AD2-GP-2013-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2013.2
Questão 1 [1,5 pt]: Um quadrilátero ABCD está inscrito em um ćırculo. A corda AB subentende
um arco igual a
1
6
da circunferência e a corda DC um arco igual a
1
3
da circunferência. Sabendo
que a diagonal BD subentende um arco DAB igual a
5
12
da circunferência,
a) classifique o quadrilátero ABC,
b) calcule os ângulos formados pelas suas diagonais,
c) encontre o ângulo determinado pelos prolongamentos dos lados CB
e DA.
Solução:
a) Temos
⌢
AB=
360◦
6
= 60◦,
⌢
DC=
360◦
3
= 120◦ e
⌢
DAB=
5 · 360◦
12
= 150◦, então
⌢
BC= 360◦ − 150◦ − 120◦ = 90◦ e
⌢
DA= 150◦ − 60◦ = 90◦.
Assim
⌢
DA=
⌢
BC, logo BÂD =
⌢
BC +
⌢
CD
2
=
90◦ + 120◦
2
=
210◦
2
= 105◦.
CD̂A =
⌢
AB +
⌢
BC
2
=
60◦ + 90◦
2
=
150◦
2
= 75◦.
Os ângulos internos  e D̂ do quadrilátero ABCD são suplementares pois BÂD = 105◦ e
CD̂A = 75◦. Então AB//CD e
⌢
BC=
⌢
AD.
Portanto o quadrilátero é um trapézio isósceles.
b) CÎD =
⌢
AB +
⌢
CD
2
=
60◦ + 120◦
2
=
180◦
2
= 90◦. Portanto as diagonais são perpendicula-
res.
c) CM̂D =
⌢
CD −
⌢
AB
2
=
120◦ − 60◦
2
=
60◦
2
= 30◦
Questão 2 [1,2 pt]: Dada uma circunferência de centro O e uma corda AB. Pelo ponto M , meio
do arco AB, traçamos duas cordas quaisquer MP e MQ que cortam a corda AB nos pontos N e
R, respectivamente. Mostre que o quadrilátero NPQR é inscrit́ıvel.
Solução: Considere a figura conforme enunciado:
Geometria Plana– Gabarito AD2 2
Para mostrar que o quadrilátero NPQR é inscrit́ıvel temos que mostrar que P̂ + R̂ = 180◦.
Temos que P̂ =
⌢
QB +
⌢
BM
2
e R̂ =
⌢
AP +
⌢
PQ +
⌢
BM
2
=
⌢
AP +
⌢
PQ +
⌢
AM
2
, pois M está na
metade do arco AB.
Assim P̂ + R̂ =
⌢
QB +
⌢
BM +
⌢
AP +
⌢
PQ +
⌢
AM
2
=
360◦
2
= 180◦.
Logo P̂ + R̂ = 180◦, portanto o quadriláteroNPQR é inscrit́ıvel.
Questão 3 [1,5 pt]: Sobre uma reta dada a medem-se a partir do ponto A, no mesmo sentido, os
comprimentos seguintes : AB = 3 cm, BC = 12 cm e CD = 15 cm. Sobre uma reta b paralela
à primeira, a partir de certo ponto A′ qualquer, mede-se o segmento A′B′ = 5 cm. As retas AA′
e BB′ se cortam no ponto O. Traçam-se as retas CO e DO que interceptam b em C ′ e D′,
respectivamente. Se a distância entre as paralelas é igual a 6 cm,
a) determine a distância do ponto O a cada paralela,
b) encontre a medida dos segmentos B′C ′ e C ′D′ .
Solução: Considere a reta a, a partir do ponto A medem-se, no mesmo sentido, os comprimentos
seguintes : AB = 3 cm, BC = 12 cm e CD = 15 cm. Sobre uma paralela b à reta a, a partir de
A′, mede-se A′B′ = 5 cm. As retas AA′ e BB′ se cortam no ponto O. E a distância entre as duas
retas a, e b é 6 cm, ou seja, HH ′ = 6 cm.
a) Temos dois casos a considerar :
i) O é exterior as paralelas e ii) O é interior as paralelas:
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Geometria Plana– Gabarito AD2 3
Caso i) Se AB e A′B′ tem mesmo sentido, o ponto O é exterior as paralelas
OH ′
OH
=
AB
A′B′
⇒ OH
′
OH
=
5
3
⇒ OH +HH
′
OH
=
5
3
⇒ OH + 6
OH
=
5
3
3 ·OH + 18 = 5 ·OH ⇒ OH = 9 cm
Portanto as distâncias são 9 cm e 15 cm.
Caso ii) Se AB e A′B′ tem sentido contrário, o ponto O é interior as paralelas
OH ′
OH
=
5
3
⇒ HH
′ −OH
OH
=
5
3
⇒ 6−OH
OH
=
5
3
⇒ 18− 3 ·OH = 5 ·OH
OH =
18
8
=
9
4
Portanto as distâncias são
9
4
cm e
15
4
cm.
b) Como
A′B′
AB
=
5
3
=
B′C
BC
=
C ′D′
CD
,então
B′C ′ =
5BC
3
=
5 · 12
3
= 20 cm e C ′D′ =
5CD
3
=
5 · 15
3
= 25 cm
Questão 4 [1,5 pt]: No triângulo ABC temos AB = 18 cm, AC = 27 cm e BC = 15 cm. A
partir do vértice A, sobre o lado AB marca-se AD = 6 cm e traça-se DE paralela ao lado BC,
A, E e C colineares. Sabendo que AF é a bissetriz do ângulo A, determine os segmentos DF e
FE marcados sobre a paralela DE pela bissetriz do ângulos A.
