AD1 CIII 2016 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – CA´LCULO III – Gabarito – 2016-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Exerc´ıcio 1 Seja C a curva obtida pela intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 1 e y + z = 2.
(a) (1,5 ponto) Encontre uma parametrizac¸a˜o para C;
(b) (1,5 ponto) Encontre a reta tangente a C no ponto P = (0, 1, 1).
Soluc¸a˜o:
(a) Sabemos que as equac¸o˜es x2+y2 = 1 e y+ z = 2 representam um cilindro e um plano em R3.
Logo, a intersec¸a˜o de tais superf´ıcies e´ uma elipse cuja projec¸a˜o sobre o plano xy e´ a curva
C ′ :
{
x2 + y2 = 1,
z = 0.
Uma parametrizac¸a˜o C ′ e´ dada por {
x(t) = cos t,
y(t) = sen t,
com t ∈ [0, 2pi]. Assim, utilizando a equac¸a˜o do plano considerado, vem que
x(t) = cos t,
y(t) = sen t,
z(t) = 2− y(t) = 2− sen t,
com t ∈ [0, 2pi], e´ uma parametrizac¸a˜o de C.
(b) Seja α(t) = (cos t, sen t, 2 − sen t), com t ∈ [0, 2pi], a parametrizac¸a˜o de C obtida no item
anterior, e tomemos t0 ∈ [0, 2pi] tal que α(t0) = P = (0, 1, 1). Nesse caso, t0 = pi
2
. Uma
vez que α′(t) = (−sen t, cos t,− cos t) para todo t ∈ [0, 2pi], segue que α′(t0) = α′
(
pi
2
)
=
(−1, 0, 0). Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente a C no ponto P e´ dada por
r(t) = α(t0) + tα
′(t0) = (0, 1, 1) + t(−1, 0, 0) = (−t, 1, 1),
onde t ∈ R.
CA´LCULO III AD1 2
Exerc´ıcio 2 (4,0 pontos) Considere a func¸a˜o vetorial
r : λ ∈ R 7−→ (3− 4λ, 4 + 3λ) ∈ R2,
e seja C o c´ırculo centrado na origem, que e´ tangenciado em algum dos seus pontos pela reta
parametrizada por r. Encontre uma parametrizac¸a˜o de C.
Soluc¸a˜o:
Consideremos a > 0 e seja C : x2 + y2 = a2 o c´ırculo procurado. Ponhamos x = x(λ) = 3 − 4λ e
y = y(λ) = 4 + 3λ para cada λ ∈ R. Da´ı, (x0, y0) ∈ R2 pertence a` reta parametrizada por r se, e
somente se, existir λ0 ∈ R tal que
3− x0
4
= λ0 =
y0 − 4
3
,
isto e´,
y0 =
25− 3x0
4
.
Em particular, supondo que (x0, y0) ∈ C, temos
x20 +
(
25− 3x0
4
)2
= a2,
que equivale a
25x20 − 150x0 + (625− 16a2) = 0.
Da´ı, para que a reta parametrizada por r seja tangente a` C no ponto (x0, y0), e´ necessa´rio e suficiente
que o discriminante da equac¸a˜o de segundo grau acima, dado por
∆ = (−150)2 − 4 · 25(625− 16a2) = −40000 + 1600a2,
seja igual a zero. Como
∆ = 0⇐⇒ a2 = 40000
1600
= 25
e a > 0, resulta que a = 5, ou seja, C e´ o c´ırculo centrado na origem que tem raio igual a 5.
Finalmente,
γ : t ∈ [0, 2pi] 7−→ (5 cos t, 5sen t) ∈ R2
e´ uma parametrizac¸a˜o de C.
Exerc´ıcio 3 Suponha que a func¸a˜o T : R2 −→ R, definida por T (x, y) = 2x + y, represente a
temperatura em cada ponto P = (x, y) do plano xy. Nesse caso, identifique:
(a) (1,0 ponto) as curvas de n´ıvel da func¸a˜o T ;
(b) (1,0 ponto) a temperatura ma´xima atingida em um ponto do disco D = {(x, y) ∈ R2;x2 +
y2 ≤ 1};
(c) (1,0 ponto) o ponto de D no qual tal temperatura ma´xima e´ atingida.
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CA´LCULO III AD1 3
Soluc¸a˜o:
(a) As curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o retas da forma 2x+ y = c, onde c ∈ R.
(b) Nesse caso, encontrar o valor ma´ximo de T em D consiste em verificar a existeˆncia do maior
valor de c0 de modo que
D ∩ {(x, y) ∈ R2; 2x+ y = c0}
seja um conjunto na˜o-vazio. Observando que retas na fam´ılia de curvas de n´ıvel de T sa˜o duas
a duas paralelas, conclu´ımos que a reta
2x+ y = c0
deve ser tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 1, isto e´, o nu´mero real c0 a ser determinado deve
garantir que o sistema {
x2 + y2 = 1,
2x+ y = c0,
possua uma u´nica soluc¸a˜o. Substituindo y = c0 − 2x em x2 + y2 = 1, obtemos
1 = x2 + (c0 − 2x)2 = 5x2 − 4c0x+ c20,
isto e´, 5x2−4c0x+(c20−1) = 0. Para que esta equac¸a˜o do segundo grau possua uma u´nica soluc¸a˜o,
o seu discriminante
∆ = 16c20 − 20(c20 − 1) = 20− 4c20
deve ser nulo. Logo, c0 =
√
5 e´ a ma´xima temperatura detectada em um ponto do disco D.
Para encontrarmos o ponto de D no qual e´ constatada a ma´xima temperatura, basta resolver o
sistema {
x2 + y2 = 1,
2x+ y =
√
5.
Pelos ca´lculos realizados no item anterior, se P = (x, y) e´ uma soluc¸a˜o deste sistema, enta˜o
0 = 5x2 − 4c0x+ (c20 − 1) = 5x2 − 4
√
5x+ 4.
Portanto, x =
2
√
5
5
e
y =
√
5− 2x =
√
5− 4
√
5
5
=
√
5
5
,
sendo P =
(
2
√
5
5
,
√
5
5
)
o ponto desejado.
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