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Mestrado Profissional
em Matemática em Rede Nacional
Iniciação à Matemática
Autores:
Krerley Oliveira Adán J. Corcho
Unidade I:
Capítulos I e II
.
Dedicamos este livro as nossas esposas e filhos, que compreenderam
os sábados sacrificados em função de escrevê-lo e a nossos pais, por
tudo o que eles representam.
Tente! E não diga que a vitória está perdida. Se é de batalhas que se
vive a vida. Tente outra vez! (Raul Seixas)
vi
Sumário
Prefácio xi
1 Primeiros Passos 1
1.1 Organizando as Ideias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Verdadeiro ou Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Teoremas e Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Métodos de Demonstração . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Algumas Dicas para Resolver Problemas . . . . . . . . 15
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 . . . . . . . . . . 18
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Equações e Inequações 31
2.1 Equações do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau . . . . . . . . 42
2.2.1 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Equação do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Completando Quadrados . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Relação entre Coeficientes e Raízes . . . . . . . 55
2.3.3 Equações Biquadradas . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.4 O Método de Vièti . . . . . . . . . . . . . . . . 60
vii
viii SUMÁRIO
2.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Inequação do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Inequação do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.1 Máximos e Mínimos das Funções Quadráticas . 75
2.7 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.1 Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.2 Um Sistema de Equações Não lineares . . . . . 80
2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Divisibilidade 89
3.1 Conceitos Fundamentais e Divisão Euclidiana . . . . . 90
3.2 Bases Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum . 106
3.3.1 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.3 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . 115
3.3.4 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . 120
3.4 Números Primos e Compostos . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Procurando Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.1 O Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.2 Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.3 O Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . 133
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4 O Princípio da Casa dos Pombos 143
4.1 Primeiros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Uma Versão mais Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3 Aplicações na Teoria dos Números . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Aplicações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
SUMÁRIO ix
4.5 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5 Contagem 161
5.1 Princípio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . 162
5.2 Princípio Multiplicativo de Contagem . . . . . . . . . . 170
5.3 Uso Simultâneo dos Princípios Aditivo e Multiplicativo 178
5.4 Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.6 Combinações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.7 O Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.8 Contagem e Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6 Indução Matemática 203
6.1 Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2.1 Demonstrando Identidades . . . . . . . . . . . . 206
6.2.2 Demonstrando Desigualdades . . . . . . . . . . 210
6.2.3 Indução e Problemas de Divisibilidade . . . . . 212
6.3 Indução na Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.4 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.4.1 Cuidados ao Usar o Princípio da Indução . . . . 222
6.5 Indução e Recorrências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7 Desigualdades 233
7.1 Desigualdade Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.2 Desigualdade das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
x SUMÁRIO
7.3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . 245
7.4 Desigualdade de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8 Polinômios 255
8.1 Operações com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.3 Sempre Existem Raízes de um Polinômio? . . . . . . . . 268
8.3.1 Números Complexos e Raízes de Polinômios . . 269
8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
A Apêndice: Funções 279
Referências 285
Prefácio
Imaginação é mais importante que 
onhe
imento.
Albert Einstein
�Leo, vo
ê tem uma religião? Assim, uma religião, 
omo judaísmo,
ou 
ristianismo, ou Matemáti
a...?�
Alon Peres, 6 anos, �lho do Matemáti
o Yuval Peres
Neste livro pretendemos oferecer ao leitor uma introdução à Mate-
mática Elementar. Juntando as experiências didáticas vividas pelos
autores individualmente no Brasil e em Cuba, e mais alguns anos
juntos como treinadores de projetos de introdução à Matemática no
estado de Alagoas, esperamos tornar para o leitor a Matemática mais
interessante, mostrando um pouco do imenso brilho e beleza que ela
esconde.
O livro foi escrito em capítulos, cada um deles detalhando um
tema central e trazendo alguns teoremas fundamentais. Com muitos
exemplos e aplicações dos conceitos introduzidos, pretendemos mos-
trar ao leitor a importância do assunto abordado. A organização dos
exemplos tenta seguir uma linha em ordem crescente de dificuldade e,
para o melhor aproveitamento do livro, o trabalho com os exercícios
é parte fundamental. Ler o enunciado e resolver o maior número pos-
xi
xii Prefácio
sível de exercícios é imperativo. Como já disse o Prof. Elon Lima,
�Matemática não se aprende passivamente�.
Os exemplos e aplicações dos conceitos, bem como os teoremas,
devem ser lidos com cuidado e muita atenção. Para os estudantes
que desejem treinar para olimpíadas de Matemática, sugerimos que
formem grupos de estudo para trabalhar os temas individualmente,
sob a orientação de um professor. Acreditamos que o texto pode ser
utilizado em uma disciplina elementar num curso de licenciatura ou
bacharelado em Matemática.
O primeiro capítulo é para introduzir o leitor no espírito do livro
e dar uma amostra do tipo de problemas e material que seguirá nos
demais capítulos. São propostos alguns problemas, muitos deles com
soluções, e discutimos alguns métodos importantes para uso no dia a
dia dos estudantes. Nesta discussão incluímos o estudo de proposições
matemáticas, provas por contraposição, o método de redução ao absur-
do e algumas outras regras básicas e cuidados que devemos ter ao
resolver problemas em Matemática.
Em seguida, estudamos as equações do primeiro e do segundo grau.
Estudamos os métodos de resolução dessas equações, sistemas de equa-
ções, relações entre raízes e coeficientes, bem como alguns problemas
interessantes que podem ser solucionados via essas equações. Em se-
guida, estudamos inequações do primeiro e do segundo grau.
O capítulo seguinte trata do conceito de divisibilidade. Tentamos
introduzir o leitor nos principais aspectos básicos, incluindo-se a divisi-
bilidade com resto, máximodivisor comum e mínimo múltiplo comum,
números primos e compostos, e um pouco de equações diofantinas li-
neares.
Um capítulo útil para o estudante que deseja participar de Olim-
Prefácio xiii
píadas de Matemática é o que trata do princípio da casa dos pombos.
Este capítulo é um belo exemplo de como algo aparentemente ingênuo
pode gerar consequências interessantes. Alguns dos exemplos estão
conectados com os capítulos anteriores e aparentemente aplicam o
princípio de modo inusitado, em problemas de geometria, teoria dos
números e em áreas diversas.
No capítulo de contagem, começamos com noções úteis sobre con-
juntos e princípios básicos para contar os elementos de um conjunto.
Nesse capítulo, estamos mais preocupados com as aplicações imediatas
do assunto, sugerindo alguns problemas para o estudante iniciante.
Seguimos discutindo os tipos de agrupamento de elementos e suas
consequências. Obtemos o binômio de Newton e introduzimos a no-
ção de probabilidade de um conjunto, resolvendo alguns problemas
relacionados.
Em seguida, estudante se depara com uma arma poderosa do mate-
mático. O método da indução finita é estudado procurando conectar
esta noção com os capítulos anteriores, reobtendo com o auxílio do
método da indução algumas coisas que já foram deduzidas por outros
métodos. Vários exemplos e problemas são resolvidos, alguns deles de
modo surpreendente e inesperado.
No próximo capítulo, introduzimos algumas desigualdades popula-
res para o uso do estudante. Algumas dessas desigualdades são muito
importantes no estudo mais profundo da Matemática e não apare-
cem em cursos introdutórios, apesar de suas provas e aplicações serem
elementares. Todas as desigualdades aparecem com demonstrações,
em muito dos casos utilizando-se álgebra elementar e o método de
indução finita. São apresentados vários exemplos que mostram a uti-
lidade dessas desigualdades em alguns problemas práticos. Para fixar
xiv Prefácio
o conhecimento, propomos vários exercícios complementares. Alguns
deles, cuja solução é mais elaborada, são sugeridos. No último ca-
pítulo, estudamos um pouco as propriedades gerais dos polinômios.
Para complementar a formação do leitor menos experiente, incluímos
um apêndice sobre funções.
Somos gratos a muitas pessoas que colaboraram com a elaboração
deste livro com sugestões e correções em versões iniciais. Entre eles,
citamos: Carlos Gustavo Moreira, Ali Tahzibi, Feliciano Vitório, Edu-
ardo Teixeira, Chico Potiguar e vários de nossos alunos de Iniciação
Científica e mestrado, que por várias ocasiões deram sugestões para
a melhoria do texto. Um agradecimento especial vai para Fernando
Echaiz, que nos ajudou ativamente nas notas do Capítulo 5 que origi-
naram este texto. Finalmente, agradecemos aos revisores pela leitura
cuidadosa e ao comitê editorial da SBM, na pessoa da profa. Helena
Lopes, pelo excelente trabalho de editoração.
Maceió, Abril de 2010
Krerley Oliveira
Adán J. Corcho
1
Primeiros Passos
Redu
tio ad absurdum, que Eu
lides gostava tanto, é uma das mais
�nas armas do matemáti
o. É muito mais �no que um movimento
de xadrez: o jogador de xadrez pode ofere
er o sa
rifí
io de uma
peça, mas o matemáti
o ofere
e o jogo inteiro.
G. H. Hardy
Neste capítulo, discutiremos algumas ideias gerais e convenções
que servirão como base para os diferentes métodos de resolução de
problemas que trataremos nos capítulos seguintes. Alguns dos exem-
plos que abordamos serão úteis para orientar quanto ao cuidado que
devemos ter quando discutimos problemas em Matemática.
1.1 Organizando as Ideias
Para resolver problemas matemáticos precisamos ter bem claro o que
devemos provar e o que estamos assumindo como verdade. É sobre
isso que falaremos agora. Começaremos observando as seguintes afir-
mações:
1
2 1 Primeiros Passos
(a) A soma de dois números pares é sempre um número par.
(b) Todo brasileiro é carioca.
(c) A terra é um planeta.
(d) Se c é o comprimento da diagonal de um retângulo de lados a e
b, então c2 = a2 + b2.
(e) Se a < 1, então a2 > a.
Todas as afirmações acima se encaixam no conceito de proposição,
que damos a seguir.
Uma proposição ou sentença é uma frase afirmativa em forma de
oração, com sujeito, verbo e predicado, que ou é falsa ou é verdadeira,
sem dar lugar a uma terceira alternativa.
Por exemplo, as proposições (a) e (c) são claramente verdadeiras;
mais adiante nos convenceremos da veracidade da proposição (d). Por
outro lado, as proposições (b) e (e) são falsas. Com efeito, para cons-
tatar a veracidade da sentença (b) teríamos que checar o registro de
nascimento de cada brasileiro e verificar se nasceu no Rio de Janeiro,
mas isto é falso pois o conhecido escritor Graciliano Ramos é um
brasileiro nascido em Alagoas. Analogamente, para convencer-nos de
que a proposição (e) é falsa basta tomar a = 1/2 e checar que (1/2)2 =
1/4 não é maior do que 1/2 como a sentença afirma. Em ambos os
casos temos verificado que as proposições (b) e (e) são falsas apre-
sentando casos particulares onde as mesmas deixam de valer. Estes
casos particulares são chamados de contraexemplos e são muito úteis
para verificar a falsidade de algumas proposições.
