Exercícios Resolvidos Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

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Exercícios Resolvidos: Determine os valores máximos e mínimos locais e 
pontos de sela da função. 
 
14.7 EXERCÍCIOS: página 885. Cálculo Volume 2 – 6ª Edição 
 
5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥2 − 4𝑦2 
 
Vetor Gradiente: ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦) 
𝑓𝑥 = −2 − 2𝑥 
−2𝑥 − 2 = 0 
2𝑥 = −2 → 𝑥 = −1 
𝑓𝑦 = 4 − 8𝑦 
4 − 8𝑦 = 0 
8𝑦 = 4 
𝑦 =
4
8
 → 𝑦 =
1
2
 
∴ (−1,
1
2
) é o único ponto crítico . 
𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥 . 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)
2
= −2. (−8) − 0 = 16 
𝐷 (−1,
1
2
) = 16 > 0 
𝑓𝑥𝑥 (−1,
1
2
) = −2 < 0 
𝑓 (−1,
1
2
) = 9 + 2 + 2 − 1 − 1 = 11 
∴ 𝑓 (−1,
1
2
) = 11 é 𝑢𝑚 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙. 
 
7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2. 𝑦 + 4 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 2𝑥𝑦, 2𝑦 + 𝑥2) 
{
2𝑥 + 2𝑥𝑦 = 0
2𝑦 + 𝑥2 = 0 → 𝑦 = −
𝑥2
2
 
2𝑥 + 2𝑥 (−
𝑥2
2
) = 0 
2𝑥 − 𝑥3 = 0 
𝑥(2 − 𝑥2) = 0 → 𝑥 = 0 𝑜𝑢 2 − 𝑥2 = 0 → ±√2 = 𝑥 
Se 𝑥 = 0, 𝑦 = −
02
2
= 0 
Se 𝑥 = √2 , 𝑦 = −
√2
2
2
= −1 
Se 𝑥 = −√2 , 𝑦 = −
(−√2)
2
2
= −1 
Os três pontos críticos são (0,0), ((√2 , −1) 𝑒 (−√2, −1). 
𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥 . 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)
2
= (2 + 2𝑦). 2 − (2𝑥)2 = 4 + 4𝑦 − 4𝑥2 
𝐷(0,0) = 4 + 4.0 − 4.02 = 4 > 0 
𝑓𝑥𝑥(0,0) = 2 + 2.0 = 2 > 0 
∴ 𝑓(0,0) = 4 é 𝑢𝑚 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙. 
𝐷(√2, −1) = 4 + 4. (−1) − 4. (√2)
2
= 4 − 4 − 4.2 = −8 < 0 
∴ (√2, −1) é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎. 
𝐷(−√2, −1) = 4 + 4. (−1) − 4. (−√2)
2
= −8 < 0 
∴ (−√2, −1) é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎. 
 
9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 𝑦 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 2, 𝑥 − 1) 
𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 = 2 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 
∴ (1,2) é 𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜. 
𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥 . 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)
2
= 0.0 − (1)2 = −1 
𝐷(1,2) = −1 < 0 
∴ (1,2) é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎.