A historia da álgebra abstrata e a Formação de Conceito Grupo

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Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Ana Paula Teles de Oliveira
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
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• A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
• A Estrutura Grupo
• Exercícios de Exemplo
 · Nesta unidade, veremos uma estrutura algébrica fundamental para o nosso curso, 
denominada grupo. Para tanto, veremos alguns aspectos históricos da Álgebra. 
Ao término deste estudo, esperamos que você consiga definir e exemplificar a 
estrutura grupo.
Para um bom aproveitamento da aula, realize a leitura integral do conteúdo teórico 
acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos. Quando aparecer alguma dúvida, entre 
em contato com seu(sua) tutor(a) utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas.
A história da Álgebra Abstrata e a 
Formação do Conceito Grupo
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Unidade: A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
Contextualização
Com a obra Ars Magna do matemático italiano Cardano, onde são descritos métodos para 
resolver equações de terceiro e quarto grau, iniciou-se um novo questionamento: será que 
todas as equações algébricas poderiam ser resolvidas somente utilizando operações e radicais?
Para responder a esse questionamento, iniciam-se estudos nas equações de graus superiores 
a quatro, com o objetivo de saber se existe e qual seria a fórmula geral para resolvê-las. Contudo, 
apesar dos muitos esforços, não conseguiram respondê-la. No séc. XVII, o matemático francês 
Lagrange dedica-se a estudar todas as fórmulas conhecidas até aquele momento com o intuito 
de responder a esse questionamento, fazendo permutações entre as raízes das equações. 
Em seguida, Ruffini, com uma proposta semelhante ao de Lagrange, propõe-se a provar 
que geralmente equações com grau maior do que quatro não eram resolvidas por radicais. 
Entretanto, a demonstração desse fato foi construída pelo matemático norueguês Abel. 
Apesar de, em geral, uma equação com grau superior a quatro não ser solucionada por 
radicais, algumas podem ser resolvidas. O problema agora consistia em caracterizá-las. 
Cauchy faz um estudo sobre permutações de raízes das equações algébricas. Dessa forma, 
a noção de permutação é apresentada de outro modo, utilizando o termo substituição. 
Evariste Galois inicia um trabalho para se ter um critério em que conseguiria distinguir quais 
equações eram resolvidas por radicais. Para isso, ele utiliza trabalhos realizados sobre esse 
assunto, como estudos sobre permutações entre raízes. Também em seu trabalho o termo 
permutação é o mesmo que substituição, usado por Cauchy.
Em seu trabalho, Galois associou a cada equação um grupo, o grupo de permutações. A 
utilização que Galois faz da palavra grupo tem o mesmo sentido que utilizamos em nossos dias.
Cauchy, percebendo a importância da teoria da permutação, publica uma série de artigos 
sobre esse assunto, entre os anos 1844 e 1846. Com esses materiais, Cayley define, em um 
artigo publicado em 1854, grupo abstrato. Em sua definição, utiliza notação multiplicativa.
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A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
Nesta unidade, estudaremos o objeto matemático denominado grupo, uma estrutura 
algébrica fundamental para o nosso curso. Essa estrutura consiste em um conjunto não vazio 
com uma operação que possui determinadas propriedades.
Apesar de, atualmente, estudarmos este conteúdo como algo muito bem organizado em 
curto espaço de tempo, não foi sempre assim. A Álgebra, por muito tempo, foi vista como uma 
ciência que estudava a resolução de equações. Por meio dessa informação, podemos concluir 
que se trata de uma ciência antiga. Sabemos que existe um documento egípcio denominado 
Papiro de Rhind (Figura 1), datado de 1650 a.C., em que o escriba relata copiar um material 
datado de 2000 a.C. Nesse documento, existem problemas relacionados à distribuição de 
mercadoria que conduzem à solução de equações simples (MILIES, 2004).
Figura 1: Papiro de Rind
Fonte: fisica-interessante.com
Desde o seu início, a Álgebra foi empregada com a preocupação de se ter métodos 
precisos e, ao mesmo tempo, gerais. Apesar de se conseguir formalizar uma notação 
apropriada para uma equação, com a utilização de letras para os coeficientes e as variáveis, 
durante muito tempo elas se restringiam a casos concretos, em que muitas situações eram 
intuitivas. (MILIES, 2004).
