Derivada Parcial, Diferencial Total, Plano (TEORIA)

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Faculdade de 
Tecnologia
UERJ - Resende
Professora Gabriela Coutinho
Derivada Parcial, Diferencial Total, Plano
Tangente e Gradiente
1 Derivadas Parciais
Uma pergunta natural que podemos fazer quando estudamos funções de duas va-
riáveis é “como a função pode ser afetada por uma mudança em uma das suas variáveis
independentes?”Neste caso, estamos considerando que uma variável independente muda
enquanto a outra variável independente permanece constante. A esse processo damos o
nome de derivada parcial.
Definição de Derivadas Parciais: Se z = f(x, y), então a primeira derivada
parcial de f com respeito a x e y são funções fx e fy definidas por
fx(x, y) = lim
∆x→0
f(x+∆x, y)− f(x, y)
∆x
fy(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y +∆y)− f(x, y)
∆y
dado que os limites existem.
Para encontrar fx você considera y como constante e deriva somente em relação variável
x. Da mesma forma, para obter fy você considera x como constante e deriva somente
em relação variável y.
Exemplo: Encontre as derivadas parciais fx e fy para a função
f(x, y) = 3x− x2y2 + 2x3y
Considerando y constante e derivando com respeita à x, temos
fx(x, y) = 3− 2xy2 + 6x2y
Considerando x constante e derivando com respeita à y, temos
fy(x, y) = −2x2y + 2x3.
1
Rectangle
Notação para Derivadas Parciais: Se z = f(x, y), então a primeira derivada
parcial de f com respeito a x e y podem ser expressa como
∂
∂x
f(x, y) = fx(x, y) = zx =
∂z
∂x
e
∂
∂y
f(x, y) = fy(x, y) = zy =
∂z
∂y
A primeira derivada parcial calculada no ponto (a, b) pode ser representada
como
∂z
∂x
!!!!
(a,b)
= fx(a, b) e
∂z
∂y
!!!!
(a,b)
= fy(a, b)
Exemplo: Encontre as derivadas parciais fx e fy no ponto (1, ln 2) para a função
f(x, y) = xex
2y
Uma vez que
fx(x, y) = xe
x2y(2xy) + ex
2y
a derivada parcial fx no ponto (1, ln 2) é dada por
fx(1, ln 2) = e
ln 2 (2 ln 2) + eln 2 = 4 ln 2 + 2
Uma vez que
fy(x, y) = xe
x2y(x2) = x3ex
2y
a derivada parcial fy no ponto (1, ln 2) é dada por
fy(1, ln 2) = e
ln 2 = 2
1.1 Interpretação Geométrica
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis têm uma interpretação
geométrica. Se y = y0, então z = f(x, y0) representa a curva forma pela interseção da
superf́ıcie z = f(x, y) com o plano em que y = y0, consequentemente
fx(x, y0) = lim
∆x→0
f(x+∆x, y0)− f(x, y0)
∆x
representa a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto P (x0, y0, f(x0, y0)), como
mostra a figura 12.
Se x = x0, então z = f(x0, y) representa a curva forma pela interseção da superf́ıcie
z = f(x, y) com o plano em que x = x0, consequentemente
fy(x0, y) = lim
∆y→0
f(x0, y +∆y)− f(x0, y)
∆y
2
x
y
z
0
 
Reta Tangente
A curva z f (x, y0)
no plano y y0
P(x0, y0, f (x0, y0))
Eixo vertical 
no plano y y0
z f (x, y)
y0
x0
Eixo horizontal no plano y y0
(x0 , y0)
(x0, y0)
x
x
z
y
P(x0, y0, f (x0, y0))
y0x0
(x0, y0)
(x0, y0 )
A curva z f (x0, y)
no planox x0
Eixo horizontal
no plano x x0
 z f (x, y)
Reta Tangente
Eixo vertical
no plano x x0
0
y
Figure 1: Figura retirada de [3].
representa a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto P (x0, y0, f(x0, y0)), como
mostra a figura 12.
Exemplo: Encontre as inclinações da reta tangente na direção x e na direção y da
superf́ıcie dada pela função
f(x, y) = −x
2
2
− y2 + 25
8
no ponto (1/2, 1, 2).
