Aula9 - Oscilacoes

Prévia do material em texto

Movimento Harmônico Simples (MHS)
x
y
θθθθ
ΑΑΑΑ
ωωωω
+Α+Α+Α+Α−−−−Α Α Α Α 
P
x(t)
θ é o ângulo descrito em função do
tempo t pelo ponto P com uma
velocidade angular constante ω, dado
por:
0)( θωθ += tt
Onde, θ0 é a fase inicial , ou seja o
ângulo no instante t = 0 .
Α é a amplitude do movimento, ou seja,
distancia máxima em relação ao ponto O.
Equações do MHS:
)cos()( 0θω += tAtx
)(sen)( 0θωω +−= tAtv
)cos()( 0
2 θωω +−= tAta
Período: 
ω
π2
=T
π
ω
2
=fFrequência: 
ou 
f
T
1
=
T
f
1
=ou 
Amplitude: 
2
2
2
ω
v
xA +=
01
Gráficos do MHS
02
Exercício 1: MHS (Resolvido em sala)
Um ponto material oscila com MHS de frequência 0,50 Hz e amplitude 0,20 m.
Sabe-se que no instante t = 0 ele passa pela posição x = + 0,20 m. Determine:
(a) a frequência angular e a fase inicial;
(b) a função da posição em relação ao tempo;
(c) a função da velocidade em relação ao tempo;
(d) a função da aceleração em relação ao tempo;
(e) a posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 1,2 s;
(f) as velocidades e aceleração máxima.
fπω 2=Resolução: (a) Frequência angular => 
Fase inicial: Para .
)5,0(2π= ⇒ Hzπω =
Substituindo na equação ω θ
03
Fase inicial: Para t = 0 => x(0) = 0,2 m .
))0(cos(2,02,0 0θπ +=
Substituindo na equação x(t) = Acos(ω t + θ0)
0
⇒ 1)cos( 0 =θ ⇒ )1arccos(0 =θ ⇒ °= 00θ
(b) x(t) = Acos(ω t + θ0) ⇒ )cos()2,0()( tmtx π=
(c) v(t) = – ωAsen(ω t + θ0) ⇒ )()2,0()( tsentv ππ ⋅−= ⇒ )()/2,0()( tsensmtv ππ−=
(d) a(t) = – ω2Acos(ω t + θ0) ⇒ )()2,0()(
2
tsenta ππ ⋅−= ⇒ )cos()/2,0()( 22 tsmta ππ−=
(e) x(1,2) = 0,2.cos(π .1,2) = –0,16 π m. 
v(1,2) = 0,2. π.sen(π .1,2) = –0,39 m/s. 
a(1,2) = 0,2. π2.cos(π .1,2) = –1,60 m/s2. 
Exercício 1: MHS (Resolvido em sala)
Um ponto material oscila com MHS de frequência 0,50 Hz e amplitude 0,20 m.
Sabe-se que no instante t = 0 ele passa pela posição x = + 0,20 m. Determine:
(a) a frequência angular e a fase inicial;
(b) a função da posição em relação ao tempo;
(c) a função da velocidade em relação ao tempo;
(d) a função da aceleração em relação ao tempo;
(e) a posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 1,2 s;
(f) as velocidades e aceleração máxima.
Resolução:
ω π
03
Velocidade máxima: ωA = 0,2π m/s 
Aceleração máxima: ω2A = 0,2π2 m/s2
Exemplos de MHS:
a) O de um corpo suspenso por uma mola.
b) O de um pêndulo oscilando com pequena amplitude.
c) O movimento do balancim de um relógio.
d) As vibrações de cordas e colunas de ar de instrumentos musicais 
(são praticamente harmônicas ou superposição delas).
e) As oscilações das moléculas de um sólido em relação a seus e) As oscilações das moléculas de um sólido em relação a seus 
arranjos simples.
f) As oscilações das partículas do meio elástico que a onda 
mecânica atravessa; no caso das ondas eletromagnéticas, no vácuo, 
as quantidades que oscilam são intensidades elétricas e 
magnéticas, associadas à onda.
g) O comportamento de certos circuitos elétricos onde existe 
corrente alternada.
