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Fenômenos de Transporte - Lista de exercícios 4 resolvida

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Lista	
  de	
  Exercícios	
  4	
  
(Balanços	
  Diferenciais)	
  
Fenômenos	
  de	
  Transporte	
  4	
  
	
  
1. A	
  distribuição	
  de	
  velocidades,	
  para	
  um	
  escoamento	
  bidimensional	
  
de	
  fluido	
  incompressível,	
  é	
  dada	
  por:	
  
ux	
  =	
  -­‐	
  x/(x2	
  +	
  y2)	
  e	
  uy	
  =	
  -­‐	
  y/(x2	
  +	
  y2).	
  
Demonstre	
  que	
  satisfaz	
  a	
  equação	
  da	
  continuidade.	
  
	
  
2. O	
  campo	
  de	
  velocidades,	
  u	
  =	
  (5x)i	
  +	
  (5y)j	
  +	
  (-­‐10z)k,	
  satisfaz	
  a	
  lei	
  da	
  
conservação	
  da	
  massa	
  para	
  fluido	
  incompressível?	
  
	
  
3. Seja	
   u(x,t),	
   a	
   velocidade	
   unidirecional	
   de	
   um	
   fluido	
   compressível,	
  
cuja	
   a	
   densidade	
   varia	
   da	
   seguinte	
   forma:	
   ρ	
   =	
   ρ0·[2	
   -­‐	
   cos(w·t)].	
  
Obtenha	
  a	
  expressão	
  da	
  variação	
  da	
  velocidade,	
  u,	
  com	
  o	
  tempo,	
  t,	
  
sabendo-­‐se	
  que	
  para	
  x	
  =	
  0	
  e	
  u	
  =	
  u0.	
  
	
  
4. Tem-­‐se	
  três	
  fluidos	
  A,	
  B	
  e	
  C,	
  cujas	
  as	
  velocidades	
  tem	
  as	
  seguintes	
  
componentes,	
  em	
  coordenadas	
  retangulares:	
  
Fluido	
  A:	
  ux	
  =	
  2y	
  +	
  3z;	
  uy	
  =	
  2x	
  –	
  1;	
  uz	
  =	
  x2	
  +4	
  
Fluido	
  B:	
  ux	
  =	
  2	
  cos	
  x	
  –	
  5;	
  uy	
  =	
  y	
  senx	
  –	
  xz;	
  uz	
  =	
  3y3	
  +zsenx	
  
Fluido	
  C:	
  ux	
  =	
  x	
  +	
  y	
  +	
  z;	
  uy	
  =	
  ey;	
  uz	
  =	
  z-­‐ez	
  
Pergunta-­‐se:	
  Quais	
  fluidos	
  são	
  incompressíveis?	
  
	
  
5. Um	
   filme	
   de	
   fluido	
   de	
   espessura	
   H	
   está	
   escoando	
   por	
   um	
   plano	
  
inclinado,	
   conforme	
   mostra	
   a	
   figura	
   que	
   segue.	
   Desenvolver	
   a	
  
expressão	
  do	
  perfil	
  de	
  velocidade,	
  ux	
  =	
  f(y),	
  para	
  o	
  sistema.	
  
	
  
	
  
6. Calcular	
   o	
   perfil	
   de	
   velocidades	
   entre	
   duas	
   placas	
   paralelas	
  
considerando:	
  
a)	
  a	
  parede	
  superior	
  está	
  parada.	
  
b)	
  a	
  parede	
  superior	
  está	
  se	
  movendo	
  com	
  velocidade	
  u	
  no	
  sentido	
  
de	
  x	
  negativo.	
  
	
  
	
  
7. Determinar	
   o	
   perfil	
   de	
   velocidades	
   e	
   de	
   tensão,	
   para	
   o	
   fluido	
  
escoando	
  através	
  de	
  uma	
  fenda.	
  
