Aula_01_DT

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Você verá por aqui... 
 
Prezado aluno, considerando que a nossa disciplina, Desenho Técnico, 
requer, dentre outros assuntos importantes, o conhecimento em Desenho 
Geométrico, iremos começar nossa empolgante jornada de trabalho introduzindo 
alguns conceitos fundamentais desse conteúdo; falar um pouco da sua história, bem 
como da sua importância, tanto para esta disciplina, como para o desempenho 
profissional futuro de vocês. 
 
Objetivo 
 
 Conceituar Geometria e estudar seus elementos. 
 Conceituar Desenho Geométrico e estudar suas principais 
entidades geométricas. 
 Conhecer a história e a importância do Desenho Geométrico no 
contexto do Desenho Técnico. 
 
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Para começo de conversa... 
 
“No século XVIII, o Desenho Geométrico aparece como uma das bases 
mais fortes, no discurso dos que vislumbram novos tempos”. 
 
(MENEZES, Alexandre Monteiro de Multimídia Interativa para o Ensino do Desenho 
Arquitetônico: in: X SIGRADI - La Sociedad Iberoamericana de Gráfica Digital, 2006 – Educaión y 
Desarrollo Acadêmico). 
 
 
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Para saber mais... 
Leia o artigo completo “Multimídia Interativa para o Ensino do Desenho 
Arquitetônico”, através do endereço eletrônico: 
http://cumincades.scix.net/data/works/att/sigradi2006_p049b.content.pdf 
 
Afinal de contas, qual é a finalidade do 
Desenho Geométrico? 
O Desenho Geométrico tem por finalidade representar figuras planas e 
resolver, com régua e compasso, os problemas relativos à Geometria Plana. 
 
Geometria Plana? 
Geometria Plana é o estudo das propriedades relativas a pontos, linhas, 
planos e superfícies. 
 
Como tudo começou? 
Em seu livro didático intitulado “Elementos de 
Geometria e Desenho Geométrico”, Putnoki (1989) faz 
um breve relato da História do Desenho Geométrico. 
Segundo o referido autor, como linguagem de 
comunicação e expressão, a arte do desenho 
antecede em muito a da escrita. Indaga-nos com a 
seguinte questão: o que é a escrita se não a 
combinação de pequenos símbolos desenhados? E discorre que é através de 
gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos 
relacionados com o seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os 
pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nossa espécie. Enfim, a arte 
do desenho é inerente ao homem. Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou 
 
5 
pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver - 
talvez tivesse sido um "projeto" de moradia ou templo, ou algo semelhante. Mas 
esse passo representou um avanço fundamental na capacidade de raciocínio 
abstrato, pois representava algo que não existia. Essa ferramenta, gradativamente 
aprimorada, foi bastante importante para o desenvolvimento das civilizações 
babilônias e egípcias, os quais realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas. Uma 
outra civilização, os gregos, deram um molde dedutivo à matemática. A obra 
Elementos, de Euclides (aproximadamente 300 a.C.), é um marco de valor 
inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na 
geometria grega que surge o Desenho Geométrico. Na realidade, não havia entre os 
gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro 
aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a 
exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta euclidiana é 
seguida até hoje em países como França, Suíça, Espanha etc. 
 
Atividade 01 
 Antes de darmos início ao estudo dos elementos 
fundamentais da Geometria, consulte, dentre outras 
referências, REIS (2007, p. 8), para compreender melhor a 
importância Desenho Geométrico e em que contexto 
histórico ele se desenvolveu. Ao término da leitura, faça 
uma breve auto-avaliação do que você acabara de ler, tendo em vista que 
consideramos de suma importância a compreensão histórica do Desenho 
Geométrico no contexto da Geometria, bem como da sua função no mundo do 
Desenho Técnico. Assim sendo, busque responder as seguintes questões: 
1) Em que momento histórico é considerado o surgimento o Desenho 
Geométrico? 
2) Qual é a função do Desenho Geométrico? 
3) Podemos afirmar que a Geometria e o Desenho Geométrico foram 
importantes para o desenvolvimento de civilizações antepassadas? Por 
quê? 
 
 
6 
Elementos fundamentais da Geometria 
Por serem considerados entes primitivos, o ponto, a reta e o plano, elementos 
fundamentais da Geometria, não possuem definição. 
 
O ponto 
O ponto é representado graficamente pela interseção de duas 
entidades geométricas, tais como: duas retas; uma reta e um arco 
ou dois arcos. O ponto não tem dimensão e é indicado por (A, B, 
C...), conforme figura 01. 
 
