Ficha_prática0_Revisão_de_conceitos de base_20_21

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Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
EEC
Análise Matemática
Ano letivo 2020/2021 1.◦ Semestre Ficha 0 - Revisão de alguns conceitos
1. Simpli�que cada uma das expressões:
(a)
23 × 2−4 + 3−2
(22)−2
(b)
√
32 + 22
53
(c)
e3+a
ea−3
× e−6 (d) ln 25 + ln 5
ln(5−2) + ln 5
2. Resolva em R as equações:
(a) (x2 − 3)(x+ 6)(x− 2) = 0 (b) (x2 − 3)(x+ 6) = −18 (c) (2x+ 2)2 = x+ 1
(d) ex+2 − 4x2 ex = 0 (e) 2x+1 + 1 = 9 (f) 3− e3x = 1
(g) ln(x+ 1) = 2 (h) lnx+ 1 = 2 (i) 2 ln(x+ 2) + 2 = 3
(j) lnx+ ln 3 = ln 9 (k) log2(x− 2x2) + log2(4) = 0 (l) ln2 x− 3 lnx = 0
3. Resolva em R as inequações:
(a) − 3x2 + 8 ≤ x(4− 3x) (b) 3x+ 4
2− x
≥ 0 (c) x
3
+
1
x
<
1
2
4. Sabendo que:
(a) sin θ =
1
3
e θ ∈ 1◦Q calcule os valores exatos de cos θ, tan θ, cot θ, sec θ e cosec θ
(b) tg θ = −3
4
e θ ∈ 2◦Q calcule os valores exatos de sin θ, cos θ, cot θ, sec θ e cosec θ.
5. Determine o valor designado por:
(a) arcsin
(√2
2
)
(b) arccos
(
−
√
3
2
)
(c) arctg (−1)
(d) arcsin
(
− 1
2
)
(e) arctg
(√
3
)
(f) arccos (0)
(g) arcsin (−1) (h) cos
(
arcsin
(
− 1
2
))
(i) sin
(
arccos
(
− 1
4
))
6. Considere as funções reais de variável real de�nidas por f(x) = 3− 2 ex/2 e g(x) = 3 + log2(x− 1).
(a) Determine os zeros de f e de g.
(b) Caracterize as funções inversas de f e de g (domínio, contradomínio e expressão analítica).
1
7. Determine o domínio da função f cuja expressão analítica é dada por:
(a) f (x) =
3
4
arctg
(x
3
)
(b) f (x) = 1− 1
2
arccos (2x+ 1)
8. Escolha a opção correta:
O domínio da função f real de variável real de�nida por f(x) = ln (π − 2 arcsinx) é igual a:
(A) Df =
]
−∞, π
2
[
(B) Df = ]−1, 1[ (C) Df =
[
−1, π
2
[
(D) Df = [−1, 1[
9. Sejam f e g as funções reais de variável real de�nidas por:
f (x) =
π
4
− 1
3
arcsin (2x) e g (x) = π + 4arctan
(
x− 2
4
)
.
(a) Considerando a respetiva restrição principal, determine, para cada uma delas:
i. o domínio;
ii. o contradomínio;
iii. uma expressão analítica da função inversa;
iv. os zeros, caso existam.
(b) Determine as soluções da equação f (x) =
π
4
.
Soluções
1. (a)
88
9
(b)
√
13
√
5
25
(c) 1 (d) − 3
2. (a) x = ±
√
3 ∨ x = −6 ∨ x = 2 (b) x = 0 ∨ x = −3± 2
√
3 (c) x = −1 ∨ x = −3
4
(d) x = ± e
2
(e) x = 2 (f) x =
ln 2
3
(g) x = e2 − 1 (h) x = e (i) x = e
1
2 − 2
(j) x = 3 (k) x ∈ ∅ (l) x = 1 ∨ x = e3
3. (a) x ∈ [2,+∞[ (b) x ∈
[
− 43 , 2
[
(c) x ∈]−∞, 0[
4. (a) cos θ =
2
√
2
3
, tan θ =
√
2
4
, cot θ = 2
√
2, sec θ =
3
√
2
4
, cosec θ = 3
(b) sin θ =
3
5
, cos θ = −4
5
, cotg θ = −4
3
, sec θ = −5
4
, cosec θ =
5
3
5. (a) arcsin
(√
2
2
)
=
π
4
(b) arccos
(
−
√
3
2
)
=
5π
6
(c) arctg (−1) = −π
4
(d) arcsin
(
−1
2
)
= −π
6
(e) arctg
(√
3
)
=
π
3
(f) arccos (0) =
π
2
(g) arcsin (−1) = −π
2
(h) cos
(
arcsin
(
−1
2
))
=
√
3
2
(i) sin
(
arccos
(
−1
4
))
=
√
15
4
2
6.
(a) Zeros de f : x = 2 ln
(
3
2
)
; Zeros de g: x =
9
8
(b) f−1 : ]−∞, 3[ → R
x 7→ y = 2 ln
(
3− x
2
) ; g−1 : R → ]1,+∞[
x 7→ y = 1 + 2x−3
7. (a) Df = R
(b) Df = [−1, 0]
8. (D)
9. (a) i. Df =
[
−1
2
,
1
2
]
; Dg = R
ii. D
′
f =
[
π
12
,
5
12
π
]
; D
′
g = ]−π, 3π[
iii. f−1(x) =
1
2
sin
(
3
4
π − 3x
)
; g−1 (x) = 2 + 4 tg
(
x− π
4
)
iv. f não tem zeros; zero de g é x = −2.
(b) C.S. = {0}
3