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BALANÇOS DE MASSA E DE ENERGIA Fred & Lúcio 1 O CONCEITO DE BALANÇO O conceito geral de balanço representa um procedimento de análise de um sistema, físico ou não, em termos de uma propriedade, qq, convenientemente selecionada. O proce- dimento consiste basicamente em: i) Observar o sistema entre um instante inicial, t, e um instante final, t+Dt. ii) Analisar a variação da propriedade selecionada através da relação entre o acúmulo de qq, definido por DDqq = qq(t+DDt) - qq(t) , e os mecanismos respon- sáveis por essa variação que podem ser classificados genericamente em dois tipos: mecanismos de troca ou fluxo: são processos que promovem varia- ções em q pela interação entre sistema e vizinhanças através da fron- teira; sistemas que estão impedidos de sofrer esse tipo de processos são denominados sistemas isolados; mecanismos de geração: são aqueles que promovem variações em q através de processos internos ao sistema; ao contrário do caso anteri- or, processos desse tipo podem ocorrer em qualquer sistema; As variações em q provocadas pelos mecanismos acima dão origem, respectiva- mente, a: termos de troca ou fluxo: representam as quantidades de q que são trocadas entre sistema e vizinhanças; no que segue, quantidades rece- bidas pelo sistema devem ser representadas por números positivos e quantidades cedidas pelo sistema devem ser representadas por núme- ros negativos; termos de geração: quantidades de q que são criadas e/ou destruídas no interior do sistema; similarmente ao caso anterior, quantidades criadas e destruídas devem ser representadas, respectivamente, por números positivos e negativos; Além disso, os termos de fluxo são classificados em termos de fluxo convectivo e termos de fluxo não-convectivo. Os primeiros ocorrem apenas em sistemas abertos e re- presentam as quantidades de q pertencentes aos materiais que entram ou saem do sistema. Após a troca, essas quantidades se tornam parte da propriedade q do sistema (se o material entrou) ou das vizinhanças (se o material saiu). Os termos de fluxo que não pertencem ao primeiro grupo, serão considerados, por exclusão, termos de fluxo não-convectivo. É importante ressaltar que os termos de fluxo e de geração não são propriedades do sistema, as quais dependem apenas do estado do sistema. Portanto, não podem, em ge- ral, ser caracterizados por funções de outras propriedades do sistema, como afirma o teore- ma de Duhem. Por exemplo, o volume de uma substância pura gasosa costuma ser repre- Fred & Lúcio 2 sentado funcionalmente por V=V(T,P,n) onde, T=temperatura, P=pressão e n=no de mo- les. No entanto, não existem formas similares de representação para os termos de fluxo e de geração. O instrumento básico do procedimento de análise em questão é a equação de ba- lanço, a qual expressa formalmente a relação entre as quantidades acima definidas e pode ser representada pela seguinte forma integral: )1(geraçãofluxo åå q+q=qD Esta equação representa o fato de que, durante um processo, o acúmulo de uma pro- priedade qq do sistema sob análise é igual à soma algébrica das trocas de qq entre sistema e vizinhanças e das gerações/destruições de qq no interior do sistema. A equação (1) pode ser transformada através das seguintes definições: taxa de acúmulo: t lim dt d 0t D qD = q ®D taxa de fluxo: t lim fluxo 0tfluxo D q =q ®D & taxa de geração: t lim geração 0t geração D q =q ®D & Com essas relações obtém-se, a partir de (1) , a equação de balanço na forma de ta- xas: )2( dt d geraçãofluxo åå q+q=q && Diferenciais de q, qfluxo e qgeração serão representados por: dt dt d d ÷ ø ö ç è æ q=q dtfluxofluxo q=dq & dtgeraçãogeração q=dq & Fred & Lúcio 3 Aplicando essas relações à equação (2) obtém-se a equação de balanço na forma di- ferencial: )3(d geraçãofluxo åå dq+dq=q Os símbolos d e dd foram usados para distinguir a diferencial de q das diferenciais de qfluxo e qgeração , tendo em vista que todas