Anéis- Propriedades, Subanel e Homomorfismo

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Material Teórico
Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Ana Paula Teles de Oliveira
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
• Propriedades do anel
• Subanel
• Homomorfismo de Anéis
• Exemplos
 · Nesta unidade, estudaremos alguns subconjuntos do anel, os 
subaneis. Aprenderemos, ainda, algumas aplicações de anéis 
denominadas homomorfismos. Sobre esses assuntos, veremos 
algumas propriedades. Ao término deste estudo, esperamos que 
você consiga distinguir subanéis e homomorfismo de anéis.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Para um bom aproveitamento da aula, realize a leitura integral do conteúdo 
teórico, acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos. Quando 
aparecer alguma dúvida, entre em contato com seu(sua) ou tutor(a) utilizando 
a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas.
ORIENTAÇÕES
Anéis: Propriedades,
Subanel e Homomorfi smo
UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Contextualização
A História do Número Complexo: Exemplo de Anel
A resolução de equações sempre foi um assunto de interesse dos seres humanos. 
De fato, por muito tempo uma equação era a representação de um problema 
concreto. Então, antes da formalização dos números complexos ou negativos, 
quando apareciam soluções de equações em que o resultado era um desses valores, 
o problema era considerado impossível de se resolver.
Porém, no século XVI, o matemático italiano Tartaglia conseguiu resolver 
equações de terceiro grau, que foram publicadas pelo matemático italiano Cardano 
em sua obra denominada Ars Magna. 
Para encontrar as soluções de uma equação de terceiro grau desta forma:
x3 + px + q = 0
utilizava-se a fórmula conhecida atualmente como Fórmula de Cardano ou 
Tartaglia-Cardano:
x = 
Com essa fórmula encontrava-se as raízes das equações. Porém, havia um 
grande impasse, algumas vezes, para encontrar a solução, aparecia raiz quadrada 
de números negativos. Vejamos um exemplo, consideremos a equação: 
x3 – 15x – 4 =0
Na solução, todos os números são reais. Para verificar esse fato, basta observar 
que uma solução é 4. Depois, divida a equação x3 – 15x – 4 por x-4 e resolva a 
equação de segundo grau. 
Apesar de todas as soluções serem números reais, ao utilizarmos a fórmula de 
Tartaglia-Cardano, obtemos:
 
+
 
Nesse momento, inicia-se um processo complicado, pois não se poderia afirmar que 
o aparecimento de raizes quadradas negativas indicavam a impossibilidade de solução. 
Existiam exemplos, como vimos anteriormente, em que os números reais estavam em 
todas as soluções da equação, mesmo que no processo fosse necessário resolver raízes 
de números negativos, que eram números, até aquele momento, desconhecidos. Esse 
fato era tão evidente que não se podia ignorar, portanto, chegou-se à conclusão de que 
os números reais não eram suficientes para se resolver as equações.
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Bombelli, outro matemático italiano, resolveu trabalhar as raízes quadradas 
negativas como se realmente existissem. Porém, somente no século seguinte o 
termo imaginário foi utilizado, ele foi introduzido por Descarte que, ao se referir às 
raízes de equações algébricas, afirmou que nem sempre seriam reais, mas poderiam 
ser imaginárias. 
Apesar de o termo imaginário ser utilizado para a representação −1 no 
século XVII, somente no século seguinte Euler utiliza o símbolo i para representá-
lo. Até esse período, os números complexos eram utilizados, obtendo resultados 
importantes, sem nenhuma justificação. No século XIX, Gauss utiliza o número 
complexo como utilizamos atualmente. Os cálculos com números complexos foram 
tomando sentido quando Wessel, Argand e Gauss utilizaram a representação de 
par ordenado.
A fundamentação definitiva dos números complexos, em pares ordenados de 
números reais, que atualmente conhecemos foi elaborada pelo irlandês Hamilton. 
Em um período de intensa abstração, ele percebeu que o sinal + em um número 
complexo a + bi não era para adicionar a e bi, e sim uma representação do par 
ordenado em números reais (a,b). A partir de então, formaliza a teoria dos números 
complexos definindo a adição e a multiplicação assim:
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Você percebeu o que aconteceu? Durante séculos, apesar de os números 
complexos serem utilizados em importantes resultados, somente no século XIX 
foram formalizados. Na verdade, a partir da abstração, os problemas que no período 
da álgebra clássica não puderam ser resolvidos por algum impedimento relacionado 
aos elementos e às operações baseadas no concreto foram solucionados. 
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Propriedades do anel
Até o momento, vimos o conceito de anel e variados exemplos dessa estrutura. 