As derivadas parciais de f(x, y) com respeito a x e y são dadas por
fx(x, y) = −x e fy(x, y) = −2y
Em x a inclinação é
fx(1/2, 1) = −1/2
e em y é
fy(1/2, 1) = −2.
Exemplo: Encontre as inclinações da reta tangente na direção x e na direção y da
superf́ıcie dada pela função
f(x, y) = 4− x2 − 2y2
no ponto (1, 1, 1).
As derivadas parciais de f(x, y) com respeito a x e y são dadas por
fx(x, y) = −2x e fy(x, y) = −4y
3
Em x e em y a inclinação é
fx(1, 1) = −2 e fy(1, 1) = −4.
Note na figura 2 que as retas realmente têm inclinações negativas.
Figure 2: Figura retirada de [3].
1.2 Derivadas parciais como taxas de variação
Vimos como a derivada parcial é usada para determinar as inclinações das retas
tangentes na direção x e y em um ponto P de uma superf́ıcie. Podemos também utilizar
a derivada parcial para determinar a taxa de variação de uma variável em relação a
outra. As aplicações que envolvem taxas de variação ocorrem em uma ampla variedade
de campos do conhecimento: economia, engenharia, biologia, f́ısica,... Sendo z = f(x, y)
então a taxa de variação dada por
∂z
∂x
=
Variação em z
Variação em x
é a taxa variação de z com relação à x mantendo o y fixo e
∂z
∂y
=
Variação em z
Variação em y
é a taxa variação de z com relação à y mantendo x fixo, respectivamente.
Um exemplo de taxa de variação em termos de derivadas parciais é o ı́ndice de
temperatura-umidade que informa a sensação térmica para uma dada temperatura e
umidade relativa do ar, como podemos ver na tabela abaixo.
O ı́ndice apresentado na tabela foi calculado através do humidex introduzido pelo
Serviço Meteorológico do Canadá. O ı́ndice pode ser escrito como I = f(T,H), onde
T corresponde à temperatura e H corresponde à umidade relativa do ar.f Por exemplo,
fixando a umidade relativa em H = 60% podemos ver como ı́ndice g(T ) = f(T, 60) varia
com respeito à temperatura
4
Umidade relativa (%)
Temperatura
real
(°C)
26
28
30
32
34
36
40 45 50 55 60 65 70 75 80
28
31
34
37
41
43
28
32
35
38
42
45
29
33
36
39
43
47
31
34
37
41
45
48
31
35
38
42
47
50
32
36
40
43
48
51
33
37
41
45
49
53
34
38
42
46
51
54
35
39
43
47
52
56
g′(T ) = lim
∆T→0
g(T +∆T )− g(T )
∆T
= lim
∆T→0
f(T +∆T, 60)− f(T, 60)
∆T
=
∂f
∂T
!!!!
H=60
.
Por exemplo, fixando a temperatura em T = 30◦C podemos ver como ı́ndice G(H) =
f(30, H) varia com respeito à umidade térmica
G′(T ) = lim
∆H→0
G(H +∆H)− g(H)
∆H
= lim
∆H→0
f(30, H +∆H)− f(30, H)
∆H
=
∂f
∂H
!!!!
T=30
.
Exemplo: Considere a área de um paralelogramo com lados adjacentes a e b e ângulo
interno dado por A = ab senθ. Encontre a taxa de variação com respeito à a no para
a = 10, b = 20 e θ = π/6.
Para achar a taxa de variação com respeito à a no para a = 10, b = 20 e θ = π/6,
fazemos
∂A
∂a
= b senθ
E depois substitúımos os valores de a, b e θ. tal que
∂A
∂a
!!!!
(10,20,π/2)
= 20 sen(π/6) = 10
5
2 Derivadas parciais para funções de três ou mais
variáveis
O conceito de uma derivada parcial pode ser estendido naturalmente para funções de
três ou mais variáveis. Se w = f(x, y, z) podemos obter 3 derivadas parciais mantendo
duas variáveis como constante, processo similar ao anterior, ou seja
∂w
∂x
= fx(x, y, z) = lim
∆x→0
f(x+∆x, y, z)− f(x, y, z)
∆x
∂w
∂y
= fy(x, y, z) = lim
∆y→0
f(x, y +∆y, z)− f(x, y, z)
∆y
∂w
∂z
= fz(x, y, z) = lim
∆z→0
f(x, y, z +∆z)− f(x, y, z)
∆z
No caso mais geral w = f(x1, x2, · · · , xn), temos n derivadas parciais dadas por
∂w
∂xk
= fxk(x1, x2, · · · , xn), k = 1, 2, · · · , n
Para achar a derivada parcial com respeito à uma variável independente, você terá que
tratar as outras como constante.
