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Apostila Concreto_2019 (1)

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da base, (1/r)base , com o esforço 
normal, N, constante, pode-se obter o máximo momento de primeira ordem que pode ser 
aplicado ao pilar, M1,max., (Figura 8.14). 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo:
2
2
dx
yd
r
1

Na seção média (x = /2):
 
2
2/x
2/x
a''y
r
1





 







 


yxsena
r
1
22





 







 


Flecha:
2/x
2
2
r
1
a












Pilar em balanço:
base
2
e
r
1
10
a 







102 
base
2
e
base,2
r
1
.
10
.NaNM 







284 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
Figura 8.14 – Pilar padrão com o método geral de cálculo da carga crítica. 
 
8.4.3 Cálculo da carga crítica pelo método do equilíbrio 
Neste método, a verificação da segurança contra o estado limite de instabilidade é 
feita sem o traçado de um diagrama completo esforço-deslocamento. 
Consiste em garantir que sob o carregamento Fd, a flecha de referência, yref , 
corresponde a uma configuração estável de equilíbrio, o que é garantido pela convergência do 
processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.15 – Cálculo da carga crítica pelo método do equilíbrio. 
M
A
1/r
máxM ,1
critr





 1
2M
máxM ,1
intM
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 285 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
 
Nesse caso, a flecha yn corresponde ao ramo ascendente da curva (F, yref). 
8.4.3.1 Método do equilíbrio com o pilar padrão e curvatura 
aproximada (  90 , NBR 6118:2014) 
Essa aproximação é permitida apenas para pilares com   90, com seção 
constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo longitudinal. Nesse caso, 
considera-se a não-linearidade geométrica de forma aproximada, supondo-se que a deformada 
da barra possa ser representada por uma função senoidal. A não linearidade física é levada em 
conta por meio de uma expressão aproximada para a curvatura da seção crítica. 
Traçando a curva Mint–1/r , para um dado valor de Nint, percebe-se que ela é 
aproximadamente bilinear. Nesta curva, o ponto de tangência correspondente à situação 
crítica está muito próximo do ponto correspondente à capacidade última relativa a barras de 
286 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
esbeltez nula. A este ponto corresponde a curvatura última convencional mostrada na figura 
8.16. 
Figura 8.16 – Método do equilíbrio com o pilar padrão e curvatura aproximada 
 
O processo engloba a verificação da segurança contra a instabilidade na flexão 
composta dentro do próprio processo de dimensionamento da seção transversal. Logo, pode-
se escrever que Nint = Nd e Md = M1d + M2d, com: 
alconvencion,u
2
e
dd2
r
1
10
NM 







 (8.12) 
e 
  h
005,0
5,0h
005,0
r
1
alconvencion,u








 (8.13) 
 
Onde, 
h - é a altura da seção na direção considerada; 
 - é a força normal adimensional; 
com, 
cdc
d
fA
N
 (8.14) 
Nessas condições, o momento fletor total máximo é dado por: 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 287 
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Ad
e
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,1,
1
10
 (8.15) 
onde b vale: 
a) para pilares biapoiados sem cargas transversais: 
4,0
M
M
40,060,0
A
B
b  (8.16) 
Os momentos MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. 
Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o 
sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário. 
 
b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura: 
b = 1,0 (8.17) 
 
c) para em pilares em balanço; 
85,0
M
M
20,080,0
A
C
b  (8.18) 
O momento MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª 
ordem no meio do pilar em balanço. 
 
d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo 
estabelecido no item 11.3.3.4. da NBR 6118. 
b = 1,0 (8.19) 
O momento M1d,A é o valor de dimensionamento de 1
a
 ordem do momento MA. 
8.4.3.2 Método do pilar padrão com rigidez aproximada (  90 , NBR 
6118/2001) 
Esse método é permitido para pilares de seção retangular constante, armadura 
simétrica e constante ao longo de seu eixo longitudinal e com   90. Considera-se a não-
linearidade geométrica de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra possa ser 
288 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
expressa por uma função senoidal, da mesma forma que no método do pilar padrão com 
curvatura aproximada. Mas, não linearidade física é levada em conta por meio de uma 
expressão aproximada da rigidez. 
Considera-se a seguinte aproximação para a rigidez adimensional do pilar, 









d
totd
Nh
M ,
5132 (8.20) 
e a seguinte expressão para o momento total máximo no pilar, 



120
1
2
,1
,


Adb
totd
M
M (8.21) 
Trata-se de um processo interativo, pois a rigidez  depende do momento total 
Md,tot e este, por sua vez, depende da rigidez . Usualmente, partindo-se do momento de 1
a
 
ordem, chega-se à solução em duas ou três iterações. 
8.5 COMPRIMENTO EQUIVALENTE LE PARA ANÁLISE DE 
ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS 
Para o cálculo do comprimento equivalente do pilar em estruturas de nós fixos, 
deve-se supor que o pilar esteja vinculado em a,bas as extremidades. O comprimento 
equivalente será o menor dos seguintes valores: 


 

L
hl
l
o
e (8.22) 
Onde, 
lo - é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos 
horizontais, que vinculam o pilar; 
h - é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; 
L - é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está 
vinculado. 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 289 
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8.6 MÍMIMO MOMENTO DE DIMENSIONAMENTO DE PRIMEIRA 
ORDEM 
Segundo a NBR 6118, o momento de 1
a
 ordem, acrescido dos efeitos das 
imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo de: 
 hNM dmínd 03,0015,0,1  (8.23) 
Onde, h representa a altura da seção transversal, em metros, na direção considerada. 
Nas estruturas reticuladas usuais, admite-se que o efeito das imperfeições locais 
esteja atendido se for respeitado esse valor de momento mínimo. No caso de pilares 
submetidos à flexão composta obíqua, esse mínimo deve ser respeitado separadamente em 
cada uma das direções principais. Ou seja, em cada verificação à flexão composta oblíqua, 
pelo menos um dos momentos deve respeitar o limite imposto pela equação (8.23). 
8.7 CRITÉRIOS DA NBR 6118:2014 PARA DISPENSA DA 
CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA 
ORDEM ( PILARES POUCO ESBELTOS ) 
Em alguns casos é permitido se dispensar a consideração dos efeitos de 2
a
 ordem. 
Pela nomenclatura da NBR 6118 / 1978, esses pilares eram classificados de curtos e o 
requisito para que um pilar se enquadrasse nesse caso era que o seu índice de esbeltez não 
fosse superior a 40, independente da magnitude e da conformação dos esforços aplicados. A 
NBR 6118 estabelece um critério que depende, não só do índice de esbeltez do pilar como dos 
esforços aplicados. Assim, os esforços locais de 2
a
 ordem em elementos isolados podem ser 
despresados quendo o índice de esbeltez do pilar (Equação 8.3) for inferior a um valor limite 
que depende da excentricidade de 1
a
 ordem, da vinculação dos extremos da coluna isolada e 
da forma do diagrama de momentos de 1
a
 ordem. 
Considerando-se os momentos de 1
a
 ordem, aqueles devidos às ações, atuantes no 
topo e na base de um pilar isolado, tem-se duas possibilidades de configuração da deformada 
290 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
do pilar, como mostra a figura (8.17). Nos pilares com curvarura simples, os momentos no 
topo e na base têm sinais contrários e sua combinação produz deslocamentos no mesmo 
sentido. Já nos pilares com curvatura