04
Movimento Harmônico Simples
05
Força Restauradora em um Sistema Massa Mola
Mola na posição 
de equilíbrio
Mola esticada
0=x
0=xF
0>x
0<xF
Mola comprimida
0<x
0>xF
xkFx −=
onde k é a constante elástica da mola dependente de suas características.
- Fx sempre aponta para a posição de equilíbrio.
- Fx e x sempre tem sentidos opostos.
06
Caso ideal: obedece a lei de Hooke (Fx = -kx).
Caso real: Grandes 
amplitudes (Fx não 
linear).
Para pequenos desvios da posição de equilíbrio, a mola ideal obedece a lei de Hooke
(Fx = -kx). Uma oscilação sem atrito produzida por uma força restauradora linear é
chamada de movimento harmônico simples (MHS)
07
Equações do MHS para o Sistema Massa Mola
)cos()( 0θω += tAtx
Posição em função do tempo:
)(sen)( 0θωω +−= tAtv
Velocidade em função do tempo:
)cos()( 0
2 θωω +−= tAta
Aceleração em função do tempo:
0
Frequência angular:
fπω 2=
m
k
=ωou
Frequência :
ω
π2
=f
m
k
π
ω
2
1
=ou
Período:
π
ω
2
=T
k
m
πω 2=ou
ou
T
f
1
=
ou
f
T
1
=
08
t x v a K U
09
Dedução da Equação do MHS
ctekxmvE x =+=
2
2
12
2
1
No caso ideal, despreza-se todos agentes dissipativos, de modo que a energia mecânica
se conserva
Nos pontos de entorno xmax = +A e vx = 0, de modo que
2
2
1 kAE =
(1)
(2)
Substituindo a equação (2) na equação (1):
22 xA
m
k
vx −±=
2
2
12
2
12
2
1 kxmvkA x += (3)
Eliminando vx na equação (3):
(4)
Substituindo na equação (4) , separando as variáveis e integrando:dtdxvx /=
dt
m
k
xA
dx
∫∫ =
− 22
(5)
A equação (5) é uma integral tabelada cujo resultado dá:
Ct
m
k
A
x
+=





senarc ⇒ 







+= Ct
m
k
Atx sen)(
O período é o tempo (T) necessário para completar um ciclo, ou seja, quando
argumento da equação (6) varia de 2π rad . Assim,
π2=T
m
k ⇒
k
m
T π2=
No SI [T] = s. A frequência (f) é quantidade de ciclos por unidade de tempo,
(6)
(7)
m
k
T
f
π2
11
==
No SI [T] = s. A frequência (f) é quantidade de ciclos por unidade de tempo,
No SI [f] = s-1 = Hz.
A frequência angular (ω) é obtida da seguinte forma:
m
k
f == πω 2
No SI [ω] = rad/s
(8)
(9)
( )tAtx ωsen)( =
( )tAtx ωcos)( =
x
t
A equação (6) é solução de uma equação diferencial sendo necessário determinar as
condições iniciais. Visto que as funções seno e cosseno tem o mesmo comportamento,
diferindo apenas por uma fase de π/π/π/π/2222, então qualquer expressão x(t) descrita abaixo
representa um MHS
( )tAtx ωcos)( =
( )φω += tAtx cos)(
As expressões acima diferem apenas pela condição inicial. Daqui, será utilizada como
equação do MHS, na forma mais geral representada por
( ),cos)( φω += tAtx
onde, A é a amplitude e δ é a fase inicial.
(10)
( )φωω +−== tA
dt
dx
tvx sen)(
( )φωω +−== tA
dt
dv
ta sen)( 2
( )φcos)0( Axx == ( )φω senAv −=
(11)
Para encontrar a velocidade vx, deriva a equação (10)
Derivando novamente, obtém-se a aceleração ax,
(12)
Determinando as condições iniciais (t = 0s)
e( )φcos)0(0 Axx == ( )φω sen0 Av −=
( ) ( ) ( )( )φφω 22220
2
0 sencos)/( +=+ Avx
e
2
0
2
0
2 )/( ωvxA += (13)
ω
φ
0
0
tan
x
v
−=
(14)
MHS com diferença de fase φφφφ
Os movimentos tem mesmo período T e mesma amplitude A.
