Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário - Cálculo Integral

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Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário
 Pergunta 1
 
 As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso
primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de
movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e
com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C.
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da
derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para qualquer função,
mesmo que seja descontínua no ponto.
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x).
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, F, V.
2. F, F, V, F.
3. V, F, F, V.
4. V, V, F, F.
5. F, V, F, V.
 
 Pergunta 2
 
 Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais,
econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral
possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz
indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e
com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que
seja o intervalo de integração.
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4.
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x).
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, V, F, F.
2. V, V, F, V.
3. F, F, V, V.
4. V, V, V, F.
5. V, F, F, F.
 
 Pergunta 3
 
 Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de
Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a integral
definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área para uma determinada
curva, já a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções para uma
determinada situação.
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) é uma integral indefinida.
II. ( ) é uma integral definida.
III. ( ) é uma integral definida.
IV. ( ) é uma integral definida.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, F, F.
2. V, V, F, F.
3. F, F, V, V.
4. V, V, V, F.
5. V, F, V, V.
 
 Pergunta 4
 
 A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de
fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de
integração definida em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos
conceitos estudados.
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as
afirmativas a seguir.
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b).
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das
integrais dessas funções nesse intervalo.
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das
integrais dessas funções nesse intervalo.
IV. Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior que
zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. III e IV.
2. II e III.
3. II e III.
4. I e III.
5. I e IV.
 
 Pergunta 5
 
 Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas,
já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos
um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto,
quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o
expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus
conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar
que:
1. No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
2. Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
3. Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
4. No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
5. Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
 
 
 
 
 Pergunta 6
 
 Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação
válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação,
analise as afirmativas a seguir:
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo.
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos.
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo.
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. I e II.
2. I, II e IV.
3. II e IV.
4. III e IV.
5. I, II e III.
 
 Pergunta 7
 
 As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo Cálculo. É por meio
delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimentos.
Identificar as propriedades das integrais definidas é essencial para a sua manipulação.
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais definidas, analise
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( )
II. ( )
III. ( )
IV. ( )
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, V, V.
2. V, V, F, V.
3. V, V, F, F.
4. F, F, V, F.
5. V, V, V, F.
 
 Pergunta 8
 
 No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é
necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E
isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a atribuir valores
positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções
polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo
[1,2] vale 4.
Porque:
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas
retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
A seguir, assinale a alternativa correta.
1. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
2. As asserções I e II são proposições falsas.
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da
I.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
 
 Pergunta 9
 
 O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental
importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos
observados nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada
como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise
as afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é aprópria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. II, III e IV.
2. I, e IV.
3. II e III.
4. I, II e III.
5. II e IV.
 
 Pergunta 10
 
 Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de
forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário.
Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois,
antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de
funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1.
Porque:
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por
outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) =
cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo
F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3).
A seguir, assinale a alternativa correta.
1. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
2. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. As asserções I e II são proposições falsas.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta
da I.