Porém, no século XIX, a operação é vista de maneira mais abrangente, pois o seu estudo 
não se limita às operações clássicas dos conjuntos numéricos. Há uma generalização em seu 
conceito, em que se estudam as operações entre elementos. Os matemáticos preocupam-se 
em estudar as propriedades das operações, deixando o enfoque dado anteriormente para a 
natureza dos elementos. É nesse século que se inicia o que denominamos de Álgebra Abstrata.
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Unidade: A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
Em 1770, o matemático ítalo-francês Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Figura 2, inicia 
o estudo da teoria das permutações para a resolução de equações algébricas. O seu trabalho 
recebeu contribuições do italiano Paolo Ruffini (1765-1822), Figura 3, e do norueguês Niels 
Henrik Abel (1802 - 1829), Figura 4.
Figura 2: Joseph Louis Lagrange (1736–1813)
Fonte: successstories.co.in
Figura 3 : Paolo Ru� ni (1765 - 1822)
Fonte: Wikimedia Commons
Figura 4: Niels Henrik Abel (1802 - 1829).
Fonte: findagrave.com
Apesar de existirem vários matemáticos estudando permutações, foi o francês Evariste 
Galois (1811 - 1832), Figura 5, que formalizou o conceito de grupo de permutações em seu 
trabalho, por volta de 1830, onde utilizou o termo grupo.
Figura 5: Evariste Galois (1811 - 1832)
Fonte: megacurioso.com.br
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Entre os anos de 1844 e 1846, o francês Agustin Cauchy (1789-1857), Figura 6, percebeu 
a importância desse assunto, escrevendo vários artigos sobre grupo de permutações.
Figura 6: Agustin Cauchy
Fonte: ime.unicamp.br
Esses artigos influenciaram o britânico Arthur Cayley (1821-1895), Figura 7, que possuía 
uma habilidade para a generalização a partir de exemplos particulares. Ele percebeu que a 
definição de grupo não precisava ser restrita às permutações e, dessa forma, generalizou esse 
conceito, sendo o primeiro a definir o conceito de grupo abstrato em um artigo no ano de 
1854 (MILIES, 2004).
Figura 7: Arthur Cayley
Fonte: Wikimedia Commons
Para aprofundar o seu conhecimento sobre a História da Álgebra Abstrata, 
acesse o artigo de Milies que consta abaixo:
http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf
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Observamos então que foram necessários aproximadamente 24 anos entre a definição de 
grupo de permutação e a generalização para a formalização do conceito de grupo abstrato. E 
em pleno século XXI, esse conceito permanece, não somente na Matemática, mas também na 
Física, que a emprega atualmente em mecânica quântica. E agora dedicaremos nosso estudo 
a essa importante estrutura.
A Estrutura Grupo
Historicamente, percebemos que a estrutura grupo foi constituída primeiramente em 
um exemplo particular, as permutações, para depois ser generalizada e assim formalizar o 
conceito abstrato. Mas, na análise de diferentes livros que tratam desse assunto, como Álgebra 
Moderna, Introdução a Álgebra, Elementos de Álgebra , percebe-se que a apresentação ocorre 
de maneira inversa, iniciando-se com a definição geral para depois passar aos exemplos 
particulares. Em nosso trabalho, procederemos de maneira semelhante.
Seja G um conjunto não vazio com uma operação * : G x G → G. G, será um grupo se as 
seguintes condições são satisfeitas:
I. A operação * é associativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, b, c ∈ G, têm-se 
(a * b) * c = a * (b * c).
II. O conjunto G possui elemento neutro, ou seja, existe e ∈ G tal que e
* a = a * e = a para todo a ∈ G.
III. Todo elemento de G possui elemento inverso em G, ou seja, paratodo a ∈ G 
existe a’ ∈ G, tal que a * a’ = a’ * a = e.
Vale a pena destacar a unicidade do elemento neutro. Suponha a existência de dois 
elementos neutros representados por e1, e2 ∈ G.
e1 = 
Como e2 é elemento neutro, temos:
e1 * e2 =
Como e1 é elemento neutro, temos:
 = e2. 
Portanto, e1 = e2.