MHS aumentando a massa m
- O período aumenta, pois .
k
m
T π2=
- A amplitude não muda, pois depende somente das condições iniciais.
MHS aumentando a constante elástica k
- A frequência angular aumenta, pois .
m
k
=ω
- A amplitude permanece a mesma, pois A não depende de ω.
Exercício 2: Oscilações Sistema massa-mola (Resolvido em sala)
Um oscilador consiste em um bloco com massa 0,500 kg conectado a
uma mola. Quando posto em oscilação com amplitude de 35,0 cm, o
oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Encontre (a) o
período, (b) a frequência. (c) a frequência angular, (d) a constante
elástica, (e) a velocidade máxima e (f) a intensidade da força máxima
que a mola exerce sobre o bloco. R: (a) 0,500s; (b) 2,00 Hz; (c) 12,6
rad/s; (d) 79,0 N/m; (e) 4,40 m/s; (f) 27,6 N
10
Exercício Resolvido 1: Oscilações Sistema massa-mola
Um corpo de 0,12 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude
8,5 cm e período 0,20 s. (a) Qual é o módulo da força máxima que atua sobre
ele? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante
elástica da mola?R: (a) 10 N(b) 1,2 x 10² N/m
máxmáx maF =
AmFmáx
2ω=
Resolução:
(a)
(b)
m
k
=ω
m
k
=2ω
2ωmk =
A
T
mFmáx
2
2






=
π
085,0
2,0
2
12,0
2






=
π
máxF
2ωmk =
2
2






=
T
mk
π
2
2






=
T
mk
π
=





=
2
2,0
2
12,0
π
k
NFmáx 1,10= mN /118
11
Exercício Resolvido 2: MHS
Um objeto executando movimento harmônico simples leva 0,25 s para
se deslocar de um ponto de velocidade nula para o próximo ponto desse
tipo. A distância entre esses pontos é 36 cm. Calcule (a) o período, (b) a
frequência e (c) a amplitude do movimento. R: (a) 0,50s; (b) 2,0 Hz;(c) 18cm
sT 25,02/ =
sT 5,0=
Resolução:
(a)
–A 0 AsT 5,0=
(b)
cmA 18,0=
cmA 36,02 =
11 )5,0( −− == sTf
Hzf 2=
(c)
–A 0 A
12
Exercício Resolvido 3: MHS
A função x = (6,0 m) cos[(3π rad/s)t+π/3 rad] descreve um movimento
harmônico simples de um corpo. Em t = 2,0s, quais são o (a) deslocamento, (b)
a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Quais são também
(e) a frequência e (f) o período do movimento?
Resolução:
A função geral do MHS é:
Comparando com a função dada 
no problema:
)cos( 0θω += tAx
(b) )(sen 0θωω +−= tAv
]3/)2(3[63)2( πππ +⋅−= senv
smv /973,48)2( −=
(c) )cos(
2 ϕωω +−= tAa
Para t = 2 s
]3/)2(3cos[6)2( ππ +=x
mA 6=
no problema:
srad /3πω =
rad3/0 πθ =
mx 3)2( =
(a)
]3/)2(3cos[6)3()2( 2 πππ +⋅−=a
(d) ϕωθ += tt)(
=+= 3/)2(3)2( ππθ 3/19π
(e)
π
ω
2
=f ==
π
π
2
3
Hz5,1
(f) == −1fT s667,0
13
2/48,266)2( sma −=
Exercício Resolvido 4: Oscilações Sistema massa-mola
Um oscilador consiste em um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em
determinado tempo t, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do
sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100 m, v = -13,6 m e
a = -123 m/s2. Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a
amplitude do movimento. R: (a) 5,58 Hz; (b) 0,325 Kg; (c) 0,400 m
)cos( 0θω += tAx
)(sen 0θωω +−= tAv
)cos(2 θωω +−= tAa
(1)
(2)
(a)
π
ω
2
=f
π2
071,35
=
Hzf 58,5=
)cos( 0
2 θωω +−= tAa (3)
Substituindo a eq. (4) na (3)
)cos( 0θω +
=
t
x
A
xa
2ω−=
Da equação (1):
(4)
)1,0(123 2ω−=−
Hz071,35=ω
Hzf 58,5=
(b)
1230
400
2
==
ω
k
m
m
k
=2ω ⇒
kgm 325,0=
14
UKE +=
2
2
12
2
12
2
1 kxmvkA +=
(c) No oscilador harmônico, a energia mecânica é constante, ou seja,
Para um dado instante t:
kxmv
A
22
2 +=
Continuação do Exercício Resolvido 4: Oscilações Sistema massa-mola
2
2
x
k
vm
A +=
2
2
1,0
400
)6,13(325,0
+
−⋅
=A
kk
A
2 +=
mA 400,0=
15
Pêndulo Simples
- Um pêndulo é um sistema físico que também
realiza MHS.
