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Balanço de Massa e Energia

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BALANÇOS DE MASSA
E DE ENERGIA
Fred & Lúcio 1
O CONCEITO DE BALANÇO
O conceito geral de balanço representa um procedimento de análise de um sistema,
físico ou não, em termos de uma propriedade, qq, convenientemente selecionada. O proce-
dimento consiste basicamente em:
i) Observar o sistema entre um instante inicial, t, e um instante final, t+Dt.
ii) Analisar a variação da propriedade selecionada através da relação entre o
acúmulo de qq, definido por DDqq = qq(t+DDt) - qq(t) , e os mecanismos respon-
sáveis por essa variação que podem ser classificados genericamente em dois
tipos:
mecanismos de troca ou fluxo: são processos que promovem varia-
ções em q pela interação entre sistema e vizinhanças através da fron-
teira; sistemas que estão impedidos de sofrer esse tipo de processos
são denominados sistemas isolados;
mecanismos de geração: são aqueles que promovem variações em q
através de processos internos ao sistema; ao contrário do caso anteri-
or, processos desse tipo podem ocorrer em qualquer sistema;
As variações em q provocadas pelos mecanismos acima dão origem, respectiva-
mente, a:
termos de troca ou fluxo: representam as quantidades de q que são
trocadas entre sistema e vizinhanças; no que segue, quantidades rece-
bidas pelo sistema devem ser representadas por números positivos e
quantidades cedidas pelo sistema devem ser representadas por núme-
ros negativos;
termos de geração: quantidades de q que são criadas e/ou destruídas
no interior do sistema; similarmente ao caso anterior, quantidades
criadas e destruídas devem ser representadas, respectivamente, por
números positivos e negativos;
Além disso, os termos de fluxo são classificados em termos de fluxo convectivo e
termos de fluxo não-convectivo. Os primeiros ocorrem apenas em sistemas abertos e re-
presentam as quantidades de q pertencentes aos materiais que entram ou saem do sistema.
Após a troca, essas quantidades se tornam parte da propriedade q do sistema (se o material
entrou) ou das vizinhanças (se o material saiu). Os termos de fluxo que não pertencem ao
primeiro grupo, serão considerados, por exclusão, termos de fluxo não-convectivo.
É importante ressaltar que os termos de fluxo e de geração não são propriedades
do sistema, as quais dependem apenas do estado do sistema. Portanto, não podem, em ge-
ral, ser caracterizados por funções de outras propriedades do sistema, como afirma o teore-
ma de Duhem. Por exemplo, o volume de uma substância pura gasosa costuma ser repre-
Fred & Lúcio 2
sentado funcionalmente por V=V(T,P,n) onde, T=temperatura, P=pressão e n=no de mo-
les. No entanto, não existem formas similares de representação para os termos de fluxo e de
geração.
O instrumento básico do procedimento de análise em questão é a equação de ba-
lanço, a qual expressa formalmente a relação entre as quantidades acima definidas e pode
ser representada pela seguinte forma integral:
)1(geraçãofluxo åå q+q=qD
Esta equação representa o fato de que, durante um processo, o acúmulo de uma pro-
priedade qq do sistema sob análise é igual à soma algébrica das trocas de qq entre sistema e
vizinhanças e das gerações/destruições de qq no interior do sistema.
A equação (1) pode ser transformada através das seguintes definições:
taxa de acúmulo:
t
lim
dt
d
0t D
qD
=
q
®D
taxa de fluxo:
t
lim fluxo
0tfluxo D
q
=q
®D
&
taxa de geração:
t
lim geração
0t
geração D
q
=q
®D
&
Com essas relações obtém-se, a partir de (1) , a equação de balanço na forma de ta-
xas:
)2(
dt
d
geraçãofluxo åå q+q=q &&
Diferenciais de q, qfluxo e qgeração serão representados por:
dt
dt
d
d ÷
ø
ö
ç
è
æ q=q
dtfluxofluxo q=dq &
dtgeraçãogeração q=dq &
Fred & Lúcio 3
Aplicando essas relações à equação (2) obtém-se a equação de balanço na forma di-
ferencial:
)3(d geraçãofluxo åå dq+dq=q
Os símbolos d e dd foram usados para distinguir a diferencial de q das diferenciais
de qfluxo e qgeração , tendo em vista que todas essas quantidades podem ser representadas por
funções do tempo (t), mas apenas q pode ser, em geral, representada por funções de outras
propriedades do sistema. Tendo em vista essa forma de descrição, a integração das quanti-
dades diferenciais acima entre dois estados do sistema resulta em:
)(d 12
2estado
1estado
q-q=qD=qò
fluxo
2estado
1estado fluxo
q=dqò
geração
2estado
1estado geração
q=dqò
Observar que, diferentemente do que acontece com dq, as integrações de dqfluxo e
dqgeração não resultam em variações Dqfluxo e Dqgeração uma vez que qfluxo e qgeração não são
propriedades do sistema. O resultado das duas últimas integrações acima deve ser interpre-
tado, respectivamente e conforme definições anteriores, como quantidades trocadas e gera-
das durante o processo que produz a variação de estado em questão.