Outra característica é a unicidade do elemento inverso. Sejam a’, a’’∈ G elementos inverso 
de a ∈ G, dessa forma:
a’ =
Como e é elemento neutro de G, temos:
 = a’ * e =
Como a’’ é elemento inverso de a, temos:
= a’ * (a * a’’) =
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Utilizando a propriedade associativa, temos:
= (a’ * a) * a’’=
Como a’ é inverso de a, temos:
e * a’’ =
Como e é o elemento neutro, temos:
a’’.
Portanto, a’= a’’. 
Usualmente utilizamos a notação (G,*) para representar o grupo G com a operação *.
Assista ao vídeo socrático sobre grupo.
https://www.youtube.com/watch?v=PSvv73PemQs
Agora que conhecemos o conceito de grupo, vejamos alguns exemplos. Iniciaremos falando 
de conjuntos com a operação de adição, por isso é denominado grupo aditivo:
• O grupo aditivo dos inteiros representado por (Z, +). A operação adição é associativa. O 
elemento neutro é o número 0. O elemento inverso de a ∈ Z é – a ∈ Z;
• O grupo aditivo dos racionais representado por (Q, +). A operação adição é associativa. 
O elemento neutro é o número 0. O elemento inverso de a ∈ Q é – a ∈ Q;
• O grupo aditivo dos reais representado por (R, +). A operação adição é associativa. O 
elemento neutro é o número 0. O elemento inverso de a ∈ R é – a ∈ R;
• Você pode estar pensando: “Será que todos os conjuntos numéricos que conhecemos 
é grupo aditivo?”. A resposta é negativa. Pensemos em N, observemos que a adição é 
uma operação aditiva, que o número 0 é o elemento neutro da adição. Porém, apesar 
de satisfazer essas duas condições, observamos que o conjunto dos números naturais não 
possui o elemento inverso. Por exemplo: qual é o número que seria o inverso para o 
número 1? Para respondermos a esse questionamento, temos que encontrar um número 
x que satisfaça à condição do elemento inverso, ou seja, satisfaça às seguintes equações:
1 + x = 0 
x + 1 = 0. 
Contudo, o número que satisfaz às equações acima é o número (-1), que não é um número 
natural. Portanto, o conjunto N não é um grupo aditivo.
• O grupo aditivo dos complexos representado por (C, +). Sejam a, b ∈ C, tais que 
a = a0 + a1i e b = b0 + b1i. A operação adição é definida por:
a+b= (a0 + b0) + (a1+ b1)i
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Mostraremos que a adição em C é associativa. Preste muita atenção aos cálculos, pois 
a notação pode parecer complicada. Descreveremos todos os passos neste momento, 
tentando diminuir o tempo para a compreensão. Para tanto, sejam a, b, c ∈ C, tais que 
a = a0 + a1i, b = b0 + b1i, c = c0 + c1i, temos: 
(a+b) + c =
Substituindo os valores de a, b e c:
= ((a0 + a1i) + (b0 + b1i)) + ( c0 + c1i)=
Operando a adição entre os elementos (a0 + a1i) e (b0 + b1i), temos:
= ((a0 + b0) + (a1+ b1)i) + ( c0 + c1i)=
Operando a adição entre os elementos ((a0 + b0) + (a1+ b1)i) e (c0 + c1i), obtemos:
= ((a0 + b0) + c0) + ((a1+ b1) + c1)i =
Aplicando a associatividade da adição dos números reais em ((a0 + b0) + c0) e 
((a1+ b1) + c1), temos:
= (a0 + (b0 + c0)) + (a1+ (b1 + c1))i =
Utilizando a definição da adição em C, temos: 
= (a0 + a1i) + ((b0 + c0)+ (b1 + c1)i) =
Utilizando a definição da adição em C, temos: 
= (a0 + a1i) + ((b0 + b1i) + ( c0 + c1i))=
Substituindo o valor de a, b e c, temos:
= a + (b + c).
Portanto, vale a associatividade. Observe que todos esses passos são necessários, pois 
a adição em C e R é uma operação binária e, para distinguir os elementos que estamos 
adicionando, usamos os parênteses.
