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Balanço de Massa e Energia

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BALANÇOS DE MASSA
E DE ENERGIA
Fred & Lúcio 1
O CONCEITO DE BALANÇO
O conceito geral de balanço representa um procedimento de análise de um sistema,
físico ou não, em termos de uma propriedade, qq, convenientemente selecionada. O proce-
dimento consiste basicamente em:
i) Observar o sistema entre um instante inicial, t, e um instante final, t+Dt.
ii) Analisar a variação da propriedade selecionada através da relação entre o
acúmulo de qq, definido por DDqq = qq(t+DDt) - qq(t) , e os mecanismos respon-
sáveis por essa variação que podem ser classificados genericamente em dois
tipos:
mecanismos de troca ou fluxo: são processos que promovem varia-
ções em q pela interação entre sistema e vizinhanças através da fron-
teira; sistemas que estão impedidos de sofrer esse tipo de processos
são denominados sistemas isolados;
mecanismos de geração: são aqueles que promovem variações em q
através de processos internos ao sistema; ao contrário do caso anteri-
or, processos desse tipo podem ocorrer em qualquer sistema;
As variações em q provocadas pelos mecanismos acima dão origem, respectiva-
mente, a:
termos de troca ou fluxo: representam as quantidades de q que são
trocadas entre sistema e vizinhanças; no que segue, quantidades rece-
bidas pelo sistema devem ser representadas por números positivos e
quantidades cedidas pelo sistema devem ser representadas por núme-
ros negativos;
termos de geração: quantidades de q que são criadas e/ou destruídas
no interior do sistema; similarmente ao caso anterior, quantidades
criadas e destruídas devem ser representadas, respectivamente, por
números positivos e negativos;
Além disso, os termos de fluxo são classificados em termos de fluxo convectivo e
termos de fluxo não-convectivo. Os primeiros ocorrem apenas em sistemas abertos e re-
presentam as quantidades de q pertencentes aos materiais que entram ou saem do sistema.
Após a troca, essas quantidades se tornam parte da propriedade q do sistema (se o material
entrou) ou das vizinhanças (se o material saiu). Os termos de fluxo que não pertencem ao
primeiro grupo, serão considerados, por exclusão, termos de fluxo não-convectivo.
É importante ressaltar que os termos de fluxo e de geração não são propriedades
do sistema, as quais dependem apenas do estado do sistema. Portanto, não podem, em ge-
ral, ser caracterizados por funções de outras propriedades do sistema, como afirma o teore-
ma de Duhem. Por exemplo, o volume de uma substância pura gasosa costuma ser repre-
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sentado funcionalmente por V=V(T,P,n) onde, T=temperatura, P=pressão e n=no de mo-
les. No entanto, não existem formas similares de representação para os termos de fluxo e de
geração.
O instrumento básico do procedimento de análise em questão é a equação de ba-
lanço, a qual expressa formalmente a relação entre as quantidades acima definidas e pode
ser representada pela seguinte forma integral:
)1(geraçãofluxo åå q+q=qD
Esta equação representa o fato de que, durante um processo, o acúmulo de uma pro-
priedade qq do sistema sob análise é igual à soma algébrica das trocas de qq entre sistema e
vizinhanças e das gerações/destruições de qq no interior do sistema.