O nível de detalhamento das equações (1), (2) e (3) pode ser aumentado, subdivi-
dindo os termos de fluxo em convectivos e não-convectivos e estes por sua vez em termos
de entrada e saída. Os termos de geração podem, da mesma forma, ser divididos em termos
de criação e termos de destruição. Detalhamento adicional pode ser obtido, caso novas dis-
tinções entre mecanismos de fluxo e de geração sejam reconhecidas. Assim, uma forma
opcional da equação geral de balanço na forma diferencial pode ser:
Fred & Lúcio 4
( )
( )
geraçãodetermos
fluxodetermos
d
destrcriação
conv.n
sai
conv.n
en
conv
sai
conv
en
c
c
åå
åååå
dq+dq+
+dq+dq+dq+dq=q
A utilidade do conceito de balanço permeia as áreas do conhecimento humano, sen-
do inúmeros os exemplos de propriedades que costumam ser submetidas à análise de balan-
ço: massa, energia, entropia e quantidade de movimento em sistemas físicos genéricos;
crédito em contas bancárias; pessoas em cidades; peixes em rios, automóveis em estradas,
bactérias em colônias, livros em bibliotecas, etc.. Particularmente na Engenharia, a equa-
ção de balanço representa uma das ferramentas mais importantes na análise de problemas.
 Casos particulares importantes da aplicação da equação de balanço a sistemas físi-
cos ocorrem quando o sistema analisado apresenta restrições do tipo: (i) sistema fechado:
não há trocas de material com as vizinhanças (no caso em que essa restrição não existe usa-
se a denominação sistema aberto); (ii) sistema isolado: não há trocas de espécie alguma
entre sistema e vizinhanças; (iii) sistema adiabático: não ocorrem trocas de calor (a apre-
sentação mais formal será dada na discussão do balanço de energia); (iv) sistema em regi-
me permanente: o sistema sofre um processo no qual nenhuma de suas propriedades varia
com o tempo. Quando essas restrições ocorrem para um sistema em particular, a equação de
balanço assume uma forma simplificada.
 No entanto, é muito importante para quem está iniciando o treinamento na técnica
de balanço manter sempre em mente a forma geral da equação de balanço de modo a per-
ceber todas as possíveis contribuições e não correr o risco de aplicar formas simplificadas a
situações mais gerais.
Exemplo: Balanço da quantidade de peixes num rio.
Definindo p = quantidade de peixes no rio, tem-se que a variação de p é provocada
por:
Termos de fluxo (pen/sai ) : peixes que entram e/ou saem do rio: afluentes,
pesca, etc..
Termos de geração (pgeração) : peixes que nascem e morrem dentro do rio.
Assim, a equação de balanço pode ser escrita na seguinte forma:
åå +=D geraçãosai/en ppp
Fred & Lúcio 5
O detalhamento dos termos de fluxo e de geração na equação acima não será desen-
volvido mas, os mecanismos de troca e de geração aqui apresentados são uma indi-
cação de como isso deve ser feito.
É necessário observar que não é possível aplicar a análise de balanço a qualquer
propriedade do sistema. Apenas as propriedades de caráterglobal, cujos valores são atri-
buídos ao sistema como um todo, podem ser escolhidas para tanto. Em sistemas físicos, as
propriedades extensivas (M), tais como massa (m), energia (E) e volume (V), são de ca-
ráter global. Já as propriedades intensivas, tais como temperatura (T), pressão (P) e pro-
priedades específicas (M=M/m), possuem um caráter local que impede a sua análise via
balanços. Por exemplo, a temperatura pode ser diferente em cada ponto do sistema e só é
possível atribuir um valor ao sistema como um todo no caso de todos os pontos possuirem a
mesma temperatura. Qualquer outra situação para a qual se pretenda atribuir um valor único
para a temperatura do sistema, não pode ir além de um valor médio das temperaturas dos
seus pontos.
Outro fato a ressaltar é a complexidade usualmente associada aos termos de gera-
ção. Tal aspecto faz com que as propriedades conservativas (aquelas que não podem ser
afetadas por mecanismos de geração), tais como massa e energia por exemplo, sejam as
preferidas para a aplicação da análise de balanço. Mesmo assim, há propriedades não-
conservativas importantes para as quais a análise de balanço costuma ser feita. Um exem-
plo típico é a massa do componente i numa mistura, a qual pode ser gerada ou destruída
por reações químicas.
