Atividade Contextualizada- Álgebra Linear_Eduarda

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Álgebra Linear – Atividade Contextualizada 
 
Eduarda Nicole Gomes dos Santos 
01389231 
Engenharia Civil 
Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater 
determinada doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as 
características necessárias para combater a doença. O genótipo desejado é 
constituído por dois alelos dominantes (ou, seja AA). 
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade 
do cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa, 
aa) resultar em indivíduos com o genótipo de interesse AA. A tabela é: 
 
 GENÓTIPO DE ORIGEM 
 AA X AA AA X Aa AA X aa 
Probabilidade do 
genótipo AA 
 100% 50% 0% 
 
Probabilidade do 
genótipo Aa 
 
 
Probabilidade do 
genótipo aa 
 0% 
 
 
 
 0% 
 50% 
 
 
 
 0% 
 100% 
 
 
 
 0% 
 
O pesquisador denominou a população de indivíduos com o genótipo de 
AA de X1, a população de indivíduos de Aa de X2, e a de aa de X3. Com isso, 
definiu equações que descrevem a probabilidade de indivíduos de cada genótipo 
estarem presentes em uma próxima geração, considerando que um dos 
indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA: 
X1(n) = 1. X 1(n-1) + ½ . X 2(n-2) 
X2(n) = ½ . X 2(n-1)1 1 . X 3(n-1) 
X3(n) = 0 
Por fim o bioquímico, traduziu essas equações na forma de uma 
transformação linear: 
 T: R³ ; [ X1(n)] [ 1 1/2 0 ] [X1(n-1)] 
 [ X2(n)] = [ 0 1/2 0] * [X2(n-2)] 
 [ X3(n)] [ 0 0 0] [X3(n-3)] 
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias á 
qual estamos nos referindo, enquanto que (n-1) se refere á geração anterior. Se 
analisarmos bem a expressão, veremos que se trata de uma cadeia de Markov. 
 
Adotemos como referência, ainda, o texto apresentado no Case. Além da 
transformação que descreve a proporção de indivíduos através das gerações, 
sabemos também a proporção inicial das bactérias estudadas com os três 
diferentes genótipos. São elas: X1 = 10%, X2 = 60%, X3= 30%. Temos, portanto 
o seguinte vetor: 
[X1(0)] [0,1] 
[X2(0)] = [0,6] 
[X3(0)] [0,3] 
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos 
capazes de estimar a população de indivíduos com genótipos AA através das 
mais diversas gerações. A partir disso, vamos propor, então, algumas perguntas: 
 
1) Qual a população de bactérias com o genótipo Aa (ou se já, X2) na 
primeira geração ? E na segunda geração? 
 
 Primeira geração: Podemos resolver essa questão através da 
multiplicação de matrizes, desse jeito: 
 
[ 1 0,5 0] [0,1] [1 * 0,1 + 0,5*0,6 + 0* 0,3] [0,4] 
[0 0,5 1] * [0,6] = [0* 0,1 + 0,5*0,6 + 1*0,3] = [0,6] 
[0 0 0] [0,3] [0* 0,1 + 0*0,6 + 0* 0,3] [ 0 ] 
 
Sendo assim, a segunda geração X2, será representada por 0,3*100= 
30% 
 
Explicação: Primeiramente para um cálculo mais simples, utilizei 
a conversão de ½ para o seu equivalente decimal 0,5. E a partir de 
métodos aprendidos em sala de aula podemos resolver a questão com a 
multiplicação de “Linha x Coluna”. Nos cálculos, nós observamos que a 
população de bactérias com genótipos Aa na primeira geração será de 
0,6 ou de 60%, sendo um número dobrado se comparado a segunda que 
sofreu uma queda de 50%, já que as bactérias diminuíram para 0,3 ou 
30%. 
 
 
2) Qual a população de bactérias com gene tipo aa (ou seja X3) na terceira 
geração? Essa Proporção se altera na quarta geração? 
 
 Terceira Geração 
 
[1 0,5 0] [0,7] [ 1*0,7 + 0,5* 0,3 + 0*0] 
[0 0,5 1] * [0,3] = [0 *0,7+ 0,5* 0,3 + 1*0] 
[0 0 0] [ 0 ] [0 * 0,7+ 0* 0,3 + 0*0] 
 
Onde na segunda geração X3 irá ficar sendo representado por 0*100 = 0% 
 Quarta geração 
 [1 0,5 0] [0,85] [ 1*0,85 + 0,5* 0,15 + 0*0] [0,925] 
[0 0,5 1] * [0,15] = [0 *0,85+ 0,5* 0,15 + 1*0] = [0,075] 
[0 0 0] [ 0 ] [0 * 0,85+ 0* 0,15 + 0*0] [ 0 ] 
 
Explicação: Diferente da primeira e da segunda, a terceira geração das 
bactérias X3, juntamente com o genótipo aa é de 0%, ou seja, ela 
permanecerá inalterada na quarta geração que será representada por: 
0*100=0% 
3) Em que geração a população da bactéria com genótipo AA atinge 85% do 
total? 
 [1 0,5 0] [0,7] [ 1*0,7 + 0,5* 0,3 + 0*0] [0,85] 
[0 0,5 1] * [0,3] = [0 *0,7+ 0,5* 0,3 + 1*0] = [0,15] 
[0 0 0] [ 0 ] [0 * 0,7+ 0* 0,3 + 0*0] [ 0 ] 
 
Explicação: Com os resultados da matriz da terceira geração, obtemos o 
valor de X1 que foi de 0,85 e junto com esse valor concluímos o resultado das 
questões principais. A população das bactérias com o genótipo AA, atingira na 
terceira geração o valor de 85%, sendo 0,85*100=85% 
 
O gráfico abaixo explica o desenvolvimento obtido de como foi o 
desenvolvimento das bactérias X1, X2 e X3 Durante o passar das gerações de 
acordo com seu genótipo. 
 
 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Geração 5
Geração 4
Geração 3
Geração 2
Geração 1
DESENVOLVIMENTO DAS 
BACTÉRIAS
Genótipo aa2 Genótipo Aa Genótipos AA