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Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

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MATEMÁTICA
Aula 29
Matrizes
e
Determinantes
 Multiplicação de Matrizes
 O produto existe se:
 A m x n . B n x p Existência do Produto
 =
 Multiplicação de Matrizes
 A ordem da matriz produto é:
 A m x n . B n x p = AB m x p Ordem do Produto
 ORDEM
 Exemplo:
 ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-
=
187
065
B
43
21
A
 A 2 x 2 . B 2 x 3 Existe o Produto
 =
 ˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-
=
187
065
B
43
21
A
 A 2 x 2 .B 2 x 3 = AB 2 x 3 =
 ORDEM
˙
˚
˘
Í
Î
È
 A.B = =˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
- 103
065
.
43
21
 11 
 p11 = 1.5 + 2.3 = 11
 A.B = 11 6 
 p11 = 1.5 + 2.3 = 11
 p12 = 1.6 + 2.0 = 6
˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
- 103
065
.
43
21
 A.B = 11 6 2
 p11 = 1.5 + 2.3 = 11
 p12 = 1.6 + 2.0 = 6
 p13 = 1.0 + 2.1 = 2
 A.B = 11 6 2 
 -3
 p21 = -3.5 + 4.3 = -3
˙
˚
˘
Í
Î
È=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
- 103
065
.
43
21
˙
˚
˘
Í
Î
È=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
- 103
065
.
43
21
 A.B = 11 6 2
 -3 -18
 p21 = -3.5 + 4.3 = -3
 p22 = -3.6 + 4.0 = -18
 A.B = 11 6 2
 -3 -18 4
 p21 = -3.5 + 4.3 = -3
 p22 = -3.6 + 4.0 = -18
 p32 = -3.0 + 4.1 = 4
˙
˚
˘
Í
Î
È=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
- 103
065
.
43
21
˙
˚
˘
Í
Î
È=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
- 103
065
.
43
21
 ˙
˚
˘
Í
Î
È
--
=˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-
=
4183
2611
B.A
187
065
B
43
21
A
 B 2 x 3 . A 2 x 2 Não Existe o Produto
 g
Exemplo de aplicação:
 Jaqueta 1 Jaqueta 2
 Botões Pequenos 2 4
 Botões Grandes 6 3
 Março Abril
 Jaqueta 1 10 12
 Jaqueta 2 7 9
 Jaqueta 1 Jaqueta 2 Março Abril
 B.Pequenos 2 4 Jaq. 1 10 12
 B.Grandes 6 3 Jaq. 2 7 9
˙
˚
˘
Í
Î
È
++
++
=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
27722160
36242820
97
1210
.
36
42
 Jaqueta 1 Jaqueta 2 Março Abril
 B.Pequenos 2 4 Jaq. 1 10 12
 B.Grandes 6 3 Jaq. 2 7 9
 Matriz Transposta
 
˙
˙
˙
˚
˘
Í
Í
Í
Î
È
=fi˙
˚
˘
Í
Î
È
=
zc
yb
xa
A
zyx
cba
A t
 Note que: “o que é linha em A vira coluna em tA ”.
˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
9981
6048
97
1210
.
36
42
 Propriedades da Transposta
 (At)t = A
 (A + B)t = At + Bt
 (K.A)t = K.At
 (A.B)t = Bt . At
 Matriz Inversa
 Definição:
 Determinantes
 Ordem 1
 A = [a11]
 det A = |a11| = a11
 A = [10] fi det A = |10| = 10
nn
1
n
1
nn IA.AA.A ==
--
˙
˚
˘
Í
Î
È
=˙
˚
˘
Í
Î
È
˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
=˙
˚
˘
Í
Î
È
-
-
˙
˚
˘
Í
Î
È
10
01
41
31
.
11
34
11
34
.
41
31
 Determinantes
 Ordem 2
 A = 
2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aa
˙
˚
˘
Í
Î
È
 a12.a21 a11.a22
 det A = a11.a21 – a12.a21
 A = 
43
12
43
12
˙
˚
˘
Í
Î
È
 1.3 2.4
 det A = 8 – 3 = 5
 M = 
xsenxcos
xcosxsen
xsenxcos
xcosxsen -
˙
˚
˘
Í
Î
È -
 - cos2x sen2x
 det M = sen2x – (-cos2x)
 det M = sen2x + cos2x = 1
 Determinantes
 Ordem 3
 SECUNDÁRIO PRINCIPAL
 det A = Principal - Secundário
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 Considere as matrizes ˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê
-
=˜
˜
¯
ˆ
Á
Á
Ë
Ê
+
=
xy
z4
Be
zy2
0xA
2
 Se A = Bt, qual o determinante da matriz
 
˜
˜
˜
¯
ˆ
Á
Á
Á
Ë
Ê -
254
11z
1yx
 ?
Resolução:
 A = Bt
˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê
-
=˜
˜
¯
ˆ
Á
Á
Ë
Ê
+
=
xz
y4
zy2
0xA
2
Ô
Ô
Ó
Ô
Ô
Ì
Ï
-=fi-=+
=
=
=
fi
2xxzy
2z
0y
4x2
˜
˜
˜
¯
ˆ
Á
Á
Á
Ë
Ê --
=
˜
˜
˜
¯
ˆ
Á
Á
Á
Ë
Ê -
254
112
102
254
11z
1yx
 0)14(14
54
12
02
254
112
102
=---=
---
 -4 -10 0 -4 0 -10
 -14 -14

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