Para mostrarmos que os exemplos satisfaziam as condições de anel, na maioria 
das vezes, utilizamos as propriedades dos conjuntos numéricos envolvidos. Mas, 
na verdade, podemos fazer cálculos com essa estrutura, como nos conjuntos 
numéricos, levando em consideração as diferenças. Por esse motivo, estudaremos 
algumas propriedades relacionadas ao anel.
A propriedade 1 é conhecida como lei do cancelamento em relação à adição.
Propriedade 1: seja A um anel, para todo a, b, c ∈ A, tal que a + b = a + c, 
então b = c.
Demonstração: Sejam a, b, c ∈ A, tal que: 
a + b = a + c
Como A é um anel, temos:
(-a) + (a+b) = (-a) + (a+c)
(-a + a) + b = (-a +a) + c
0 + b = 0 +c
b=c
Portanto b = c.
A propriedade 2 informa sobre a multiplicação entre um elemento pelo zero 
do anel.
Propriedade 2: seja A um anel, para todo a ∈ A, temos que a.0 = 0.a = 0.
Demonstração: Se a ∈ A, então: 
a.0 = a. (0 +0) = a.0 +a.0
Logo,
a.0 = a.0 + a.0
Como a.0 = a.0 + 0, temos:
a.0 + 0 =a.0 +a.0
0 = a.0.
Portanto, a.0 = 0. Como A pode ser um anel não comutativo, é necessário fazer 
a demonstração 0.a =0, que será análoga à que fizemos, então deixaremos para 
você treinar.
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Começaremos a estudar os elementos opostos de um anel na próxima 
propriedade.
Propriedade 3: seja A um anel, para todos a1, a2 ∈ A, temos -(a1 + a2) = (-a1) 
+ (-a2).
Demonstração: a) Como – (a1 + a2) é o oposto de (a1 + a2), vejamos se (-a1) + 
(-a2) também é elemento oposto de (a1 + a2). Temos:
Lembre-se: por que as próximas igualdades são válidas? Olhe a definição de anel!
((-a1) + (-a2)) + (a1 + a2) = 
= (-a1) + (-a2) + a1 + a2 =
= (-a1) + a1 + (-a2) + a2 =
= ((-a1) + a1) + ((-a2) + a2) =
0 + 0 = 0
Logo, ((-a1) + (-a2)) + (a1 + a2) = 0. Como tanto ((-a1) + (-a2)) quanto -(a1 + a2) são 
elementos opostos de (a1 + a2), e sabemos que o elemento oposto é único, então 
-(a1 + a2) = (-a1) + (-a2). 
Será que o resultado somente é válido quando adicionamos dois elementos? Será que 
podemos generalizar esse fato, ou seja, –(a1 + a2+ ... + an) = (-a1) + (-a2) + ... + (-an), 
para n >2?
Ex
pl
or
A próxima propriedade fala sobre a operação multiplicação envolvendo o oposto 
de um anel. Observamos que existe uma semelhança com a regra de sinais que 
utilizamos na multiplicação de números.
Propriedade 4: seja A um anel, para todo a, b ∈ A, temos:
a) –( - a) = a.
b) a . (-b ) = ( -a). b = - (a.b).
c) (-a). (-b) = a . b.
Demonstração: a) Sabemos que o oposto de a é (-a), e vice-versa; mas o oposto 
de (-a) é (-(-a)). Como tanto a quanto (- (–a)) são elementos opostos de (-a), e sabemos 
que o elemento oposto é único, então a = -(-a).
b) Mostraremos que a.(-b) = -(a.b), para tanto: 
a.b + (-(a.b)) = 0 = a.0 = a. (b + (-b)) = a. b + a.(-b)
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Assim,
a.b + (-(a.b)) = 0
 a.b + a.(-b) = 0
Como tanto -(a.b) quanto a.(-b) são elementos opostos de a.b, e o elemento 
oposto é único, então a.(-b) = -(a.b).
Mostraremos que (-a).b = -(a.b). Temos: 
a.b + (-(a.b)) = 0 = 0.b = (a + (-a)). b = a.b + (-a).b
Assim, 
a.b + (-(a.b)) = 0
 a.b + (-a).b = 0
Como tanto (-a.b) quanto (-a).b são elementos opostos de a.b, e o elemento 
oposto é único, então (-a).b = -(a.b).
Portanto,a.(-b ) = ( -a).b = - (a.b).
c) Para fazer essa demonstração utilizaremos os itens anteriores. Pelo item 
b), temos:
(-a). (-b) = - (a.(-b)) = - (-(a.b))
Pelo item a), temos –(-(a.b))= a.b, portanto, (-a). (-b) = a.b. 