Solução: Seja o triângulo conforme enunciado,
∆ADE ∼ ∆ABC já que DE//BC. Temos
AD
AB
=
AE
AC
⇒ 6
18
=
AE
27
⇒ AE = 9 cm.
DE
BC
=
AE
AC
⇒ DE
15
=
9
27
⇒ DE = 15
3
= 5 cm.
Pelo Teorema de bissetriz interna (TBI), no ∆ADE,
DF
6
=
FE
9
e DF + FE = 5 cm. Assim
DE + FE
6 + 9
=
DE
6
=
FE
9
⇒ 5
15
=
DF
6
=
FE
9
então
DF =
6 · 5
15
= 2 e FE =
5 · 9
15
= 3
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Questão 5 [1,5 pt]: Em um triângulo retângulo isósceles BAC retângulo em A traça-se a mediana
BD relativa a um dos catetos AC. Do ponto E, no qual a reta que contém a mediana encontra o
ćırculo circunscrito, baixemos EF perpendicular sobre AF . Mostre que AF = 3EF .
Solução: Seja o triângulo conforme enunciado:
Os triângulos retângulos ABD, DEF e EFC são semelhantes pois
tem dois ângulos iguais. Temos que ∆ABC é retângulo isósceles
com  = 90◦, então AB = AC e AD =
AC
2
=
AB
2
, portanto
AB = 2 AD. Pela semelhança EF = 2 DF e FC = 2 EF , então
AF = AD +DF = CD +DF = CF +DF +DF = CF + 2DF
Logo AF = 2 EF + EF = 3 EF .
Questão 6 [1,5 pt]: Sendo dado um retângulo baixa-se de cada um dos vértices a perpendicular
sobre a diagonal oposta. Mostre que os pés dessas perpendiculares são os vértices de um retângulo
semelhante ao retângulos dado.
Solução: Considere o retângulos ABCD conforme enunciado, os vértices A′, B′, C ′ e D′ são os pés
das perpendiculares sobre a diagonal oposta.
Vamos mostrar que A′B′C ′D′ é um retângulo. Os triângulos retângulos AA′D e DD′A pois tem a
hipotenusa igual e um ângulo agudo de igual medida, pois OD = OA(propriedade de retângulo).
Dáı DA′ = AD′, No quadrilátero A′D′AD, A′D = D′A e A′D̂A = D′ÂD, logo A′D′//AD. De
forma similar podemos concluir que C ′B′//CB, A′B′//CD e D′C ′//AB.
A′B′C ′D′ tendo seus lados paralelos aos lados do retângulo ABCD, é um retângulo semelhante ao
retângulo dado.
Questão 7 [1,3 pt]: Duas circunferências são tangentes internamente como na figura. Os segmentos
AB e CD são perpendiculares e o ponto O é o centro da circunferência maior. Os segmentos AP
e CQ medem, respectivamente, 4 m e 3 cm. Qual a medida do raio do ćırculo menor?
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Geometria Plana– Gabarito AD2 5
Solução: Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências menor e maior e S o centro da
circunferência menor. Temos que 2r = PB = AB − 4 = 2R− 4. Logo R = r + 2.
No triângulo retângulo SQO temos SQ = r,
OQ = OC − 3 = R− 3 = r + 2− 3 = r − 1 e OS = OB − SB = R− r = 2
Pelo Teorema de Pitágoras vem
r2 = (r − 1)2 + 22 = r2 − 2r + 5 ⇒ 2r = 5
Logo r = 2, 5 cm.
Questão 8[bônus 0,5 pt]: ABCD é um paralelogramo no qual AB = 5 cm e AD = 3 cm.
Sabendo que a projeção da diagonal AC sobre a reta que contém o lado AB mede 6 cm:
a) calcule a medida da diagonal AC.
b) calcule a medida da diagonal BD.
Solução: Considere AH a projeção de AC sobre a reta que contém o lado AB.
Temos que AH = 6 cm, pelo enunciado. Podemos concluir que AD = BC = 3 cm, BH = 1 cm.
No ∆BHC retângulo, 32 = 12 + CH
2 ⇒ CH2 = 8
No ∆ACH retângulo, 62 + CH
2
= AC
2 ⇒ AC2 = 36 + 8 = 44 ⇒ AC = 2
√
11
No ∆ABC, AC
2
= 52 + 32 − 2 · 5 · 3 · cos B̂ ⇒ 44 = 34− 30 cos B̂ ⇒ cos B̂ = −1
3
No ∆ABD, cos  = − cos B̂ = 1
3
.
BD
2
= 32 + 52 − 2 · 3 · 5 · cos  = 9 + 25− 30 · 1
3
= 24
Logo BD = 2
√
6.
Obs: A nota máxima desta avaliação é 10,0(dez).
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