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Exercícios resolvidos sobre Intervalo de confiança com variância conhecida Neste conjunto de Exercícios Resolvidos, você aprenderá a trabalhar com intervalos de confiança para estimar parâmetros, com determinada precisão, para média com variância conhecida. Exercício 1 Os multímetros são aparelhos de medição bastante utilizados. Um tipo comum de multímetro analógico é o que realiza as medidas com ajuda do galvanômetro um instrumento que funciona com uma bobina elétrica montada em um anel ao redor de um imã. O anel contém eixo e ponteiro que podem girar sobre o imã. O ponteiro é mantido no zero por um sistema de molas. Quando uma corrente passa pela bobina, é criado um campo magnético oposto ao do imã, que tem como efeito o giro do conjunto e a medição. Em um lote de amostras para verificação da qualidade, testaram-se 18 válvulas com o multímetro. O valor médio encontrado foi de 3,2 µV. Construa um intervalo de confiança para a sensitividade média, com nível de confiança de 98% e sabendo que a variância σ 2 é conhecida e igual a 4. Solução Enunciado Os multímetros são aparelhos de medição bastante utilizados. Um tipo comum de multímetro analógico é o que realiza as medidas com ajuda do galvanômetro um instrumento que funciona com uma bobina elétrica montada em um anel ao redor de um imã. O anel contém eixo e ponteiro que podem girar sobre o imã. O ponteiro é mantido no zero por um sistema de molas. Quando uma corrente passa pela bobina, é criado um campo magnético oposto ao do imã, que tem como efeito o giro do conjunto e a medição. Em um lote de amostras para verificação da qualidade, testaram-se 18 válvulas com o multímetro. O valor médio encontrado foi de 3,2 µV. Construa um intervalo de confiança para a sensitividade média, com nível de confiança de 98% e sabendo que a variância σ 2 é conhecida e igual a 4. Solução Os dados do problema são: Começamos com a divisão de α por dois e buscando o valor de De posse dessas informações, fica fácil montar o intervalo de confiança (I.C.). Exercício 2 Os resistores utilizados em computadores são muito menores do que os habitualmente utilizados. Chamados pela sigla em inglês SMD, são produzidos com a utilização da tecnologia de montagem superficial, método que consiste em montar os circuitos eletrônicos diretamente sobre a placa de circuito. Com isso, é possível aproveitar ambas as faces da placa, economizando espaço. Considere uma companhia eletrônica que fabrica resistores SMD que têm uma resistência média populacional de 100 Ω e um desvio-padrão de 10 Ω. A distribuição desses valores nessa linha de produção tem distribuição normal. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 25 resistores, retirada pela equipe de qualidade da empresa, ter uma resistência média menor que 95 Ω. Solução Enunciado Os resistores utilizados em computadores são muito menores do que os habitualmente utilizados. Chamados pela sigla em inglês SMD, são produzidos com a utilização da tecnologia de montagem superficial, método que consiste em montar os circuitos eletrônicos diretamente sobre a placa de circuito. Com isso, é possível aproveitar ambas as faces da placa, economizando espaço. Considere uma companhia eletrônica que fabrica resistores SMD que têm uma resistência média populacional de 100 Ω e um desvio-padrão de 10 Ω. A distribuição desses valores nessa linha de produção tem distribuição normal. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 25 resistores, retirada pela equipe de qualidade da empresa, ter uma resistência média menor que 95 Ω. Solução Em primeiro lugar, vamos organizar os dados para realizar cálculos posteriores. Note que o cálculo da variância foi feito de modo diferente de outros problemas. Não utilizamos diretamente o valor dado. Isso ocorre pois, como visto na teoria, a variância com que se dispersam os possíveis valores da média é n vezes menor que a variância da população da qual foi retirada a amostra. Isso se deve à própria essência do processo aleatório, que faz com que haja, na amostra, uma natural compensação entre os valores mais elevados e os valores mais baixos, produzindo valores de que tendem a ser tanto mais próximos da media µ da população quanto maior for a dimensão da amostra n. Vamos então para o cálculo de Z: Consultando a tabela do Módulo, encontramos Z(-2,5) = 0,4938. Para calcular a probabilidade solicitada, temos: Portanto, a probabilidade é de 0,62%. Exercício 3 Os mancais são largamente utilizados nas indústrias de automóveis com a finalidade de “apoiar” as peças giratórias dos automóveis, como os eixos, por exemplo, reduzindo assim o atrito entre as peças. Existem diversos tipos de mancais, mas podemos grosseiramente dividi-los em duas categorias: os lisos e os rolamentos. Estes equipamentos devem ser sempre lubrificados para garantir sua eficiência e aumentar sua vida útil. Considere que o diâmetro dos orifícios dos mancais produzidos por uma indústria automobilística têm distribuição normal. Essa indústria trabalhava com um processo de desvio-padrão 0,1 mm, porém teve de realizar alterações em seu processo