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Apostila Concreto_2019 (1)

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dupla, os momentos no topo e na base têm mesmo sinal 
e sua combinação produz deslocamentos em sentidos opostos. 
Figura 8.17 – Curvaturas dos pilares em função dos momentos de 1
a
 ordem. 
Pilar com curvatura simples
MTOPO
MBASE
Pilar com curvatura dupla
MTOPO
MBASE
 
 
A forma do diagrama de momentos de 1
a
 ordem é levada em consideração através 
de um parâmetro b , como se segue: 
 Para pilares biapoiados: 
Toma-se MA e MB como os momentos nos extremos e define-se MA como o 
momento de maior valor absoluto ao longo do pilar. MB será o menor momento e terá sinal 
positivo se tracionar a mesma face que o momento MA e negativo se tracionar a face oposta. 
 BASETOPOA MMmaiorM , (8.24) 
 BASETOPOB MMmenorM , (8.25) 
Pilares sem cargas transversais 
40,040,060,0 
A
B
b
M
M
 (8.26) 
Pilares com cargas transversais significativas 
0,1b 
 Para pilares em balanço 
Nesse caso, MA será o momento de 1
a
 ordem no engaste e MC o momento de 1
a
 
ordem no meio do pilar em balanço. 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 291 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
85,020,080,0 
A
C
b
M
M
 (8.27) 
 Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos inferiores ao momento mínimo de 
1
a
 ordem (Equação 8.23) 
Nesse caso, se o maior momento calculado ao longo da coluna for inferior ao 
momento mínimo definido na equação (8.23), deve-se tomar b = 1. 
 
O limite 1 com o qual o índice de esbeltez  do pilar deve ser comparado a fim 
de se verificar a possibilidade de se dispensar a análise dos efeitos de 2
a
 ordem é dado por: 







bb
he

 35
9015,1225
1 (8.28) 
Onde, e1 é a excentricade de 1
a
 ordem, 
d
d
N
M
e 11 (8.29) 
e h a altura do pilar na direção considerada. 
8.8 CRITÉRIO DA NBR 6118:2014 PARA CONSIDERAÇÃO DA 
FLUÊNCIA EM PILARES ESBELTOS (90    140) 
Pode-se calcular os pilares com 90    140 pelo processo do pilar padrão com o 
método do equilíbrio, desde que seja levada em consideração o efeito da fluência do concreto 
através de uma excentricidade adicional ec. Dessa forma, a excentricidade total do pilar vale: 
et = e1 + ec + e2 (8.30) 
com, 
292 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 






















1718,2
2N
M
e sge
sg
NN
N
e
1
sg
sg
c

 (8.31) 
2
ecce /IE10N  (8.32) 
Msg e Nsg: esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente; 
: coeficiente de fluência; 
1: imperfeições geométricas (figura 8.18) 
Figura 8.18 – Imperfeições geométricas globais segundo a NBR 6118 
 
 
 
 
8.9 CRITÉRIOS DA NBR 6118 / 2003 PARA DISPENSA DA 
CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS GLOBAIS DE 2
A
 ORDEM 
( PILARES ESBELTOS INDESLOCÁVEIS ) 
Para a determinação dos esforços de dimensionamento é necessário se descobrir 
se se trata de uma estrutura de nós fixos ou de nós móveis, o que determina qual a análise de 
2
a
 ordem necessária para obtenção dos esforços. A NBR 6118 apresenta dois critérios para se 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 293 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
verificar a possibilidade de se dispensar a consideração dos esforços globais de 2
a
 ordem: em 
função do parâmetro de instabilidade, aplicável a estruturas simétricas, ou em função de um 
coeficiente z. 
8.9.1 Parâmetro de instabilidade 
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada de nós fixos se seu 
parâmetro de instabilidade  for inferior a um limite 1. 
cc
k
TOT IE
N
H (8.33) 
Onde, 
HTOT - é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível 
pouco deslocável do subsolo; 
Nk - é s somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, a partir do nível 
considerado para o cálculo de HTOT; 
EcIc - é a somatória das rigidezes de todos os pilares na direção considerada. 
No caso de estruturas de pórticos, treliçadas ou mistas, ou de pilares de rigidez 
variável ao longo da altura, permite-se considerar o produto de rigidezes EcIc de um pilar 
equivalente de seção constante. Para Ec permite-se adotar nesta análise e em todas as análises 
de instabilidade global o valor do módulo de elasticidade inicial do concreto. Permite-se 
considerar Ic como a inércia da seção bruta dos pilares. 
O critério do parâmetro de instabilidade equivale a simplificar a análise de 
deslocabilidade de toda a estrutura para a análise de um pilar engastado na base de livre na 
outra expremidade, como mostra a figura (8.19). 
O limite 1 pode ser determinado pelas expressões (8.34) ou (8.35). 
294 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
n1,02,01  se n  3 (8.34) 
6,01  se n  4 (8.35) 
Onde, 
n - é o número de níveis horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível 
pouco deslocável do subsolo. 
Figura 8.19 – Parâmetro de instabilidade segundo a NBR 6118 
 