Uma diferença entre um anel e os conjuntos numéricos é a existência da unidade, 
pois não são todos os anéis que possuem unidade. A próxima propriedade é para 
os anéis com unidade. 
Propriedade 5: seja A um anel com unidade. 
a) Para todo a ∈ A, temos (-1).a = -a.
b) (-1).(-1) = 1.
Demonstração: a) Para demonstrarmos essa propriedade, utilizamos o fato de 
que A é um anel com unidade.
(-1).a + a = (-1). a + 1.a = (-1+1). a = 0.a =0
Assim,
(-1).a + a = 0
Como tanto (–a) quanto (-1).a são elementos opostos de a, e o elemento oposto 
é único, temos (-1).a = - a.
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Observemos que existem semelhanças entre essas propriedades e os resultados 
relacionados aos cálculos com o número zero ou com os números negativos. Outra 
questão, que será por conveniência, é que poderemos utilizar a – b, denominado 
diferença entre a e b, para indicarmos a + (-b), e ab para indicarmos a.b.
Ao relembrarmos que anel é um conjunto com duas operações e algumas 
condições, podemos imaginar o que acontece com os seus subconjuntos. Estaremos 
voltados a um subconjunto especial denominado subanel, que será tratado a seguir.
Subanel
Em um anel A existem diversos subconjuntos. Os subconjuntos que preservam 
as condições do anel A é o nosso estudo.
Seja (A, +, -) um anel, dizemos que um subconjunto não vazio L é um subanel de 
A se L, com as mesmas operações de A, for um anel. Portanto, L é subanel de A 
se, e somente se, L é fechado para as operações adição e multiplicação:
+ : L x L → L e . : L x L → L
E as seguintes condições são satisfeitas:
I) A operação adição é associativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, b, c ∈ 
L, têm-se (a + b) + c = a + (b + c);
II) A operação adição é comutativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, b ∈ L, 
têm-se a + b = b + a;
III) O conjunto L possui elemento neutro aditivo, ou seja, existe 0L ∈ L tal que 0L 
+ a = a para todo a ∈ L;
IV) Todo elemento de L possui elemento inverso aditivo em L, ou seja, para todo 
a ∈ L existe (-a) ∈ L, tal que a + (-a) = 0L;
V) A operação multiplicação é associativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, 
b, c ∈ A, têm-se (a . b) . c = a . (b . c);
VI) A operação multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja, para 
quaisquer que sejam a, b, c ∈ L, têm-se:
a . ( b + c) = a . b + a. c 
(b+c). a = b.a + c.a
Ao olharmos essas condições e as relacionarmos com as condições para um 
conjunto ser anel, podemos fazer os seguintes questionamentos:
1) Será que o zero 0L de L é necessariamente o mesmo zero do anel A?
A resposta é afirmativa. De fato, para qualquer x ∈ L temos 0L = x – x = 0. 
Portanto, 0L = 0.
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Um subanel L do anel A terá pelo menos o zero de A!
2) Será que o elemento inverso aditivo -aL de um elemento a de L é necessariamente 
igual ao elemento inverso -a de L?
Essa reposta é verdadeira. De fato, como (L, +) é um subgrupo do anel (A,+), 
sabemos que o –aL = -a.
Ao retomarmos o conceito de subanel, notamos que, para que mostremos 
que L ⊂ A é um subanel, será necessário verificarmos as oito condições citadas 
anteriormente. Você se lembra como, ao estudarmos anel na unidade IV, foi 
extenso verificarmos (Q, *, Δ)? Ou, ainda, o (M2(R),+,.)? Observamos que para 
anel considerávamos seis condições, mas para subanel precisamos verificar oito. 
Isso pode ser bem trabalhoso, dependendo do anel em questão. Outra maneira de 
verificarmos se um conjunto será subanel é utilizando a próxima proposição, que 
diminui para três a quantidade de condições. Por esse motivo, iremos demonstrá-la.
Proposição 1: seja A um anel e L um subconjunto de A, então L é um subanel 
de A se, e somente se, as seguintes condições são válidas:
a) O zero do anel pertence a L, ou seja, 0 ∈ L;
b) A diferença é fechada em L, isto é, para todos a, b ∈ L temos a – b ∈ L;
c) A multiplicação é fechada em L, ou seja, para todos a, b ∈ L temos 
a.b ∈ L.