Na resolução dos exercícios, contudo, não costumamos descrever todos os passos. Vamos 
reescrever essa mesma prova sem dar todos os detalhes e tente imaginar quais propriedades 
foram utilizadas:
(a + b) + c =
= ((a0 + a1i) + (b0 + b1i)) + ( c0 + c1i) =
= ((a0 + b0) + (a1+ b1)i) + ( c0 + c1i) =
= ((a0 + b0) + c0) + ((a1+ b1) + c1)i =
= (a0 + (b0 + c0)) + (a1+ (b1 + c1))i =
= (a0 + a1i) + ((b0 + c0) + (b1 + c1)i) =
= (a0 + a1i) + ((b0 + b1i) + ( c0 + c1i))=
= a + (b + c).
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Observemos que apesar de não estarem descritos todos os passos, as equações têm uma 
sequência lógica, deixando claro ao leitor qual é a propriedade em uso. Então, é sempre 
necessário ser cuidadoso em sua escrita.
Mostraremos que o elemento neutro de C é o número 0. Seja 0 = 0 + 0i ∈ C, para qualquer 
a ∈ C, tal que a = a0 + a1i, temos:
0 + a =
Substituindo o valor de 0 e a, temos:
=(0 + 0i) + (a0 + a1i) =
Adicionando, temos:
= (0 + a0) + (0 + a1)i =
O número 0 é o elemento neutro da adição em R, temos: 
= a0 + a1i =
Substituindo o valor de a, obtemos:
= a
Agora, reescreveremos sem os comentários. Tente imaginar porque vale cada igualdade:
0 + a =
=(0 + 0i) + (a0 + a1i) =
= (0 + a0) + (0 + a1)i = 
= a0 + a1i =
= a
Você reparou que utilizamos somente a definição de adição em C e a propriedade do 
elemento neutro para a adição dos números reais?
Ao considerarmos a condição II para um conjunto ser grupo, é necessário verificarmos 
tanto 0 + a = a quanto a + 0 = a. Fizemos 0 + a = a, então tente mostrar que a + 0 = a.
Dessa forma, o número 0 é o elemento neutro de C.
Falta verificarmos que todos os elementos de C, na operação adição, tem um elemento 
inverso, ou seja, para cada número complexo existe outro número complexo e, ao adicionarmos 
os dois números, como resultado teremos o número 0. Seja a ∈ C tal que a = a0 + a1i, 
considere – a = (-a0)+ (- a1)i:
a + (– a) =
= (a0 + a1i) + ((- a0) + (- a1)i)=
=( a0 + (- a0)) + (a1 + (- a1))i =
0 + 0i =
0
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Omitimos todos os comentários, tente imaginar o motivo pelo qual vale o sinal de igual em 
cada linha. Esse é um exercício muito importante!
Observemos que para provar a propriedade do inverso em C, utilizamos a definição de a 
e (-a) e a propriedade do elemento inverso no conjunto dos números reais. Mas, ao olharmos 
a condição III, vemos que é necessário verificar também que (-a) + a = 0 – deixaremos como 
exercício essa verificação.
Como verificamos, C possui todas as condições necessárias para ser um grupo, então C é 
um grupo aditivo.
• Grupo Aditivo das matrizes quadradas de ordem 2, sendo representado por (M2(R), +), 
onde a operação de adição é: 
 + .
 
Mostre que todas as condições necessárias para ser um grupo estão verificadas nesse conjunto.
 Saiba Mais
O grupo aditivo das matrizes independe se a matriz é quadrada. Por exemplo, 
consideremos as matrizes sobre um conjunto K, com m linhas e n colunas, em 
que K pode ser Z, Q, R ou C, representado por Mmxn(K), temos Mmxn(K) como um 
grupo aditivo, ou seja: ( Mmxn(K), +).
Também podemos utilizar a multiplicação como operação em conjuntos conhecidos. Por 
esse motivo são denominados grupos multiplicativos. Vejamos alguns exemplos: 
• O grupo multiplicativo dos racionais sem o zero representado por (Q–{0},.). A operação 
multiplicação é associativa. O elemento neutro é o número 1. O elemento inverso de 
a ∈ Q-{0} é a-1 ∈ Q-{0}.
• O grupo multiplicativo dos reais sem o zero representado por (R-{0},.). A operação 
multiplicação é associativa. O elemento neutro é o número 1. O elemento inverso de 
a ∈ R-{0} é a-1 ∈ R-{0}.
