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Módulo de um número Real 1 UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1 HAMILTOM L. GUIDORIZZI Exercícios Resolvidos @cicero.hitzschky Professor Cícero Hitzschky Introdução Buscando introduzir uma abordagem mais formal para os números reais, na seção 1.3 do livro Um curso de cálculo Vol.1, o autor aborda a definição e propriedades de módulo de um número real. Está noção é fundamental para os estudos de Cálculo Diferencial e Integral. Espero que gostem, compartilhem e curtam! Me motivando a fazer mais resoluções como esta. Para aulas sobre esses e outros assuntos clique no o link acima. Para um contato mais direto tirar alguma dúvida, clique no link acima e será direcionado ao meu instagram. 1. Elimine o módulo. (a) | − 5|+ | − 2|. Solução: Pela definição de módulo, temos | − 5| = 5 e | − 2| = 2. Logo, | − 5|+ | − 2| = 5 + 2 = 7 (b) | − 5 + 8|. Solução: Como −5 + 8 = 3, vemos que | − 5 + 8| = |3| = 3 (c) | − a|, a > 0. Solução: Ora, se a > 0, então −a < 0. Segue, pela definição, | − a| = −(−a) = a (d) |a|, a < 0. Solução: Ora, a < 0 Segue, pela definição, |a| = −(a) = −a. (e) | − a|. Solução: Devemos considerar dois casos. Pela definição temos: • Caso −a ≥ 0, temos | − a| = −a. • Caso −a < 0, temos | − a| = −(−a) = a. (f) |2a| − |3a|. Solução: Por propriedade de módulo, temos: |2a| − |3a| = |2||a| − |3||a| = 2|a| − 3|a| Daí, pela distributiva 2|a| − 3|a| = (2− 3)|a| = −1|a| = −|a| Com isso, há dois casos: Prof. Cícero Hitzschky https://www.instagram.com/cicero.hitzschky/?hl=pt-br#link.@cicero.hitzschky https://www.youtube.com/channel/UCaA6BkBJyvYuFKfd3JYTmUA/featured#vídeo.Professor Cícero Hitzschky Módulo de um número Real 2 • se a > 0, então −|a| = −a • se a < 0, então −|a| = −(−a) = a 2. Resolva as equações. (a) |x| = 2. Solução: Por definição, x = 2 ou x = −2. (b) |x+ 1| = 3. Solução: Usando a propriedade de módulo, vemos que |x+ 1| = 3 ⇔ |x+ 1|2 = 32 ⇔ (x+ 1)2 = 9 ⇔ x2 + 2x+ 1 = 9 ⇔ x2 + 2x− 8 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara ou a fatoração de polinômios obtemos x = −4 ou x = 2. (c) |2x− 1| = 1. Solução: Analogamente ao item anterior |2x−1| = 1 ⇔ (2x−1)2 = 1 ⇔ 4x2−4x+1 = 1 ⇔ 4x2−4x = 0 ⇔ 4x(x−1) = 0 ⇔ x(x−1) = 0 Portanto, x = 1 ou x = 0 (d) |x− 2| = −1. Solução: Tendo em mente a solução dos itens anteriores o aluno, despercebido, pode ir, mecanicamente, resolver esta questão. Entretanto, a solução exige algo muito mais simples. Ora, sabemos que |x| ≥ 0 para todo x ∈ R. Assim, |x− 2| ≥ 0. Portanto, |x− 2| = −1 é impossível. (e) |2x+ 3| = 0. Solução: Ora, por definição, |2x+ 3| = 0 ⇔ 2x+ 3 = 0 ⇔ x = −3 2 . 