Notemos que as proposições (d) e (e) são do tipo:
1.1 Organizando as Ideias 3
�Se P , então Q�,
onde P e Q também são sentenças. Por exemplo, na proposição (e)
temos que:
P : c é o comprimento da diagonal de um retângulo de lados a e b,
Q: c2 = a2 + b2,
ou seja, estamos assumindo que P é verdade e usando este fato deve-
mos verificar se P é verdade ou não.
Uma proposição condicional ou implicativa é uma nova proposição
formada a partir de duas proposições P e Q, que é escrita na forma:
�Se P , então Q� ou �P implica Q�,
onde para o último caso usamos a notação: P =⇒ Q. Chamaremos
a proposição P de hipótese e a proposição Q de tese. A hipótese
também é chamada de proposição antecedente e a tese, de proposição
consequente.
Por exemplo, na proposição condicional (f) a hipótese é: a < 1 e a
tese é: a2 > a.
A partir de uma de uma proposição condicional podem-se gerar
novas proposições que são de especial interesse para os matemáticos.
Vamos chamar o modo em que apresentamos uma proposição de forma
positiva. Por exemplo, quando enunciamos a proposição
�Se como laranja, então gosto de frutas�,
assumimos esta afirmação como sua forma positiva. Vamos descrever
agora como podemos obter novas proposições a partir desta.
4 1 Primeiros Passos
Forma recíproca de uma proposição condicional: para cons-
truirmos a forma recíproca, temos que trocar na forma positiva a hi-
pótese pela proposição consequente e vice-versa. Vejamos em nosso
exemplo:
Forma da proposição Hipótese Tese
Positiva como laranja gosto de frutas
Recíproca gosto de frutas como laranja
Assim, a recíproca de proposição de nosso exemplo é então:
�Se gosto de frutas, então como laranja�
Forma contrapositiva de uma proposição condicional: Para
obtermos a forma contrapositiva a partir da forma positiva de uma
proposição condicional podemos fazer primeiro sua forma recíproca e
em seguida negamos as sentenças antecedente e consequente da recí-
proca ou, também, podemos primeiro negar as sentenças antecedente
e consequente da forma positiva e imediatamente fazer a forma recí-
proca desta última. A forma contrapositiva também é conhecida como
forma contrarrecíproca. Usando novamente nosso exemplo temos que:
Forma da Proposição Hipótese Tese
Positiva como laranja gosto de frutas
Recíproca gosto de frutas como laranja
Contrapositiva não gosto de frutas não como laranja
Portanto, a forma contrapositiva escreve-se assim:
1.2 Verdadeiro ou Falso? 5
�Se não gosto de fruta, então não como laranja�
Em particular, a forma contrapositiva de uma proposição poderá ser,
eventualmente, uma forma indireta muito eficaz de verificar resultados
em Matemática.
1.2 Verdadeiro ou Falso?
Uma das coisas que distingue a Matemática das demais ciências natu-
rais é o fato de que um tema de Matemáticaé discutido utilizando-se
a lógica pura e, por conta disso, uma proposição em Matemática, uma
vez comprovada sua veracidade, é aceita como verdade irrefutável e
permanecerá assim através dos séculos. Por exemplo, até hoje usamos
o teorema de Tales do mesmo modo que foi usado antes de Cristo e
este fato continuará valendo eternamente.
Vamos ilustrar melhor essa diferença com um exemplo em Geo-
grafia. Hoje, todos nós sabemos que a Terra tem aproximadamente
o formato de uma laranja, um pouco achatada nos polos. Porém,
na época de Pitágoras, um dos grandes temores dos navegadores era
encontrar o fim do mundo. No pensamento de alguns destes aventu-
reiros, a Terra tinha o formato de um cubo, e uma vez chegando em
um dos seus extremos, o navio despencaria no vazio. Esse é um dos
muitos exemplos de como a concepção da natureza mudou ao longo
do tempo, transformando uma concepção verdadeira num período da
humanidade em algo completamente falso em outra época. Porém,
para nossa felicidade, isso não acontece na Matemática. Uma propo-
sição matemática ou é verdadeira ou é falsa e permanecerá assim para
sempre.
6 1 Primeiros Passos
Mas como saber se uma proposição é verdadeira ou falsa? A pri-
meira coisa que devemos fazer é tomar muito cuidado. As aparências
enganam ou, como diziam nossos avós, �nem tudo que reluz é ouro�.
O leitor, avisado disso, pense agora na seguinte pergunta:
Pergunta 1: Qual é a chance de que pelo menos duas pessoas num
ônibus com 44 passageiros façam aniversário no mesmo dia do ano?
Como já avisamos, o leitor deve ter cuidado ao responder à per-
gunta acima, pois podemos nos enganar muito facilmente. Por exem-
plo, podemos formular o seguinte argumento errado: o ano tem 365
dias e, como estou escolhendo um grupo de 44 (número muito pequeno
com respeito a 365) pessoas ao acaso, é claro que podemos responder
à pergunta com a seguinte afirmação:
Resposta intuitiva: A chance de que num grupo de 44 pessoas pelo
menos duas delas façam aniversário no mesmo dia do ano é pequena.
À primeira vista a resposta dada pode até parecer verdadeira, mas
com uma análise mais cuidadosa veremos que é completamente falsa.
Na verdade, a chance de que pelo menos duas pessoas do ônibus façam
aniversário no mesmo dia do ano é de cerca de 93%!
Quem não acreditar nisto pode fazer duas coisas: primeiro, ir a
sua sala de aula ou no seu ônibus escolar, que deve ter pelo menos
44 pessoas, e fazer o experimento ao vivo. Muito provavelmente você
deve conseguir duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia do
ano. Se você verifica que existem duas pessoas que fazem aniversário
no mesmo dia do ano, não é por acaso, pois a chance de isso acontecer
é muito alta. Mas, cuidado! Isso não é uma prova matemática para
este fato. Para provar que este fato é verdadeiro você deve verificar
que se escolhermos ao acaso um grupo de 44 pessoas então com aproxi-
1.2 Verdadeiro ou Falso? 7
madamente 93% de chance, pelo menos duas delas fazem aniversário
no mesmo dia do ano!
Porém, se você faz o experimento e não encontra duas pessoas que
fazem aniversário no mesmo dia do ano (você seria muito azarado!),
não se desespere. Lembre-se de que se trata de algo que acontece com
chance de 93% e que pode não acontecer quando fazemos um teste.
Em qualquer um dos casos, para ter a certeza de que a proposição
é verdadeira o leitor deve demonstrá-la. Faremos isso no final do
Capítulo
Vamos analisar agora outro fato aparentemente óbvio.
Pergunta 2: Num campeonato de futebol onde cada time joga a
mesma quantidade de jogos, cada vitória vale três pontos, o empate
vale um ponto e a derrota nenhum ponto. Em caso de empate, o
critério de desempate entre as equipes era o seguinte:
• A melhor equipe é aquela que tem mais vitórias.
Os organizadores decidiram passar a adotar o critério a seguir:
• A melhor equipe é aquela que tem mais derrotas.
Você acha que este último critério adotado é justo?
Com respeito a esta pergunta, o leitor deve ter respondido do se-
guinte modo:
Resposta: Um time que perdeu mais é pior que um que perdeu me-
nos; portanto, a mudança de critério é totalmente injusta. Acertamos
a sua resposta?
Na verdade, não houve mudança nenhuma de critério, ou seja,
ambos os critérios nos conduzem ao mesmo ganhador.
8 1 Primeiros Passos
Para ver isso rapidamente, lembre-se de que se a equipe A perdeu
mais que a equipe B e ainda assim empataram, então ela deve ter
ganho mais, para que no fim do campeonato a equipe A ainda assim
conseguisse empatar com a equipe B. Vamos mostrar isso precisa-
mente. Sejam d1, e1, v1 o número de derrotas, empates e vitórias,
respectivamente, da equipe A. Do mesmo modo, sejam d2, e2, v2 o
número de derrotas, empates e vitórias, respectivamente, da equipe
B. Suponhamos que a equipe A obteve mais vitórias do que a equipe
B, ou seja, que v1 > v2. Como cada equipe jogou o mesmo número de
jogos, temos que
d1 + e1 + v1 = d2 + e2 + v2. (1.1)
Por outro lado, note que o número de pontos obtidos pela equipe A é
e1 + 3v1. Do mesmo modo, o número de pontos obtidos pela equipe
B é igual a e2 + 3v2. Como as duas empataram, temos que:
e1 + 3v1 = e2 + 3v2.
Ou ainda,
3(v1 − v2) = e2 − e1 ou v2 − v1 = −e2 − e1
3
.
Como v1−v2 > 0, temos que e2−e1 > 0. Reescrevendo a equação (1.1),
temos que:
d1 − d2 = e2 − e1 + (v2 − v1) = e2 − e1 − e2 − e1
3
=
2
3
(e2 − e1).
Logo, temos que d1 − d2 > 0, pois e2 − e1 > 0. Isso significa que
A teve mais derrotas que B; logo, qualquer um dos dois critérios de
desempate usado nos leva à equipe vencedora.
1.3 Teoremas e Demonstrações 9
Assim, como estes dois exemplos mostram, ao depararmos com um
problema em Matemática, devemos ter cuidado ao tirar conclusões
apressadas para evitar que cometamos algum engano. Pode acontecer
que uma situação que é claramente falsa para um observador menos
atento, se mostre verdadeira quando fazemos uma análise mais crite-
riosa.
1.3 Teoremas e Demonstrações
Agora definimos o que entendemos por demonstração matemática de
uma proposição.
Uma demonstração em Matemática é o processo de raciocínio ló-
gico e dedutivo para checar a veracidade de uma proposição condici-
onal. Nesse processo são usados argumentos válidos, ou seja, aqueles
que concluam afirmações verdadeiras a partir de fatos que também
são verdadeiros.
Como exemplo de demonstração citamos a argumentação usada
para mostrar na segunda pergunta da seção anterior que os critérios
de desempate eram similares.
Sempre que, via uma demonstração, comprovemos a veracidade de
uma proposição passamos então a chamar esta de teorema. Assim, um
teorema é qualquer afirmação que possa ser verificada mediante uma
demonstração.
Alguns teoremas se apresentam na forma de uma proposição con-
dicional, isto é, uma sentença do tipo �Se P , então Q� ou implicativa
da forma �P =⇒ Q�. Nesse caso, a sentença P é chamada de hipótese
e a sentença Q é denominada de tese. Ou seja, a validade da hipótese
nos implica a veracidade da tese.