• O grupo multiplicativo dos complexos sem o zero, representado por (C-{0},.). Sejam 
a, b ∈ C-{0}, tais que a = a0 + a1i e b = b0 + b1i. A operação multiplicação é definida por:
ab= (a0 b0 - a1b1) + (a0 b1 + a1 b0)i
O elemento neutro é o número 1 = 1 + 0i. O elemento inverso de a = ∈ C-{0} é 
a-1 = ∈ C-{0}. 
Verifique!
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Lembramos a propriedade do elemento neutro: para todo a ∈ G, existe e ∈ G, tal que
e*a = a*e=a
e a propriedade do elemento inverso, ou seja, para todo a ∈ G existe a’ ∈ G, tal que
a*a’ = a’*a = e.
Observemos que a ordem em que os elementossão operados é de suma importância.
A propriedade em que a * b = b * a, para quaisquer a, b ∈ G, é denominada comutativa. Se o 
grupo G satisfaz a propriedade comutativa, G é denominado Grupo Abeliano em homenagem 
ao matemático norueguês N. H. Abel, citado anteriormente. Também pode ser denominado 
grupo comutativo.
Então, todos os grupos citados nos exemplos anteriores são abelianos. Vamos conhecer 
grupos que não são abelianos.
Grupo multiplicativo das matrizes inversíveis de ordem 2 com entradas nos reais representado 
por (GL2(R), .), em que a multiplicação de matrizes é definida por:
Observemos que não vale a propriedade comutativa em M2(R). Para ilustrarmos, temos:
 = .
E ao comutarmos os elementos, temos:
 = .
Mostraremos que são válidas as condições para que GL2(R) seja grupo. Vejamos a 
associatividade: sejam A, B, C ∈ GL2(R), tais que 
A = , B = e C = ,
temos
(A . B) C =
= =
= = 
= =
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Omitimos os parênteses da operação multiplicação, pois em R a multiplicação 
é comutativa!
= =
= =
= =
= =
= =
= A (B.C).
Portanto, o conjunto GL2(R) com a operação multiplicação é associativa. Ao olhar todos 
esses cálculos, não se esqueça de imaginar porque cada igualdade é válida, pense se são 
definições ou propriedades nos números reais... Não se esqueça de que esse é um exercício 
importantíssimo!
O elemento neutro será a matriz identidade I2 = .
Ao prestarmos atenção, consideramos o conjunto das matrizes inversíveis, para termos a 
condição de elemento inverso. Para saber se uma matriz é inversível, basta encontrar a sua 
inversa, mas um processo mais fácil é lembrar que uma matriz quadrada terá inversa se, e 
somente se, o seu determinante for diferente de zero.
Portanto (GL2(R), .), é um grupo multiplicativo que não é abeliano.
Será que posso considerar (GL3(R), .)? E o conjunto (GL4(R),.)? E 
(GLn(R), .), onde n ∈ { 1, 2, 3, 4, ...}?
Você se lembra de que o primeiro exemplo de grupo foi denominado de permutações? 
Vamos agora descrever esse grupo? Para tanto, considere S um conjunto não vazio, seja:
G={ f: S → S | f é bijetiva}
Sejam f1, f2 ∈ G, a função composta de f1 e f2 é definida assim:
(f1 ° f2)(x) = f1( f2(x))
 para qualquer x ∈ S.
Vejamos que a função composta é fechada. Para tanto, vamos verificar se f1 ° f2 ∈ G, ou 
seja, f1 ° f2 é bijetiva.
Vejamos se f1 ° f2 é injetiva. Sejam x1, x2 ∈ S, tais que
(f1 ° f2)(x1) = (f1 ° f2)(x2).
 Por definição, temos 
(f1(f2(x1)) = (f1 (f2(x2)).
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 Como f1 é injetiva, temos 
f2(x1) = f2(x2).
Como f2 é injetiva, temos x1 = x2. Portanto, f1° f2 é injetiva.
Mostraremos se f1 ° f2 é sobrejetora. Seja z ∈ S. Como f1 é sobrejetora, temos y ∈ S, tal que 
z = f1(y). Como f2 é sobrejetora, temos x ∈ S, tal que z = f1(y) = f1 ( f2(x)) = (f1 ° f2 )(x). Portanto, 
f1 ° f2 é sobrejetora.