3. Resolva as inequações. (a) |x| ≤ 1. Solução: Por propriedade de módulo, |x| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. (b) |2x− 1| < 3. Solução: Por propriedade de módulo |2x− 1| < 3 ⇔ −3 < 2x− 1 < 3 ⇔ −3 + 1 < 2x− 1 + 1 < 3 + 1 Daí, −2 < 2x < 4 ⇔ −2 · 1 2 < ·1 2 2x < ·1 2 4 ⇔ −2 2 < 2 2 · x < 4 2 ⇔ −1 < x < 2. (c) |3x− 1| < −2. Solução: Não existe solução, pois |3x− 1| ≥ 0. Prof. Cícero Hitzschky Módulo de um número Real 3 (d) |3x− 1| < 1 3 . Solução: Analogamente ao item b, temos |3x− 1| < 1 3 ⇔ −1 3 < 3x− 1 < 1 3 ⇔ 2 3 < 3x < 4 3 ⇔ 2 9 < x < 4 9 . (e) |2x2 − 1| < 1. Solução: Analogamente aos itens anteriores, |2x2 − 1| < 1 ⇔ −1 < 2x2 − 1 < 1 ⇔ 0 < 2x2 < 2 ⇔ 0 < x2 < 1 Como x2 = 1 ⇔ x = ±1, concluímos que −1 < x < 1 e x ̸= 0. (f) |x− 3| < 4. Solução: Ora, |x− 3| < 4 ⇔ (x− 3)2 < 16 ⇔ x2 − 6x+ 9 < 16 ⇔ x2 − 6x− 7 < 0 Pela fórmula de Bhaskara, −1 < x < 7. (g) |x| > 3. Solução: Usaremos o resultado da questão 4 para fazer este item. Caso o leitor queira calcular sem usar este resultado, basta repetir a demonstração da questão 4 fazendo r = 3. Dito isso, vemos que |x| > 3 ⇔ x < −3 ou x > 3 . (h) |x+ 3| > 1. Solução: Pelo resultado da questão 4, temos |x+ 3| > 1 ⇔ x+ 3 < −1 ou x+ 3 > 1 Logo, x < −4 ou x > −2. (i) |2x− 3| > 3. Solução: Semelhantemente aos itens anteriores |2x− 3| > 3 ⇔ 2x− 3 < −3 ou 2x− 3 > 3 Logo, x < 0 ou x > 3. (j) |2x− 1| < x. Solução: Ora, |2x− 1| < x ⇔ −x < 2x− 1 < x Logo, −x < 2x − 1 e 2x − 1 < x que nos dá 1 < 3x e x < 1 . Daí, x > 1 3 e x < 1. Portanto, 1 3 < x < 1. Prof. Cícero Hitzschky Módulo de um número Real 4 (l) |x+ 1| < |2x− 1|. Solução: Note que |x+ 1| < |2x− 1| ⇔ |x+ 1|2 < |2x− 1|2 ⇔ (x+ 1)2 < (2x− 1)2 Disso, x2 + 2x+ 1 < 4x2 − 4x+ 1 o que acarreta 0 < 3x2 − 6x que nos dá x < 0 ou x > 2. (m) |x− 1| − |x+ 2| > x. Solução: Note que |x− 1| − |x+ 2| > x ⇔ |x− 1| − |x+ 2| − x > 0 Para resolver, precisaremos estudar os seguintes casos: • caso x ≥ 1 e x ≥ −2, temos (x− 1)− (x+ 2)− x > 0 ⇔ x− 1− x− 2− x > 0 ⇔ −3 > x • caso x < 1 e x < −2, temos −(x− 1)− [−(x+ 2)]− x > 0 ⇔ −x+ 1 + x+ 2− x > 0 ⇔ 3 > x • caso x ≥ 1 e x < −2, temos (x− 1)− [−(x+ 2)]− x > 0 ⇔ x− 1 + x+ 2− x > 0 ⇔ x > −1 • caso x < 1 e x ≥ −2, temos −(x−1)−(x+2)−x > 0 ⇔ −x+1−x−2−x > 0 ⇔ −3x−1 > 0 ⇔ −x > 1 3 ⇔ x < −1 3 Do primeiro caso, temos que x ≥ 1 para −3 > x, ou seja, não há como isso ocorrer. Pelo segundo, temos que para x < −2, temos 3 > x. Neste caso, x < −2. O terceiro caso não pode ocorrer, pois não tem como x ≥ 1 e x < −2. No último, temos 1 > x ≥ −2 e x < −1 3 . Isso nos dá x < −1 3 . Ora, dos casos que restaram, que foram o segundo e o último concluímos que x < −1 3 . (n) |x− 3| < x+ 1. Solução: Por propriedade de módulo, temos: |x− 3| < x+ 1 ⇔ −x− 1 < x− 3 < x+ 1 Logo, temos −x− 1 < x− 3 ⇔ 2 < 2x ⇔ 1 < x. (o) |x− 2|+ |x− 1| > 1. Solução: Um processo análogo ao item m, obtemos x < 1 ou x > 2. Prof. Cícero Hitzschky Módulo de um número Real 5 4. Suponha r > 0. Prove: |x| > r ⇔ x < −r ou x > r Demonstração. Ora, note que |x| > r e r > 0. Assim, |x| > r > 0 ⇔ |x|2 > r2 > 02 ⇔ x2 > r2 > 0 ⇔ x2 − r2 > 0 ⇔ (x− r)(x+ r) > 0 Isso ocorre caso (x − r > 0 e x + r > 0) ou (x − r < 0 e x + r < 0). Lembre que a · b = (−a) · (−b). Daí, (x > r e x > −r) ou (x < r e x < −r). Como