Mecanica Geral - Momento - Formulação Vetorial

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Mecânica Aplicada – Prof. Lyvio 
edulyvio@gmail.com 
MOMENTO DE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO VETORIAL 
O momento de uma força F em relação a um ponto O, ou mais 
exatamente, em relação ao eixo do momento que passa por O e é 
perpendicular ao plano de O e F (figura 1) pode ser expresso na 
forma de um produto vetorial, ou seja, 
 
OM r F 
(1) 
 
Nesse caso, r representa um vetor posição dirigido de O até algum 
ponto sobre a linha de ação de F. 
Figura 1 
Intensidade: 
A intensidade do produto vetorial é definida por 
sinOM rF  . 
O ângulo  é medido entre as origens de r e F. Para definir 
esse ângulo, r deve ser tratado como um vetor deslizante, de 
modo que  possa ser representado corretamente (figura 2). 
Uma vez que o braço de momento é igual a sind r  , 
então: 
 
sin ( sin )OM rF F r Fd  
 
 
 
Figura 2 
Direção: 
A direção e o sentido de OM na equação 1 são determinados pela regra da mão direita do produto 
vetorial. Assim, deslizando r ao longo da linha tracejada e curvando os dedos da mão direita de r para F, 
o polegar fica direcionado para cima ou perpendicular ao plano que contém r e F, que está na mesma 
direção de OM , o momento da força em relação ao ponto O da figura 2. 
 
Principio da Transmissibilidade 
A operação do produto vetorial é frequentemente usada 
em três dimensões, já que a distância perpendicular ou o 
braço do momento do ponto O à linha de ação da força 
não é necessário. Em outras palavras, podemos usar 
qualquer vetor posição r medido do ponto O a qualquer 
ponto sobre a linha de ação da força F (figura 3). 
Assim, 
1 2 3OM r F r F r F 
 
 
Figura 3 
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Como F pode ser aplicado em qualquer ponto ao longo de sua linha de ação e ainda criar esse mesmo 
momento em relação ao ponto O, então, F pode ser considerado um vetor deslizante. Essa propriedade é 
chamada de principio da transmissibilidade de uma força. 
 
Formulação do vetor cartesiano: 
Se estabelecermos os eixos coordenados x, y e z, então o 
vetor posição r e a força F podem ser expressos como 
vetores cartesianos (Figura 4). Assim, aplicando a definição 
de produto vetorial temos: 
O x y z
x y z
r r r
F F F
i j k
M r F 
onde: 
, e x y zr r r representam as componentes x, y e z do vetor 
posição definido do ponto O até qualquer ponto sobre a 
linha de ação da força. 
, e x y zF F F representam as componentes x, y e z do vetor 
força. 
 
Figura 4 
 
 
Se o determinante for expandido, então teremos: 
 
( ) ( ) ( )O y z z y x z z x x y y xr F r F r F r F r F r FM i j k 
 
Momento de uma resultante de um sistema de forças 
Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças 
(figura 5), o momento resultante das forças em relação ao 
ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do 
momento de cada força. Essa resultante pode ser escrita 
simbolicamente como: 
( )
OR
M r F 
 
 
Figura 5 
 
 
 
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Exercícios: 
1) O poste da figura (a) está sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B. Determine a intensidade 
do momento criado pela força em relação ao suporte A. 
 
 
2) Determine o momento produzido pela força F 
na figura em relação ao ponto O. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
 
 
 
 
3) Três forças agem sobre a barra mostrada na 
figura. Determine o momento resultante que elas 
criam em relação ao flange em O. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
 
 
 
 
 
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Momento de uma força em relação a um eixo especifico. 
Em alguns casos, precisamos determinar o 
momento produzido por uma força em relação a um 
eixo especifico. Por exemplo, suponha que a porca em 
O no pneu do carro da figura ao lado precisa ser solta. 
A força aplicada na chave criará uma tendência para a 
chave e a porca girarem em torno do eixo do momento 
que passa por O; no entanto, a porca só pode girar em 
torno do eixo y. Portanto, para determinar o efeito de 
rotação, apenas a componente y do momento é 
necessária, e o momento total produzido não é 
importante. 
 
Para determinar o momento da força F em 
relação ao eixo y usando uma análise vetorial, 
precisamos primeiro determinar o momento da força 
em relação a qualquer ponto O sobre o eixo y 
aplicando a equação OM r F . A componente yM 
ao longo do eixo y pode ser determinada através da 
expressão .( )y OM j.M j r F 
Generalizando esse método e fazendo au ser o 
vetor unitário que especifica a direção do eixo a ser 
calculado o momento será: 
.( )
x y za a a
a a x y z
x y z
u u u
M r r r
F F F
u r F 
Uma vez que determinamos aM , podemos 
expressar aM como um vetor cartesiano: 
a a aMM u 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Inicialmente determina-se o momento em relação 
ao ponto O a partir de O AM r F : 
(0,3 0,4 ) ( 20 ) ( 8 6 ) .O A N mM r F i j k i j
O componente ou projeção desse momento sobre o 
eixo y é então determinado pelo produto escalar. 
Uma vez que o vetor unitário para esse eixo é 
au j , então . ( 8 6 ). 6 .y O aM N mM u i j j 
Exercícios: 
1) Determine o momento ABM produzido pela 
força F na figura que tende a girar o tubo em 
relação ao eixo AB. 
 
2) Determine a intensidade do momento da força F 
em relação ao segmento AO do encanamento. 
 
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Exercícios: 
1) O encanamento da figura está sujeito à força de 80 N. Determine o momento dessa força a) em relação 
ao ponto A, b) em relação ao ponto B. 
 
 
2) Determine o momento resultante produzido pelas forças FB e FC em relação ao ponto O. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
 
Fonte: Hibbeler – Estática para Engenheiros