3 Derivadas parciais de ordem superior
Assim como para as derivadas ordinárias, é posśıvel encontrar derivadas de ordem
superior no caso de derivadas parciais de uma função de várias variáveis. Derivadas
de ordem superior são denotadas pela ordem com que a diferenciação ocorre. Sendo
z = f(x, y), temos
1. Derivando duas vezes em relação à x
∂
∂x
"
∂f
∂x
#
=
∂2f
∂x2
= fxx
2. Derivando duas vezes em relação à y
∂
∂y
"
∂f
∂y
#
=
∂2f
∂y2
= fyy
3. Derivando primeiro em relação à x e depois em relação à y
∂
∂y
"
∂f
∂x
#
=
∂2f
∂x∂y
= fxy
4. Derivando primeiro em relação à y e depois em relação à x
∂
∂x
"
∂f
∂y
#
=
∂2f
∂y∂x
= fyx
6
O terceiro e o quarto caso são das derivadas mistas.
Teorema da Equivalência das Derivadas Parciais Mistas: Se f é uma função
de x e y tal que fxy e fyx são cont́ınuas em umdisco aberto R, então, para
todo (x, y) em R, temos que
fxy(x, y) = fyx(x, y)
Esse teorema se aplica para funções de três ou mais variáveis contanto que as segundas
derivadas sejam cont́ınuas em R.
Exemplo: Mostre que fxz = fzx e fxzz = fzxz = fzzx para a função dada por
f(x, y, z) = yex + x ln z
Primeiras derivadas parciais
fx(x, y, z) = ye
x + ln z, fz(x, y, z) =
x
z
,
Segundas derivadas parciais
fxz(x, y, z) =
1
z
, fzx(x, y, z) =
1
z
, fzz(x, y, z) = −
x
z2
Terceiras derivadas parciais
fxzz(x, y, z) = −
1
z2
, fzxz(x, y, z) = −
1
z2
, fzzx(x, y, z) = −
1
z2
4 Diferenciais
No caso de uma função de uma única variável, se y = f(x) é diferenciável em x = a
então a equação da reta tangente a curva f(x) no ponto (a, f(a)) é dada por
y = f(a) + f ′(a)(x− a)
A figura 3 mostra as duas relações entre o incremento∆y e a diferencial dy: ∆y representa
a variação da altura da curva f(x) enquanto dy representa a variação da altura da reta
tangente.
Fazendo uma pequena variação em x dada pelo incremento ∆x = x−a, então provo-
camos uma variação em y da seguinte forma
∆y = f(a+∆x)− f(a) = f ′(a)∆x+ $∆x,
Quando ∆x → 0 o $ → 0. Temos então que
∆y ≈ f ′(x)∆x.
7
reta tangente
Figure 3: Figura retirada de [1].
Na aproximação acima denotamos a diferencial de x por dx e a expressão f ′(x)dx fornece
a diferencial dy de modo que
dy = f ′(x)dx.
Da mesma forma, no caso de uma função de duas variáveis em que z = f(x, y), temos
que a variação em z é dada por
∆z = f(a+∆x, b+∆y)− f(a, b)
quando (a, b) varia para (a+∆x, b+∆y).
plano tangente
superfície 
Figure 4: Figura retirada de [1].
A figura 4 mostra a diferença entre dz e ∆z: dz representa a altura do plano tangente
enquanto ∆z representa a altura da curva z = f(x, y) quando (x, y) varia de (a, b) para
(a+∆x, b+∆y).
8
Definição de Diferencial Total: Se z = f(x, y) e ∆x e ∆y são os incrementos
de x e y, então as diferenciais das variáveis independentes x e y são
dx = ∆x dy = ∆y
e a diferencial total da variável dependente z é dada por
dz =
∂z
∂x
dx+
∂z
∂y
dy = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy
Diferenciabilidade: Se z = f(x, y) é diferenciável em (a, b) então ∆z pode ser
escrito como
∆z = fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y + $1∆x+ $2∆y
onde ambos $1, $2 → 0 a medida que (∆x,∆y) → (0, 0). A função é diferen-
ciável na região R se é diferenciável em cada ponto de R.