produtivo. Essas alterações certamente não afetaram o desvio-padrão nem a distribuição das medidas (normal), contudo existe uma suspeita do engenheiro responsável de que o diâmetro médio tenha mudado. Foi feita uma amostra de 40 unidades e obtida uma medida de diâmetro médio da amostra igual a 5,426 mm. Encontre um intervalo de confiança para o diâmetro médio real, após a modificação, com nível de confiança de 90%. Solução Enunciado Os mancais são largamente utilizados nas indústrias de automóveis com a finalidade de “apoiar” as peças giratórias dos automóveis, como os eixos, por exemplo, reduzindo assim o atrito entre as peças. Existem diversos tipos de mancais, mas podemos grosseiramente dividi-los em duas categorias: os lisos e os rolamentos. Estes equipamentos devem ser sempre lubrificados para garantir sua eficiência e aumentar sua vida útil. Considere que o diâmetro dos orifícios dos mancais produzidos por uma indústria automobilística têm distribuição normal. Essa indústria trabalhava com um processo de desvio-padrão 0,1 mm, porém teve de realizar alterações em seu processo produtivo. Essas alterações certamente não afetaram o desvio-padrão nem a distribuição das medidas (normal), contudo existe uma suspeita do engenheiro responsável de que o diâmetro médio tenha mudado. Foi feita uma amostra de 40 unidades e obtida uma medida de diâmetro médio da amostra igual a 5,426 mm. Encontre um intervalo de confiança para o diâmetro médio real, após a modificação, com nível de confiança de 90%. Solução Vamos organizar os dados fornecidos: De posse desses valores, começamos a resolução pelo cálculo do I.C. Com um grau razoavelmente alto de confiança, pode-se dizer que a média solicitada pelo problema está no seguinte intervalo: Exercício 4 A pesquisa de mercado é uma ferramenta muito importante tanto para novos negócios ou produtos como para melhoria dos produtos já existentes. Essa ferramenta possibilita que o interessado descubra as oportunidades de mercado ou obtenha um feedback sobre a aceitação de seu produto. Esse tipo de pesquisa ajuda ainda a avaliar o que os consumidores desejam e o grau de satisfação de um produto ou serviço. De maneira bem simplificada, a pesquisa de mercado consiste em perguntar aos consumidores, atuais ou potenciais, sua opinião a respeito de um produto ou serviço. Essa ferramenta representa uma importante vantagem competitiva em relação aos concorrentes que não a utilizam corretamente. Considere um empresário interessado em lançar um novo produto. Ele contrata uma empresa para realizar uma pesquisa de mercado com 500 pessoas. Entre as 500 pessoas, 157 manifestam interesse em comprar o produto. Faça um intervalo de confiança com 92% para a probabilidade de uma pessoa adquirir o referido produto. Solução Enunciado A pesquisa de mercado é uma ferramenta muitoimportante tanto para novos negócios ou produtos como para melhoria dos produtos já existentes. Essa ferramenta possibilita que o interessado descubra as oportunidades de mercado ou obtenha um feedback sobre a aceitação de seu produto. Esse tipo de pesquisa ajuda ainda a avaliar o que os consumidores desejam e o grau de satisfação de um produto ou serviço. De maneira bem simplificada, a pesquisa de mercado consiste em perguntar aos consumidores, atuais ou potenciais, sua opinião a respeito de um produto ou serviço. Essa ferramenta representa uma importante vantagem competitiva em relação aos concorrentes que não a utilizam corretamente. Considere um empresário interessado em lançar um novo produto. Ele contrata uma empresa para realizar uma pesquisa de mercado com 500 pessoas. Entre as 500 pessoas, 157 manifestam interesse em comprar o produto. Faça um intervalo de confiança com 92% para a probabilidade de uma pessoa adquirir o referido produto. Solução O problema apresenta uma distribuição em que p é desconhecido. Organizando os dados, temos: Nosso I.C. será calculado da seguinte maneira: Portanto, o intervalo de confiança solicitado é (0,278; 0,350). Exercício 5 Você já ouviu falar no rinoceronte Cacareco? Ele pertenceu ao Zoológico de São Paulo e, por iniciativa do jornalista Itaboraí Martins, o animal foi lançado como candidato a vereador nas eleições de outubro de 1958. Itaboraí estava cansado do baixo nível dos outros 450 concorrentes, então, como forma de protesto, lançou a candidatura do rinoceronte. Cacareco recebeu cerca de 100 mil votos. Isso foi possível pois, na época, as eleições eram feitas com cédulas de papel. Para se ter uma ideia da dimensão do evento, o partido mais votado não chegou a 95 mil votos. Esse acontecimento foi um dos mais famosos casos de voto nulo em massa, uma vez que Cacareco foi o “candidato” mais votado. O então presidente Juscelino Kubitschek chegou a declarar: "Não sou intérprete de acontecimentos sociais e políticos. Aguardo as interpretações do próprio povo". Atualmente, o voto nulo continua sendo utilizado como ferramenta de protesto político por muitos eleitores. Considere uma pesquisa eleitoral realizada em dois bairros, A e B. No bairro A, foram entrevistados 500 eleitores, sendo que 100 deles declararam que iriam anular seu voto. No