A equação (1) pode ser transformada através das seguintes definições:
taxa de acúmulo:
t
lim
dt
d
0t D
qD
=
q
®D
taxa de fluxo:
t
lim fluxo
0tfluxo D
q
=q
®D
&
taxa de geração:
t
lim geração
0t
geração D
q
=q
®D
&
Com essas relações obtém-se, a partir de (1) , a equação de balanço na forma de ta-
xas:
)2(
dt
d
geraçãofluxo åå q+q=q &&
Diferenciais de q, qfluxo e qgeração serão representados por:
dt
dt
d
d ÷
ø
ö
ç
è
æ q=q
dtfluxofluxo q=dq &
dtgeraçãogeração q=dq &
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Aplicando essas relações à equação (2) obtém-se a equação de balanço na forma di-
ferencial:
)3(d geraçãofluxo åå dq+dq=q
Os símbolos d e dd foram usados para distinguir a diferencial de q das diferenciais
de qfluxo e qgeração , tendo em vista que todas essas quantidades podem ser representadas por
funções do tempo (t), mas apenas q pode ser, em geral, representada por funções de outras
propriedades do sistema. Tendo em vista essa forma de descrição, a integração das quanti-
dades diferenciais acima entre dois estados do sistema resulta em:
)(d 12
2estado
1estado
q-q=qD=qò
fluxo
2estado
1estado fluxo
q=dqò
geração
2estado
1estado geração
q=dqò
Observar que, diferentemente do que acontece com dq, as integrações de dqfluxo e
dqgeração não resultam em variações Dqfluxo e Dqgeração uma vez que qfluxo e qgeração não são
propriedades do sistema. O resultado das duas últimas integrações acima deve ser interpre-
tado, respectivamente e conforme definições anteriores, como quantidades trocadas e gera-
das durante o processo que produz a variação de estado em questão.
O nível de detalhamento das equações (1), (2) e (3) pode ser aumentado, subdivi-
dindo os termos de fluxo em convectivos e não-convectivos e estes por sua vez em termos
de entrada e saída. Os termos de geração podem, da mesma forma, ser divididos em termos
de criação e termos de destruição. Detalhamento adicional pode ser obtido, caso novas dis-
tinções entre mecanismos de fluxo e de geração sejam reconhecidas. Assim, uma forma
opcional da equação geral de balanço na forma diferencial pode ser:
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( )
( )
geraçãodetermos
fluxodetermos
d
destrcriação
conv.n
sai
conv.n
en
conv
sai
conv
en
c
c
åå
åååå
dq+dq+
+dq+dq+dq+dq=q
A utilidade do conceito de balanço permeia as áreas do conhecimento humano, sen-
do inúmeros os exemplos de propriedades que costumam ser submetidas à análise de balan-
ço: massa, energia, entropia e quantidade de movimento em sistemas físicos genéricos;
crédito em contas bancárias; pessoas em cidades; peixes em rios, automóveis em estradas,
bactérias em colônias, livros em bibliotecas, etc.. Particularmente na Engenharia, a equa-
ção de balanço representa uma das ferramentas mais importantes na análise de problemas.
 Casos particulares importantes da aplicação da equação de balanço a sistemas físi-
cos ocorrem quando o sistema analisado apresenta restrições do tipo: (i) sistema fechado:
não há trocas de material com as vizinhanças (no caso em que essa restrição não existe usa-
se a denominação sistema aberto); (ii) sistema isolado: não há trocas de espécie alguma
entre sistema e vizinhanças; (iii) sistema adiabático: não ocorrem trocas de calor (a apre-
sentação mais formal será dada na discussão do balanço de energia); (iv) sistema em regi-
me permanente: o sistema sofre um processo no qual nenhuma de suas propriedades varia
com o tempo. Quando essas restrições ocorrem para um sistema em particular, a equação de
balanço assume uma forma simplificada.
 No entanto, é muito importante para quem está iniciando o treinamento na técnica
de balanço manter sempre em mente a forma geral da equação de balanço de modo a per-
ceber todas as possíveis contribuições e não correr o risco de aplicar formas simplificadas a
situações mais gerais.
Exemplo: Balanço da quantidade de peixes num rio.
Definindo p = quantidade de peixes no rio, tem-se que a variação de p é provocada
por:
Termos de fluxo (pen/sai ) : peixes que entram e/ou saem do rio: afluentes,
pesca, etc..
Termos de geração (pgeração) : peixes que nascem e morrem dentro do rio.
Assim, a equação de balanço pode ser escrita na seguinte forma:
åå +=D geraçãosai/en ppp
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O detalhamento dos termos de fluxo e de geração na equação acima não será desen-
volvido mas, os mecanismos de troca e de geração aqui apresentados são uma indi-
cação de como isso deve ser feito.
É necessário observar que não é possível aplicar a análise de balanço a qualquer
propriedade do sistema. Apenas as propriedades de caráter