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Mestrado Profissional
em Matemática em Rede Nacional
Iniciação à Matemática
Autores:
Krerley Oliveira Adán J. Corcho
Unidade I:
Capítulos I e II
.
Dedicamos este livro as nossas esposas e filhos, que compreenderam
os sábados sacrificados em função de escrevê-lo e a nossos pais, por
tudo o que eles representam.
Tente! E não diga que a vitória está perdida. Se é de batalhas que se
vive a vida. Tente outra vez! (Raul Seixas)
vi
Sumário
Prefácio xi
1 Primeiros Passos 1
1.1 Organizando as Ideias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Verdadeiro ou Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Teoremas e Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Métodos de Demonstração . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Algumas Dicas para Resolver Problemas . . . . . . . . 15
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 . . . . . . . . . . 18
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Equações e Inequações 31
2.1 Equações do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau . . . . . . . . 42
2.2.1 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Equação do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Completando Quadrados . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Relação entre Coeficientes e Raízes . . . . . . . 55
2.3.3 Equações Biquadradas . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.4 O Método de Vièti . . . . . . . . . . . . . . . . 60
vii
viii SUMÁRIO
2.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Inequação do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Inequação do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.1 Máximos e Mínimos das Funções Quadráticas . 75
2.7 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.1 Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.2 Um Sistema de Equações Não lineares . . . . . 80
2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Divisibilidade 89
3.1 Conceitos Fundamentais e Divisão Euclidiana . . . . . 90
3.2 Bases Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum . 106
3.3.1 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.3 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . 115
3.3.4 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . 120
3.4 Números Primos e Compostos . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Procurando Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.1 O Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.2 Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.3 O Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . 133
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4 O Princípio da Casa dos Pombos 143
4.1 Primeiros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Uma Versão mais Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3 Aplicações na Teoria dos Números . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Aplicações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
SUMÁRIO ix
4.5 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5 Contagem 161
5.1 Princípio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . 162
5.2 Princípio Multiplicativo de Contagem . . . . . . . . . . 170
5.3 Uso Simultâneo dos Princípios Aditivo e Multiplicativo 178
5.4 Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.6 Combinações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.7 O Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.8 Contagem e Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6 Indução Matemática 203
6.1 Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2.1 Demonstrando Identidades . . . . . . . . . . . . 206
6.2.2 Demonstrando Desigualdades . . . . . . . . . . 210
6.2.3 Indução e Problemas de Divisibilidade . . . . . 212
6.3 Indução na Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.4 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.4.1 Cuidados ao Usar o Princípio da Indução . . . . 222
6.5 Indução e Recorrências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7 Desigualdades 233
7.1 Desigualdade Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.2 Desigualdade das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
x SUMÁRIO
7.3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . 245
7.4 Desigualdade de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8 Polinômios 255
8.1 Operações com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.3 Sempre Existem Raízes de um Polinômio? . . . . . . . . 268
8.3.1 Números Complexos e Raízes de Polinômios . . 269
8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
A Apêndice: Funções 279
Referências 285
Prefácio
Imaginação é mais importante que 
onhe
imento.
Albert Einstein
�Leo, vo
ê tem uma religião? Assim, uma religião, 
omo judaísmo,
ou 
ristianismo, ou Matemáti
a...?�
Alon Peres, 6 anos, �lho do Matemáti
o Yuval Peres
Neste livro pretendemos oferecer ao leitor uma introdução à Mate-
mática Elementar. Juntando as experiências didáticas vividas pelos
autores individualmente no Brasil e em Cuba, e mais alguns anos
juntos como treinadores de projetos de introdução à Matemática no
estado de Alagoas, esperamos tornar para o leitor a Matemática mais
interessante, mostrando um pouco do imenso brilho e beleza que ela
esconde.
O livro foi escrito em capítulos, cada um deles detalhando um
tema central e trazendo alguns teoremas fundamentais. Com muitos
exemplos e aplicações dos conceitos introduzidos, pretendemos mos-
trar ao leitor a importância do assunto abordado. A organização dos
exemplos tenta seguir uma linha em ordem crescente de dificuldade e,
para o melhor aproveitamento do livro, o trabalho com os exercícios
é parte fundamental. Ler o enunciado e resolver o maior número pos-
xi
xii Prefácio
sível de exercícios é imperativo. Como já disse o Prof. Elon Lima,
�Matemática não se aprende passivamente�.
Os exemplos e aplicações dos conceitos, bem como os teoremas,
devem ser lidos com cuidado e muita atenção. Para os estudantes
que desejem treinar para olimpíadas de Matemática, sugerimos que
formem grupos de estudo para trabalhar os temas individualmente,
sob a orientação de um professor. Acreditamos que o texto pode ser
utilizado em uma disciplina elementar num curso de licenciatura ou
bacharelado em Matemática.
O primeiro capítulo é para introduzir o leitor no espírito do livro
e dar uma amostra do tipo de problemas e material que seguirá nos
demais capítulos. São propostos alguns problemas, muitos deles com
soluções, e discutimos alguns métodos importantes para uso no dia a
dia dos estudantes. Nesta discussão incluímos o estudo de proposições
matemáticas, provas por contraposição, o método de redução ao absur-
do e algumas outras regras básicas e cuidados que devemos ter ao
resolver problemas em Matemática.
Em seguida, estudamos as equações do primeiro e do segundo grau.
Estudamos os métodos de resolução dessas equações, sistemas de equa-
ções, relações entre raízes e coeficientes, bem como alguns problemas
interessantes que podem ser solucionados via essas equações. Em se-
guida, estudamos inequações do primeiro e do segundo grau.
O capítulo seguinte trata do conceito de divisibilidade. Tentamos
introduzir o leitor nos principais aspectos básicos, incluindo-se a divisi-
bilidade com resto, máximo