Demonstração: 
Vamos mostrar que se L é um subanel de A, então, as condições da proposição 
são verificáveis. 
a) O zero do anel pertence a L pela condição iii) da definição de subanel;
b) A diferença é fechada em L, pois para todo a, b ∈ L, sabemos –b ∈ L. Assim, 
a - b = a + (-b) ∈ L
c) A operação multiplicação é fechada em L pelo próprio conceito de subanel.
Mostraremos que se são válidas as três condições da proposição em L, então L 
é um subanel de A.
A operação multiplicação é fechada em L por iii). Mostraremos que a operação 
adição é fechada em L. 
Sejam a, b ∈ L, temos:
a + b = a +(– (-b)) = a – (-b)
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Como –b = 0 – b ∈ L, temos a + b = a – (-b) ∈ L
Portanto, a adição é fechada em L;
i) A operação adição é associativa, de fato, para quaisquer que sejam a, b, c ∈ 
L ⊂ A, têm-se (a + b) + c = a + (b + c).
ii) A operação adição é comutativa, pois para quaisquer que sejam a, b ∈ L ⊂ 
A, têm-se a + b = b + a.
iii) O conjunto L possui elemento neutro aditivo, pela condição a).
iv) Todo elemento de L possui elemento inverso aditivo em L. De fato, como 0 
∈ L, para todo a ∈ L temos - a = 0 – a ∈ L. Logo, para todo a ∈ L, temos 
–a ∈ L. 
v) A operação multiplicação é associativa. De fato, para quaisquer que sejam a, 
b, c ∈ L ⊂ A, têm-se (a . b) . c = a . (b . c).
vi) A operação multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja, para 
quaisquer que sejam a, b, c ∈ L ⊂ A, têm-se 
a . ( b + c) = a . b + a. c 
(b+c). a = b.a + c.a
Portanto, a proposição é valida.
Após a demonstração dessa proposição, podemos verificar que um conjunto de 
L será um subanel utilizando o conceito ou a preposição. Porém, utilizaremos a 
proposição por termos somente três condições para verificar. 
Vejamos alguns exemplos:
• (Z, +, . ) é um subanel de (R, +, .), pois 0 é um elemento de Z, e as operações 
da diferença e multiplicação usuais são fechadas em Z.
• N não é um subanel de (R, +, .). De fato, a operação diferença não é fechada 
em N. Por exemplo, temos 1, 3 ∈ N, porém 1- 3= -2 ∉ N.
• Seja 2Z= {x ∈ Z | x = 2m, m ∈ Z}, isto é, 2Z é o conjunto dos números 
pares. Então, (2Z, +, .) é um subanel de (Z, +, .). Para verificarmos essa 
afirmação, temos: 
a) O elemento neutro aditivo de Z pertence a 2Z, pois 0 = 2.0 ∈ 2Z.
b) Mostraremos que a diferença é fechada em 2Z. Sejam a, b ∈ 2Z, tal que
a = 2r e b = 2s. Temos:
a - b = 2r - 2s = 2r + 2(-s) = 2(r+(-s)) ∈ 2Z
Logo, a diferença é uma operação fechada em 2Z.
c) Mostraremos que a operação multiplicação é fechada em 2Z. Sejam a, b ∈ 
2Z, tal que a = 2r e b = 2s. Temos:
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
a.b = (2r).(2s) = 2(2rs) ∈ 2Z
Logo, a multiplicação é uma operação fechada em 2Z.
Portanto, 2Z é um subanel de Z.
• Podemos generalizar o exemplo anterior, fixando n como um número inteiro. 
Temos (nZ, +, .), um subanel de (Z, +, .) – tente utilizar a proposição 1 para 
conferir esse fato.
• Se A é um anel, temos os conjuntos {0} e A subanéis de A, denominados 
subanéis triviais. É importante destacarmos que o elemento oposto do zero do 
anel é ele mesmo. Por que isso é verdade?
Todo anel possui subanel. Os subanéis triviais.
• Consideramos o anel (Q, *, Δ), onde Q é conjunto dos números racionais Q, 
munidos com as seguintes operações:
a*b = a + b – 1
a Δ b = a + b - ab
Sabemos que o zero do anel (Q, *, Δ) é 1 e, para todo b ∈ Q, o elemento oposto 
é – b + 2. Para confirmar, faça os cálculos ou reveja a unidade IV.
 Como Z é um subconjunto de Q, mostraremos que (Z, *, Δ) é um subanel de 
(Q, *, Δ). Utilizando a proposição 1:
a) O número 1 é inteiro, portanto o zero de (Q, *, Δ) pertence a (Z, *, Δ).
b) É necessário mostrarmos que a diferença em relação a * é fechada em Z. Seja 
a diferença em relação à operação * representada por -*. Para mostrarmos que 
a -* é fechada em Z, observamos que, por definição,a diferença de a e b é a 
operação * de a com o elemento oposto de b, ou seja, para todo a, b ∈ Z, temos:
a -* b = a * (-b+2) = a +(-b+2) -1 = a +(– b) +1∈ Z.
