6-Probabilidade

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Prof. Dra. Rafaela Nicolau – Probabilidade e Estatística 
Engenharias Civil e Elétrica - UNAMA 
 
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6. TEORIA DA PROBABILIDADE 
6.1 Introdução 
Situações como: 
✓ Probabilidade de ser sorteado; 
✓ Acertar em uma aposta; 
✓ Candidato a vencer uma eleição; 
✓ Acertar o resultado de um jogo, etc. 
Usamos a probabilidade em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível saber, 
prever, qual deles realmente vai ocorrer aquela situação. 
A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigência 
(E), é representado por p (E) e calculado por: 
 
 
Condição: 
✓ RE será escolhido dentre os RP, por isso RE deverá ser menor ou igual a RP; 
✓ As probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ p ≤ 1. 
 
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser um número par? 
 
 
 
As chances de dar um resultado par são 3 em um total de 6. Então, a probabilidade de isso acontecer é 3/6 ou 1/2. 
P (par) =
n° de resultados favoráveis a E
n° total de resultados possíveis
=
3
6
=
1
2
= 50% 
Onde P (par) significa probabilidade do resultado ser par. 
Ex1) Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moeda? 
Como são duas possibilidades (cara ou coroa) podemos dizer que as chances de dar cara é de 1 para 2, ou seja, a 
probabilidade de o resultado ser cara é de ½ ou 0,5 ou 50%. 
Obs: Isso não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser cara e o outro coroa, mas que as chances são iguais. 
Ex2) O chefe de uma seção com 5 funcionários deu a eles 1 ingresso da final de um campeonato para que fosse sorteado. 
Após escreverem seus nomes em papéis idênticos, colocaram tudo num saco para fazer o sorteio. Qual a chance que cada 
um tem de ser sorteado? 
Temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 
6) em um total de 6 resultados possíveis 
(1, 2, 3, 4, 5, 6). 
 
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Funcionário 1: chance de ser sorteado 1 para 5 ou 1/5. A probabilidade de cada um deles ser sorteado é de 1/5, ou 0,2 ou 
ainda 20%. 
Distribuição de frequências 
Visa explicar a distribuição de frequência em populações infinitas, utilizando amostras; 
✓ a descrição de populações infinitamente grandes, por meio de distribuições de frequência e de medidas de 
posição e variabilidades, faz-nos entrar no domínio daquilo que a Estatística denomina de Cálculo de 
Probabilidades. 
As probabilidades são estimadas por frequências relativas. A frequência relativa de um evento, obtida de uma série de 
dados coletados nas mesmas condições, estima a probabilidade de esse evento ocorrer. 
✓ As frequências relativas são empíricas (teóricas), pois baseiam-se nos dados de uma amostra; 
✓ Fornecem estimativas variáveis, mesmo que tais amostras tenham sido tomadas no mesmo local e na mesma 
época. 
Considera-se o conceito de frequência relativa (fr) de ocorrência de um evento: 
 
 
Considerando o evento simbolizado por A, acarretando então a notação 
 
 
Ex4) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes de trabalho, com seus empregados e realizou um 
levantamento por um período de 3 meses. Qual a probabilidade, dessa empresa, ter até 5 empregados acidentados? 
 
 
 
 
Com base na amostra, estima-se que a probabilidade de uma empresa ter até 5 empregados acidentados é de 0,33 ou 
33%. 
 
 
 
 
 
Quando tais variáveis operam descrevendo populações finitas, são chamadas de variáveis. Quando são associados 
valores de probabilidade às variáveis descritoras, como é o caso em populações infinitas, elas são chamadas de variáveis 
aleatórias. 
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6.2 Propriedades das Probabilidades 
1. A soma das probabilidades de todos os eventos possíveis (dados no espaço amostral) é obrigatoriamente 1 (ou 
100%); 
2. A probabilidade varia entre zero e 1 (ou entre 0% e 100%), inclusive. 
 
 
 
 
 
6.3 Eventos mutuamente exclusivos 
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer ao mesmo tempo. 
Por exemplo: 
▪ Quando se joga uma moeda, ou sai cara ou sai coroa. Os dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo; a 
saída de cara exclui a possibilidade de ter saído coroa; 
▪ Se a cirurgia foi um sucesso, fica excluída a possibilidade de ter sido um fracasso. 
 
6.4 Eventos independentes 
Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou 
não terem ocorrido. 
A probabilidade de que ocorram juntos é igual ao produto das probabilidades de que ocorram em separado. 
 
 
Ocorre a intuição do resultado, mesmo sem ver os cálculos. 
Ex1) Um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda e face 6 no 
dado? 
 