 
 
 
 
A linha 
A linha é o resultado do deslocamento de um ponto no espaço 
ou num plano. Em desenho, é expressa graficamente pelo 
deslocamento do lápis sobre o papel. Desse modo, podemos 
interpretar a linha no mundo do desenho como sendo a trajetória 
descrita por um ponto ao se deslocar. Como vemos, a linha tem 
uma só dimensão: o comprimento (figura 02). 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
FIGURA - 01 
FIGURA - 02 
 
7 
Dada a importância e características especiais deste 
ente geométrico e sua grande aplicação em Geometria e 
Desenho, faremos seu estudo de forma mais detalhada a 
seguir. 
 
A reta 
A reta pode ser considerada como o resultado do 
deslocamento linear de um ponto, não possuindo, portanto, início e 
fim. Possui apenas uma dimensão, o comprimento, e é 
representada graficamente por um traço retilíneo, cuja 
representação tem como indicação (a, b, c...) (figura 03). Observe 
que a reta possui infinitos pontos, porém pode ser determinada por 
apenas dois pontos distintos (AB). Ademais, podem ser traçadas 
infinitas retas que passam por um único ponto, portanto, podemos 
afirmar que um único ponto num plano define infinitas retas. (figuras 
04 e 05). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
FIGURA - 03 
FIGURA - 05 
A B 
C 
r1 
r2 
rn 
FIGURA - 04 
 
8 
O plano 
O Plano tem sua representação gráfica indicada por letras do 
alfabeto grego, tais como: alfa, beta, gama... (figura 06). É 
importante ressaltar que, como a reta, o plano possui infinitos 
pontos. Também, sabe-se que por três pontos não colineares – 
pontos que não pertencem a uma mesma reta – ou um ponto e uma 
reta, que não o contenha, também definem um plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 02 
Pense e responda as seguintes questões: 
1) Quais são os entes fundamentais da 
Geometria e por que eles são considerados 
como fundamentais? 
2) Como são representados os pontos? 
3) Uma sucessão de pontos numa seqüência 
infinita nos dá idéia de quê? 
4) Como são representadas as retas? 
5) Como são representados os planos? 
6) Dê três exemplos que nos sugerem a idéia 
de plano. 
 
α 
FIGURA - 06 
 
9 
A semi-reta 
A semi-reta pode ser entendida como o deslocamento linear de um ponto, 
sem variar a direção, entretanto, tem um ponto como origem. Desse modo, a semi-
reta é infinita em apenas uma direção. Assim sendo, pode-se afirmar que um ponto 
qualquer, pertencente a uma determinada reta, divide-a em duas semi-retas. Para 
compreender melhor o acima descrito, leia os itens “a”, “b” e “c” que se seguem, 
observando as figuras 07, 08 e 09, respectivamente. 
a) Semi-reta de origem no ponto A e que passa pelo ponto B (AB) 
(figura 07). 
b) Semi-reta de origem no ponto C e que passa pelo ponto D 
(CD) (figura 08). 
c) Um ponto qualquer, pertencente a uma reta, divide a mesma 
em duas semi-retas (figura 09). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segmento de reta 
 
O segmento de reta é a porção de uma reta, a qual fica limitada por dois de 
seus pontos. O segmento de reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um 
comprimento. Sua representação á dada pelos dois pontos que o limitam e que sãochamados de extremidades do segmento. Abaixo, podemos observar alguns 
exemplos de segmentos de reta: segmentos de reta AB, MN e PQ (figura 10). 
 
A B 
Figura - 07 
D C 
Figura - 08 
P 
Figura - 09 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo uma parte limitada da reta, o segmento pode ser medido. 
medir uma grandeza significa comparar, estabelecendo diferenças 
ou semelhanças. 
Exemplo de unidade de medida linear: O metro, seus múltiplos e 
submúltiplos. 
 
Ponto médio de segmento 
Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse segmento que o divide 
em dois segmentos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
M N 
P 
Q 
FIGURA - 10 
Calma, Amigo! 
Segmentos 
congruentes são 
aqueles que 
possuem a mesma 
medida! 
Epa, epa, epa: 
Segmentos 
congruentes? 
 