Corolário: Se as derivadas parciais fx e fy de uma função f(x, y) são cont́ınuas
sobre um região R, então f é diferenciável em todos os pontos de R.
Diferenciabilidade implica em continuidade: Se uma função f(x, y) é diferen-
ciável em (a, b), então f é cont́ınua em (a, b).
Uma função f(x, y) deve ser cont́ınua em um ponto (a, b) se suas derivadas parciais
fx e fy são cont́ınuas em uma região aberta contendo (a, b). Entretanto, ainda é posśıvel
que uma função de duas variáveis seja descont́ınua em um ponto onde suas primeiras
derivadas parciais existem. A existência das derivadas parciais em um ponto não é
suficiente para que a função seja diferenciável no ponto. Uma função f(x, y) pode ter
derivadas parciais em relação a x e y em um ponto sem que a função seja cont́ınua nesse
ponto, como mostrarei no exemplo a seguir. Mas se as derivadas parciais de f(x, y)
existem e são cont́ınuas ao longo de um disco centrado em (a, b), então f é cont́ınua em
(a, b).
Exemplo: Considere f(x, y) =
$
0 xy ∕= 0
1 xy = 0
. Obtenha
a) O limite de f conforme (x, y) se aproxima de (0, 0).
b) Prove que f não é cont́ınua na origem.
c) Mostre que ambas as derivadas parciais fx e fy existem.
a) Note que f(x, y) é constantemente igual a zero, exceto nos eixos x e y, então
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
0 = 0
9
b) Sendo f(0, 0) = 1, temos que lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0 ∕= f(0, 0) = 1. Então ela não é
cont́ınua em (0, 0).
c) Para encontrar fx(x, y) em (0, 0), mantemos y fixo em y = 0. Então f(x, y) = 1 para
todo x, e o gráfico de f é a reta L1 na figura 5. A inclinação desta linha em qualquer x
é fx = 0. Em particular, fx = 0 em (0, 0). Da mesma forma, fy = 0 é a inclinação da
linha L2 em qualquer y, então fy = 0 em (0, 0).
y
z
x
0
1
L1
L 2
z 0, xy 01, xy 0
Figure 5: Figura retirada de [3].
5 Aproximações lineares e Planos Tangentes
Quando falamos de diferenciabilidade vimos que escolhendo (x+∆x, y+∆y) próximo
o suficiente de (x, y) fazendo $1∆x e $2∆y insignificantes. Em outras palavras, para ∆x
e ∆y pequenos você pode usar a aproximação
∆z ≈ dz
Essa aproximação pode ser melhor visualizada na figura 4. Lembrando que podemos
interpretar as derivadas parciais como ∂z/∂x e ∂z/∂y como inclinações da superf́ıcie nas
direções x e y, respectivamente. Então temos que
dz =
∂z
∂x
dx+
∂z
∂y
dy = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy
representa uma mudança na altura do plano que é tangente à superf́ıcie no ponto
(x, y, f(x, y)). Como um plano no espaço é representado por uma equação linear nas
variáveis x, y e z, a aproximação de ∆z por dz é chamada de aproximação linear. Sendo
assim, podemos observar que a aproximação linear está intimamente ligada ao plano
tangente à curva em um ponto P (x0, y0, z0). Essa é uma das ideias mais importantes do
cálculo: que a medida que damos um zoom no gráfico de uma função diferenciável em
um determinado ponto, mais a função se aproxima da sua forma linear, que no caso de
duas variáveis corresponde ao plano.
A equação de plano tangente que contém o ponto P (x0, y0, z0) pode ser escrita como
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
10
Dividindo essa equação por C e reescrevendo a = −A/C e b = −B/C, temos que
z − z0 = a(x− x0) + b(y − y0),
onde o a e o b podem ser identificados como as inclinações das retas tangentes às curvas
produzidas pelas interseções das superf́ıcies com os planos, como vimos anteriormente.
Então o plano tangente à superf́ıcie S contém as retas T1 e T2 obtidas pelas interseções
da superf́ıcie com os planos (veja a figura 6).
Observe que fazendo y = y0 encontramos a equação da reta T1 dada por
z − z0 = a(x− x0),
então temos que a = fx(x0, y0). E fazendo x = x0 encontramos a equação da reta T2
dada por
z − z0 = b(y − y0),
então temos que b = fy(x0, y0).