Como f1 ° f2 é injetora e sobrejetora, a denominamos bijetora. Portanto, f1 ° f2 ∈ G.
O grupo de permutações será representado por (G, °). A composição de funções em S é 
uma operação associativa. O elemento neutro será a função identidade representada por I. Se 
f é bijetora, então f é inversível, ou seja, f-1 ° f = I.
Seja G um grupo, o número de elementos de um grupo é denominado por 
ordem de G e representado por |G|.
Quando o conjunto S é finito e representado por S={1, 2, 3,..., n}, denotamos por Sn o 
grupo simétrico. O conjunto Sn é finito e a sua ordem será n!, ou seja, |Sn | será n! 
Você percebeu que ao invés de utilizarmos a notação (Sn, °) utilizamos 
somente Sn? Podemos fazer isso quando está clara qual é a operação do 
grupo, ou seja, ao invés de usarmos (G,*), representamos o grupo por G.
Seja f ∈ Sn, representamos f da seguinte maneira:
f = .
Por exemplo, a função identidade In ∈ Sn é
In = .
Vejamos o grupo de permutação S3. Quantos elementos S3 possui? Você se lembra? 
|S3| = 3! = 6, ou seja, S3 possui 6 elementos. Os elementos de S3 são:
I3 = ,
f1 = = f1 
-1,
f2= = f2 
-1,
f3= = f3
- 1,
f4= = f5 
-1,
f5= = f4 
-1,
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Unidade: A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
A composição de dois elementos de S3 é realizada da mesma maneira que na composição 
de duas funções. Vejamos as composições de duas permutações:
f1° f4 = ° = 
Para tanto, temos que encontrar a imagem dos elementos 1, 2, 3. 
Temos f1° f4 (1) = f1( f4 (1)) = f1( 2) =1. Outra maneira utilizada é a imagem do elemento 1 
pela composta dada por 1 2 1  .
Temos f1° f4 (2) = f1( f4 (2)) = f1( 3) =3, a imagem do elemento 2 pela composta é dada por 
2 3 3  .
Temos f1° f4 (3) = f1( f4 (3)) = f1( 1) =2, a imagem do elemento 3 pela composta é dada por 
3 1 2  . Então,
f1° f4 = ° = f2.
Observamos que f1° f4 = f2. Vejamos agora o valor f4° f1:
f4 ° f1 = ° .
Para tanto, calculemos a imagem dos elementos 1, 2 e 3:
A imagem do elemento 1 pela composta é dada por 1 2 3  .
A imagem do elemento 2 pela composta é dada por 2 1 2  .
A imagem do elemento 3 pela composta é dada por 3 3 1  .
Assim temos:
f4 ° f1 = ° = f3.
Notamos que f4° f1 = f3. Uma consideração relevante é que f1° f4 ≠ f4° f1. Portanto, S3 não 
é um grupo abeliano.
Verificaremos se realmente f5 é a função inversa de f4. Para tanto, temos:
f5 ° f4= ° = = I3. 
Como esse grupo não é abeliano, é necessário comutar, ou seja,
f4 ° f5 = = = I3.
Portanto, f5 é a função inversa de f4.
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Vimos que S3 não é um grupo abeliano. Na verdade, os únicos grupos de permutação que 
são abelianos são S1 e S2 e, para mostrarmos isso, consideremos os grupos Sn para n≥ 3.
Sejam f, g ∈ Sn tais que
f : {1, 2, 3, ... n} → {1, 2, 3, ... n}
tais que f(1) =2, f(2) = 1 e f(x) = x , 3 ≤ x ≤ n,
g : {1, 2, 3, ... n} → {1, 2, 3, ... n}
tais que g(1) =3, g(3) = 1 e g(x) = x , x = 2 ou 4 ≤ x ≤ n.
Vejamos que f °g ≠ g° f, para tanto, basta verificarmos um elemento em que a imagem é 
diferente. Então, calculemos em 1, temos: 
(f °g)(1) = f (g(1)) =
= f(3) = 3.
Agora calculamos g° f em 1, temos:
(g° f)(1) = g(f(1)) =
= g(2) = 2.
