Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional Iniciação à Matemática Autores: Krerley Oliveira Adán J. Corcho Unidade I: Capítulos I e II . Dedicamos este livro as nossas esposas e filhos, que compreenderam os sábados sacrificados em função de escrevê-lo e a nossos pais, por tudo o que eles representam. Tente! E não diga que a vitória está perdida. Se é de batalhas que se vive a vida. Tente outra vez! (Raul Seixas) vi Sumário Prefácio xi 1 Primeiros Passos 1 1.1 Organizando as Ideias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Verdadeiro ou Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Teoremas e Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Métodos de Demonstração . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Algumas Dicas para Resolver Problemas . . . . . . . . 15 1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 . . . . . . . . . . 18 1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Equações e Inequações 31 2.1 Equações do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau . . . . . . . . 42 2.2.1 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Equação do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.1 Completando Quadrados . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Relação entre Coeficientes e Raízes . . . . . . . 55 2.3.3 Equações Biquadradas . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.4 O Método de Vièti . . . . . . . . . . . . . . . . 60 vii viii SUMÁRIO 2.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5 Inequação do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Inequação do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.6.1 Máximos e Mínimos das Funções Quadráticas . 75 2.7 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7.1 Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7.2 Um Sistema de Equações Não lineares . . . . . 80 2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 Divisibilidade 89 3.1 Conceitos Fundamentais e Divisão Euclidiana . . . . . 90 3.2 Bases Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum . 106 3.3.1 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3.3 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . 115 3.3.4 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . 120 3.4 Números Primos e Compostos . . . . . . . . . . . . . . 123 3.5 Procurando Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5.1 O Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5.2 Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.5.3 O Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . 133 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4 O Princípio da Casa dos Pombos 143 4.1 Primeiros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.2 Uma Versão mais Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.3 Aplicações na Teoria dos Números . . . . . . . . . . . . 149 4.4 Aplicações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 SUMÁRIO ix 4.5 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5 Contagem 161 5.1 Princípio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . 162 5.2 Princípio Multiplicativo de Contagem . . . . . . . . . . 170 5.3 Uso Simultâneo dos Princípios Aditivo e Multiplicativo 178 5.4 Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.5 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.6 Combinações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.7 O Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.8 Contagem e Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6 Indução Matemática 203 6.1 Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.1 Demonstrando Identidades . . . . . . . . . . . . 206 6.2.2 Demonstrando Desigualdades . . . . . . . . . . 210 6.2.3 Indução e Problemas de Divisibilidade . . . . . 212 6.3 Indução na Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.4 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.4.1 Cuidados ao Usar o Princípio da Indução . . . . 222 6.5 Indução e Recorrências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7 Desigualdades 233 7.1 Desigualdade Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.2 Desigualdade das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 x SUMÁRIO 7.3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . 245 7.4 Desigualdade de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8 Polinômios 255 8.1 Operações com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.3 Sempre Existem Raízes de um Polinômio? . . . . . . . . 268 8.3.1 Números Complexos e Raízes de Polinômios . . 269 8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 A Apêndice: Funções 279 Referências 285 Prefácio Imaginação é mais importante que onhe imento. Albert Einstein �Leo, vo ê tem uma religião? Assim, uma religião, omo judaísmo, ou ristianismo, ou Matemáti a...?� Alon Peres, 6 anos, �lho do Matemáti o Yuval Peres Neste livro pretendemos oferecer ao leitor uma introdução à Mate- mática Elementar. Juntando as experiências didáticas vividas pelos autores individualmente no Brasil e em Cuba, e mais alguns anos juntos como treinadores de projetos de introdução à Matemática no estado de Alagoas, esperamos tornar para o leitor a Matemática mais interessante, mostrando um pouco do imenso brilho e beleza que ela esconde. O livro foi escrito em capítulos, cada um deles detalhando um tema central e trazendo alguns teoremas fundamentais. Com muitos exemplos e aplicações dos conceitos introduzidos, pretendemos mos- trar ao leitor a importância do assunto abordado. A organização dos exemplos tenta seguir uma linha em ordem crescente de dificuldade e, para o melhor aproveitamento do livro, o trabalho com os exercícios é parte fundamental. Ler o enunciado e resolver o maior número pos- xi xii Prefácio sível de exercícios é imperativo. Como já disse o Prof. Elon Lima, �Matemática não se aprende passivamente�. Os exemplos e aplicações dos conceitos, bem como os teoremas, devem ser lidos com cuidado e muita atenção. Para os estudantes que desejem treinar para olimpíadas de Matemática, sugerimos que formem grupos de estudo para trabalhar os temas individualmente, sob a orientação de um professor. Acreditamos que o texto pode ser utilizado em uma disciplina elementar num curso de licenciatura ou bacharelado em Matemática. O primeiro capítulo é para introduzir o leitor no espírito do livro e dar uma amostra do tipo de problemas e material que seguirá nos demais capítulos. São propostos alguns problemas, muitos deles com soluções, e discutimos alguns métodos importantes para uso no dia a dia dos estudantes. Nesta discussão incluímos o estudo de proposições matemáticas, provas por contraposição, o método de redução ao absur- do e algumas outras regras básicas e cuidados que devemos ter ao resolver problemas em Matemática. Em seguida, estudamos as equações do primeiro e do segundo grau. Estudamos os métodos de resolução dessas equações, sistemas de equa- ções, relações entre raízes e coeficientes, bem como alguns problemas interessantes que podem ser solucionados via essas equações. Em se- guida, estudamos inequações do primeiro e do segundo grau. O capítulo seguinte trata do conceito de divisibilidade. Tentamos introduzir o leitor nos principais aspectos básicos, incluindo-se a divisi- bilidade com resto, máximo