11 
Segmentos colineares 
São segmentos de reta que pertencem a uma mesma reta, a qual 
denominamos de reta suporte (figura 11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segmentos consecutivos 
São segmentos de reta dispostos um após o outro, cuja extremidade de um 
coincide com a extremidade do outro. Como exemplo, temos os segmentos 
consecutivos AB, BC e CD. Também, os segmentos HI, IJ e JP (figura 12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saiba que... 
Duas ou mais retas que pertencem ao mesmo plano, denominam-se retas 
coplanares. 
Retas concorrentes ou secantes, por sua vez, são retas coplanares que 
concorrem, isto é, cruzam-se num mesmo ponto. Por conseguinte, esse ponto é 
comum às duas retas. 
A 
B G 
H 
s AB e GH pertencem a s. 
FIGURA - 11 
A B C 
H 
I 
D 
J P 
s 
FIGURA - 12 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições de uma reta 
 
Horizontal - é a posição de uma reta que corresponde à linha do 
horizonte marítimo (figura 13). 
 
 
 
 
 
 
 
Vertical - é a posição de uma reta que corresponde à direção do 
fio de prumo
1
 (figura 14). 
 
 
 
 
 
 
FIGURA - 13 
h 
v 
FIGURA - 14 
É verdade! Mas, por 
falar em reta, 
vejamos... 
Poxa, já vimos 
bastante conteúdo... 
 
13 
 
 
Oblíqua ou inclinada – consiste na exceção às duas posições de 
reta acima mencionadas. Isto significa dizer que a reta oblíqua ou 
inclinada não está nem na posição horizontal, nem na posição 
vertical (figura 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você sabia que... 
Duas ou mais retas, cujos pontos de uma são também pontos da outra, chamam-
se retas coincidentes? 
Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum. Dizemos, 
então, que duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si. 
Por fim, duas retas são denominadas retas perpendiculares quando são 
concorrentes e formam um ângulo de 90º (ângulo reto) entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
1
 Instrumento utilizado pelo pedreiro, cuja finalidade é a de alinhar verticalmente uma parede ou muro. 
FIGURA - 15 
i 
 
14 
Mediatriz de um segmento de reta 
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento e que 
passa pelo ponto médio desse segmento (figura 16). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA - 16 
 
Distâncias 
 
Um outro assunto de grande relevância para nossa disciplina é a determinação das 
seguintes distâncias: 
a) entre dois pontos: dados dois pontos A e B, chama-se de 
distancia de A e B a medida do segmento AB, cuja notação é d(A,B) 
(figura 17). 
b) de um ponto a uma reta: consideremos um ponto P e uma reta 
r. Chama-se de distância de um ponto P a reta r, a medida do 
segmento que tem uma extremidade em P e a outra em r e que é 
perpendicular a r. A notação neste caso é d(P,r) (figura 18). 
c) entre duas retas paralelas entre si: chama-se de distância de 
duas retas paralelas, a distância de um ponto qualquer de uma 
delas a outra reta. Sua notação é d(r,s) (figura 19). 
 
 
 
 
 
FIGURA - 17 
A 
B 
d(A,B) 
A M B 
m 
 
Observe que... 
 
AM é congruente à MB. 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 03 
1) Podemos afirmar que uma reta não possui início nem fim? 
2) Podemos medir um segmento de reta? Por quê? 
3) Sabe-se que Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse 
segmento que o divide em dois segmentos congruentes. Assim sendo, 
busque exemplificar a utilização desse conhecimento para a resolução de 
uma situação-problema prática possivelmente vivida por você. 
4) O que é Mediatriz e qual é a sua relação com o Ponto Médio de um 
Segmento de Reta? 
5) Quantas e quais posições particulares uma reta pode assumir em um 
determinado plano? 
6) Como você pode medir a distância entre duas retas paralelas entre si? 
FIGURA - 18 
P 
r 
d(P,
r) 
FIGURA - 19 
r 
s 
d(r,
s) 
 
16 
 
Definição de Ângulo 
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem 
(figura 20). 
 
 
 
 
 
 
Elementos de um ângulo 
 
Vértice - é o ponto de origem comum das duas semi-retas. 
Lado – é cada uma das semi-retas. 
Abertura - é a região compreendida entre as duas semi-retas. Ela 
define a região angular, que é a região que delimita o próprio ângulo. 
 
Representação de um ângulo 
 
Um ângulo é representado, por exemplo, por AÔB, BÔA, Ô, ou ainda uma 
letra grega, conforme podemos ver na figura 20. 
 
