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Apostila Concreto_2019 (1)

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comum a necessidade de dimensionamento para diversas combinações 
de esforços, devendo a mesma distribuição de armadura apresentar esforços resistentes iguais ou 
superiores aos atuantes. Além disso, muitas vezes torna-se interessante, por motivos construtivos, a 
adoção de armaduras simétricas, o que não é possível com o emprego das expressões aqui deduzidas. 
Para o caso de flexo-compressão com pequena excentricidade e seção totalmente comprimida, deve-se 
obedecer as equações de equilíbrio, dadas por, 
dssdsswcdd AAhbfN 221185,0   (7.47) 
   "ddAd5,0dhbf85,0M d1s1swcdsd  (7.48) 
além disso, deve-se obedecer às equações de compatibilidade de deformações, 
264 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
0 014
7 3
1 2,
"x h x d x d
s d s d





 
 (7.49) 
Adicionalmente, introduz-se a condição, 
21 ss AA  (7.50) 
Tem-se portanto um sistema de 4 equações com as seguintes incógnitas: As = A's, s1d , s2d, 
e X. Trata-se, portanto, de um sistema determinado, de solução única, embora trabalhosa. No intuito de 
se facilitar a solução do problema, foram elaborados ábacos para diversos tipos de seção e de arranjo 
de cargas. Tais ábacos são confeccionados em função de variáveis adimensionais, a fim de possibilitar 
seu uso independente das dimensões da seção e da armadura. 
Assim, para consulta ao ábaco utiliza-se as variáveis, 
ccd
d
Af
N
85,0
 e 
hAf
M
ccd
d
85,0
 (7.51) 
e obtém-se como resposta a taxa mecânica de armadura, 
 
As f
f Ac
yd
cd
'
,0 85
 (7.52) 
o que fornece a área de aço necessária para resistir aos esforços atuantes. 
7.5 DETALHAMENTO 
O detalhamento de uma estrutura deve cobrir a necessidade de armadura ao longo de toda a 
peça. Considerando-se que a força na armadura é diretamente proporcional à força de tração na 
armadura, tem-se que essa condição será satisfeita se o detalhamento acompanhar o diagrama dessa 
força. No caso de flexão simples, o braço de alavanca “Z” praticamente não se altera em peças com 
seção constante. Pode-se então proceder o detalhamento dessas peças de forma a que o mesmo 
acompanhe o diagrama de momento fletor. 
O caso de flexão-composta reta com grande excentricidade exige algumas considerações 
adicionais em relação ao estudado para flexão composta normal. Nesse caso, a força de tração na 
armadura será dada por, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 265 
D. L.ARAÚJO 
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R R Nsd cd d  (7.53) 
conforme se tenha flexo-compressão ou flexo-tração reta. 
O detalhamento pode então acompanhar o diagrama de momentos Msd dado por, 
M M N esd d d s   (7.54) 
onde, 
Md - é o momento fletor de dimensionamento; 
es - é a excentricidade da força Nd em relação à armadura tracionada. 
Figura 7.8 - Diagrama para detalhamento à flexao composta reta. 
Md
Md
 
No mais, o detalhamento das peças seguem os preceitos estabelecidos pela NBR-
6118:2014. 
 
7.6 CASO GERAL DE FLEXÃO COMPOSTA 
Para o caso geral de dimensionamento à flexão composta, onde se tem uma seção de forma 
qualquer, com carga normal duplamente excêntrica, a linha neutra estará inclinada em relação aos 
eixos principais. Além disso, a inclinação da linha neutra não guarda qualquer relação com a direção 
do momento resultante. Como o dimensionamento é feito para o estado limite último, isto é, para os 
materiais, aço e concreto, em regime plástico, não é possível se aplicar o princípio da superposição dos 
266 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
efeitos. O problema tem que ser resolvido diretamente, através da aplicação das condições de 
equilíbrio estático e de compatibilidade de deformações. 
O processo de dimensionamento se dá, então, por tentativas. Arbitra-se um arranjo de 
cargas e uma posição inicial para a linha neutra. Para a configuração arbitrada. determina-se as 
deformações unitárias nos pontos da armadura para o estado limite último e, a partir daí, calcula-se a 
resultante em cada barra. Calcula-se, então os esforços resistentes, que devem ser comparados aos 
atuantes. A cada iteração varia-se a seção da armadura e a inclinação da linha neutra até que se obtenha 
um momento resistente compatível com o atuante. 
Figura 7.9 - Dimensionamento de uma seção qualquer. 
sd1
1
2
3 4
5 6
sd2
sd3
sd5
sd4
sd6
Rsd1
Rsd2Rsd3
Rsd5
Rsd4
Rsd6
cd
0,8 X
 
