A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
301 pág.
Apostila Concreto_2019 (1)

Pré-visualização | Página 43 de 46

S. R. M. ALMEIDA 
 Para o dimensionamento de pilares extremos deve-se considerar um momento fletor 
igual a 
M M
r
r r reng viga

 
inf
inf sup
 para o pilar inferior (8.8) 
M M
r
r r reng viga

 
sup
inf sup
 para o pilar superior (8.9) 
 Nos vãos extremos das vigas, deve-se considerar um momento aplicado igual a 
supinf
supinf
rrr
rr
MM
viga
eng


 (8.10) 
Onde, 
Meng - é o momento de engastamento perfeito do vão extremo da viga; 
rinf e rsup - são as rigidezes do pilares inferior e superior, respectivamente; 
rviga - é a rigidez da viga; 
e 
L
I
r  (8.11) 
com 
I - momento de inércia do elemento; 
L - vão da viga ou comprimento do pilar. 
Quando for o caso, o engastamento perfeito da viga deve ser substituído pela 
articulação apresentada na Figura 8.8. 
 
 
 
Figura 8.8 – Aproximação em apoios extremos. 
278 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
lvig
linf / 2
lsup / 2
 
A principal vantagem desse modelo em relação ao modelo geral de pórtico é 
permitir que a análise da estrutura seja feita sem um pré-dimensionamento das peças. Trata-se 
de uma vantagem importante para o cálculo manual, quando a simplicidade de cálculo era 
requisito primordial. Na era da automação, em que o volume de operações deixa de ser uma 
limitação importante, essa vantagem praticamente desaparece frente às limitações do modelo. 
As principais limitações desse modelo em relação ao modelo geral de pórtico são 
apresentadas a seguir: 
1. O modelo só contempla cargas verticais e não pode ser aplicado para cargas 
laterais; 
2. Não há resistência ao deslocamento lateral, pois os pilares são considerados bi-
rotulados, e o modelo só pode ser aplicado a estruturas de nós indeslocáveis; 
3. Os esforços nos elementos estruturais são obtidos de forma independente uns dos 
outros, o que é geralmente antieconômico; 
4. Ao considerar os pilares bi-rotulados, o modelo admite que o comprimento de 
flambagem seja igual ao comprimento do pilar, o que corresponde ao caso mais 
conservador de pilar indeslocável; 
8.3.2 Modelos matemáticos sugeridos pela NBR 6118:2003 
A NBR 6118 sugere três modelos matemáticos para análise de estruturas: o 
modelo clássico de vigas contínuas, o modelo de vigas contínuas com solidariedade entre viga 
e pilares e o modelo de grelhas. 
O modelo clássico de vigas contínuas é o modelo sugerido pela NBR 6118:1978, 
já descrito neste capítulo. Alternativamente, a NBR 6118:2014 sugere um melhoria no 
modelo de viga contínua, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga, mediante a 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 279 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários, como mostra a figura 
(8.9). Esse modelo corresponde à simplificação máxima permitida pelo ACI 318. 
Figura 8.9 – Modelo de viga contínua ampliado, permitido pela NBR 6118. 
 
 
 