- O pêndulo simples consiste em m suspensa por um
fio de massa desprezível e comprimento L.
- Quando é tirado da posição de equilíbrio, a força
de tração T no fio e o peso P = mg, produz uma
força de natureza restauradora Ft = – mgsenθ que
produz um MHS quando o sistema é abandonado.
Posição angular em função do tempo
)cos()( 0θωθ +=Θ tt
Equação da posição angular 
para o pêndulo simples
Amplitude (angular)
Frequência angular:
L
g
=ω
Frequência :
L
g
f
π2
1
=
Período :
g
L
T π2=
16
Exercício 3: (Resolvido em sala)
(a) Um homem entre em uma torre alta e precisa saber a sua altura. Ele observa que um 
pêndulo longo se estende do teto ate quase o chão, tendo um período de 12,0 s. Qual é a 
altura da torre? (b) Se o pêndulo descrito no exemplo anterior fosse levado à Lua, onde 
a sua aceleração da gravidade é de 1,63 m/s2, qual será o período lá?
g
L
T π2=
Resolução: O período medido na Terra para este pendulo é T = 12,0 s, onde g = 9,8 m/s2.
(a) Já que o pêndulo tem o comprimento da torre, a partir da expressão do pêndulo simples, 
vamos obter o comprimento deste pêndulo. 
⇒
g
LT
=
π2
⇒
g
LT
=
2
2
4π
⇒
2
2
4π
gT
L =
2
22
4
)/8,9()12(
π
sms ⋅
=
g gπ2 g4π 4π 4π
⇒ mL 7,35=
(b) Para pequenas amplitudes de oscilações, o período do pêndulo simples depende apenas do 
comprimento L e da aceleração da gravidade g local. Como a aceleração da gravidade na Lua 
é gL =1,63 m/s
2, então o seu período lá será: 
Lg
L
T π2=
2/63,1
7,35
2
sm
m
π= s4,29=
17
• http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.ph
p?midia=tex&cod=_movimentoharmonicosim
ples
18
Energia no Movimento Harmônico Simples
19
2
2
12
2
1 kxmvE x +=
2
2
12
2
1 )](cos[)](sen[ φωφωω +++−= tAktAmE
)(cos)(sen 22
2
1222
2
1 φωφωω +++= tkAtAm
Dado que a energia mecânica E é a constante do movimento 
Substituindo as equações (10) e (11) na equação (1) 
(1)
Da equação (9) é fácil ver que . Substituindo na equação (15)mk /2 =ω
(15)
])(cos)(sen[
1
222
2
1
44444 344444 21
=
+++= φωφω ttkAE
2
2
1 kAE =
Da equação (9) é fácil ver que . Substituindo na equação (15)mk /=ω
20
Exercício: Energia no MHS
A figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples de massa igual
a 2,75 kg em função da posição x. A escala vertical é definida por Ks = 4 J. Encontre a
(a) frequência de oscilações e a (b) aceleração máxima da partícula.
21
Oscilações amortecidas
Um bom exemplo de um oscilador amortecido é um bloco ligado a uma 
mola e posto a oscilar submerso em um líquido.
22
Equacionando
A força resistiva é proporcional
a velocidade.
O b é chamado de coeficiente de amortecimento.O b é chamado de coeficiente de amortecimento.
Reescrevendo temos uma equação diferencial de 2ª ordem.