Figure 6: Figura retirada de [1].
Equação do Plano Tangente: Suponha que f contenha derivadas parciais
cont́ınuas. Uma equação do plano tangente à superf́ıcie z = f(x, y) no ponto
P (x0, y0, z0) é dada por
z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
Exemplo: Determine o plano tangente do paraboloide eĺıptico z = f(x, y) = 2x2 + y2
no ponto (1, 1, 3)
As derivadas parciais no ponto (1, 1) são dadas por
fx(x, y) = 4x fx(1, 1) = 4
fy(x, y) = 2y fy(1, 1) = 2
então a equação do plano tangente tangente à superf́ıcie z = 2x2 + y2 em (1, 1, 3) é dada
por
z − 3 = 4(x− 1) + 2(y − 1) ⇒ z = 4x+ 2y − 3.
11
Na figura 7 mostra o zoom em torno do ponto (1, 1, 3) e podemos ver como o paraboloide
eĺıptico z = 2x2+y2 se aproxima do plano nas proximidades deste ponto. Então podemos
dizer que
f(x, y) ≈ L(x, y) = 4x+ 2y − 3
é uma boa aproximação para a função em torno do ponto (1, 1, 3). A esse processo damos
o nome de linearização ou aproximação linear.
Linearização: Suponha que f contenha derivadas parciais cont́ınuas. A lin-
earização da superf́ıcie z = f(x, y) em torno do ponto P (x0, y0, z0) pode ser
dada como
f(x, y) ≈ L(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
O paraboloide elíptico parece coincidir com o plano tangente quando damos zoom em torno de .
(c)(b)(a)
Figure 7: Figura retirada de [1].
6 Derivada Direcional e Gradiente
Vimos que fx e fy fornecem a taxa de variação de uma função de duas variáveis na
direção x e y, mas suponha que você queira saber como a função está variando em uma
outra direção qualquer. A derivada direcional fornece a variação da função na direção
do vetor unitário u = a i+ b j. Seja z = f(x, y) e P′(x0, y0, 0) um ponto pertencente ao
domı́nio da função. As equações
x = x0 + ha, y = y0 + hb
parametrizam a reta que passa por P ′(x0, y0, 0) e é paralela à u. Observe na figura 8
que a variação da função na direção u em P0(x0, y0, z0) é dada pela inclinação da reta
tangente T no ponto P0(x0, y0, z0) da superf́ıcie.
12
cos
senu
u 
Figure 8: Figura retirada de [1].
Definição de Derivada Direcional: A derivada direcional de z = f(x, y) em
P0(x0, y0) na direção do vetor unitário u = 〈a, b〉 é dada por
Duf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0)
h
.
Derivada Direcional: Seja z = f(x, y) uma função diferenciável então a
derivada direcional de f na direção do vetor unitário u = 〈cos θ, senθ〉 é
dada por
Duf(x, y) = fx(x, y) cos θ + fy(x, y) senθ
Um gradiente de uma função de duas variáveis é uma função vetorial de duas variáveis.
Essa função tem muita utilidade principalmente quando se trata de estudar máximos e
mı́nimos que veremos nas próximas aulas.
Definição de Gradiente: Seja z = f(x, y) uma função de x e y tal que fx e fy
existe. Então o gradiente de f , denotado por ∇f(x, y), é o vetor
∇f(x, y) = fx(x, y)i+ fy(x, y)j.
Uma outra notação para gradiente é gradf(x, y).
Forma Alternativa pra Derivada Direcional: Seja z = f(x, y) uma função
diferenciável então a derivada direcional de f na direção do vetor unitário
u = 〈cos θ, senθ〉 é dada por
Duf(x, y) = ∇f(x, y) · u
O gradiente indica a direção de maior crescimento da função.
13
Propriedades do Gradiente:
1. Se ∇f(x, y) = 0 então Duf(x, y) = 0 para todo u.
2. O valor máximo de Duf(x, y) é |∇f(x, y)|
3. O valor mı́nimo de Duf(x, y) é −|∇f(x, y)|
4. O gradiente é perpendicular às curvas de ńıvel da função: se f é difer-
enciável em (x0, y0) e ∇f(x0, y0) ∕= 0 então ∇f(x0, y0) é perpendicular
à curva de ńıvel em (x0, y0).