10 1 Primeiros Passos
Um exemplo de teorema é o famoso teorema de Pitágoras, cujo
enunciado diz o seguinte:
Teorema 1.1 (Teorema de Pitágoras). Num triângulo retângulo a
soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Notemos que o teorema de Pitágoras não está enunciado na forma
condicional, mas pode ser reescrito nessa forma como:
Teorema 1.2 (Teorema de Pitágoras). Se T é um triângulo retângulo
de catetos a e b e hipotenusa c, então c2 = a2 + b2.
Observação 1.3. Em geral, é mais comum usar a palavra �teorema�
apenas para certas proposições que são de grande �importância mate-
mática�, chamando-se simplesmente de proposição ao resto das propo-
sições verdadeiras que admitem uma demonstração. Para uma discus-
são mais detalhada, recomendamos [8].
1.3.1 Métodos de Demonstração
Quando realizamos uma demonstração não existe um caminho único.
Dependendo do problema em questão podemos usar métodos dife-
rentes. A seguir ilustramos os seguintes três métodos:
•Demonstração direta.
• Demonstração por contraposição.
• Demonstração por redução ao absurdo.
1.3 Teoremas e Demonstrações 11
Demonstração Direta
A demonstração direta é aquela em que assumimos a hipótese como
verdadeira e através de uma série de argumentos verdadeiros e dedu-
ções lógicas concluímos a veracidade da tese.
γ
α
β
a b
b
a
a
bc
Q
Figura 1.1: Figura auxiliar para a demonstração do teorema de Pitágoras
Um exemplo de demonstração direta é a que daremos a seguir,
para o teorema de Pitágoras enunciado anteriormente no Teorema
1.1. Com efeito, usando a figura acima temos que a área do quadrado
de lado a + b é a soma das quatro áreas dos triângulos retângulos
congruentes pelo critério lado-ângulo-lado (de catetos a e b) mais a
área do quadrilátero Q, o qual é um quadrado visto que cada um dos
seus lados coincide com a hipotenusa c dos triângulos retângulos de
catetos a e b e, além disso, cada um dos seus ângulos internos mede
γ = 180o − (α + β) = 180◦ − 90◦ = 90◦ (veja a Figura 1.1).
Portanto,
(a+ b)2 = 4 · ab
2
+ c2,
de onde
a2 + 2ab+ b2 = 2ab+ c2,
e consequentemente
a2 + b2 = c2,
12 1 Primeiros Passos
como queríamos.
Demonstração por Contraposição
Este método é baseado no fato de que a veracidade de forma positiva
de uma proposição é equivalente à veracidade de sua forma contraposi-
tiva, podendo ser esta última, eventualmente, mais fácil de se provar.
Por exemplo, a afirmação
�Se sou alagoano, então sou brasileiro�
é equivalente à afirmação
�Se não sou brasileiro, então não sou alagoano�
Por exemplo, provemos a seguinte proposição:
Proposição 1.4. Se N2 é par, então N é par.
• Hipótese: N2 é par.
• Tese: N é par.
Desafiamos o leitor a tentar mostrar esta proposição partindo da hipó-
tese e tentando concluir a tese. Note que podemos verificar que nossa
proposição é verdadeira para vários valores de N2 como na tabela a
seguir, mas isso não é uma prova matemática da nossa proposição.
N2 4 16 36 64 100 144
N 2 4 6 8 10 12
1.3 Teoremas e Demonstrações 13
Mesmo verificando para um bilhão de valores de N2, sempre nos
restariam números para serem verificados. Como nossas tentativas
de provar a forma positiva dessa proposição estão sendo frustradas,
apelaremos para mostrar a forma contrapositiva da mesma, isto é:
Proposição 1.5. Se N não é par, então N2 não é par.
Neste caso, temos:
• Hipótese: N não é par.
• Tese: N2 não é par.
Demonstração. Como estamos assumindo que N não é par, logo N
tem que ser ímpar, ou seja, existe p, número inteiro, tal queN = 2p+1.
Logo,
N2 = (2p+ 1)(2p+ 1)
= 4p2 + 2p+ 2p+ 1
= 4p2 + 4p+ 1
= 2(2p2 + 2p) + 1
= 2q + 1,
onde q = 2p2 + 2p. Logo, N2 = 2q + 1 é ímpar e concluímos assim
nossa prova.
Demonstração por Redução ao Absurdo
Este método é uma das ferramentas mais poderosas da Matemática.
O nome provém do latim reductio ad absurdum e também é conhecido
como método do terceiro excluído devido ao mesmo estar baseado na
14 1 Primeiros Passos
lei do terceiro excluído que diz o seguinte: uma afirmação que não
pode ser falsa, deverá ser consequentemente verdadeira.
De um modo geral, o roteiro que segue uma demonstração por
redução ao absurdo é o seguinte:
• Assumimos a validade da hipótese.
• Supomos que nossa tese é falsa.
• Usando as duas informações anteriores concluímos, através de
argumentos verdadeiros, uma afirmação falsa; como tal fato não
poderá ocorrer, então nossa tese deverá ser verdadeira.
Vamos mostrar como o método funciona na prática provando a
seguinte proposição:
Proposição 1.6. Seja x um número positivo, então x+ 1/x ≥ 2.
Destaquemos primeiramente a nossa hipótese e a nossa tese.
• Hipótese: x é um número positivo.
• Tese: x+ 1/x ≥ 2.
Demonstração. Seja x um número positivo e suponhamos que a tese
é falsa, isto é, x + 1
x
< 2. Usando que x > 0 e multiplicando por este
a desigualdade anterior, obtemos que
x2 + 1 < 2x.
Daí segue-se que x2 − 2x+ 1 < 0 é equivalente a (x− 1)2 < 0, já que
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2, o que é impossível. Portanto, x + 1/x ≥ 2,
como desejávamos.
1.4 Algumas Dicas para Resolver Problemas 15
1.4 Algumas Dicas para Resolver Proble-
mas
Nesta seção, damos algumas �regras gerais� que consideramos impor-
tante ter em mente na hora de resolver um problema de Matemática.
Aplicaremos estas regras a alguns problemas interessantes para ilus-
trar a sua importância. Elas são:
R1) Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações
disponíveis.
R2) Fazer casos particulares ou casos mais simples de problemas si-
milares, para adquirir familiaridade com o problema.
R3) Mudar a representação do problema, transformando-o em um
problema equivalente.
R4) Usar a imaginação pesquisando caminhos alternativos. Extra-
polar os limites!
A seguir propomos vários problemas onde as regras anteriores são
muito úteis. O leitor deve tentar resolvê-los; mas se não conseguir
achar solução depois de muito tentar poderá então passar para a pró-
xima seção onde os solucionamos.
Problema 1.7. Ao encontrar uma velha amiga (A), durante uma
viagem de trem, um matemático (M) tem a seguinte conversa:
(M) � Como vão os três filhos da senhora?
(A) � Vão bem, obrigada!
16 1 Primeiros Passos
(M) � Qual a idade deles mesmo?
(A) � Vou lhe dar uma dica. O produto das idades deles é 36.
(M) � Só com essa dica é impossível!
(A) � A soma das idades deles é igual ao número de janelas deste
vagão.
(M) � Ainda não sei!
(A) � O mais velho toca piano!
(M) �Agora eu sei!
Você é capaz de descobrir as idades dos três filhos da senhora?
Problema 1.8. Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo
que 8 delas têm o mesmo peso e uma moeda é mais leve que as demais.
Usando duas vezes uma balança de dois pratos, encontrar a moeda
mais leve.
Problema 1.9. Numa pequena ilha existem 5 pessoas de olhos azuis
e 5 pessoas de olhos verdes. Existe um grande tabu nesta ilha que é o
seguinte: se uma pessoa descobre que possui olhos azuis ela se suicida
à meia-noite do dia em que descobriu, pulando do alto da prefeitura.
Por conta disso, ninguém conversa sobre o assunto, olha para espelhos
ou vê seu reflexo na água. Todos se cruzam diariamente e conhecem
os olhos de seus amigos. Numa manhã, um estrangeiro chegou à ilha
e reuniu as 10 pessoas para o seguinte pronunciamento:
�Nesta ilha, existe uma pessoa de olhos azuis.�
Pergunta-se:
1.4 Algumas Dicas para Resolver Problemas 17
(a) O que aconteceu com os habitantes da ilha?
(b) Que informação nova o estrangeiro trouxe?
Problema 1.10. Um viajante deseja se hospedar durante 31 dias num
hotel. Entretanto, percebe que está sem dinheiro e que a única coisa
que possui é uma corrente com 31 elos de ouro. Para pagar sua conta,
ele acertou com o gerente pagar um elo por dia, sem atrasar ou a-
diantar o pagamento, durante os 31 dias. O gerente pode dar troco em
elos. Depois ele deseja recuperar a corrente e por isso ele quer pagar
a conta cortando a corrente no menor número de pedaços. Quantos
cortes você conseguiria dar e pagar a conta?
Problema 1.11. Sabendo que em cada jogada o movimento do cavalo
consiste em se deslocar duas casas na horizontal e uma na vertical
ou duas na vertical e uma na horizontal, decidir se é possível sair
da configuração apresentada no tabuleiro (a) e chegar à configuração
apresentada no tabuleiro (b) da Figura 1.2 sem que em algum momento
existam dois cavalos na mesma casa.
(a) (b)
Figura 1.2: Cavalos de xadrez
18 1 Primeiros Passos
Problema 1.12. Mostre que podemos cobrir os 9 pontos no reticulado
da Figura 1.3 traçando 4 segmentos de reta sem tirar o lápis do papel.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Figura 1.3: Reticulado de 9 pontos
Sugerimos seguir as dicas abaixo para obter sucesso na solução dos
problemas:
• Para os problemas 1.7 e 1.8 use a primeira regra.
• Para os problemas 1.9 e 1.10 use a segunda regra. Por exemplo,
no problema 1.9 fazer primeiro o caso: uma pessoa com olhos
azuis e uma com olhos verdes e depois fazer o caso: duas pessoas
de olhos azuis e duasde olhos verdes; generalize.
• Para os problema 1.11 use a terceira regra.
• Para o problema 1.12 use a quarta regra.
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4
A seguir apresentamos soluções para os problemas enunciados na seção
anterior.
Solução do Problema 1.7. É muito importante neste problema tirar
o máximo de informação das dicas da senhora. Vamos à primeira dica:
o produto das idades é 36.
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 19
Suponhamos que as idades dos filhos sejam 0 6 x 6 y 6 z 6 36.
Como xyz = 36, temos as seguintes possibilidades para os números x,
y e z:
x y z xyz
1 1 36 36
1 2 18 36
1 3 12 36
1 4 9 36
1 6 6 36
2 2 9 36
2 3 6 36
3 3 4 36
A segunda dica dada pela senhora é a soma das idades. Assim,
vamos agora calcular todas as possíveis somas de acordo com as fato-
rações de 36 dadas na tabela anterior:
x y z x+ y + z
1 1 36 38
1 2 18 21
1 3 12 16
1 4 9 14
1 6 6
13
2 2 9
13
2 3 6 11
3 3 4 10
Sabemos que após a segunda dica, o matemático ainda não conse-
guiu deduzir as idades das crianças.
