Autovectores e Diagonalização 2020

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Apontamentos de ALGA – Autovalores, Autovectores e Diagonalização 
 
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA 
ALGA – AUTOVECTORES E DIAGONALIZAÇÃO 
1. Autovalores e autovectores 
Definição 1 (Transformação linear): Sejam V e W espaços vectoriais. Uma função (ou 
transformação) WVT : é dita transformação linear (TL) se: 
   ukTkuT  (preserva o produto) e 
     vTuTvuT  (preserva a soma); para todo Vvu , e k um escalar. 
Isto é equivalente a preservar combinações lineares, isto é:      uTukTvkuT  
 
Exemplo 1: Determine se 33: IRIRT  é uma transformação linear. 
a)    xzzyxT  ,,, 
Resolução: 
Sejam  111 ,, zyxu  e  222 ,, zyxv  , então  212121 ,, zzyyxxvu  
1°:    ?ukTkuT     11, xzuT  
       ukTxzkkxkzkuT  1111 ,, 
 
2°:      ?vTuTvuT  
           vTuTxzxzxxzzvuT  22112121 ,,, , concluímos que a 
transformação é linear. 
 
b)    xyzzyxT ,,,  
Resolução: 
Sejam  1,1,1u e 2k 
         
               ukTkuTuTuT
uTukTkuT


2,21,122;4,222,22
1,111,1?
, logo a trnsformação não é linear. 
Definição 2 (autovalor, autovector e espectro): Seja VVT : uma transformação linear. 
Dizemos que Vv não nulo é autovector de T se ., IRvTv   
 chama-se autovalor de T . v é um autovector de T associado ao autovalor . 
O conjunto de autovalores de T é chamado de espectro de T . 
 
Observação: 
a)  pode ser igual a zero, mas v não. 
b) O autovector associado a um autovalor não é único. De fato, se v é autovector e ,0k
então kvw  também é autovector pois         ,wkvvkvkTkvTwT   isto é v é 
paralelo w . 
 
Definição 3 (polinómio característico): Dada a transformação linear ,: nn IRIRT  definimos 
o polinómio característico de T por    ITp   det . 
 
Definição 4 (Autoespaço): O autoespaço de T associado ao autovalor  é o subconjunto definido por 
  0:  vITIRvW n  
2 
Apontamentos de ALGA – Autovalores, Autovectores e Diagonalização 
 
Como calcular autovalores e autovectores de ?: nn IRIRT  
- Determinamos autovalores calculando os zeros do polinómio característico    .det ITp   
- Determinamos os autovetores resolvendo o sistema   0 vIT  para cada autovalor. 
 
Exemplo 1: Calcule os autovalores e os autovectores de: 
a) 








11
11
T 
Resolução: 
1° calcular os autovalores 
Polinómio característico  IT    


211
11
11
22 


 
Equação característica 0 IT    200202 21
2   
Os autovalores de T são: 20 21   
O espectro de  2;0T 
 
2° calcular os autovectores 
 - Autovector associado a 01  
     00001  TvvITvIT  
     IRyxsolysejayxyx
yx
y
x



























 ;,,:;
0
0
0
0
11
11
 
O autoespaço associado a 1 é   ,:,01 IRWW   assim os autovectores associados 
a 01  ’ são     IRv   ,1,1, , isto é, são múltiplos de  .1,1v 
 - Autovector associado a 22  
   
    IRtttyxsoltysejayx
yx
yx
y
x
vITvIT




























;,,:;
0
0
0
0
211
121
02021
 
O autoespaço associado a 2 é   ,:,22 IRtttWW  assim os autovectores associados a 
22  ’ são     IRttttu  ,1,1, , isto é, são múltiplos de  .1,1u 
b) 













101
011
013
T 
Resolução: 
1° calcular os autovalores 
Polinómio característico  IT    221
101
011
013








 
Equação característica 0 IT     21021 21
2
  
Os autovalores de T são: 21 21   
O espectro de  2;1T 
 
2° calcular os autovectores 
3 
Apontamentos de ALGA – Autovalores, Autovectores e Diagonalização 
 
- Autovector associado a 11  
     001  vITvIT  
    IRttzyxsol
tz
y
x
x
yx
yx
z
y
x
z
y
x

















































 



































,,0,0,,:
0
0
0
02
04
0
0
0
001
021
014
0
0
0
1101
0111
0113
 
O autoespaço associado a 1 é   ,:,0,011 IRttWW   assim os autovectores associados 
a 11  ’ são     IRtttv  ,1,0,0,0,0 , isto é, são múltiplos de  .1,0,0v 
- Autovector associado a 22  
     0202  vITvIT  
 
    IRttttzyxsol
tz
ty
tx
zx
yx
yx
z
y
x
z
y
x
























































































,,3,3,,:
3
3
03
0
0
0
0
0
301
011
011
0
0
0
2101
0211
0123
 
O autoespaço associado a 2 é   ,:,3,322 IRttttWW  assim os autovectores associados 
a 22  ’ são     IRtttttv  ,1,3,3,3,3 , isto é, são múltiplos de  .1,3,3v 
 
Exemplo 2: Calcule os autovalores e os autovectores da transformação linear em    yyxzyxTIR ,,,,2  
Resolução: A matriz associada a transformação é 






10
11
A 
1° calcular os autovalores 
Polinómio característico  IA   21
10
11






 
Equação característica 0 IT    101 2   
O autovalor de T é: 1 
O espectro de 1T 
2° calcular os autovectores 
 - Autovector associado a 1 
     00  vITvIT  
     IRttyxsoltx
y
y
x
y
x












































;0,,:
0
0
0
00
10
0
0
110
111
 
O autoespaço associado a  é   ,:0,1 IRttWW  assim os autovectores associados a
1 ’ são     IRtttv  ,0,10, , isto é, são múltiplos de  .0,1v 
 
2. Diagonalização 
Definição 5 (matriz diagonalizável): Dizemos que uma matriz quadrada A é diagonalizável se existe 
uma matriz P invertível tal que ,11   PDPADAPP com D diagonal. 
 