Exemplo: Encontre a derivada de f(x, y) = xey + cos (xy) no ponto (2, 0) na direção
v = 3i− 4i.
A direção v é o vetor unitário obtido de
u =
v
|v| =
3i− 4j√
42 + 32
=
3i− 4j
5
=
3
5
i− 4
5
j
As derivadas parciais de f são todas cont́ınuas em (2, 0) e dadas por
fx(x, y) = e
y + y sen(xy) fx(2, 0) = e
y + y sen(xy) = 1
fy(x, y) = xe
y + x sen(xy) fy(2, 0) = xe
y + x sen(xy) = 2
O gradiente em (2, 0) é dado por
∇f(2, 0) = fx(2, 0)i+ fy(2, 0)j = i+ 2j
A derivada direcional é dada por
Duf(2, 0) = ∇f(2, 0) · u = (i+ 2j) ·
"
3
5
i− 4
5
j
#
=
3
5
− 8
5
= −1
Para entender melhor o que está acontecendo, observe a figura 9.
x
y
0 1 3 4
–1
1
2
f i 2j
u i j35
4
5
P0(2, 0)
Figure 9: Figura retirada de [1].
Exemplo: Ache a direção de máximo e mı́nimo da função f(x, y) = (x2/2) + (y2/2)
no ponto (1, 1, 1)
14
A função cresce mais rapidamente na direção ∇f(x, y) em (1, 1), tal que
∇f(x, y) = x i+ y j ⇒ ∇f(1, 1) = i+ j.
sua direção é a
u =
i+ j
|i+ j| =
i+ j
|
√
12 + 12
=
i+ j√
2
A função decresce mais rapidamente na direção −∇f(x, y) em (1, 1), tal que
−∇f(x, y) = −x i− y j ⇒ −∇f(1, 1) = −i− j
sua direção é a
u =
−i− j
|− i− j| =
−i− j%
(−1)2 + (−1)2
= − 1√
2
i− 1√
2
j
A figura 10 mostra o que está acontecendo com a função e que a direção do gradiente
indica a direção de crescimento.
z
x
y
1
1
(1, 1)
(1, 1, 1)
Cresce mais
rapidamente 
Decresce mais
rapidamente
f i j
– f
z f (x, y)
2
x2
2
y2
Figure 10: Figura retirada de [3].
7 Regra da cadeia
Vamos estender o que aprendemos com diferenciais para estudar a Regra da Cadeia
para funções duas ou mais variáveis. Existem dois tipo de regra da cadeia: um que
envolve x e y como função de uma única variável e outro que envolve x e y como função
de outras duas variáveis.
Em cálculo 1 vimos a regra da cadeia para uma função de uma variável, onde apren-
demos a derivar uma função composta do tipo f(x), tal que x = g(t), da seguinte forma
df
dt
=
df
dx
dx
dt
.
15
Regra da Cadeia (uma variável independente): Seja w = f(x, y), onde f é
uma função diferenciável de x e y. Se x = g(t) e y = h(t), então w é uma
função diferenciável de t, e
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
Regra da Cadeia
t
yx
w f (x, y)
w
y
w
x
dy
dt
dx
dt
dw
dt
w
x
dx
dt
w
y
dy
dt
Variáveis 
Intermediárias
Variável 
Dependente
Variável 
Independente
Figure 11: Figura retirada de [3].
Na figura 12 podemos ver o diagrama da árvore em que mostra w como a variável
dependente, x e y como variáveis intermediárias e t como variável independente. Na
verdade, podemos ver que w = f(x(t), y(t)) depende, no final das contas, somente de
t e que x e y são apenas variáveis intermediárias, por isso nós tratamos a dw/dt como
derivada total e não parcial.
Exemplo Seja w = x2y − y2, onde x = sent e y = et. Encontre dw/dt quando t = 0.
Pela regra da cadeia envolvendo uma única variável independente, temos
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
= 2xy(cos t) + (x2 − 2y)et
= 2( sent)(et)(cos t) + ( sen2t− 2et)et
= 2et sent cos t+ et sen2t− 2e2t.