20 1 Primeiros Passos
Por que ele não conseguiu? Imagine que o número da casa fosse
14. Ora, de acordo com nossa tabela, só existe um terno de números
cujo produto é 36 e a soma é 14, que é o terno (1,4,9). Assim, se o
número da casa fosse 14 o matemático teria dado a resposta após a
segunda dica. Como ele ficou em dúvida, olhando a tabela 2, chegamos
à conclusão de que o número da casa só pode ser igual a 13.
Lembremos a última dica: o mais velho toca piano. No início essa
dica parecia inútil, mas agora ela é fundamental para resolvermos o
problema. De fato, como o mais velho toca piano, isso significa que
existe um mais velho, o que descarta o caso (1,6,6). Assim, as idades
são 2, 2, e 9.
Solução do Problema 1.8. Este é o tipo de problema que a primeira
vista pode parecer difícil, mas que quando usamos todas as informa-
ções do seu enunciado se torna fácil. A ideia é dividir as moedas em
três grupos de três moedas cada, que chamaremos grupos A, B e C.
Colocaremos na balança os grupos A e B e deixaremos o grupo C fora.
Podem acontecer duas coisas:
(a) Os pratos ficam equilibrados.
(b) Os pratos ficam desequilibrados.
No caso (a), temos que os grupos A e B têm o mesmo peso. Logo,
a moeda mais leve deve estar no grupo C. No caso (b), um dos grupos
ficou mais leve, o que significa que a moeda mais leve está neste grupo.
Assim, utilizando a balança apenas uma vez conseguiremos descobrir
qual é o grupo em que a moeda mais leve está. Digamos que este grupo
seja o grupo A. Para achar a moeda mais leve, procedemos de modo
semelhante ao que fizemos anteriormente: separamos as três moedas
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 21
do grupo A colocando uma em cada prato e deixando a terceira de
fora. Podem acontecer duas coisas:
(a) Os pratos ficam desequilibrados e assim a moeda mais leve está
no prato mais leve.
(b) Os pratos ficam equilibrados, logo a moeda mais leve foi a que
ficou fora.
No final, usamos a balança exatamente duas vezes.
Solução do Problema 1.9. Como em muitos problemas de Mate-
mática, abordar casos mais simples do problema pode ajudar bastante
na solução. Assim, vamos imaginar o seguinte caso mais simples:
na ilha existe somente uma pessoa de olhos azuis e a outra de olhos
verdes. Pensando neste caso, a pessoa que tinha olhos azuis só via as
que tinham olhos verdes. Quando o estrangeiro afirmou que existia
uma pessoa de olhos azuis, ela descobriu que tinha olhos azuis, pois as
outras pessoas tinham olhos verdes. Assim, à meia-noite ela subiu na
prefeitura e pulou. Com isso, a pessoa que tinha olhos verdes descobriu
que tinha olhos verdes, pois se ela tivesse olhos azuis sua companheira
não se suicidaria no dia anterior.
Vamos agora dar um passo crucial na solução do nosso problema
original, considerando o caso onde existem duas pessoas de olhos azuis
e duas pessoas de olhos verdes na ilha. Vamos chamar as pessoas de
olhos azuis de A e B e as pessoas de olhos verdes de C e D. No dia
em que o estrangeiro fez o seu pronunciamento, nada aconteceu, pois
as pessoas C e D viam as pessoas A e B com olhos azuis e a pessoa
A via a pessoa B com olhos azuis e vice-versa. Já no segundo dia, a
pessoa A teve o seguinte pensamento:
22 1 Primeiros Passos
�Se eu tivesse olhos verdes, a pessoa B teria descoberto que
tinha olhos azuis ontem, pois ela veria três pessoas de olhos
verdes. Como ela não se suicidou ontem, eu tenho olhos
azuis.�
Pensando da mesma forma, a pessoa B descobriu que também tinha
olhos azuis. Por isso, à meia-noite do segundo dia, as pessoas A e B
se suicidaram.
O que aconteceu depois? As pessoas C e D ainda tinham a dúvida
da cor de seus olhos. Para chegar à conclusão de que seus olhos são
verdes, no terceiro dia, a pessoa C pensou assim:
�Bem, se eu tivesse olhos azuis, as pessoas A e B veriam
cada uma duas pessoas com olho azul. Logo, elas não te-
riam se suicidado no segundo dia, pois não conseguiriam
deduzir a cor de seus olhos. Logo, tenho olhos verdes.
Ufa!�
Do mesmo modo, a pessoa D conseguiu descobrir a cor de seus olhos.
Analisando de modo semelhante, conseguiremos deduzir que no
problema original as cinco pessoas de olhos azuis descobrirão que pos-
suem olhos azuis e juntas se suicidarão no quinto dia após o pronun-
ciamento do estrangeiro.
Agora vamos descobrir a resposta da segunda pergunta do enun-
ciado: que informação nova o estrangeiro trouxe? Aparentemente
nada de novo foi acrescentado pela frase do estrangeiro, pois cada
pessoa estava vendo alguma pessoa com olhos azuis. Mas isso não é
verdade.
Para ver isso e descobrir qual é a nova informação que o estrangeiro
trouxe, vamos voltar ao caso de somente duas pessoas na ilha, uma
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 23
de olhos azuis e outra de olhos verdes. Neste caso, a pessoa de olhos
azuis somente vê uma pessoa de olhos verdes. Com a informação de
que existe uma pessoa de olhos azuis ela pode descobrir a cor de seus
olhos. Note que a pessoa de olhos verdes já sabia que existia pelo
menos uma pessoa de olhos azuis. Mas ela não sabia que a pessoa
de olhos azuis tinha conhecimento de que na ilha existia alguém com
olhos azuis. Essa é a nova informação que o estrangeiro trouxe.
Solução do Problema 1.10. Uma primeira solução é cortar a cor-
rente 30 vezes, separando todos os elos. Porém, essa não é a melhor so-
lução, como veremos a seguir. Vamos iniciar nossa análise observando
que para pagar o primeiro dia precisamos dar um corte na corrente.
Assim, o gerente receberá um elo. O �pulo do gato� do problema vem
agora: para pagar o 2
◦
dia, vamos cortar a corrente de modo a separar
dois elos de uma vez. Assim, daremos dois elos ao gerente e ele de-
volverá um elo de troco. Com este elo pagaremos o terceiro dia. Note
que pagamos três dias fazendo dois cortes na corrente, como mostra a
tabela:
Gerente Viajante
Elos 1, 2 28
Note que o número 2 denota o pedaço que contém 2 elos. Para
pagar o 4
◦
dia, cortaremos a corrente de modo a obter um pedaço
com quatro elos. Entregamos ao gerente este pedaço e recebemos
de troco um elo solto e um pedaço com dois elos. Com o elo solto,
pagamos o 5
◦
dia. Assim, no 5
◦
dia teremos os seguintes grupos de
elos:
Gerente Viajante
Elos 1, 4 2, 24
24 1 Primeiros Passos
Assim, pagamos o 6
◦
dia com o pedaço que contém dois elos e
receberemos o elo solto de troco. Finalmente pagaremos o 7
◦
dia com
o elo solto. Note que foi possível pagar 7 dias com apenas três cortes na
corrente. A continuação do procedimento está quase revelada. Para
pagar o 8
◦
dia, cortaremos um pedaço com oito elos. Daremos este
pedaço e receberemos de troco 7 elos, sendo um elo solto, um pedaço
com 4 e um pedaço com dois elos. Repetindo o procedimento anterior,
pagaremos os 7 dias seguintes, pagando até o 15
◦
dia sem precisar de
cortes adicionais. Ou seja, para pagar os 15 primeiros dias, precisamos
de 4 cortes na corrente. Neste momento, a corrente está distribuídado seguinte modo:
Gerente Viajante
Elos 1, 2, 4, 8 16
Para pagar o 16
◦
dia, entregaremos ao gerente o pedaço com os 16
elos restantes, recebendo 15 elos divididos em pedaços de 1, 2, 4 e 8
elos. Se repetirmos o processo, pagaremos o hotel até o 31
◦
dia sem
precisar de novos cortes. Assim, o mínimo número de cortes é 4.
Solução do Problema 1.11. Para resolver este problema vamos usar
a estratégia de mudar a representação. O que significa isso? Vamos
reescrever o problema com outros ingredientes, porém sem alterar em
nada sua essência. Primeiramente, enumere as casas do tabuleiro com
os números 1, 2, . . . , 9, como na Figura 1.4.
Vamos agora associar ao tabuleiro, um conjunto de nove pontos
também enumerados com os números 1, 2, . . . , 9. Se for possível sair
de uma casa i e chegar à casa j com apenas uma jogada do cavalo,
colocaremos um segmento ligando os pontos i e j. Por exemplo, é
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 25
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Figura 1.4: Tabuleiro de 9 casas
possível, saindo da casa 1 chegar à casa 6 e a casa 8. Desse modo,
o ponto com número 1 está ligado com o ponto com número 8. Se
analisarmos todas as possíveis ligações entre os pontos obteremos um
esquema com o mostrado na Figura 1.5
•5
• •
1
86
3
4
9
2
7
•
•
•••
•
Figura 1.5: Conexões das casas
•5
• •
1
86
3
4
9
2
7
•
•
•••
•
Figura 1.6: Tabuleiro (a)
Assim, se colocarmos os cavalos como no tabuleiro (a), teremos
a situação descrita na Figura 1.6. Deste modo, fica evidente que não
podemos trocar a posição dos cavalos branco e preto sem que em algum
momento eles ocupem a mesma casa.
26 1 Primeiros Passos
1.6 Exercícios
1. Uma sacola contém meias cujas cores são branca, preta, amarela
e azul. Sem olhar para a sacola, qual é a quantidade mínima de
meias que precisamos retirar da mesma para garantir pelo menos
um par de meias da mesma cor?
2. O pai do padre é filho único de meu pai. O que eu sou do padre?
3. Numa mesa há 5 cartas:
Q T 3 4 6
Cada carta tem de um lado um número natural e do outro lado
uma letra. João afirma: �Qualquer carta que tenha uma vogal
tem um número par do outro lado�. Pedro provou que João
mente virando somente uma das cartas. Qual das 5 cartas foi a
que Pedro virou?
4. A polícia prende 4 homens, um dos quais é culpado de um furto.
Eles fazem as seguintes declarações:
• Arnaldo: Bernaldo é o culpável.
• Bernaldo: Cernaldo é o culpável.
• Dernaldo: eu não sou culpável.
• Cernaldo: Bernaldo mente ao dizer que eu sou culpável.
Se se sabe que só uma destas declarações é a verdadeira, quem
é culpável pelo furto?