De solução:
23
Graficamente temos:
Decaimento exponencial 
(assíntota do gráfico)
Função do gráfico
24
Analisando a freqüência de oscilação
Frequência natural do sistema
< Submortecimento
Amortecimento crítico
Superamortemento
25
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Submortecimento
Hz
Hz
kgm
mNk
skgb
953,42
977,43
6,10
/1005,2
/25
0
4
=
=
=
×=
=
ω
ω
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Submortecimento 
Hz
Hz
kgm
mNk
skgb
723,43
977,43
6,10
/1005,2
/100
0
4
=
=
=
×=
=
ω
ω
26
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Submortecimento
Hz
Hz
kgm
mNk
skgb
638,41
977,43
6,10
/1005,2
/300
0
4
=
=
=
×=
=
ω
ω
-1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
977,43
6,10
/1005,2
/932
0
4
=
=
=
×=
=
ω
ω Hz
kgm
mNk
skgb
Amortecimento crítico 
27
Oscilações Forçadas
Uma força é aplicada a um oscilador amortecido do tipo
Desta forma teremos:
Solução do tipo:
Onde:
28
Ressonância
Ocorre quando a frequência natural (ω0) do oscilador coincide com a frequência da
força externa (ω) .
Graficamente temos:
Neste caso, a amplitude A(ω) depende da frequência da força externa.
29
Feira de Ciências - Ressonância
30
Exemplo
(a) Em 1940, ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma
Narrows, desencadeando em uma frequência próxima de uma das frequências
naturais da estrutura da ponte. (b) Uma vez estabelecida esta condição de
ressonância levou a queda da ponte. (Special Collection Division, University os
Washington Libraries, foto por Farquharson)
31
Efeitos da Ressonância 
32
• http://www.youtube.com/watch?v=Ec2kJkQB
84s (Oscilador harmônico amortecido e 
forçado)
Vídeo
33
1-1. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e para trás ao longo de uma distância de 2,0 mm em
movimento harmônico simples, com frequência de 120 Hz. Encontre (a) amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c)
o módulo de aceleração máxima da lâmina.
R: (a) 1,0 mm(b) 0,75 m/s (c) 5,7 x 10² m/s²
1-2. Um corpo de 0,12 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude 8,5 cm e período 0,20 s. (a) Qual é o
módulo da força máxima que atua sobre ele? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica
da mola?R: (a) 10 N(b) 1,2 x 10² N/m
1-3. Uma partícula com massa de 1,00 x 10-20 kg oscila com movimento harmônico simples com período de 1,00 x 10-5 s e
uma velocidade máxima de 1,00 x 103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula.R: (a)
6,28 x 10^5rad/s; (b) 1,59 mm
1-4. Um oscilador consiste em um bloco com massa 0,500 kg conectado a uma mola. Quando posto em oscilação com
amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Encontre (a) o período, (b) a frequência. (c) aamplitude de 35,0 cm, o oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Encontre (a) o período, (b) a frequência. (c) a
frequência angular, (d) a constante elástica, (e) avelocidade máxima e (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce
sobre o bloco.
R: (a) 0,500s; (b) 2,00 Hz; (c) 12,6 rad/s; (d) 79,0 N/m; (e) 4,40 m/s; (f) 27,6 N
1-5. Um objeto executando movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula
para o próximo ponto desse tipo. A distância entre esses pontos é 36 cm. Calcule (a) o período, (b) a frequência e (c) a
amplitude do movimento.
R: (a) 0,50s; (b) 2,0 Hz; (c) 18cm
1-6. Com relação às oscilações verticais, um automóvel pode ser considerando como estando montado sobre quatro molas
idênticas. As molas de um certo carro são ajustadas de modo que as oscilações têm uma frequência de 3,0 Hz. (a) Qual é a
constante elástica de cada mola se a massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída sobre as molas? (b) Qual seria a
frequência de oscilação se cinco passageiros, com massa média de 73,0 kg cada, viajassem no carro mantendo a distribuição
de massa uniforme?R: (a) 1,29 x 10^5 N/m (b) 2,68 Hz
34
1-7. A função x = (6,0 m)cos[(3rad/s)t+/3 rad] descreve um movimento harmônico simples de um corpo. Em t = 2,0s, quais
são o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Quais são também (e) a frequência e (f) o
período do movimento?