Pois a, -b, 1 ∈ Z e a operação adição usual é fechada em Z!
 Portanto, a operação -* é fechada em Z.
c) Mostraremos que a operação Δ é fechada em Z. Para todos a, b ∈ Z, temos:
a Δ b = a + b – ab = a + b + (-ab) ∈ Z
Logo, a operação Δ é fechada em Z.
Portanto, (Z, *, Δ) é um subanel de (Q, *, Δ).
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• Seja M2(R) com as operações de adição e multiplicação usuais, consideremos 
L ⊂ M2(R), tal que
L= { | }
Mostraremos que L é um subanel de M2(R). Para tanto, utilizaremos a proposição 1.
a) O zero do anel ∈ L
b) A diferença é fechada em L. De fato, para todo B, D ∈ L, tal que
B = , D = , temos:
B – D = B + (-D) = + =
= ∈ L
Logo, a diferença é fechada em L.
c) A multiplicação é fechada em L. De fato, para todo B, D ∈ L, tal que
B = , D = , temos:
B . D = . = ∈ L
Logo, a operação multiplicação é fechada em L.
Portanto, L é um subanel de M2 (R).
Ao estudarmos anéis, estudamos o anel com unidade. Você recorda? Vamos 
relembrar? Pois bem, dizemos que A é um anel com unidade quando A possui o 
elemento neutro da multiplicação.
Observamos que a unidade do anel R é a mesma do subanel Z. Uma pergunta 
que podemos fazer é: será que se A é um anel com unidade, um subanel L de A 
também terá a mesma unidade?
A reposta é negativa. Exemplificamos esse fato com o próximo exemplo: 
Consideremos o subanel L do anel M2(R), tal que:
L= { | }
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Sabemos que I2 = é a unidade do anel M2(R), porém I2 ∉ L, portanto I2 
não é a unidade de L. 
Um detalhe interessante é que L tem unidade. O nosso próximo passo é mostrar 
que a unidade 1L = . Para tanto, seja B ∈ L, tal que B = . Temos:
B. 1L = . =
= =
= = B
Logo, B . 1L = B, para todo B ∈ L, temos:
1L .B = . = 
= = 
= = B
Logo, 1L . B = B, para todo B ∈ L.
Portanto, 1L é a unidade de L.
Com esse exemplo, observamos que, se um anel tem unidade, a unidade do anel 
e do seu subanel podem ser distintas.
Outra dúvida: será que um subanel de um anel com unidade necessariamente 
tem unidade? 
A resposta é negativa. Exemplificamos com o conjunto dos números pares 2Z, 
que são um subanel de Z. Sabemos que o número 1 é a unidade de Z, porém 2Z 
não possui unidade.
Dessa forma, observamos que não existe uma regra relacionada aos anéis e 
subanéis e suas unidades. 
Até este momento, estudamos anéis e subanéis. Podemos também fazer 
uma aplicação de um anel em outro, mas em nosso curso focalizaremos nas 
aplicações que também preservam a estrutura de anel. Esse assunto será tratado 
na próxima seção.
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Homomorfismo de Anéis
As aplicações de uma estrutura algébrica em outra estrutura semelhante que 
a preserva são denominadas de homomorfismos. Como já estudamos anéis, 
concentraremos nosso estudo em homomorfismos de anéis.
Consideremos os anéis A e A’ e a aplicação f: A → A’, dizemos que f é um 
homomorfismo (Figura 1) se f verificar as condições:
i) f(x + y) = f(x) + f(y), para todo x, y ∈ A.
ii) f(x . y) = f(x) . f(y), para todo x, y ∈ A.
A
x
xy
x + y
y
A’ƒ
ƒ(x)
ƒ(x) + ƒ(y)
ƒ(x) ƒ(y)
ƒ(y)
Figura 1: Representação do homomorfi smo de anéis f: A→A’.
Fonte: DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Ed. Atual, 2003. P. 233
Importante!
As operações de adição e multiplicação que aparecem no primeiro membro das 
condições I) e II) são do anel A, enquanto as operações adição e multiplicação do 
segundo membro são do anel A’.
Importante!
Vejamos alguns exemplos:
• A função f: A→ A’ definida por f(a) = 0A´ é um homomorfismo de anéis, pois 
para todos a, b ∈ A’ temos:
f(a + b) = 0A´ = 0A´ + 0A´ = f(a) + f(b)
Logo, f(a+b) = f(a) + f(b) e
f(ab) =0A´ = 0A´ . 0A´ = f(a) f(b)
Logo, f(ab) = f(a)f(b).