bairro B, dos 1.000 eleitores entrevistados, 300 declararam a intenção de anular o voto. a) Construa um intervalo de confiança para a probabilidade de voto nulo no bairro A, considerando = 5%. b) Faço o mesmo para o bairro B. c) Calcule um intervalo de confiança para a diferença entre as probabilidades de intenção de voto nulo nos bairros A e B, considerando = 5%. Solução Enunciado Você já ouviu falar no rinoceronte Cacareco? Ele pertenceu ao Zoológico de São Paulo e, por iniciativa do jornalista Itaboraí Martins, o animal foi lançado como candidato a vereador nas eleições de outubro de 1958. Itaboraí estava cansado do baixo nível dos outros 450 concorrentes, então, como forma de protesto, lançou a candidatura do rinoceronte. Cacareco recebeu cerca de 100 mil votos. Isso foi possível pois, na época, as eleições eram feitas com cédulas de papel. Para se ter uma ideia da dimensão do evento, o partido mais votado não chegou a 95 mil votos. Esse acontecimento foi um dos mais famosos casos de voto nulo em massa, uma vez que Cacareco foi o “candidato” mais votado. O então presidente Juscelino Kubitschek chegou a declarar: "Não sou intérprete de acontecimentos sociais e políticos. Aguardo as interpretações do próprio povo". Atualmente, o voto nulo continua sendo utilizado como ferramenta de protesto político por muitos eleitores. Considere uma pesquisa eleitoral realizada em dois bairros, A e B. No bairro A, foram entrevistados 500 eleitores, sendo que 100 deles declararam que iriam anular seu voto. No bairro B, dos 1.000 eleitores entrevistados, 300 declararam a intenção de anular o voto. a) Construa um intervalo de confiança para a probabilidade de voto nulo no bairro A, considerando = 5%. b) Faço o mesmo para o bairro B. c) Calcule um intervalo de confiança para a diferença entre as probabilidades de intenção de voto nulo nos bairros A e B, considerando = 5%. Solução a) Vamos iniciar a resolução pelo cálculo de . Para encontrar um intervalo que tem 95% de confiança da quantidade de votos nulos para o bairro A, temos: b) No bairro B, os cálculos a serem feitos são bastante semelhantes. c) Façamos o cálculo de I.C. para W = A – B, em que W é uma variável aleatória que compreende a operação linear antes citada. Exercício 6 Segundo uma nota de março de 2009 de um blog da revista Superinteressante, pesquisadores do Massachusetts Institute of Technology – MIT desenvolveram um protótipo de bateria para celulares produzido com lítio de fosfato de ferro, que carrega extremamente rápido, porém descarrega com taxa bastante baixa. O estudo afirma ainda que os princípios dessa bateria podem ser utilizados em baterias para outros dispositivos, inclusive o carro elétrico. Essa bateria carrega em apenas 10 segundos! Vamos supor que essas baterias sejam produzidas por dois métodos. São produzidas 50 baterias pelo método A, que se descobre, após testes, que carregam em média em 10 segundos. São produzidas também 70 baterias pelo método B, com carregamento em média de 12 segundos. Admitindo a variância do tempo igual a 100 s2 e distribuição normal dos tempos, calcule: a) Um intervalo de confiança para o tempo médio da bateria feito pelo método A, considerando = 8%. b) Faça o mesmo para a equipe B. c) Calcular o I.C. para a diferença entre os tempos médios de carregamento entre os métodos A e B. (Enunciado elaborado com base nas informações publicadas pelo blog da Revista Superinteressante). Disponível em: < http://super.abril.com.br/blogs/cienciamaluca/bateria-de- celular-recarregada-em-10-segundos-ja-existe/comment-page-1/ >. (Acesso em 07/04/2011) Solução Enunciado Segundo uma nota de março de 2009 de um blog da revista Superinteressante, pesquisadores do Massachusetts Institute of Technology – MIT desenvolveram um protótipo de bateria para celulares produzido com lítio de fosfato de ferro, que carrega extremamente rápido, porém descarrega com taxa bastante baixa. O estudo afirma ainda que os princípios dessa bateria podem ser utilizados em baterias para outros dispositivos, inclusive o carro elétrico. Essa bateria carrega em apenas 10 segundos! Vamos supor que essas baterias sejam produzidas por dois métodos. São produzidas 50 baterias pelo método A, que se descobre, após testes, que carregam em média em 10 segundos. São produzidas também 70 baterias pelo método B, com carregamento em média de 12 segundos. Admitindo a variância do tempo igual a 100 s2 e distribuição normal dos tempos, calcule: a) Um intervalo de confiança para o tempo médio da bateria feito pelo método A, considerando = 8%. b) Faça o mesmo para a equipe B. c) Calcular o I.C. para a diferença entre os tempos médios de carregamento entre os métodos A e B. (Enunciado elaborado com base nas informações publicadas pelo blog da Revista Superinteressante). Disponível em: < http://super.abril.com.br/blogs/cienciamaluca/bateria-de- celular-recarregada-em-10-segundos-ja-existe/comment-page-1/ >. (Acesso em 07/04/2011) Solução Organizando os dados, temos: a) Cálculo de I.C. para a bateria A: b) Cálculo de I.C. para a bateria B: c) Cálculo do intervalo da diferença.
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