 
 
 
 
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- Seis dos 12 eventos do espaço amostral correspondem à saída de cara na moeda. Então a probabilidade desse 
evento é: P (cara) = 6/12=1/2 
- Também mostra que dois dos 12 eventos correspondem á saída de 6 no dado. A probabilidade é: P(6)=2/12=1/6; 
- Verifica-se que apenas 1 dos 12 eventos corresponde ao que foi pedido: cara na moeda e 6 no dado – conjunto 
interseção. A probabilidade é: P(cara ∩ 6)=1/12, ou seja, P(cara ∩ 6)=1/2 x 1/6 = 1/12 
 
Ex2) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada 
na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 
Resolução: 
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é 
igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja: 
P(A e B) = P(A) x P(B) 
1ª retirada: Probabilidade de sair vermelha = 
10
30
 
2ª retirada: Probabilidade de sair azul = 
20
30
 
𝑃(𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃 (𝐵) 
𝑃(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑒 𝑎𝑧𝑢𝑙) = 𝑃(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎) × 𝑃 (𝑎𝑧𝑢𝑙) 
𝑃(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑒 𝑎𝑧𝑢𝑙) = 
10
30
×
20
30
=
200
900
= 
2
9
 = 0,222 ou 22,2% 
6.5 Probabilidade Condicional 
Envolve dois eventos de forma que estuda a probabilidade de o evento A ocorrer, sabendo que o evento B já ocorreu. 
A probabilidade de A condicionada a B, ou seja, a probabilidade de A ocorrer sabendo que B já ocorreu, é denotada por: P 
(B|A) 
Significa probabilidade de B, dado A 
 
ou 
 
 
 
Ex1) Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade 
de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso? 
Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituoso entre 11. 
P(B|A) = 
4
11
 = 0,364 = 36,4% 
 
𝑷(𝑩|𝑨) =
𝑷(𝑩)
𝑷(𝑨)
 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
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Ex2) Numa dada cidade, tem-se a seguinte situação: 
 
 
 
 
Qual a probabilidade de um homem ser escolhido, dado que está empregado? 
 
 
 
 
 
6.6 Eventos dependentes 
Muitas vezes queremos saber a probabilidade de dois eventos ocorrerem juntos, ou um em seguida do outro. Para resolver 
esse tipo de problema, existe a regra do e ou teorema do produto. 
É a probabilidade de ocorrer determinado evento sob uma dada condição. Indica-se probabilidade condicional de ocorrer o 
evento A sob a condição de B ter ocorrido por P(A|B), que se lê: “probabilidade de A dado B”. 
 
 
Ex1) Um dado foi lançado. Qual é a probabilidade de: 
 a) ter ocorrido face 5? 
 b) ter ocorrido face 5, sabendo que ocorreu face com número ímpar? 
a) Quando se joga um dado, pode ter 6 opções (6 faces – 1, 2, 3, 4, 5, 6) P(A) = 
1
6
 
b) Dada a condição de que ocorreu número ímpar, só pode terocorrido 1, 3 ou 5. P(A) = 
1
3
 
P(A e B)=P(A)×P (
B
A
) 
P(A e B)= 
1
6
×
1
3
=
1
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Ex2) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem 
reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 
1ª retirada: Probabilidade de sair vermelha = 
10
30
 
2ª retirada: Probabilidade de sair azul = 
20
29
 
P(H|E)=
P(H∩E)
P(E)
=
460
900
600
900
=
23
45
×
3
2
=
69
90
 
P(H|E) = 0,76667 
P(H|E)=
460
600
= 0,76667 
Sejam os eventos: 
H = um homem é escolhido 
E = o escolhido está empregado 
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P(A e B)=P(A)×P (
B
A
) P(vermelha e azul)=P(vermelha)×P (azul) 
P(vermelha e azul)= 
10
30
×
20
29
=
200
870
= 
20
87
 = 0,23 ou 23% 
6.7 Teorema da soma ou a Regra do “OU” 
A probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de ocorrer A, mais a probabilidade de ocorrer B, menos a 
probabilidade de ocorrer A e B (porque a probabilidade de ocorrer A e B é contada duas vezes). 
No entanto, se A e B são mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, 
mais a probabilidade de ocorrer B. Escreve-se: 
 
 
Ex1) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espada ou um ás? 
P(E) = 
13
52
 
P(A) = 
4
52
 
P(E∩A) = 
1
52
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 P(EUA) = 
13
52
 + 
4
52
 - 
1
52
 
 P(EUA) = 
16
52
 = 
4
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