A aplicação f é denominada homomorfismo nulo. 
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
• A função Id: A→ A definida por Id(a) = a é um homomorfismo de anel. De 
fato, para todo a, b ∈ A, temos:
Id(a + b) = a + b = Id(a) + Id(b)
Logo, Id(a+b) = Id(a) + Id(b) e
Id(ab) = ab = Id(a) Id(b)
Logo, Id(ab) = Id(a) Id(b).
A aplicação Id é denominada homomorfismo identidade.
• A função f: R x R → R, tal que f((x1, x2)) = x1. Mostraremos que f é um 
homomorfismo de anéis. Sejam x, y ∈ R x R, tais que x = (x1, x2) e y = (y1, 
y2), temos:
f(x + y) = f((x1, x2) + (y1, y2)) =
=f((x1+y1, x2 + y2)) =
= x1 + y1 =
= f((x1, x2)) + f((y1, y2)) =
= f(x) + f(y)
Logo, f(x+y) = f(x) + f(y), temos:
f(xy) = f((x1, x2) . (y1, y2)) =
= f((x1 . y1, x2 . y2)) =
= x1 . y1 =
= f((x1, x2)) . f((y1, y2)) =
= f(x) . f(y)
Logo, f(x.y) = f(x) . f(y).
Portanto, f é um homomorfismo de anéis denominada projeção.
Existem alguns resultados interessantes sobre o homomorfismo de anéis que 
abordaremos neste momento. Vejamos o que acontece quando aplicamos um 
homomorfismo no zero do anel.
Proposição 2: consideremos os anéis A e A’ com seus respectivos zeros 0A e 
0A’. Se f: G → J é um homomorfismo de anel, então f(0A) = 0A’.
Demonstração:
Para a demonstração dessa proposição, utilizaremos o conceito de elemento 
neutro da adição e do homomorfismo de anéis. Temos: 
f(0A) = f(0A + 0A) =
= f(0A)+ f(0A)
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Como f(0A) = f(0A)+0A’, temos:
f(0A) + 0A’ = f(0A)+ f(0A)
Logo, f(0A) = 0A.
Representamos a proposição 2 na Figura 2.
A
0A 0A
Aƒ
Figura 2: Representação de f(0A) = 0A’.
A próxima proposição indica o que ocorre quando um homomorfismo é aplicado 
em um elemento oposto ao do anel.
Proposição 3: considere os anéis A e A’. Se f: A → A’ é um homomorfismo 
de anéis, então f(-a) = -f(a).
Demonstração:
Para demonstrarmos, utilizaremos a proposição 2, os conceitos de zero de anel, 
elemento oposto e homomorfismo de anéis. Temos:
0A’ = f(0A) = 
= f (a +(- a)) = f(a) + f(-a)
Logo, 0A’ = f(a) + f(-a).
Como 0A’ = f(a) + (-f (a)), temos: 
f (a) +(-f( a)) = f(a) + f(-a)
Portanto, f(-a) = -f(a).
Representamos a proposição 3 na Figura 3. 
A
a ƒ(a)
A’ƒ
-a -ƒ(a)
Figura 3: Representação f(-a) = - f(a) 
Fonte: DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Ed. Atual, 2003. P.164
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Ao trabalharmos com o conceito de função, enunciamos alguns conjuntos 
como, por exemplo, o conjunto imagem da função. O conjunto imagem de um 
homomorfismo é:
Im f = { a’ ∈ A’| a’ = f(a) para algum a ∈ A}
 Vejamos alguns exemplos:
• O homomorfismo nulo f: A→ A’ definida por f(a) = 0A´. Temos:
Im f = {0A’ }
• O homomorfismo identidade Id: A→ A definida por Id(a) = a. Temos:
Im Id = A
• O homomorfismo projeção f: R x R → R, tal que f((x1, x2)) = x1. Temos:
Im f = R
O próximo resultado apresentará o conjunto imagem de um homomorfismo de anéis.
Propriedade 6: consideremos os anéis A e A’. Se f: A → A’ é um homomorfismo 
de anéis, então 
Im f = { a’ ∈ A’| a’ = f(a) para algum a ∈ A}
é um subanel de A’.