7.6.1 Emprego de ábacos para dimensionamento 
Da mesma forma que para o caso de flexão composta normal, utilizam-se ábacos para o 
dimensionamento de seções à flexão composta oblíqua. Assim, para consulta ao ábaco utiliza-se as 
variáveis reduzidas, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 267 
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S. R. M. ALMEIDA 
ccd
d
Af
N
 
e (7.55) 
2
cd
d
1
hbf
M
 e 
2
cd
d
2
b h f
M
 
e obtém-se como resposta a taxa mecânica de armadura, 
h bf
'fA
cd
yds
 (7.56) 
o que fornece a área de aço necessária para resistir aos esforços atuantes. 
7.7 PROCESSOS APROXIMADOS DA NBR 6118 / 2001 PARA 
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA 
7.7.1 Flexão composta normal 
A NBR 6118:2014 permite que se transforme o dimensionamento de um pilar submetido à 
flexão composta normal no dimensionamento de um pilar sujeito à compressão simples centrada, nas 
seguintes condições: 
A seção transversal do pilar deve ser retangular ou circular; 
A armadura deve ser simétrica; 
A força normal reduzida  deve ser igual ou superior a 0,8. 
Nesse caso, o pilar deve ser dimensionado para uma força normal equivalente igual a, 







h
e
NN realsdeqsd 1,, (7.57) 
Onde, 
268 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
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ccd
sd
Af
N
 (7.58) 
hN
M
h
e
realsd
realsd
,
,
 (7.59) 
  h'd8,001,039,0
1

 (7.60) 
O coeficiente  da expressão (7.60) depende da relação s entre a soma das armaduras 
inferior e superior e a armadura lateral. 
lat
s
ss
s
A
AA
infsup

 (7.61) 
Assim, 
s 1 se s < 1 
s  se s  1 
 = -4 para seções criculares 
O arranjo de armadura adotado para o detalhamento deve ser fiel aos valores de s e d’/h 
pressupostos. 
Figura 7.10 – Arranjo de armaduras caracterizado pelo parâmetro s. 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 269 
D. L.ARAÚJO 
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7.7.2 Flexão composta oblíqua 
Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua pode ser adotada a aproximação dada 
pela expressão de interação: 
1 = + 
,
,
,
,

















yyRd
yRd
xxRd
xRd
M
M
M
M
 (7.62) 
Onde, 
Rd,x; MRd,y - são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua 
composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, 
com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. 
Estes são os valores que se deseja obter; 
MRd,xx; MRd,yy - são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos 
em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Estes valores são 
calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; 
 - é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força 
normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em 
geral pode ser adotado = 1, a favor da segurança. No caso de seções 
retangulares poder-se adotar = 1,2. 
 
 
8 PILARES DE CONCRETO ARMADO 
8.1 INTRODUÇÃO 
Os pilares são componentes da estrutura sobre os quais se apoiam as vigas e, 
eventualmente, as lajes e que servem de elemento de ligação entre os demais elementos 
estruturais e a fundação (Figura 8.1). Devido à sua posição no fluxo de carga os pilares são 
talvez o elemento mais importante em uma estrutura, visto que sua ruptura quase sempre 
provoca ruptura de outros elementos,

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