R: (a) 3,0 m; (b) -49 m/s; (c) -2,7 x 10² m/s²; (d) 20 rad; (e) 1,5 Hz; (f) 0,67s
1-8. Um bloco encontra-se sobre uma superfície horizontal (uma mesa oscilante) que está se movendo horizontalmente
para frente e para a trás em movimento harmônico simples com frequência de 2,0 Hz. O coeficiente de atrito estático entre
o bloco e a superfície é 0,50. Qual o maior valor possível da amplitude do MHS para que o bloco não deslize ao longo da
superfície?
R: 3,1 cm
1-9. A Figura mostra o bloco 1 de massa 0,200kg deslizando para a direita sobre uma superfície elevada, com uma
velocidade de 8,00 m/s. O bloco efetua uma colisão elástica com o bloco 2, estacionário, que se encontra preso uma mola
de constante elástica 1208,5 N/m. (Suponha que a mola não afeta a colisão) . Após a colisão, o bloco 2 oscila em MHS com
período de 0,140 s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, aterrissando a uma distância d
da base dessa superfície, após cair de uma altura h = 4,90 m. Qual é o valor de d?
período de 0,140 s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, aterrissando a uma distância d
da base dessa superfície, após cair de uma altura h = 4,90 m. Qual é o valor de d?
R: 4,00 m
35
1-10. Um oscilador consiste em um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em determinado tempo t, a posição (medida a
partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco sãox = 0,100 m, v = -13,6 m e a = -123
m/s2. Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento. R: (a) 5,58 Hz; (b)
0,325 Kg; (c) 0,400 m
1-11. Duas partículas oscilam em movimento harmônico ao longo de um segmento retilíneo comum de comprimento A.
Cada partícula possui um período de 1,5 s, mas seus movimentos diferem em fase por /6 rad. (a) Qual a separação entre
elas (em termos de A) 0,50 s após a partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória? (b) Neste
instante, elas estão se movendo no mesmo sentido, em sentidos opostos se aproximando uma da outra ou em sentidos
opostos se afastando uma da outra?
R: (a) 0,18 A; (b) mesmo sentido
1-12. Uma mola de massa desprezível está pendurada em um teto com um pequeno objeto preso à sua extremidade
inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y, de modo que a mola se encontra na sua posição de
repouso. O objeto é então solto a partir de y,e oscila para baixo e para cima, com sua posição mais baixa estando 10 cm
abaixo de y. (a) Qual é a frequência das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto quando ele estiver 8,0 cm abaixo da
repouso. O objeto é então solto a partir de y,e oscila para baixo e para cima, com sua posição mais baixa estando 10 cm
abaixo de y. (a) Qual é a frequência das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto quando ele estiver 8,0 cm abaixo da
posição inicial? (c) Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade
da frequência original. Qual é a massa do primeiro objeto? (d) A que distância abaixo de y, está a nova posição de equilíbrio
(repouso) com os dois objetos presos à mola?R: (a) 2,2 Hz; (b) 56 cm/s; (c) 0,10 kg; (d) 20,0 cm
1-13. Na figura, duas molas são presas a um bloco que pode oscilar sobre um piso sem atrito. Se a mola da esquerda for
removida, o bloco oscilará com uma frequência de 30 Hz. Se, em vez disso, a mola da direita for removida, o bloco oscilará
com uma frequência de 45 Hz. Com uma frequência o bloco oscilará quando preso às duas molas? R: 54 Hz
1-14. Um sistema bloco-mola oscilante possui uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de 10,0 cm e uma
velocidade máxima de 1,20 m/s. encontre (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco e (c) a frequência de oscilação.
R: (a) 200 N/m; (b) 1,39 kg; (c) 1,91 Hz
36
1-15. Suponha que um pêndulo simples consiste em um pequeno peso de 60,0 g na extremidade de uma corda de massa
desprezível. Se o ângulo Θ entre a corda e a vertical é dado por Θ = (0,0800 rad) cos [(4,43 rad/s) t + Ø], quais são (a) o
comprimento do pêndulo e (b) sua energia cinética máxima?R: (a) 0,499 m; (b) 9,40 x 10^-4 J
37