Demonstração: 
Pela proposição 1 precisamos verificar 3 condições. Para tanto, utilizaremos os 
resultados da proposição 2 e o conceito de homomorfismo.
a) Como 0A’ = f(0A), temos 0A’ ∈ Im f.
b) Vejamos se a diferença é fechada em Im f. Para tanto, sejam a’, b’ ∈ A’, tal que 
a’ = f(a) para algum a ∈ A
b’ = f(b) para algum b ∈ A.
Assim,
a’ – b’ = a’ + (-b’) = 
= f(a) + f(-b) = 
 =f(a + (-b)) = 
=f(a-b)
Logo, a’- b’ = f(a -b), com a-b ∈ A. Assim, a’-b’ ∈ Im f, ou seja, a operação 
diferença é fechada em Im f.
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c) Falta verificar que a operação multiplicação é fechada em Im f. Temos: a’. b’ 
= f(a).f(b) = f(a.b).
Logo, a’.b’ = f(a.b), com a.b ∈ A. Assim, a’.b’ ∈ Im f, ou seja, a operação 
multiplicação é fechada em Im f.
Portanto, Im f é um subanel de A’.
Pela proposição sabemos que Im f é subanel do contradomínio, vejamos 
alguns exemplos:
• Do homomorfismo nulo, f: A→ A’ definida por f(a) = 0A´, concluímos que {0A’ 
} é um subanel de A’ – esse é um exemplo de subanel trivial;
• Do homomorfismoidentidade Id: A→ A definida por Id(a) = a, concluímos que 
A é um subanel de A – esse é um exemplo de subanel trivial.
• Do homomorfismo projeção f: R x R → R, tal que f((x1, x2)) = x1, concluímos 
que R é um subanel de R.
Ao trabalharmos com o conceito de homomorfismo de grupos, definimos um 
conjunto denominado núcleo de um homomorfismo. Consideraremos o núcleo de 
um homomorfismo de anéis, para tanto, vejamos o seu conceito. 
 Consideremos os anéis A e A’ e 0A’ o zero do anel de A’. Seja f: A → A’ um 
homomorfismo de anel, denominamos o conjunto
N(f) = { a ∈ A | f(a) = 0A’ }
como núcleo de f. 
Vejamos alguns exemplos:
• O homomorfismo nulo f: A→ A’ definida por f(a) = 0A´. Temos:
N(f) = A
De fato, se a ∈ N(f), então f(a) = 0A’ . Como f(a) = 0A’ , para todo a ∈ A, temos 
N(f) = A.
• O homomorfismo identidade Id: A→ A definida por Id(a) = a. Temos:
N(Id) = {0A}
De fato, se a ∈ N(Id), então Id(a) = 0A. Como Id(a) = a, temos: 
a = 0A
Logo, N(Id) = {0A}.
O homomorfismo projeção f: R x R → R, tal que f((x1, x2)) = x1. Temos:
N(f) = {0} x R
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
De fato, se (x1, x2) ∈ N(f), então f((x1, x2)) = 0. Como f((x1, x2)) = x1, temos: 
x1 = 0 e x2 ∈ R
Logo, N(f) = { (x1, x2) ∈ R x R| x1 =0} = {0} x R.
O núcleo de um homomorfismo é um subanel, como verificaremos na próxima 
propriedade.
Propriedade 7: consideremos os anéis A e A’. Se f: A → A’ é um homomorfismo 
de anéis, então: 
N(f) = { a ∈ A | f(a) = 0A’ }
é um subanel de A’.
Demonstração: 
Pela proposição 1 precisamos verificar 3 condições. Para tanto, utilizaremos os 
resultados das propriedades 2, 3 e o conceito de homomorfismo.
a) Como f(0A)= 0A’, temos 0A ∈ N(f).
b) Vejamos se a diferença é fechada em N(f). Para tanto, sejam a, b ∈ N(f).
Assim,
f(a – b) = f(a + (-b)) = 
= f(a) + f(-b) = 
= f(a) +(-f(b)) = 
= 0A’ + 0A’ = 0A’
Logo, f(a-b) = 0A’, ou seja, a-b ∈ N(f). Portanto, a diferença é fechada em N(f). 
c) Falta verificarmos que a operação multiplicação é fechada em N(f). Temos: 
f(a. b) = f(a).f(b) = 0A’ . 0A’ = 0A’.
Logo, f(a.b) = 0A’, ou seja, a.b ∈ N(f). Portanto, a operação multiplicação é 
fechada em N(f).
Dessa forma, Im f é um subanel de A’.
Aplicando essa propriedade nos exemplos de homomorfismos de anéis 
apresentados, temos: 
• Do homomorfismo nulo, concluímos que A é um subanel de A. Esse é um 
exemplo de subanel trivial.