1.6 Exercícios 27
5. Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças,
quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias
da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e mantém o
seguinte diálogo com a pessoa X:
� Felipe: Que dia é hoje?
� X: Sábado.
� Felipe: Que dia será amanhã?
� X: Quarta-feira.
Em qual dia da semana foi mantido este diálogo?
6. Divida o relógio de parede abaixo em 6 partes iguais de forma tal
que a soma das horas que ficam em cada parte seja a mesma.n
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
•
7. João adora Gabriela, que é uma aluna excelente em Matemática.
João armou um plano para dar um beijo nela, e descobriu que
poderá fazer isso apenas dizendo uma frase. Que frase é essa?
8. No plano se colocam 187 rodas dentadas do mesmo diâmetro,
enumeradas de 1 até 187. A roda 1 é acoplada com a roda 2, a 2
com a 3, . . . , a 186 com a 187 e esta última com a roda 1. Pode
tal sistema girar?
28 1 Primeiros Passos
9. Um canal, em forma quadrada, de 4 metros de largura rodeia um
castelo. A ponte do castelo está fechada e um intruso quer entrar
no castelo usando duas pranchas de 3,5 metros de comprimento.
Será que o intruso consegue?
10. Os números 1, 2, 3, . . . , 99 são escritos no quadro-negro e é permi-
tido realizar a seguinte operação: apagar dois deles e substituí-
los pela diferença do maior com o menor. Fazemos esta operação
sucessivamente até restar apenas um último número no quadro.
Pode o último número que restou ser o zero?
11. Alguém elege dois números, não necessariamente distintos, no
conjunto de números naturais 2, . . . , 20. O valor da soma destes
números é dado somente a Adriano (A) e o valor do produto dos
números é dado unicamente a Karla (K).
� Pelo telefone A diz a K: �Não é possível que descubras minha
soma.�
� Uma hora mais tarde, K lhe diz a A: �Ah! sabendo disso, já
sei quanto vale tua soma�!
� Mais tarde A chama outra vez a K e lhe informa: �Poxa,
agora eu também conheço teu produto�!
Quais números foram eleitos?
12. É possível cobrir um tabuleiro de xadrez com 31 dominós onde
removemos as casas dos vértices superior esquerdo e inferior di-
reito?
13. Num saco encontram-se 64 moedas leves e 64 moedas pesadas.
1.6 Exercícios 29
É possível separar duas moedas de pesos diferentes com 7 pesa-
gens?
14. Quantas vezes precisamos dobrar um papel de 1mm de espessura
para que a altura da pilha chegue da Terra à Lua?
15. Descubra o erro da prova da afirmação abaixo:
Afirmação: Três é igual a dois.
�Seja x um número diferente de zero. Temos que:
3x− 3x = 2x− 2x.
Colocando x− x em evidência, temos que:
3(x− x) = 2(x− x).
Cancelando x− x em ambos os lados, obtemos que 3 = 2.�
30 1 Primeiros Passos
2
Equações e Inequações
Álgebra é generosa; ela geralmente nos dá mais do que lhe pedimos.
D'Alembert
Na antiguidade, todo conhecimento matemático era passado de
geração para geração através de receitas. A falta de símbolos e notação
adequada complicava substancialmente a vida de quem precisava usar
a Matemática e de quem apreciava sua beleza. Por exemplo, o uso de
letras (x, y, z etc.) para representar números desconhecidos não tinha
sido inventado ainda. Isso só veio ocorrer por volta dos meados do
século XVI, ou seja, a menos de 500 anos atrás.
Apesar disso, o conhecimento matemático das antigas civilizações
era surpreendente. Os egípcios, babilônios, gregos e vários outros po-
vos tinham o domínio de métodos e técnicas que são empregados hoje,
como soluções de equações do primeiro e segundo graus, inteiros que
são soma de quadrados e vários outros conhecimentos. Especialmente
os gregos, cuja cultura matemática resistiu aos tempos com a preser-
vação de Os Elementos de Euclides, tinham desenvolvido e catalisado
31
32 2 Equações e Inequações
muitos dos avanços da época.
Entretanto, todos os resultados tinham uma linguagem através dos
elementos de geometria, mesmo aqueles que só envolviam proprieda-
des sobre os números. Essa dificuldade deve-se em parte aos sistemas
de numeração que eram utilizados pelos gregos e, posteriormente, pe-
los romanos, que eram muito pouco práticos para realizar operações
matemáticas.
Por volta de 1.100, viveu na Índia Bhaskara, um dos mais impor-
tantes matemáticos de sua época. Apesar de suas contribuições terem
sido muito profundas na Matemática, incluindo-se aí resultados sobre
equações diofantinas, tudo indica que Bhaskara não foi o primeiro a
descobrir a fórmula, que no Brasil chamamos de fórmula de Bhaskara,
assim como Pitágoras não deve ter sido o primeiro a descobrir o te-
orema que leva o seu nome, já que 3.000 a.c. os babilônios tinham
conhecimento de ternas pitagóricas de números inteiros bem grandes.
Apesar de ter conhecimento de como solucionar uma equação do
segundo grau, a fórmula que Bhaskara usava não era exatamente igual
a que usamos hoje em dia, sendo mais uma receita de como encontrar
as raízes de uma equação. Para encontrar essas raízes, os indianos
usavam a seguinte regra:
Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale
quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual
ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada
é a raiz quadrada disso.
O uso de letras para representar as quantidades desconhecidas só
veio a se tornar mais popular com os árabes, que também desenvol-
veramum outro sistema de numeração, conhecido como indo-arábico.
Destaca-se também a participação do matemático francês François
2.1 Equações do Primeiro Grau 33
Vièti, que aprimorou esse uso dos símbolos algébricos em sua obra In
artem analyticam isagoge e desenvolveu um outro método para resol-
ver a equação do segundo grau.
Na seção seguinte estudaremos com detalhe a equação do primeiro
grau, e como podemos utilizá-la para resolver alguns problemas em
Matemática.
2.1 Equações do Primeiro Grau
Iniciamos nossa discussão resolvendo o seguinte problema:
Exemplo 2.1. Qual é o número cujo dobro somado com sua quinta
parte é igual a 121?
Solução: Vamos utilizar uma letra qualquer, digamos a letra x, para
designar esse número desconhecido. Assim, o dobro de x é 2x e sua
quinta parte é x/5. Logo, usando as informações do enunciado, obte-
mos que:
2x+
x
5
= 121,
ou ainda,
10x+ x = 605,
onde 11x = 605. Resolvendo, temos que x = 605/11 = 55.
Se você já teve contato com o procedimento de resolução do exem-
plo acima, notou que o principal ingrediente é a equação do primeiro
grau em uma variável.
Definição 2.2. Uma equação do primeiro grau na variável x é uma
expressão da forma
ax+ b = 0,
34 2 Equações e Inequações
onde a 6= 0, b ∈ R e x é um número real a ser encontrado.
Por exemplo, as seguintes equações são do primeiro grau:
(a) 2x− 3 = 0.
(b) −4x+ 1 = 0.
(b)
3
2
x− pi = 0.
Para trabalhar com equações e resolvê-las, vamos pensar no mo-
delo da balança de dois pratos. Quando colocamos dois objetos com
o mesmo peso em cada prato da balança, os pratos se equilibram.
Quando os pratos estão equilibrados, podemos adicionar ou retirar a
mesma quantidade de ambos os pratos, que ainda assim eles perma-
necerão equilibrados. Essa é uma das principais propriedades quando
estamos trabalhando com uma equação. Em geral, para resolver uma
equação, utilizamos as seguintes propriedades da igualdade entre dois
números:
Propriedade 1. Se dois números são iguais, ao adicionarmos a
mesma quantidade a cada um destes números, eles ainda permane-
cem iguais. Em outras palavras, escrevendo em termos de letras, se a
e b são dois números iguais, então a+ c é igual a b+ c, ou seja,
a = b =⇒ a+ c = b+ c.
Note que podemos tomar c um número negativo, o que significa
que estamos subtraindo a mesma quantidade dos dois números. Por
exemplo, se x é um número qualquer que satisfaz
5x− 3 = 6,
2.1 Equações do Primeiro Grau 35
somando-se 3 a ambos os lados da equação acima, obtemos que x deve
satisfazer:
(5x− 3) + 3 = 6 + 3, ou seja, 5x = 9.
Propriedade 2. Se dois números são iguais, ao multiplicarmos a
mesma quantidade por cada um destes números, eles ainda permane-
cem iguais. Em outras palavras, escrevendo em termos de letras, se a
e b são dois números iguais, então a · c é igual a b · c, ou seja,
a = b =⇒ ac = bc.
Por exemplo, se 5x = 9 podemos multiplicar ambos os lados da
igualdade por 1/5 para obter
x =
5x
5
=
9
5
,
encontrando o número que satisfaz a equação 5x− 3 = 6.
Para nos familiarizarmos um pouco mais com a linguagem das
equações, vamos pensar no seguinte problema:
Exemplo 2.3. Para impressionar Pedro, Lucas propôs a seguinte
brincadeira:
- Escolha um número qualquer.
- Já escolhi, disse Pedro.
- Multiplique este número por 6. A seguir, some 12. Divida o que
você obteve por 3. Subtraia o dobro do número que você escolheu. O
que sobrou é igual a 4!
Pedro realmente ficou impressionado com a habilidade de Lucas.
Mas não há nada de mágico nisso. Você consegue explicar o que Lucas
fez?
36 2 Equações e Inequações
Solução: Na verdade, Lucas tinha conhecimento de como operar com
equações. Vamos ver o que Lucas fez de perto, passo a passo, utili-
zando a linguagem das equações. Para isso, vamos chamar a quanti-
dade que Pedro escolheu de x:
• Escolha um número: x.
• Multiplique este número por 6: 6x.
• A seguir, some 12: 6x+ 12.
• Divida o que você obteve por 3: 6x+ 12
3
= 2x+ 4.
• Subtraia o dobro do número que você escolheu: 2x+ 4−2x = 4.
• O que sobrou é igual a 4!
Observação 2.4. Devemos ter cuidado na hora de efetuar divisões em
ambos os lados de uma equação, para não cometer o erro de dividir
os lados de uma igualdade por zero. Por exemplo, podemos dar uma
prova (obviamente) falsa de que 1 = 2, utilizando o seguinte tipo de
argumento: sempre é verdade que
x+ 2x = 2x+ x.
Logo,
x− x = 2x− 2x
Colocando (x− x) em evidência:
1(x− x) = 2(x− x)
Dividindo por (x − x) os dois lados da igualdade acima, temos que
1 = 2. Qual o erro?
2.1 Equações do Primeiro Grau 37
Para encontrar a solução da equação ax + b = 0, procedemos do
seguinte modo:
• Somamos −b a ambos os lados da equação, obtendo
ax+ b+ (−b) = 0 + (−b)⇐⇒ ax = −b.