Os balanços de massa, energia, entropia e quantidade de movimento são os mais
utilizados em engenharia. Todos eles possuem em comum a presença de termos de fluxo
convectivo mas, a presença ou não de termos de fluxo não-convectivo e de termos de gera-
ção é específica para cada caso e depende de leis básicas como a lei de Lavoisier para a
massa, as leis de Newton da Mecânica e as leis da Termodinâmica. Por exemplo, no balan-
ço de massa de um sistema, a lei de Lavoisier garante que para processos não envolvendo a
transformação de massa em energia e vice-versa, os termos de geração são nulos (massa
não pode ser gerada nem destruída). No balanço de energia, a 1a lei da termodinâmica ga-
rante que os termos de geração são nulos (energia não pode ser criada nem destruída) e que
os termos de fluxo não-convectivo só envolvem trocas de calor e trabalho. Desse modo, é
a associação da equação geral de balanço às leis básicas da natureza que permite a real apli-
cação dessa ferramenta em problemas físicos.
Fred & Lúcio 6
O BALANÇO MATERIAL
Balanço material é a denominação genérica dada à análise de balanço aplicada à
quantidade de material total ou de componentes do sistema, expressa em termos de massa
ou número de moles. As possibilidades a serem analisadas são as seguintes:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
=
=
q
)sistemadocomponenteumdemoles(n
)sistemadocomponenteumdemassa(m
)sistemadomoles(n
)sistemadomassa(m
i
i
Obviamente, para o caso de balanços materiais, não existem termos de fluxo não-
convectivo uma vez que, a única forma de um sistema trocar massa ou moles é através da
troca de material com as vizinhanças. Em relação aos termos de geração é importante ob-
servar que apesar da massa ( m ) de um sistema não poder ser gerada ( lei de Lavoisier), o
mesmo não pode ser afirmado para os casos de n (moles do sistema), mi (massa do compo-
nente i do sistema) e ni (moles do componente i do sistema).
As equações de balanços materiais para os casos acima citados podem ser escritas
na seguinte forma de taxas:
åå -=
sai
sai
en
en mm
dt
dm
&&
ger
sai
sai
en
en nnn
dt
dn
&&& +-= åå
ger
i
sai
sai
i
en
en
i
i mmm
dt
dm
&&& +-= åå
ger
i
sai
sai
i
en
en
i
i nnn
dt
dn
&&& +-= åå
As formas alternativas, diferencial e integral, seguem o padrão já descrita no caso
geral da equação de balanço. Como já descrito anteriormente, a equação de balanço assume
uma forma mais simples quando há restrições envolvendo o sistema sob análise. Por exem-
plo, no caso de sistemas fechados as equações acima assumem a seguinte forma:
Fred & Lúcio 7
0
dt
dm
= ; gerndt
dn
&= ; geri
i m
dt
dm
&= ; geri
i n
dt
dn
&=
No caso de sistemas em regime permanente tem-se que a propriedade analisada não
varia com o tempo e dessa forma as equações gerais assumem a forma:
åå -=
sai
sai
en
en mm0 && ; ger
sai
sai
en
en nnn0 &&& +-= åå ;
 geri
sai
sai
i
en
en
i mmm0 &&& +-= åå ; geri
sai
sai
i
en
en
i nnn0 &&& +-= åå
Fred & Lúcio 8
O BALANÇO DE ENERGIA
Não será apresentada aqui, uma discussão detalhada sobre o estabelecimento da
equação geral de balanço de energia, tal como ela costuma ser utilizada nas aplicações em
termodinâmica clássica. O tema ficará limitado á apresentação da equação ,do significado
sucinto de seus termos e de algumas aplicações. Desse modo tem-se que o balanço de ener-
gia na forma de taxas pode ser escrito na seguinte forma:
WQm)EpEcH(
m)EpEcH(
dt
)EpEcU(d
sai
saisaisaisai
en
enenenen
&&&
&
++++-
-++=
++
å
å
Nessa equação tem-se que:
U= energia interna (soma de todas as energias que o sistema contém na forma de
contribuições de sua estrutura interna: energias de átomos, partículas subatômi-
cas, de ligação química, etc.);
Ec=(1/2)mu2= energia cinética (energia relacionada a um referencial externo ao
sistema; u é a velocidade do sistema);
Ep=mgz= energia potencial (energia relacionada a um referencial externo ao sis-
tema; z é a altura do sistema e g é a aceleração da gravidade);
H= U + PV= entalpia (propriedade definida por conveniência; P é a pressão e V é
o volume) ;notar que H e o produto PV possuem, ambos, dimensões de energia;
Q= calor (forma de troca de energia provocada por uma diferença de temperatura
entre sistema e vizinhanças); calor que entra no sistema é considerado positivo
e calor que sai é considerado negativo;
W= trabalho (toda forma de troca de energia que não é calor); trabalho que entra é
considerado positivo e trabalho que sai é considerado negativo;
Com relação a trabalho, há que se distinguir três formas de interesse mais básico:
- trabalho de mudança de volume: trabalho envolvido com a mudança de volu-
me do sistema e que costuma ser representado por ò-= PdVWvol
- trabalho “shaft”: trabalho trocado por mecanismos especiais como bombas,
compressores, correntes elétricas ( Wsh ).