E.I E.I E.I E.I  E.I
Nk
HTOT
Nk =  FV
 
1.1.2 Coeficiente z 
Pode-se determinar de forma aproximada um coeficiente de majoração dos 
esforços globais finais em relação aos esforços de 1
a
 ordem. Essa avaliação é efetuada a partir 
dos resultados de uma análise linear de 1
a
 ordem, adotando-se os seguintes valores de rigidez: 
 (E.I)sec = 0,3 Ec Ic para lajes 
 (E.I)sec = 0,4 Ec Ic para vigas em que As’  As 
 (E.I)sec = 0,5 Ec Ic para vigas em que As’  As 
 (E.I)sec = 0,8 Ec Ic para pilares 
O valor de z é dado por, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 295 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
d,tot1
d,tot
z
M
M
1
1


 (8.36) 
Onde, 
M1 tot,d - é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as 
forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da 
estrutura; 
Mtot,d - é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com 
seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos 
pontos de aplicação, obtidos da análise de 1
a
 ordem; 
ah e av - são os deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade das cargas 
verticais da estrutura. O deslocamento horizontal av é decorrente somente das 
ações verticais e o deslocamento ah é decorrente somente das ações 
horizontais. 
A estrutura pode ser considerada de nós fixos se for obedecida a condição z  1,1. 
8.10 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS GLOBAIS DE SEGUNDA 
ORDEM 
Uma análise não-linear com segunda ordem deve levar em conta a não-linearidade 
geométrica da estrutura e a não-linearidade física do material. Essa análise é feita de maneira 
interativa, por meio de modificações apropriadas na matriz de rigidez da estrutura a cada 
iteração. A NBR 6118 permite considerações aproximadas tanto da não-linearidade física 
quanto da não-linearidade geométrica. No caso da não-linearidade física, é permitida uma 
análise linear onde se considere os seguintes valores para a rigidez das peças: 
(EI)sec = 0,3 Ec Ic para lajes 
(EI)sec = 0,4 Ec Ic para vigas com A’s  As 
(EI)sec = 0,5 Ec Ic para vigas com A’s = As 
(EI)sec = 0,8 Ec Ic para pilares 
Onde Ec é o módulo de elasticidade inicial do concreto dado por 
296 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
ckc fE 600.5 (8.37) 
e Ic é a inércia da seção bruta do concreto, incluindo, se for o caso, as mesas colaborantes. 
Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e 
vilares, a NBR 6118 / 2001 permite que se considere, alternativamente 
(EI)sec = 0,7 Ec Ic (8.38) 
para ambos. 
Os valores para (EI)sec apresentados acima são aproximados e não podem ser 
usados para avaliar esforços locais de 2
a
 ordem, mesmo com uma discretização maior da 
modelagem. 
Quanto à não-linearidade geométrica, a NBR 6118 / 2001 permite, para estruturas 
regulares, uma solução aproximada para determinação dos esforços globais de 2
a
 ordem. Essa 
solução consiste na avaliação dos esforços finais, incluindo-se os de 1
a
 e os de 2
a
 ordem, pela 
multiplicação dos momentos