• Do homomorfismo identidade Id: A→ A, definida por Id(a) = a, concluímos 
que {0A} é um subanel de A. Esse é um exemplo de subanel trivial.
• Do homomorfismo projeção f: R x R → R, tal que f((x1, x2)) = x1, concluímos 
que {0} x R é um subanel de R x R.
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O núcleo do homomorfismo é importante nos estudos do anel. Essa importância 
consiste em ser um dos conjuntos necessários para encontrar anéis isomorfos, 
comprovada pelo teorema sobre isomorfismo. O objetivo principal em estudar 
homomorfismo de anéis é encontrar um isomorfismo, ou seja, homomorfismo 
injetor e bijetor. Quando existe um isomorfismo de anéis, dizemos que os dois anéis 
são isomorfos, ou seja, os dois anéis possuem a mesmas propriedades, que não é 
necessário fazer distinção entre os mesmos – contudo, por falta de tempo, não faremos 
esse estudo; para aprofundamento, basta acessar os livros indicados na bibliografia.
Exemplos:
1. Seja A um anel tal que a2 = a, para todo a ∈ A. Mostre que –a = a. 
Resolução:
Por hipótese, temos (-a)2 = -a. Como (-a)2 = a2 = a, temos –a=a. 
2. Seja A um anel tal que a2 = a, para todo a ∈ A. Mostre que A é comutativo.
Resolução: 
Para todos a, b ∈ A, temos (a+b)2 =a2 + ab+ba+b2. Por hipótese (a+b)2 = a+b = 
a2 + b2. Assim
a2 + ab+ba+b2 = a2 + b2
ab+ba =0
ab = - ba = ba
Portanto, ab=ba, ou seja, A é comutativo.
3. Mostre que 2Z x 3Z é um subanel do anel Z x Z, com as operações usuais de 
adição e multiplicação.
Para mostrar utilizaremos a proposição. Para tanto, é necessário verificarmos 
as condições:
I) O zero do anel Z x Z pertence a 2Z x 3Z, pois (0,0) = (2.0, 3.0).
II) A diferença é fechada em 2Z x 3Z. Sejam a, b ∈ 2Z x 3Z, tal que a = (2a1,3a2) 
e b = (2b1, 3b2), onde a1, a2, b1, b2 ∈ Z, temos:
a-b= (2a1, 3a2) - (2b1, 3b2) = (2a1- 2 b1, 3a2 - 3 b2)= (2(a1-b1), 3(a2 - b2)) ∈ 2Z x 3Z
III) A multiplicação é fechada em 2Z x 3Z. Sejam a, b ∈ 2Z x 3Z, tal que a = 
(2a1,3a2) e b = (2b1, 3b2), onde a1, a2, b1, b2 ∈ Z, temos:
a.b= (2a1, 3a2).(2b1, 3b2) = (2a1.2 b1, 3a2.3 b2)= (2(2a1b1), 3(3a2b2)) ∈ 2Z x 3Z
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UNIDADE Anéis: Propriedades, Subanel e Homomorfismo
Portanto, 2Zx3Z é um subanel de Z x Z.
4. Verifique se a função f: Z→Z, tal que f(x) = x+1 é um homomorfismo de anéis.
Para tanto, é necessário verificar se f preserva a estrutura do anel dos inteiros. 
Para tanto, sejam x, y ∈ Z, temos
f(x+y) = x + y + 1.
f(x) + f(y) =( x +1) + (y + 1) = x + y + 2.
Logo f(x+y) ≠ f(x) + f(y) 
Portanto, f não é um homomorfismo.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
Nesta Unidade, estudamos as propriedades dos anéis e homomorfismo de anéis. Para que 
você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre esses assuntos, indicamos 
algumas leituras.
 Livros
Elementos de álgebra abstrata.
ALENCAR FILHO, Edgard de. 4. ed. São Paulo: Nobel, 1988. 
Álgebra Moderna
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. São Paulo: Atual, 2003. 
Elementos de Álgebra
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
Introdução à Álgebra
GONÇALVES, A. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura 
e Aplicada, 2003. 
Tópicos de Álgebra
HEIRSTEIN, I, N.São Paulo: Universidade e Polígono, 1970.
Iniciação às estruturas algébricas
MONTEIRO, L. H. Jacy. 6. ed. São Paulo: Nobel , 1973.
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Referências
ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de Álgebra Abstrata. 3. ed. São Paulo: 
Nobel, 1982.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2003. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003. 
HEIRSTEIN, I. N. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Editora da Universidade e 
Polígono, 1970.
MONTEIRO, L. H. Jacy. Iniciação às estruturas algébricas. 6. ed. São Paulo: 
Nobel , 1973.
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