 Assim concluímos que f °g ≠ g° f, ou seja, Sn n ≥ 3 não é um grupo abeliano.
O conjunto S1 somente possui um elemento que é:
S1 = .
O conjunto S2 possui dois elementos que são:
S2 = { }.
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Exercícios de Exemplo
1 - O conjunto P5(R)={a0 + a1x + a2x
2+...+a5x
5 | a0 , ..., a5 ∈ R} com a operação 
multiplicação é um grupo?
O conjunto P5(R) com a operação multiplicação não é um grupo, pois a multiplicação não 
é fechada em P5(R). De fato, p(x) = x
5, q(x) = x ∈ P5(R), porém
p(x).q(x) = x5. x = x5+1 = x6 P5(R).
2 - O conjunto 5Z = { x |x = 5m, m ∈ Z} com a operação soma é um grupo?
Para respondermos a essa questão, inicialmente verificaremos se a operação adição é 
fechada em 5Z. Sejam x, y ∈ 5Z, tal que x = 5m, y =5n, com m, n ∈ Z, temos:
x+y =5m + 5n = 5(m+n) ∈ 5Z.
Portanto, a operação adição é fechada em 5Z. Vejamos se as condições de grupo são verificadas:
I. A associatividade é válida, pois 5Z Z e em Z vale a propriedade associativa 
em relação à adição.
II. Existe o elemento neutro, pois 0 = 5.0, então 0 ∈ 5Z.
III. Todo elemento de 5Z possui elemento inverso em 5Z. De fato, seja x ∈ 5Z, 
tal que x = 5m, temos:
-x = -(5m) = 5(-m) ∈ 5Z
e –x é o elemento inverso de x, pois:
x + (-x) = 5m + 5(-m) = 5(m+(-m)) = 5.0 =0.
-x + x=0.
Portanto, 5Z é um grupo.
3 - O grupo (5Z) é abeliano?
O grupo 32Z será abeliano se for possível verificar a comutatividade em relação à adição. 
Como 5Z Z e Z é comutativo, 5Z será comutativo.
4 - Podemos afi rmar que (C, .) é grupo?
Não. Pois C não satisfaz a propriedade do elemento inverso. De fato, 0 ∈ C, porém 0 não 
possui inverso.
Porém temos que (C*, .) é grupo já que teríamos um complexo não nulo e por consequência 
a propriedade do elemento inverso.
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Material Complementar
Nesta unidade, estudamos sobre a história da álgebra abstrata e a estrutura algébrica grupo.
Para que você possaampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se construiu o 
conceito de Grupo e a sua própria definição, indicamos algumas leituras.
Livros:
ALENCAR FILHO, E. Elementos de Álgebra Abstrata. 3. ed. São Paulo: Nobel, 1982.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2003. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional 
de Matemática Pura e Aplicada, 2003. 
HEIRSTEIN, I, N. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Editora da Universidade e Polígono, 
1970.
MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1973
Sites:
A história da Álgebra Abstrata: MILIES, C. P. Breve história da Álgebra Abstrata. In: 
II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática. Salvador. 2004.
http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf
BORRALHO, A.; CABRITA, I.; PALHARES, P.; E VALE, I. Os Padrões no Ensino e 
Aprendizagem da Álgebra. In: VALE, I.; PIMENTEL, T.; BARBOSA, A.; FONSECA, L.; 
SANTOS L.; CANAVARRO, P. (Orgs.) Números e Álgebra. Lisboa: SEM-SPCE, 2007. 
p. 193-211.
http://rdpc.uevora.pt
Cubo Mágico e o Grupo.
http://www.dm.ufscar.br/profs/waldeck/rubik/rubik2.pdf
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Unidade: A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo
Referências
ALENCAR FILHO, E. Elementos de Álgebra Abstrata. 3. ed. São Paulo: Nobel, 1982.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2003. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2003. 
HEIRSTEIN, I, N. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Editora da Universidade e Polígono, 1970.
MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1973.
MILIES, C. P. Breve história da Álgebra Abstrata. In: II Bienal da Sociedade Brasileira da 
Matemática. Salvador. 2004. Disponível em: http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf
RIZZATO, F. B. Grupos de Permutação. Disponível em: http://www.matematica.br/
historia/grupos.html
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Anotações