Você sabia que a unidade de medida mais empregada para medir ângulos 
é o grau, cujo símbolo é o “°”? 
Um grau corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais. Seus 
submúltiplos são: o minuto e o segundo, cujas relações são, respectivamente: 
1º=60’ e 1’=60”. 
Os ângulos são medidos através de um instrumento chamado transferidor, o qual 
o apresentaremos no nosso próximo encontro. 
Dois ângulos de mesma medida denominam-se ângulos congruentes.
O 
A 
B 
FIGURA 
- 20 
 
17 
Classificação de um ângulo 
Um ângulo se classifica, quanto à abertura dos lados, em: 
reto, quando a sua abertura mede 90º; 
agudo, quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º; 
obtuso, quando sua medida é maior que 90º e menor que 180º; 
raso ou de meia volta, quando mede 180º; 
de volta inteira, quando mede 360º; 
nulo, quando não existe abertura, ou seja, mede 0º. 
 
Posições relativas de ângulos 
Dois ou mais ângulos podem ocupar posições particulares entre si, as quais 
recebem nomes específicos, tais como: 
Ângulos consecutivos, quando possuem em comum o vértice e um dos 
lados.; 
Ângulos adjacentes são, antes de mais nada, ângulos consecutivos, e que 
não têm pontos internos comuns. 
Ângulos complementares, quando a soma de suas medidas é igual a 90º; 
Ângulos suplementares, quando a soma de suas medidas é igual a 180º; 
Ângulos replementares, quando a soma de suas medidas é igual a 360º. 
 
 
 
Atenção! 
Caro aluno, para encerrarmos o conteúdo desse nosso primeiro 
momento juntos, escolhemos para apresentar uma entidade geométrica 
importantíssima para o nosso estudo. Estamos falando da Bissetriz de um 
ângulo. 
Vejamos... 
 
 
18 
A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo 
e o divide em dois ângulos adjacentes e congruentes (figura 21). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
Nesta aula, conceituamos a Geometria e estudamos seus elementos fundamentais: 
o ponto, a linha (reta) e o plano; falamos sobre a finalidade e importância do 
Desenho Geométrico, através da sua conceituação e estudo das suas principais 
entidades geométricas (a semi-reta, o segmento de reta, o ângulo etc.), além de 
abordarmos em que contexto histórico ele surgiu; por fim, conhecemos uma das 
mais importantes “personagens” na “história” do Desenho Geométrico: a bissetriz de 
um ângulo. 
 
 
Auto-Avaliação 
Objetivando resgatar o conteúdo por nós estudado na presente aula, preparamos 
um breve exercício, no qual você precisa preencher as lacunas de modo que as 
afirmações fiquem corretas. 
Bom trabalho e até o próximo encontro...O 
A 
B 
FIGURA - 21 
α/2 
α/2 
 
19 
(a) Tem por finalidade representar figuras planas e resolver, com régua e compasso, 
os problemas relativos a geometria plana, estamos nos referindo a(o) 
........................................................................ 
(b) São os elementos fundamentais da geometria: O(a) ............., a(o) .............. e 
o(a) .............. . 
(c) Os entes primitivos da Geometria não possuem ..................... 
(d) Por um ponto podemos passar .................. retas. 
(e) Podemos dizer que ........................... pontos definem uma reta. 
(f) Uma reta e um ponto exterior a essa reta definem um(a).................................. 
(g) três pontos não colineares definem um(a) .................................... 
(h) Reta, Segmento de reta e Semi-reta possuem as seguintes notações, 
respectivamente: ............, ............. e .............. 
(i) Chama-se ............................ de um segmento de reta AB o ponto desse 
segmento que o divide em dois segmentos congruentes. 
(j) Medir uma grandeza significa ....................., estabelecendo diferenças ou 
semelhanças. 
(k) Segmentos que possuem medidas iguais e estão dispostos um após o outro, em 
uma determinada reta suporte, são denominados, respectivamente: 
........................................ e ............................................. 
(l) Chama-se ........................ a reta perpendicular ao segmento e que passa pelo 
ponto médio desse segmento. 
(m) A região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem é 
denominada ............................ . 
(n) A unidade de medida mais usada para medir um ângulo é o(a)............ . 
(o) Um ângulo se classifica, quanto à sua grandeza, em: Ângulo................., 
Ângulo................., Ângulo................., Ângulo................., Ângulo.................., e 
Ângulo........................ . 
(p) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90o, denominam-se: 
................................... . 
(q) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180o, denominam-
se:................................... . 
(r) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 360o, denominam-se: 
................................... . 
(s) Dois ou mais ângulos são........................... quando possuem a mesma medida. 
(t) À semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois ângulos 
adjacentes congruentes, estamos falando da(o)............................... . 
 
 
20 
Referências 
 
CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: ed. Ao Livro 
Técnico,3ª edição,1993. 
PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna, 
vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991. 
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São 
Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989. 
REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do 
Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.