Note que como somamos a mesma quantidade aos dois lados da
equação, ela não se alterou.
• Dividimos os dois lados da equação por a 6= 0. Isso também não
altera a igualdade e nos dá que o valor de x é:
ax
a
=
−b
a
⇐⇒ x = − b
a
.
Assim, a solução da equação ax+ b = 0 é
x = − b
a
.
2.1.1 Problemas Resolvidos
Vamos ver agora alguns problemas que podem ser solucionados utili-
zando as equações do primeiro grau.
Problema 2.5. Se x representa um dígito na base 10 e a soma
x11 + 11x+ 1x1 = 777,
quem é x?
38 2 Equações e Inequações
Solução: Para resolver este problema, precisamos nos recordar que se
abc é a escrita de um número qualquer na base 10, então esse número
é igual a 102a+ 10b+ c. Assim, temos que
x11 = 100x+ 11
11x = 110 + x
1x1 = 101 + 10x
Logo, temos a seguinte equação do primeiro grau:
100x+ 11 + 110 + x+ 101 + 10x = 777 ou 111x+ 222 = 777
Logo,
x =
777− 222
111
= 5.
Problema 2.6. Determine se é possível completar o preenchimento
do tabuleiro abaixo com os números naturais de 1 a 9, sem repetição,
de modo que a soma de qualquer linha seja igual a de qualquer coluna
ou diagonal.
1 6
9
Solução: Primeiro, observe que a soma de todos os números naturais
de 1 a 9 é 45. Assim, se denotamos por s o valor comum da soma dos
elementos de uma linha, somando as três linhas do tabuleiro, temos
que:
45 = 1 + 2 + · · ·+ 9 = 3s,
Onde s deve ser igual a 15. Assim, chamando de x o elemento da
primeira linha que falta ser preenchido,
2.1 Equações do Primeiro Grau 39
1 x 6
9
temos que 1 + x + 6 = 15. Logo, x = 8. Assim, observando a coluna
que contém 8 e 9, temos que sua soma é maior que 15. Logo, não é
possível preencher o tabuleiro de modo que todas as linhas e colunas
tenham a mesma soma.
Os quadrados de números com essas propriedades se chamam qua-
drados mágicos. Tente fazer um quadrado mágico. Você já deve ter
percebido que no centro do quadrado não podemos colocar o número
9. De fato, vamos descobrir no exemplo abaixo qual é o número que
deve ser colocado no centro de um quadrado mágico.
Problema 2.7. Descubra os valores de x de modo que seja possível
completar o preenchimento do quadrado mágico abaixo:
x
Solução: Para descobrir x, vamos utilizar o fato de que a soma de
qualquer linha, coluna ou diagonal é igual a 15, já obtido no exemplo
anterior. Se somarmos todas as linhas, colunas e diagonais que contêm
x, teremos que a soma será 4 · 15 = 60, pois existem exatamente uma
linha, uma coluna e duas diagonais que contêm x. Note também que
cada elemento do quadrado mágico será somado exatamente uma vez,
exceto x que será somado quatro vezes. Assim:
1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 9 + 3x = 60,
onde temos que 45 + 3x = 60 e consequentemente x = 5.
40 2 Equações e Inequações
O problema a seguir é um fato curioso que desperta nossa atenção
para como a nossa intuição às vezes é falha.
Problema 2.8. Imagine que você possui um fio de cobre extrema-
mente longo, mas tão longo que você consegue dar a volta na Terra
com ele. Para simplificar a nossa vida e nossas contas, vamos supor
que a Terra é uma bola redonda (o que não é exatamente verdade)
sem nenhuma montanha ou depressão e que seu raio é de exatamente
6.378.000 metros.
O fio com seus milhões de metros está ajustado à Terra,ficando
bem colado ao chão ao longo do equador. Digamos agora que você
acrescente 1 metro ao fio e o molde de modo que ele forme um círculo
enorme, cujo raio é um pouco maior que o raio da Terra e tenha o
mesmo centro. Você acha que essa folga será de que tamanho?
Nossa intuição nos leva a acreditar que como aumentamos tão
pouco o fio, a folga que ele vai ter será também muito pequena, di-
gamos alguns poucos milímetros. Mas veremos que isso está comple-
tamente errado!
Solução. Utilizaremos para isso a fórmula que diz que o comprimento
C de um círculo de raio r é
C = 2pir,
onde pi (lê-se pi) é um número irracional que vale aproximadamente
3, 1416 (veja a observação a seguir).
De fato, o comprimento da Terra CT calculado com essa fórmula é
aproximadamente:
CT = 2pirT ∼= 2× 3, 1415× 6.378.000 = 40.072.974 metros,
2.1 Equações do Primeiro Grau 41
onde rT é o raio da Terra.
Se chamamos de x o tamanho da folga obtida em metros e rf o raio
do fio, temos que a folga será igual a x = rf −rT . Logo, basta calcular
rf . Por um lado, o comprimento do fio é igual a CT + 1 = 40.072.975.
Logo,
40.072.975 = 2pirf onde rf =
40.072.975
2pi
.
Fazendo o cálculo acima, temos que rf é aproximadamente igual
a 6.378.000, 16 metros. Assim, x é aproximadamente igual a x =
rf − rT = 0, 16 metros, ou seja, 16 centímetros!
Observação 2.9. Vale observar que a folga obtida aumentando o fio
não depende do raio em consideração. Por exemplo, se repetíssemos
esse processo envolvendo a Lua em vez da Terra, obteríamos que ao
aumentar o fio em um metro, a folga obtida seria dos mesmos 16
centímetros. Verifique isso!
Observação 2.10. De fato, podemos definir (e calcular!) o número
pi de várias maneiras práticas. Vamos considerar dois experimentos
(que se você não conhece pi deve fazer):
Experimento 1: Pegar um cinto e fazer um círculo com ele. Calcule
o comprimento do cinturão e divida pelo diâmetro do círculo obtido.
Experimento 2: Pegar uma tampa de uma lata e medir o compri-
mento do círculo da tampa e dividir pelo diâmetro da tampa.
Se você efetuou os cálculos acima com capricho, deve ter notado
que o número obtido é aproximadamente o mesmo. Se nossos círculos
fossem perfeitos (eles nunca são: sempre têm algumas imperfeições)
obteríamos o número pi. Uma aproximação para pi é
pi ∼= 3, 1415926535897932384626433832795.
42 2 Equações e Inequações
2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau
Nesta seção iremos discutir situações onde queremos descobrir mais de
uma quantidade, que se relacionam de modo linear, ou seja, através
de equações do primeiro grau. Por exemplo, considere o seguinte pro-
blema:
Exemplo 2.11. João possui 14 reais e deseja gastar esse dinheiro em
chocolates e sanduíches para distribuir com seus 6 amigos, de modo
que cada um fique exatamente com um chocolate ou um sanduíche.
Sabendo que cada chocolate custa 2 reais e cada sanduíche custa 3
reais, quantos chocolates e sanduíches João deve comprar?
Para resolver esse problema, vamos chamar de x a quantidade de
chocolates que João deve comprar e y o número de sanduíches. Assim,
como João deseja gastar 14 reais, temos que
2x+ 3y = 14. (2.1)
Como João comprará exatamente 6 guloseimas, uma para cada amigo,
temos que
x+ y = 6. (2.2)
Note que não encontramos uma equação do primeiro grau em uma
variável e sim duas equações do primeiro grau em duas variáveis. Esse
é um caso particular de um sistema de equações do primeiro grau em
várias variáveis.
Definição 2.12. Uma equação do primeiro grau nas variáveis x1, x2,
. . . , xn é uma expressão da forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn + b = 0,
2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau 43
onde os números a1, a2, . . . , an são diferentes de zero e b é um número
real.
Por exemplo,
2x− 3y = 0
é uma equação do primeiro grau nas variáveis x e y. Assim como,
2a− b+ c
3
= 5
é uma equação do primeiro grau nas variáveis a, b e c.
Dizemos que os números (r1, r2, . . . , rn) formam uma solução da
equação, se substituindo x1 por r1, x2 por r2, . . . , xn por rn, temos
que a equação acima é satisfeita, isto é, a1r1 +a2r2 + · · ·+anrn+b = 0.
Por exemplo, (3, 2) é uma solução da equação 2x− 3y = 0 acima,
pois
2 · 3− 3 · 2 = 0.
Note que a ordem que apresentamos os números importa, pois (2, 3)
não é solução da equação 2x − 3y = 0, já que 2 · 2 − 3 · 3 = −5 6= 0.
Do mesmo modo, (2, 0, 3) é solução da equação 2a− b+ c
3
= 5, pois
2 · 2− 0 + 3
3
= 5.
Definição 2.13. Um sistema de equações do primeiro grau em n
variáveis x1, x2, . . ., xn é um conjunto de k equações do primeiro
grau em algumas das variáveis x1, x2, . . . , xn, isto é, tem-se o seguinte
conjunto de equações
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn + b1 = 0,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn + b2 = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ak1x1 + ak2x2 + · · ·+ aknxn + bk = 0,
(2.3)
44 2 Equações e Inequações
onde alguns dos elementos aij (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n) podem ser zero.
Porém, em cada uma das equações do sistema algum coeficiente aij é
diferente de zero e, além disso, cada variável xj aparece em alguma
equação com coeficiente distinto de zero.
Dizemos que os números (r1, r2, . . . , rn) formam uma solução do
sistema de equações (2.3) se (r1, r2, . . . , rn) é solução para todas as
equações simultaneamente.
Quando resolvemos um sistema de equações do primeiro grau, po-
dem acontecer três situações:
(a) o sistema tem uma única solução;
(b) o sistema tem uma infinidade de soluções;
(c) o sistema não possui solução.
A seguir ilustramos com exemplos cada uma das situações acima.
Situação (a): Retomamos o sistema proposto no Exemplo 2.11, o
qual se encaixa neste caso.2x+ 3y = 14,x+ y = 6.
Isolamos o valor de uma das variáveis numa das equações. Por conveni-
ência nos cálculos isolamos o valor de x na segunda equação, obtendo:
x = 6− y.
A seguir, substituímos esse valor na outra equação, obtendo uma equa-
2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau 45
ção do primeiro grau. Resolvendo temos:
2(6− y) + 3y = 14,
12− 2y + 3y = 14,
y = 2.
Assim, y = 2. Imediatamente, encontramos o valor de x = 6− 2 = 4.
Vamos agora resolver alguns problemas semelhantes.
Situação (b): Consideremos os sistema de primeiro grau nas variáveis
x, y e z dado por x+ y − z − 1 = 0,x− y − 1 = 0. (2.4)
Da segunda equação segue-se que
x = y + 1. (2.5)
Substituindo esta expressão na primeira equação obtemos
(y + 1) + y − z − 1 = 0,
2y − z = 0,
z = 2y. (2.6)
Notemos que as variáveis x e z são resolvidas em função da variável y,
a qual não possui nenhuma restrição, de modo que se y assumir um
valor real t então x e z ficam automaticamente determinadas por este
valor t. Isto é, para todo t real, de (2.5) e (2.6) tem-se que
x = t+ 1, y = t, z = 2t
é solução do sistema (2.4) e, portanto, temos infinitas soluções para
este.