Fred & Lúcio 9
- trabalho de entrada e saída: trabalho envolvido com a entrada e saída de mate-
rial e que pode ser representado por å
sai/en
sai/ensai/ensai/en mVP & ; esse tipo de tra-
balho está sendo levado em conta, na equação de balanço de energia acima, nos
termos de entrada/saída e mais especificamente em enenenenen m)VPU(mH && +=
e em saisaisaisaisai m)VPU(mH && += ; o termo W& na equação, representa ape-
nas as contribuições de shW& e de vilW& isto é, volsh WWW &&& += ;
Novamente, a equação de balanço assume uma forma mais simples quando há res-
trições envolvendo o sistema sob análise. Por exemplo, no caso de sistemas fechados em
repouso a equação acima assume a seguinte forma:
WQ
dt
dU && +=
No caso de sistemas em regime permanente tem-se que a propriedade analisada não
varia com o tempo e dessa forma 0
dt
)EpEcU(d
=
++
, para sistemas adiabáticos tem-se
0Q =& e assim por diante são estabelecidas as simplificações que, de um modo geral, são
introduzidas na equação de balanço quando um sistema apresenta alguma restrição.
É interessante notar a importância que têm as propriedades intensivas na descrição
de um sistema. Elas são usadas para descrever as características do sistema que, não possu-
em dependência no seu tamanho e que portanto são as características mais importantes para
fins de registro (tabelas, gráficos, equações). A descrição do sistema com base nessas pro-
priedades costuma ser denominada de estado intensivo do sistema em contraposição ao
estado global no qual, a descrição inclui,também, as propriedades extensivas. A experiên-
cia tem indicado que, no caso de materiais monofásicos (gases, líquidos ou sólidos) e de
composição fixa, duas propriedades intensivas independentes, usualmente os pares (T,P) ou
(T,V), são suficientes para descrever completamente o estado intensivo do sistema. Assim,
qualquer outra propriedade intensiva desse material pode ser descrita por meio de uma fun-
ção das duas propriedades intensivas independentes selecionadas. Por exemplo, para pro-
priedades específicas, é possível escrever M=M(T,P) ou M=M(T,V) , conforme a escolha
do par de variáveis independentes.
No caso de processos térmicos, em que ocorrem variações de temperatura no siste-
ma analisado, é de fundamental importância a utilização das capacidades caloríficas (C)
dos materiais envolvidos. Basicamente, essas propriedades representam a quantidade de
calor necessária para provocar uma variação unitária na temperatura de uma quantidade
unitária de um material, de composição fixa, em processos específicos ( 
Tm
Q
C
D
= ).
 As capacidades caloríficas mais usadas são: (i) capacidade calorífica a pressão
constante, definida para processos a pressão constante e que pode ser representada por
P
p T
H
c
¶
¶
= ; (ii) capacidade calorífica a volume constante, definida para processos a vo-
lume constante e que pode ser representada por 
V
V T
U
c
¶
¶
= .
Fred & Lúcio 10
Essas definições permitem que, para materiais de composição fixa em que cP e cV
são conhecidos, variações da entalpia em processos a pressão constante, H(T,P), e da ener-
gia interna em processos a volume constante, U(T,V), podem ser calculados por meio de:
)P(dTcHdP
P
H
dT
T
H
Hd
2
1
T
T
P
TP
ò=D®¶
¶
+
¶
¶
=
)V(dTcUVd
V
U
T
U
Ud
2
1
T
T
V
TV
ò=D®¶
¶
+
¶
¶
=
No caso de sistemas bifásicos (gás-líquido, gás-sólido, sólido-líquido) existe uma
relação simples entre as propriedades específicas do sistema (M ) , as propriedades especí-
ficas das fases individuais ( III M,M ) que formam o mesmo e as frações mássicas (III x,x )
correspondentes a cada fase. Tal relação se baseia no fato das propriedades extensivas cor-
respondentes serem aditivas para as partes em que se subdivide um sistema. Para o caso em
questão pode-se escrever:
)1xx(MxMxM IIIIIIIII =++=
Dentre os modelos usados para representar o comportamento de materiais, desta-
cam-se os modelos de gás ideal (para gases a baixa pressão) e de substância incompressí-
vel (para líquidos e sólidos). A representação desses modelos é feita por meio de:
Gás ideal : R)T(c)T(c;)T(H;)T(U;RTVP VP =-=
Subst. incompr.: )T(c)T(c;)P,T(H;)T(U;cteV VP ==

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