Quando t = 0, segue que
dw
dt
!!!!
t=0
= −2
16
A regra da cadeia pode ser estendida para qualquer número de variáveis. Por exemplo,
se cada xi é uma função diferenciável de uma única variável t e w = f(x1, x2, · · · , xn),
temos que
dw
dt
=
∂w
∂x1
dx1
dt
+
∂w
∂x1
dx2
dt
+ · · ·+ ∂w
∂xn
dxn
dt
Agora vamos ver o caso em que as variáveis intermediárias são funções de outras duas
variáveis
Regra da Cadeia (duas variáveis independente): Seja w = f(x, y), onde f é
uma função diferenciável de x e y. Se x = g(r, s) e y = h(r, s), então w é
uma função diferenciável de r e s, tal que
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
∂w
∂s
=
∂w
∂x
∂x
∂s
+
∂w
∂y
∂y
∂s
No caso em que w é função de 3 variáveis intermediárias, x, y e z, i.e., w = f(x, y, z),
tal que x = g(r, s), y = h(r, s) e z = k(r, s), temos
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
+
∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂s
=
∂w
∂x
∂x
∂s
+
∂w
∂y
∂y
∂s
+
∂w
∂z
∂z
∂s
w
(a)
g h k
f
x y z
r, s
Variável 
Dependente
Variáveis 
Independentes
Variáveis 
Intermediárias
w f ( g(r, s), h (r, s), k (r, s))
(b)
r
zx y
w f (x, y, z)
w
x w
y
y
rx
r
w
z
z
r
w
r
w
x
x
r
w
y
y
r
w
z
z
r
s
zx y
(c)
w
x w
y
y
sx
s
w
z
z
s
w
s
w
x
x
s
w
y
y
s
w
z
z
s
w f (x, y, z)
Figure 12: Figura retirada de [3].
Exemplo: Se u = x4y + y2z3, onde x = rset, y = rs2e−t e z = r2s sent, determine o
valor de ∂u/∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.
17
Temos que
∂u
∂s
=
∂u
∂x
∂x
∂s
+
∂u
∂y
∂y
∂s
+
∂u
∂z
∂z
∂s
= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse−t) + (3y2z2)(r2 sent).
Quando r = 2, s = 1 e t = 0, temos x = 2, y = 2 e z = 0, portanto
∂u
∂s
= (64)(2) + 16(4) + (0)(0) = 192
8 Derivada Impĺıcita
Vamos agora utilizar a regra da cadeia para obter a derivada de uma função definida
implicitamente. Suponha que F (x, y) = 0, onde assumimos que y = f(x) é uma função
diferenciável de x. Se considerarmos que
w = F (x, y) = F (x, f(x)),
temos que
dw
dx
= Fx(x, y)
dx
dx
+ Fy(x, y)
dy
dx
.
Como w = F (x, y) = 0 isso implica que dw/dx = 0, ou seja,
0 = Fx(x, y)
dx
dx
+ Fy(x, y)
dy
dx
.
Se Fy(x, y) ∕= 0 e levando em conta que dx/dx = 1, podemos escrever
dy
dx
= −Fx(x, y)
Fy(x, y)
.
Um procedimento similar pode ser realizado para derivadas parciais de funções definidas
implicitamente envolvendo mais variáveis.
Derivação Impĺıcita: Se a equação F (x, y) = 0 define implicitamente y como
uma função de x, então
dy
dx
= −Fx(x, y)
Fy(x, y)
, Fy(x, y) ∕= 0
Se a equação F (x, y, z) = 0 define implicitamente z como uma função de x e
y, então
∂z
∂x
= −Fx(x, y, z)
Fz(x, y, z)
,
∂z
∂y
= −Fy(x, y, z)
Fz(x, y, z)
Fz(x, y, z) ∕= 0.
18
Exemplo: Encontre dy/dx dada por y3 + y2 − 5y − x2 + 4 = 0
Vamos começar definindo F (x, y) como
F (x, y) = y3 + y2 − 5y − x2 + 4.
Sabendo que Fx = −2x e Fy = 3y2 + 2y − 5, segue que
dy
dx
= −Fx(x, y)
Fy(x, y)
=
2x
3y2 + 2y − 5 .
19
References[1] J. Stewart, Cálculo, vol.2. 7a. ed., Cengage Learning.
[2] R. Larson e B. H. Edwards, Multivariable Calculus, Brooks Cole.
[3] M. D. Weir, J. Hass e G. B. Thomas, Thomas Calculus, Pearson India.
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