Definição 6 (decomposição espectral) Se A é diagonalizável chamamos de decomposição espectral 
de A uma fatoração ,1 PDPA com D diagonal e P invertível. 
4 
Apontamentos de ALGA – Autovalores, Autovectores e Diagonalização 
 
Teorema: Seja A uma matriz nn que tem n autovectores linearmente independentes nvvv ,...,, 21
associados a n ,...,, 21 respectivamente. Então as matrizes 
  













n
n DevvvP







00
00
00
....
2
1
21 são matrizes tais que: 
,1 APPD  ou seja A é diagonalizável. Reciprocamente: 
- Se A é diagonalizável, então ela possui n autovectores linearmente independentes. 
 
Corolário (condição suficiente para que uma matriz seja diagonalizável): Se uma matriz A 
de dimensões nn possui n autovalores distintos, então A é diagonalizável. 
 
Algoritmo para diagonalizar uma matriz A de dimensão n. 
 Calcule os autovalores (raízes do polinômio característico); 
 Encontre bases para autoespaços (resolver sistemas homogêneos); 
 Junte os autovectores das bases dos autoespaços: se tivermos n autovectores linearmente 
independentes A é diagonalizável, caso contrário não é diagonalizável. 
 
Exemplo 3: Verifique se cada matriz é diagonalizável, caso seja determine a decomposição espectral: 
 
a) 








11
11
A 
Resolução: 
1° calcular os autovalores 
 0IT  20 21   
Os autovalores de A são 20 21   , já calculados no exemplo 1(a) 
O autovector associado a 01  é  .1,11 v 
O autovector associado a 22 é  .1,12 v 
Assim:   










 

20
00
11
11
21 DevvP 
Portanto temos dois autovectores linearmente independentes, pelo Corolário a matriz é 
diagonalizável. 
 
Decomposição espectral ,1 PDPA temos que determinar a matriz inversa de P: 
 
 


































 





 



2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
10
01
~~
10
01
11
11
11
11
?;
1
21
1
P
vvPP

 
Assim  1PDPA 




 
11
11






20
00














2
1
2
1
2
1
2
1








11
11
 
5 
Apontamentos de ALGA – Autovalores, Autovectores e Diagonalização 













101
011
013
) Ab 
Resolução: 
1° calcular os autovalores 
   210210 21
2
 IA 
Os autovalores de A são 21 21   , já calculados no exemplo 1(b) 
O autovector associado a 11  é  .1,0,01 v 
O autovector associado a 22  é  .1,3,32 v 
Portanto a matriz A não é diagonalizável, pois temos somente dois autovectores linearmente 
independentes, pelo teorema dois vectores não formam base em .3IR 
 
2.1 Aplicações 
Como calcular potências de uma matriz? 
 
 Como 













n
D







00
00
00
2
1
é diagonalizável, então INkD
k
n
k
k
k 














 ,
00
00
00
2
1







 
Se A é diagonalizável, então existe uma matriz P invertível e D diagonal com ,1 PDPA
Assim: 
    
        1311111113
12111112




PPDPDDDPDPPPDPPPDPDPPDPPDPA
PPDPDDPDPPPPDPDPPDPA
 
De forma geral INPPDA k
kk   ,1 
 
 Exemplo 4: Calcule 
5A sendo 








11
11
A 
 Resolução: 
Vimos no exemplo 3(a) que a matriz A é diagonalizável, isto é: 
  










 

20
00
,
11
11
21 DvvP e 














2
1
2
1
2
1
2
1
1P , então: 
1 PPDA kk 
 155 PPDA 




 
11
11








5
5
20
00














2
1
2
1
2
1
2
1





 
11
11






320
00














2
1
2
1
2
1
2
1





 
320
320













2
1
2
1
2
1
2
1
 
 155 PPDA 







1616
1616
 
 
 
6 
Apontamentos de ALGA – Autovalores, Autovectores e Diagonalização 
 
Exercícios 
1. Para cada matriz , calcule os autovalores e os autovectores. 
a)    1,1,4;1,2,1:
31
22
21 





 vusolA  
b) 






33
24
B    1,1,6;3,2,1: 21  vusol  
c) 




 

31
15
C  1,1,4: 1  usol  
d)      1,2,1,4;1,0,1,0,1,1,2:
311
142
113
21 










 wvusolD  
e) 












223
031
001
E      2,5,0,3;8,3,6,1;1,0,0,2: 321  wvusol  
f) 














210
230
322
F      2,4,7,4;0,0,1,2;1,1,1,1: 321  wvusol  
2. Calcule os autovalores e os autovectores associados a cada transformação linear. 
a)        1,1,6;1,3,2:5,33, 21  vusolyxyxyxT  
b)          1,1,0,1,0,1,1;0,0,1,1:,,22,, 21  wvusolzyzyxzyxT  
c)        2,1,1,4;0,0,1,1:32,2,,, 21  vusolzyzyzyxzyxT  
 
3. Verifique se cada matriz é diagonalizável, caso seja determine decomposição espectral. 
a) 






































200
210
321
)
200
402
213
)
12
01
)
16
01
DdCcBbA 
4. Calcule 10A sendo 














10241023
01
:.
21
01
10AsolA 
5. Calcule ,8A sabendo que ..
10
02
,
32
75
1











 PDPAeDP 
6. Calcule A sendo 




 





 

51
60
:.
195
306
AsolA