O terceiro modelo proposto pela NBR 6118 para o estudo das cargas verticais é o 
modelo de grelha. Nesse modelo, deve-se levar em conta a rigidez à flexão dos pilares de 
maneira análoga à prescrita para as vigas contínuas. A rigidez à torção das vigas fissuradas 
pode ser estimada em 15% da rigidez à torção elástica. 
8.4 INSTABILIDADE E EFEITOS DE 2A ORDEM 
Nas estruturas de concreto armado, o estado limite último de instabilidade é 
atingido sempre que, com o crescimento da intensidade do carregamento e das deformações, o 
aumento da capacidade resistente de alguns elementos da estrutura submetidos à flexo-
compressão for inferior ao aumento da solicitação. Nas estruturas sem imperfeições iniciais 
esse estado limite se caracteriza pela perda de estabilidade por flambagem. 
Os efeitos de primeira ordem são aqueles obtidos em uma análise onde o 
equilíbrio da estrutura é estudado em relação à sua configuração geométrica inicial. Os efeitos 
de segunda ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem 
quando à análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando-se a configuração 
deformada. Nas estruturas em que o comportamento não-linear dos materiais deva ser levado 
em conta, pode-se desprezar os efeitos de segunda ordem sempre que os mesmos não 
representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações da estrutura. 
280 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
Os efeitos globais de 2
a
 ordem são aqueles decorrentes do deslocamento 
horizontal dos nós da estrutura quando ela se encontra sob ação de cargas verticais. Os efeitos 
locais de 2
a
 ordem são decorrentes do fato de que, quando a estrutura se desloca 
horizontalmente, devido aos efeitos globais de 2
a
 ordem os eixos das barras não se mantêm 
retilíneos. 
Embora em tese todas as estruturas seja deslocáveis, por conveniência de análise, 
adota-se a seguinte classificação para as estruturas: 
a) Estruturas de nós fixos ou indeslocáveis: são aquelas onde os deslocamentos horizontais 
dos nós são pequenos e, em conseqüência, os efeitos globais de 2
a
 ordem são desprezíveis. 
Esses efeitos são da ordem de 10% dos respectivos efeitos de 1
a
 ordem. Nessas estruturas, 
basta se considerar os efeitos locais e localizados de 2
a
 ordem. 
b) Estruturas de nós móveis ou deslocáveis: são aquelas onde os deslocamentos horizontais 
não são pequenos e, em conseqüência, os efeitos globais de 2
a
 ordem não podem ser 
desprezados. Esses efeitos são superiores a 10% dos respectivos efeitos de 1
a
 ordem. 
Nessas estruturas, devem ser considerados tanto os efeitos locais e localizados de 2
a
 
ordem como os globais. 
8.4.1 Noções de Instabilidade 
Figura 8.10 – Equilíbrio estável e instável 
 
 
 
 
 
Figura 8.11 – Influência do material na instabiidade de barras comprimidas 
INDIFERENTE
ESTÁVEL
INSTÁVEL EM 
UMA DIREÇÃO
INSTÁVEL EM 
DUAS DIREÇÕES
NÃO 
EQUILIBRADO
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 281 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
8.4.2 Cálculo da carga crítica pelo método geral 
Para a determinação dos efeitos locais de 2
a
 ordem é necessária uma análise não-linear 
com uma discretização adequada do pilar. Nessa análise, aqui denominada geral, deve-se 
considerar a relação momento x curvatura real em cada seção e a não linearidade geométrica 
deve ser levada em conta sem aproximações. Em determinadas situações, os efeitos locais de 
2
a
 ordem podem ser determinados por métodos aproximados, como o método do pilar padrão 
e as variações de método do pilar padrão, permitidos pela NBR 6118 para pilares com   90. 
Em pilares com   140 é obrigatória a análise pelo método geral. 
8.4.2.1 Processo do carregamento progressivo proporcional 
Consiste em uma análise não linear física (diagrama M–N-1/r) com discretização 
adequada do pilar. Obrigatória em pilares com   140. 
 
 
 
282 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
Figura 8.12 – Carga crítica pelo processo geral 
eo
crítico
ref

 
8.4.2.2 Pilar padrão 
É uma simplificação do método geral. A seção transversal e a armadura ao longo 
do pilar devem ser constantes. A deformada, devido à não linearidade geométrica, é admitida 
com forma senoidal. A NBR 618 permite o seu emprego em pilares com   90. Na figura 
8.13 é apresentado, de forma resumida, o equacionamento do momento de segunda ordem na 
base do pilar, o qual é escrito como uma função linear da curvatura da base. 
 
 
 
Figura 8.13 – Pilar padrão 
xsenay



xcosa'y





xsena''y
2







 

a
y
x
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 283 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
 
Dessa forma, o emprego do pilar padrão com o método geral permite escrever o 
deslocamento na extrmidade livre do pilar como uma função da curvatura, dispensando a 
necessidade de integração ao longo do pilar: 
yextremidade livre = k (1/r)base 
 
Da construção do diagrama M versus curvatura