r > 0, verificamos, sem dificuldade que, r > −r. Logo, x > r > −r ou x < −r < r. Equivalentemente, x > r ou x < −r 5. Elimine o módulo. (a) |x+ 1|+ |x| Solução: Ora, analisemos os casos: • Caso x+ 1 ≥ 0 e x ≥ 0, temos x+ 1 + x = 2x+ 1 • Caso x+ 1 < 0 e x ≥ 0, temos −(x+ 1) + x = −1 • Caso x+ 1 ≥ 0 e x < 0, temos x+ 1− x = 1 • Caso x+ 1 < 0 e x < 0, temos −(x+ 1)− x = −x− 1− x = −2x− 1 Logo, |x+ 1|+ |x| = 2x+ 1, se x ≥ 0 1, se − 1 < x < 0 2x+ 1, se x ≤ −1 . (b) |x− 2| − |x+ 1| Solução: • Caso x− 2 ≥ 0 e x+ 1 ≥ 0, temos x− 2− (x+ 1) = −3 • Caso x− 2 < 0 e x+ 1 ≥ 0, temos −(x− 2)− (x+ 1) = −2x+ 1 Prof. Cícero Hitzschky Módulo de um número Real 6 • Caso x− 2 ≥ 0 e x+ 1 < 0, temos x− 2− [−(x+ 1)] = x− 2 + x+ 1 = 2x− 1 • Caso x− 2 < 0 e x+ 1 < 0, temos −(x− 2)− [−(x+ 1)] = −x+ 2 + x+ 1 = 3 Logo, |x− 2| − |x+ 1| = −3, se x ≥ 2 −2x+ 1, se − 1 ≤ x < 2 3, se x < −1 (c) |2x− 1|+ |x− 2| Solução: • Caso 2x− 1 ≥ 0 e x− 2 ≥ 0, temos 2x− 1 + x− 2 = 3x− 3 • Caso 2x− 1 < 0 e x− 2 ≥ 0, temos −(2x− 1) + x− 2 = 3x− 1 • Caso 2x− 1 ≥ 0 e x− 2 < 0, temos 2x− 1− (x− 2) = x+ 1 • Caso 2x− 1 < 0 e x− 2 < 0, temos −(2x− 1)− (x− 2) = −3x+ 3 Logo, |2x− 1|+ |x− 2| = −3x+ 3, se x ≤ 1 2 x+ 1, se 1 2 < x < 2 3x− 3, se x ≥ 2 (d) |x|+ |x− 1|+ |x− 2| Solução: Fazendo o processo análogo aos itens anteriores obtemos |x|+ |x− 1|+ |x− 2| = −3x+ 3, se x ≤ 0 −x+ 3, se 0 < x ≤ 1 x+ 1, se 1 < x ≤ 2 3x− 3, se x ≥ 2. 6. Prove: |x+ y| = |x|+ |y| ⇔ xy ≥ 0 Prof. Cícero Hitzschky Módulo de um número Real 7 Demonstração. (⇒) Suponha, por redução ao absurdo que |x+ y| = |x|+ |y| ⇒ xy < 0. Assim, por propriedade modular, |x+ y|2 = (|x|+ |y|)2 = |x|2 + 2|xy|+ |y|2 = x2 + 2|xy|+ y2 Por outra propriedade, temos |x+ y|2 = (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 Isso acarreta que x2 + 2|xy|+ y2 = x2 + 2xy + y2 Fazendo os cortes obtemos |xy| = xy < 0. Daí,|xy| < 0. Absurdo! Logo, |x + y| = |x|+ |y| ⇒ xy ≥ 0 (⇐) Reciprocamente, suponha que xy ≥ 0. Já sabemos que |x + y|2 = |x|2 + 2xy + |y|2 pela primeira parte da demonstração. Por hipótese xy = |xy|, pois xy ≥ 0. Dai, |x|2 + 2xy + |y|2 = |x|2 + 2|xy|+ |y|2 = (|x|+ |y|)2 Conclusão |x+ y|2 = (|x|+|y|)2. Portanto, |x+ y| = |x|+ |y| 7. Prove: (a) |x− y| ≥ |x| − |y| Demonstração. Ora, |x| = |x+ 0| = |x− y + y| = |(x− y) + y| Pela desigualdade triangular, temos |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|. Disso, |x| ≤ |x− y|+ |y|. Portanto, |x| − |y| ≤ |x− y| (b) |x− y| ≥ |y| − |x| Demonstração. Note que |y| = |y − x+ x| ≤ |y − x|+ |x| ⇒ |y| − |x| ≤ |y − x| Só que |x| = | − x| para todo x ∈ R. Assim, |y − x| = |x− y|. Portanto, |y| − |x| ≤ |x− y| (c) ||y| − |x|| ≤ |x− y| Demonstração. Pelo item a sabemos que |x − y| ≥ |x| − |y|. Multiplicando por -1 obtemos −|x− y| ≤ |y| − |x|. Pelo item b temos |y| − |x| ≤ |x− y|. Assim, −|x− y| ≤ |y| − |x| ≤ |x− y| Por propriedade de módulo, ||y| − |x|| ≤ |x− y|. Prof. Cícero Hitzschky
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