46 2 Equações e Inequações
Situação (c): Consideremos agora o sistema de primeiro grau nas
variáveis x, y e z dado por
x+ y + 2z − 1 = 0,
x+ z − 2 = 0,
y + z − 3 = 0.
(2.7)
Neste caso, da segunda e da terceira equação segue-se que
x = 2− z e y = 3− z.
Substituindo estas expressões na primeira equação obtém-se
(2− z) + (3− z) + 2z − 1 = 0⇐⇒ 4 = 0,
o que é uma incompatibilidade. Logo, este sistema não tem solução.
Observação 2.14. Os sistemas de equações de primeiro grau são tam-
bém conhecidos como sistemas de equações lineares. Quando um sis-
tema de equações lineares envolve muitas variáveis não é tão fácil
resolvê-lo se não se organiza com cuidado seu processo de resolução.
Existe uma teoria bem conhecida e amplamente divulgada sobre mé-
todos de resolução para esse tipo de sistemas. Um dos métodos mais
usado e eficiente para resolver sistemas lineares é o �método de elimi-
nação gaussiana�. O leitor interessado pode consultar [7].
2.2.1 Problemas Resolvidos
O problema a seguir foi proposto na primeira fase da Olimpíada Bra-
sileira de Matemática.
2.2 Sistemas de Equações do Primeiro Grau 47
Problema 2.15. Passarinhos brincam em voltade uma velha árvore.
Se dois passarinhos pousam em cada galho, um passarinho fica voando.
Se todos os passarinhos pousam, com três em cada galho, um galho fica
vazio. Quantos são os passarinhos?
Solução: Vamos chamar de p o número de passarinhos e g o número
de galhos da árvore. Temos que se dois passarinhos pousam em cada
galho, um passarinho fica voando, ou seja,
2g = p− 1.
Além disso, se todos os passarinhos pousam, com três em um mesmo
galho, um galho fica vazio:
3(g − 1) = p.
Substituindo na equação anterior, temos que 2g = 3g − 3 − 1, onde
segue-se que g = 4 e p = 9.
Problema 2.16. Quanto medem as áreas A1 e A2 na figura abaixo,
sabendo que o quadrado tem lado 1 e as curvas são arcos de círculos
com centros nos vértices V1 e V2 do quadrado, respectivamente.
A1
A2
V2
V
Solução: Aplicando relações de áreas na figura temos que{
A1 + A2 =
pi
4
,
A1 + 2A2 = 1,
48 2 Equações e Inequações
ou seja, chegamos a um sistema de equações do primeiro grau com
duas incógnitas A1 e A2. Da primeira equação temos que
A1 =
pi
4
− A2;
substituindo esta na segunda equação obtemos
pi
4
− A2 + 2A2 = 1,
de onde
pi
4
+ A2 = 1.
Logo, A2 = 1− pi4 e A1 = pi4 −
(
1− pi
4
)
= pi
2
− 1.
Problema 2.17. Carlos e Cláudio são dois irmãos temperamentais
que trabalham carregando e descarregando caminhões de cimento. Para
Carlos e Cláudio tanto faz carregar ou descarregar o caminhão, o tra-
balho realizado por eles é o mesmo. Quando estão de bem, trabalham
juntos e conseguem carregar um caminhão em 15 minutos. Cláudio
é mais forte e trabalha mais rápido conseguindo carregar sozinho um
caminhão em 20 minutos.
(a) Um dia, Cláudio adoeceu e Carlos teve que carregar os caminhões
sozinho. Quanto tempo ele leva para carregar cada um?
(b) Quando os dois brigam, Carlos costuma se vingar descarregando
o caminhão, enquanto Cláudio o carrega com sacos de cimento.
Quanto tempo Cláudio levaria para carregar o caminhão com
Carlos descarregando?
Solução: Vamos chamar de x a quantidade de sacos que Cláudio car-
rega por minuto e y a quantidade de sacos que Carlos carrega por
2.3 Equação do Segundo Grau 49
minuto. Como Cláudio carrega mais que Carlos, sabemos que y < x.
Do enunciado, sabemos que os dois juntos carregam um caminhão em
15 minutos. Se um caminhão tem capacidade para c sacos, temos que:
15x+ 15y = c.
Além disso, sabemos que Cláudio sozinho carrega o mesmo caminhão
em 20 minutos. Logo,
20x = c.
Assim, igualando as duas equações, temos que
15x+ 15y = 20x, onde 15y = 20x− 15x = 5x.
Logo, dividindo ambos os lados por 5, temos que 3y = x. Assim, Cláu-
dio carrega três vezes mais sacos que Carlos e a resposta do primeiro
item é 20× 3 minutos, já que 60y = 20× 3y = 20x = c.
Para descobrir quanto tempo os dois levam para carregar o cami-
nhão quando estão brigados, observamos que a cada minuto eles car-
regam x − y sacos, ou seja, 3y − y = 2y sacos. Logo, precisam de 30
minutos, já que 30× 2y = 60y = c.
2.3 Equação do Segundo Grau
Como já mencionamos em nossa introdução, o conhecimento de mé-
todos para solucionar as equações do segundo grau remonta às civi-
lizações da antiguidade, como os babilônios e egípcios. Apesar disso,
a fórmula que conhecemos por fórmula de Bhaskara, em homenagem
ao matemático indiano de mesmo nome e que determina as soluções
de uma equação do segundo grau, só veio a aparecer do modo que
usamos muito mais tarde, com o francês Vièti. Nesta seção iremos
deduzir esta fórmula e aplicá-la a alguns problemas interessantes.
50 2 Equações e Inequações
2.3.1 Completando Quadrados
Um modo de resolver uma equação do segundo grau é o método de
completar quadrados. Ele consiste em escrever a equação numa forma
equivalente que nos permita concluir quais são as soluções diretamente.
Vamos ilustrar isso com um exemplo, resolvendo a equação
x2 − 6x− 8 = 0.
Podemos escrever essa equação como:
x2 − 6x = 8.
Somando 9 ao lado esquerdo, obtemos x2− 6x+ 9 que é o mesmo que
(x− 3)2. Assim, somando 9 a ambos os lados da equação, obtemos:
(x− 3)2 = 9 + 8 = 17.
Logo, x− 3 = √17 ou x− 3 = −√17. Logo, as soluções são:
x1 = 3 +
√
17 e x2 = 3−
√
17.
Definição 2.18. A equação do segundo grau com coeficientes a, b e c
é uma expressão da forma:
ax2 + bx+ c = 0, (2.8)
onde a 6= 0, b, c ∈ R e x é uma variável real a ser determinada.
Para encontrar as soluções desta equação, vamos proceder do se-
guinte modo: isolando o termo que não contém a variável x do lado
direito da igualdade na equação (2.8)
ax2 + bx = −c
2.3 Equação do Segundo Grau 51
e dividindo os dois lados por a, obtemos:
x2 +
b
a
x =
−c
a
.
Agora vamos acrescentar um número em ambos os lados da equa-
ção acima, de modo que o lado esquerdo da igualdade seja um qua-
drado perfeito. Para isso, observe que é necessário adicionar
b2
4a2
aos
dois lados da igualdade. Assim, temos que:(
x+
b
2a
)2
= x2 + 2
b
2a
x+
(
b
2a
)2
=
b2
4a2
− c
a
=
b2 − 4ac
4a2
.
Em geral, chamamos a expressão b2−4ac de discriminante da equação
(2.8) e denotamos pela letra maiúscula ∆ (lê-se delta) do alfabeto
grego. Assim, podemos escrever a igualdade anterior como:(
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a2
=
∆
4a2
. (2.9)
Por isso, para que exista algum número real satisfazendo a igual-
dade acima, devemos ter que ∆ ≥ 0, já que o termo da esquerda na
igualdade é maior ou igual a zero. Extraindo a raiz quadrada quando
∆ ≥ 0, temos as soluções:
x+
b
2a
=
√
b2 − 4ac
2a
e x+
b
2a
= −
√
b2 − 4ac
2a
.
Assim, obtemos as seguintes soluções:
x1 = − b
2a
+
√
b2 − 4ac
2a
=
−b+√∆
2a
e
52 2 Equações e Inequações
x2 = − b
2a
−
√
b2 − 4ac
4a2
=
−b−√∆
2a
.
Em resumo,
• Se ∆ > 0 existem duas soluções reais.
• Se ∆ = 0 só existe uma solução real (x1 = x2 = −b/2a).
• Se ∆ < 0 não existe solução real.
A seguir apresentamos alguns exemplos.
Exemplo 2.19. Encontre as soluções da equação 2x2 − 4x+ 2 = 0.
Solução: Observe que a = 2, b = −4 e c = 2. Logo,
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 2 · 2 = 0.
Assim, a única solução é x = − b
2a
=
4
4
= 1.
Exemplo 2.20. Encontre as raízes da seguinte equação do segundo
grau:
x2 − x− 1 = 0.
Solução: Basta aplicarmos diretamente a fórmula que acabamos de
deduzir. Como a = 1, b = −1 e c = −1, calculando ∆ temos:
∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 · 1 · (−1) = 5.
Logo, as soluções são
x1 =
−b+√∆
2a
=
1 +
√
5
2
e x2 =
−b−√∆
2a
=
1−√5
2
.
2.3 Equação do Segundo Grau 53
Exemplo 2.21. Sabendo que x é um número real que satisfaz
x = 1 +
1
1 +
1
x
,
determine os valores possíveis de x.
Solução: A solução desse problema consiste numa simples manipula-
ção algébrica, que feita com cuidado nos levará a uma equação do
segundo grau. Com efeito,
1 +
1
x
=
x+ 1
x
.
Logo,
1 +
1
1 +
1
x
= 1 +
x
1 + x
=
1 + 2x
1 + x
.
Então devemos ter x =
1 + 2x
1 + x
, de onde segue-se que
x2 + x = 1 + 2x⇐⇒ x2 − x− 1 = 0.
Resolvendo a equação tem-se
x1 =
1 +
√
5
2
e x2 =
1−√5
2
.
Observação 2.22. O número (1+
√
5)/2 é chamado de razão áurea.
Este número recebe essa denominação pois, frequentemente, as pro-
porções mais belas e que a natureza nos proporciona estão próximas
da razão áurea. Por exemplo, no arranjo das pétalas de uma rosa, nas
espirais que aparecem no abacaxi, na arquitetura do Parthenon, nos
quadros de da Vinci e nos ancestrais de um zangão podemos encon-
trar a razão áurea.
