Prova Final - cálculo 1 GABARITO

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UFES 
CCE – Departamento de Matemática 
Cálculo I – Equipe (tarde) – PF – 15/07/19 
GABARITO 
 
1. (2.0) Considere 
 
 
 de modo que 
 
 
 
 
 
 
 
Acerca de , determine: 
(a) O domínio e assíntotas verticais/horizontais; 
(b) Intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de máximo e mínimo locais; 
(c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão; 
(d) Um esboço do gráfico, usando as informações obtidas em (a), (b), (c). 
 
Solução: 
(a) 
Assíntotas Verticais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, , são assíntotas verticais. 
Assíntotas Horizontais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, , é assíntota vertical. 
 
(b) Crescimento/Decrescimento: 
Temos: . Assim, é o único ponto crítico da função. 
Intervalo 
 Crescente 
 Crescente 
 Decrescente 
 Decrescente 
Temos então: 
 crescente em e em . 
 decrescente em e em . 
Conclui-se então que é ponto de máximo local com valor máximo da função igual a 
 . 
 
(c) Concavidades: 
Temos: . Assim, vemos que não existe ponto de 
inflexão para a função. 
Intervalo 
 para cima 
 para baixo 
 para cima 
Temos então: 
2 
 
 côncava para cima e em . 
 côncava para baixo . 
 
 
(d) Esboço: y 
 
 
 
 
 
 
 
 -1 0 1 x 
 
 
 
2. (2.0) A altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de enquanto a 
área do triângulo está aumentando a uma taxa de . A que taxa está variando a base 
do triângulo quando a altura for e a área for . 
 
Solução: Dados do Problema: =área do triângulo; =altura do triângulo; =base do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Pergunta-se: 
 
 
 
 
Temos da Geometria que: 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A base do triângulo está decrescendo a uma taxa de quando a altura 
for e a área for . 
 
3 
 
 
3. (2.0) Determine o ponto sobre a curva que está mais próximo do ponto . 
 
Solução: Temos: 
 
 
 P 
 
 
 0 5 x 
Seja o ponto sobre a curva que está mais próximo do ponto . 
Temos: 
 
 
 
Observamos que como a distancia é sempre positiva, então seu valor mínimo ocorre no 
mesmo ponto da função . Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, e . 
Agora, , para todo . 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o ponto é o ponto sobre a curva que está mais próximo do 
ponto . 
 
4. (2.0) Esboce a região delimitada pelas curvas , , e calcule sua 
área. 
 
Solução: Temos: 
 Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interseções entre as curvas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a área procurada pode ser calculada por: 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
5. (2.0) Calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Faça: 
 
 
 
 
Assim, reescrevemos a integral indefinida na forma: 
 
 
 
 
Resolvendo a última integral por partes: 
Tome: . Então temos . Então: 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faça: . Então e . 
5 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto,