 
simplificado da Figura 1.7 como base para o dimensionamento de concreto armado. 
Figura 1.7 - Diagrama tensão x deformação simplificado do concreto em compressão (Figura 8.2 da NBR 6118:2014). 
 
c 
c c2 
 
cu 
u 
0,85 fcd 
A B 
O 
D C 
αfcd 
 
Segundo o diagrama, o trecho inicial AO ou OC comporta-se como uma parábola cuja equação 
(1.8) é válida para c entre 0 e c2. Posteriormente a tensão fica constante já que o trecho OB ou OD é 
dado por uma reta, paralela ao eixo das deformações, válida para c entre c2 e cu. O que muda do 
trcho OB para OD é a classe do concreto, onde o OC é para concretos até classes C50 e OD para 
qualquer classe. 















n
002,0
11 ccdc f

 (1.8) 
O valor de alfa é dado pela equação 1.9a e 1.9b, dependendo do fck do concreto. 
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85,0 , para concreto até classe C50 (1.9a) 
 





 

200
50
185,0 ck
f
 , para concreto de classe C50 até C90 (1.9b) 
Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2(deformação específica de encurtamento do 
concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do concreto na 
ruptura) são definidos na Tabela 1.3: 
Tabela 1.3 - Valores a serem adotados para os parâmetros εc2 e εcu 
Concreto até classe C50 Concreto para classes maiores que C50 

c2
= 2,0 ‰ 
c2
= 2,0 ‰ + 0,085 ‰ (fck – 50)0,53 

cu
= 3,5 ‰ 
cu
.= 2,6 ‰ + 35 ‰[(90 – fck)/100]
4
 
n=2 n=1,4+23,4[(90- fck)/100]
4
 
 
Há varias outras expressões disponíveis na literatura que relacionam as tensões de compressão 
no concreto com a sua deformação. Por exemplo, Desayi e Krishnan
 
propuseram a equação 1.10 para 
representar o diagrama tensão versus deformação do concreto. 



























2
1
0
0
21
2





c
c
cmc f
 (1.10) 
O CEB90 adota uma outra relação tensão versus deformação para o concreto em compressão 
simples: 
  












21
2
k
k
f cmc (1.11) 
onde, 
cm
cc
f
E
k

 (1.12) 
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0

 c (1.13) 
1.5.4 Comportamento sob solicitações biaxiais 
Uma condição de tensão biaxial acontece se as tensões agirem somente em duas direções, isto 
é, as tensões agem em um plano e a terceira tensão, normal ao plano, é zero. Na Figura 1.8 apresenta-
se as combinações de tensões diretas de ruptura em duas direções, como encontrado por Kupfer, 
Hilsdorf e Rüsch. Estes pesquisadores concluíram que a resistência do concreto sujeito a compressão 
biaxial pode ser até 27% superior á resistência uniaxial. Para resistências biaxiais de compressão 
iguais, o acréscimo da resistência é de aproximadamente 16%. 
A menor resistência de tração biaxial é aproximadamente igual à resistência a tração uniaxial. 
Contudo, combinando carregamentos de tração e compressão, reduz-se ambas as resistências na 
ruptura. Segundo a NBR6118:ABNT/2014, estando o concreto submetido às tensões principais 
123   , deve-se ter ckf1 e 13 4  ckf , sendo as tensões de compressão consideradas 
positivas e as de tração negativas Figura 1.9. 
Figura 1.8 – Resistência do concreto a tensões normais combinadas biaxiais (estado plano de tensões). 
 
20 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 1 
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Figura 1.9 – Resistência no estado multiaxial de tensões (NBR6118:ABNT/2014). 
 
1.6 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES MECÂNICAS DO 
CONCRETO EM TRAÇÃO 
A resistência à tração do concreto pode ser determinada por meio de três ensaios diferentes: 
ensaio de tração axial (Figura 1.10-a), ensaio de compressão diametral (Figura 1.10-b) ou ensaio de 
flexão (Figura 1.10-c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 1.10 – Ensaios para determinação da resistência à tração. 
 
As normas NBR 7222 e NBR 12142 estabelecem formas de determinação da resistência à 
tração indireta, fct,sp, e da resistência à tração na flexão, fct,f, respectivamente. A resistência à tração 
direta, fct, pode ser considerada como 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f . Na falta de ensaios para determinação de fct,sp 
e de fct,f , a NBNBR 6118:2014 permite que se utilize a equação (1.14) para o cálculo da resistência à 
tração direta média, com valores em MPa para concretos até C50 e a equação (1.15) para concretos 
C50 até C90. 
d
P
f spct

2
, 
22 Curso