	
  
	
  
	
  
8. Um	
   fluido	
  Newtoniano	
   e	
   incompressível	
  está	
   escoando	
  na	
   região	
  
anular	
   entre	
   dois	
   tubos	
   concêntricos	
   em	
   regime	
   permanente	
   e	
  
laminar,	
  conforme	
  mostra	
  a	
  figura	
  que	
  segue.	
  A	
  partir	
  da	
  equação	
  
de	
   Navier-­‐Stokes,	
   desenvolver	
   a	
   expressão	
   para	
   o	
   perfil	
   de	
  
velocidades	
  do	
  fluido	
  e	
  de	
  tensão	
  no	
  tubo.	
  
	
  
9. Determinar	
   o	
   perfil	
   de	
   velocidades	
   para	
   o	
   fluxo	
   laminar	
   de	
   um	
  
fluido	
   incompressível	
   de	
   viscosidade	
   μ,	
   contido	
   em	
   um	
  
viscosímetro	
   de	
   Couette-­‐Hatschek.	
   Este	
   equipamento	
   consta	
   de	
  
um	
  cilindro	
  interno	
  parado	
  e	
  um	
  cilindro	
  externo	
  que	
  gira	
  com	
  uma	
  
velocidade	
   angular	
   Ω0.	
   O	
   fluido	
   está	
   situado	
   entre	
   esses	
   dois	
  
cilindros.	
  
	
  
	
  
10. A	
  partir	
  dos	
  resultados	
  do	
  problema	
  9	
  e	
  sabendo-­‐se	
  que	
  a	
  tensão	
  
de	
   cisalhamento	
   é	
   dada	
   por	
   τ = µ r d
dr
uθ
r
!
"
#
$
%
& 	
  e	
   que	
   o	
   torque	
   é	
  
definido	
   pelo	
   produto	
   da	
   força	
   pela	
   distância	
   de	
   aplicação	
   desta	
  
força,	
   deduzir	
   uma	
   expressão	
   para	
   a	
   viscosidade	
   do	
   fluido	
   em	
  
função	
   do	
   torque	
   (T),	
   das	
   dimensões	
   do	
   cilindro	
   e	
   da	
   velocidade	
  
angular	
  (Ω0).	
  
	
  
11. Um	
   viscosímetro	
   de	
   Stormer	
   consta	
   essencialmente	
   de	
   dois	
  
cilindros	
  concêntricos,	
  um	
  interior	
  que	
  gira	
  com	
  velocidade	
  angular	
  
Ω,	
   e	
   um	
   externo	
   que	
   permanece	
   parado.	
   A	
   viscosidade	
   é	
  
determinada	
   medindo-­‐se	
   a	
   velocidade	
   de	
   rotação	
   do	
   cilindro	
  
interno.	
  Deduzir	
  uma	
  expressão	
  para	
  a	
  distribuição	
  de	
  velocidades	
  
para	
  esse	
  tipo	
  de	
  equipamento,	
  para	
  o	
  escoamento	
  laminar	
  de	
  um	
  
fluido	
  Newtoniano	
  e	
   incompressível.	
  Mostre	
  como	
  você̂	
  calcularia	
  
a	
  viscosidade.	
  
	
  
12. Numa	
   indústria	
  açucareira,	
  um	
  dos	
   tanques	
  de	
  melaço	
  de	
   raio	
  R,	
  
transbordou	
  e	
  o	
   fluido	
  começou	
  a	
  escoar	
  pela	
  parede	
  externa	
  do	
  
tanque	
   conforme	
   a	
   figura	
   que	
   segue.	
   Sabendo-­‐se	
   que	
   o	
  
escoamento	
   é	
   laminar	
   e	
   que	
   a	
  distância	
   do	
   centro	
   do	
   tanque	
   ao	
  
fim	
  da	
  película	
  do	
   fluido	
  é	
  KR,	
   calcular	
  o	
  perfil	
  de	
  velocidades	
  do	
  
fluido	
  que	
  escoa,	
  dados	
  ρ	
  e	
  μ.