54 2 Equações e Inequações
O problema a seguir está relacionado com a seqüência de Fibonacci
e com a razão áurea. Dizemos que uma seqüência de números an
satisfaz a relação de Fibonacci se, para todo n ≥ 0, temos que
an+2 = an+1 + an. (2.10)
Exemplo 2.23. Encontre todas as sequências an da forma an = x
n
para algum x 6= 0 que satisfazem a relação de Fibonacci.
Solução: Sabendo que an satisfaz a relação de Fibonacci e que an é da
forma xn, podemos concluir que para todo n ≥ 0 tem-se
xn+2 − xn+1 − xn = 0.
Colocando xn em evidência na equação acima, temos que
xn(x2 − x− 1) = 0
Logo, temos duas possibilidades: xn = 0 ou x2 − x − 1 = 0. Como
x 6= 0, temos que xn 6= 0 e,portanto, x2 − x − 1 = 0. Observando a
solução do Exemplo 2.20 temos que as únicas sequências são
an =
(
1 +
√
5
2
)n
ou an =
(
1−√5
2
)n
.
Observação 2.24. Se an e bn satisfazem a relação de Fibonacci (2.10),
então dados números reais α e β, qualquer sequência da forma αan +
βbn satisfaz a relação. Pode-se provar que as sequências dessa forma,
com an = x
n
1 e bn = x
n
2 calculados anteriormente, são as únicas
sequências que satisfazem a relação. Veja, por exemplo, [4].
2.3 Equação do Segundo Grau 55
2.3.2 Relação entre Coeficientes e Raízes
Dada a equação ax2 + bx+ c = 0, com a 6= 0, já calculamos explicita-
mente as suas raízes x1 e x2. Vamos estabelecer agora as relações entre
a, b e c e as raízes x1 e x2. Vamos supor ∆ ≥ 0. Como já sabemos,
temos que
x1 =
−b+√∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
.
Assim, somando x1 com x2 tem-se
x1 + x2 =
−b+√∆
2a
+
−b−√∆
2a
=
−2b
2a
= − b
a
. (2.11)
Por outro lado, fazendo o produto x1x2 obtemos
x1x2 =
(
−b+√∆
2a
)
·
(
−b−√∆
2a
)
=
(− b+√∆)(− b−√∆)
4a2
=
b2 −∆
4a2
=
4ac
4a2
=
c
a
.
(2.12)
Em particular, quando a = 1, temos o seguinte resultado.
Teorema 2.25. Os números α e β são as raízes da equação
x2 − sx+ p = 0 (2.13)
se, e somente se,
α + β = s e αβ = p. (2.14)
56 2 Equações e Inequações
Demonstração. Com efeito, se α e β são as raízes de (2.13) então os
cálculos feitos em (2.11) e (2.12) nos dão (2.14). Reciprocamente, se
vale (2.14) então da igualdade
(x− α)(x− β) = x2 − sx+ p
segue-se que α e β são as raízes de (2.13).
Observação 2.26. Em geral, dada a equação ax2 + bx + c = 0, com
a 6= 0, podemos escrevê-la como a(x2 − sx + p) = 0, com s = −b/a e
p = c/a. Supondo que a equação x2 − sx + p = 0 tem raízes α e β, a
igualdade
ax2 + bx+ c = a(x2 − sx+ p) = a(x− α)(x− β) (2.15)
nos permite concluir que α e β são as raízes da equação de segundo
grau ax2 + bx+ c = 0.
A equação (2.15) mostra que se α é raiz de um polinômio do se-
gundo grau, então a divisão desse polinômio pelo polinômio (x− α) é
uma divisão exata. Voltaremos a tratar desse assunto no Teorema 8.5.
Exemplo 2.27. Paulo cercou uma região retangular de área 28 m2
com 24 metros de corda. Encontre as dimensões dessa região.
Solução: Se chamamos de a e b os lados do retângulo construído por
Paulo, as condições sobre o perímetro e a área desse retângulo nos
levam às seguintes equações:{
a+ b = 12,
ab = 28.
Como já observamos, a e b são raízes da equação x2 − 12x + 28 = 0.
Calculando o discriminante, obtemos ∆ = 122−4·28 = 32. Utilizando
2.3 Equação do Segundo Grau 57
a fórmula, temos que as soluções são
a =
12 +
√
32
2
= 6 + 2
√
2
e
b =
12−√32
2
= 6− 2
√
2.
Exemplo 2.28. Mostre que a equação x2 + bx + 17 = 0 não possui
raiz inteira positiva, se b é um inteiro não negativo.
Solução: Suponhamos que a equação possui alguma raiz inteira n po-
sitiva e seja m a outra raiz (podendo ser m = n). Então, n+m = −b,
onde m = −n− b deverá ser necessariamente um número inteiro. Por
outro lado, m e n são números inteiros tais que m · n = 17, o que só
é possível se m = 1 ou n = 1, o que nos daria em qualquer um dos
casos que 1 + b + 17 = 0 (b = −18), sendo isto uma contradição com
o fato de b ser inteiro não negativo.
Exemplo 2.29. Numa reunião havia pelo menos 12 pessoas e todos
os presentes apertaram as mãos entre si. Descubra quantas pessoas
estavam presentes na festa, sabendo que houve menos que 75 apertos
de mão.
Solução: Vamos denotar por a o número de apertos de mão e enumerar
as pessoas com os números do conjunto P = {1, 2, . . . , n}. A cada
aperto de mão associaremos um par (i, j), significando que a pessoa i
apertou a mão da pessoa j. Assim, os apertos de mão envolvendo a
pessoa 1 foram
A1 =
{
(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n)
}
.
58 2 Equações e Inequações
Do mesmo modo, definimos os apertos de mão envolvendo a pessoa 2
que não envolvem a pessoa 1, como
A2 =
{
(2, 3), (2, 4), . . . , (2, n)
}
.
Note que o aperto (2, 1) é o mesmo que o aperto (1, 2), já que se 1
aperta a mão de 2, então 2 aperta a mão de 1. Analogamente,
Ai =
{
(i, i+ 1), (i, i+ 2), . . . , (i, n)
}
, para 1 ≤ i ≤ n− 1.
Note que Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j. Observe também que todos os
apertos aparecem em um dos conjuntos Ai. Assim, A1 ∪ · · · ∪ An−1
contém todos os apertos de mão. Logo, se |X| denota o número de
elementos do conjunto X e a o número de apertos de mão, temos
|(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An−1)| = |A1|+ |A2|+ · · ·+ |An−1|
= (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 2 + 1
=
(n− 1)n
2
= a.
Portanto, n2−n−2a = 0 deve admitir admite uma raiz inteira, maior
ou igual a 12. Deste modo, basta descobrirmos para que valores de
a < 75 a equação acima admite alguma raiz inteira n ≥ 12. Denotemos
as raízes da equação por n1 e n2 e suponhamos que n1 ≥ 12. Das
relações {
n1n2 = −2a,
n1 + n2 = 1,
concluímos que −n2 = n1 − 1 ≥ 11. Assim, podemos deduzir que
−n2n1 ≥ 11 · 12 = 132, pois −n2 ≥ 11 e n1 ≥ 12.
Observe que o mesmo raciocínio nos leva a concluir que se n1 ≥ 13
então −n2n1 = 2a ≥ 12 · 13 = 156, o que nos daria a ≥ 78, sendo
2.3 Equação do Segundo Grau 59
isto impossível pois a < 75. Assim, a raiz positiva para tal equação
não pode ser maior ou igual que 13, restando somente n1 = 12 como
solução. De fato, essa solução é possível, se considerarmos a = 66.
Logo, haviam 12 pessoas na festa.
2.3.3 Equações Biquadradas
A dedução da solução da equação do segundo grau nos permite resolver
equações de grau mais alto, desde que elas se apresentem numa forma
peculiar, que nos permita reduzi-las a uma equação do segundo grau.
Por exemplo,
Exemplo 2.30. Resolva a equação
x4 − 2x2 + 1 = 0. (2.16)
Apesar da equação acima ser de grau quatro, podemos solucioná-la
utilizando o que aprendemos até agora. O truque será denotar por y
o valor x2.
Solução: Denote por y = x2. Neste caso, temos que 0 = y2− 2y+ 1 =
(y − 1)2. Logo, y = 1. Assim, x2 = y = 1, de onde segue-se que x = 1
ou x = −1.
De modo geral consideremos a equação
ax2k + bxk + c = 0, k ∈ N, (2.17)
e façamos a mudança y = xk. Então, a equação se transforma na
seguinte;
ay2 + by + c = 0, (2.18)
60 2 Equações e Inequações
a qual já sabemos resolver. Logo, se (2.18) não possui solução então
(2.17) também não terá solução e no caso em que y = α seja uma
raiz de (2.18) então as soluções para (2.17), correspondentes à raiz α,
podem ser encontradas resolvendo a equação simples
xk = α,
a qual tem as seguintes possibilidades:
• uma única solução: x = k√α se k é ímpar;
• nenhuma solução: se α < 0 e k é par;
• duas soluções: x = ± k√α se α > 0 e k é par.
2.3.4 O Método de Vièti
A maneira que François Vièti (1540-1603) descobriu para resolver a
equação do segundo grau baseia-se em relacionar a equação
ax2 + bx+ c = 0 (2.19)
como uma equação do tipo
Ay2 +B = 0, (2.20)
onde A eB são números que dependem de a, b, c, de modo que qualquer
solução da equação (2.20) determinará uma solução da equação (2.19).
Note que a última equação possui soluções
y1 =
√
−B
A
e y2 = −
√
−B
A
, se − B
A
≥ 0.
2.3 Equação do Segundo Grau 61
Para fazer isso, usamos o seguinte truque: escrevendo x = u+ v como
a soma de duas novas variáveis u e v, a equação (2.19) se escreve como
a(u+ v)2 + b(u+ v) + c = 0,
a qual, desenvolvendo o quadrado, equivale a
au2 + 2auv + av2 + bu+ bv + c = 0.
Agrupando convenientemente, podemos escrever a expressão acima
como uma equação na variável v, isto é,
av2 + (2au+ b)v + au2 + bu+ c = 0.
Assim, podemos obter uma equação do tipo da equação (2.20), esco-
lhendo o valor de u de modo que o termo (2au + b)v se anule. Esco-
lhendo u = −b/2a temos que
av2 + a
(−b
2a
)2
− b b
2a
+ c = 0⇐⇒ av2 + b
2
4a
− b
2
2a
+ c = 0,
o que é equivalente a
av2 +
−b2 + 4ac
4a
= 0.
Observando que a equação assumiu a forma da equação (2.20), temos
que suas soluções são
v1 =
√
b2 − 4ac
4a2
e v2 = −
√
b2 − 4ac
4a2
, se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
Lembrando que u = −b/2a e que x = u+ v temos que as soluções da
equação (2.19) são
x1 = − b
2a
+ v1 e x2 = − b
2a
+ v2,
como já obtivemos anteriormente.