essas quantidades podem ser representadas por funções do tempo (t), mas apenas q pode ser, em geral, representada por funções de outras propriedades do sistema. Tendo em vista essa forma de descrição, a integração das quanti- dades diferenciais acima entre dois estados do sistema resulta em: )(d 12 2estado 1estado q-q=qD=qò fluxo 2estado 1estado fluxo q=dqò geração 2estado 1estado geração q=dqò Observar que, diferentemente do que acontece com dq, as integrações de dqfluxo e dqgeração não resultam em variações Dqfluxo e Dqgeração uma vez que qfluxo e qgeração não são propriedades do sistema. O resultado das duas últimas integrações acima deve ser interpre- tado, respectivamente e conforme definições anteriores, como quantidades trocadas e gera- das durante o processo que produz a variação de estado em questão. O nível de detalhamento das equações (1), (2) e (3) pode ser aumentado, subdivi- dindo os termos de fluxo em convectivos e não-convectivos e estes por sua vez em termos de entrada e saída. Os termos de geração podem, da mesma forma, ser divididos em termos de criação e termos de destruição. Detalhamento adicional pode ser obtido, caso novas dis- tinções entre mecanismos de fluxo e de geração sejam reconhecidas. Assim, uma forma opcional da equação geral de balanço na forma diferencial pode ser: Fred & Lúcio 4 ( ) ( ) geraçãodetermos fluxodetermos d destrcriação conv.n sai conv.n en conv sai conv en c c åå åååå dq+dq+ +dq+dq+dq+dq=q A utilidade do conceito de balanço permeia as áreas do conhecimento humano, sen- do inúmeros os exemplos de propriedades que costumam ser submetidas à análise de balan- ço: massa, energia, entropia e quantidade de movimento em sistemas físicos genéricos; crédito em contas bancárias; pessoas em cidades; peixes em rios, automóveis em estradas, bactérias em colônias, livros em bibliotecas, etc.. Particularmente na Engenharia, a equa- ção de balanço representa uma das ferramentas mais importantes na análise de problemas. Casos particulares importantes da aplicação da equação de balanço a sistemas físi- cos ocorrem quando o sistema analisado apresenta restrições do tipo: (i) sistema fechado: não há trocas de material com as vizinhanças (no caso em que essa restrição não existe usa- se a denominação sistema aberto); (ii) sistema isolado: não há trocas de espécie alguma entre sistema e vizinhanças; (iii) sistema adiabático: não ocorrem trocas de calor (a apre- sentação mais formal será dada na discussão do balanço de energia); (iv) sistema em regi- me permanente: o sistema sofre um processo no qual nenhuma de suas propriedades varia com o tempo. Quando essas restrições ocorrem para um sistema em particular, a equação de balanço assume uma forma simplificada. No entanto, é muito importante para quem está iniciando o treinamento na técnica de balanço manter sempre em mente a forma geral da equação de balanço de modo a per- ceber todas as possíveis contribuições e não correr o risco de aplicar formas simplificadas a situações mais gerais. Exemplo: Balanço da quantidade de peixes num rio. Definindo p = quantidade de peixes no rio, tem-se que a variação de p é provocada por: Termos de fluxo (pen/sai ) : peixes que entram e/ou saem do rio: afluentes, pesca, etc.. Termos de geração (pgeração) : peixes que nascem e morrem dentro do rio. Assim, a equação de balanço pode ser escrita na seguinte forma: åå +=D geraçãosai/en ppp Fred & Lúcio 5 O detalhamento dos termos de fluxo e de geração na equação acima não será desen- volvido mas, os mecanismos de troca e de geração aqui apresentados são uma indi- cação de como isso deve ser feito. É necessário observar que não é possível aplicar a análise de balanço a qualquer propriedade do sistema. Apenas as propriedades de caráterglobal, cujos valores são atri- buídos ao sistema como um todo, podem ser escolhidas para tanto. Em sistemas físicos, as propriedades extensivas (M), tais como massa (m), energia (E) e volume (V), são de ca- ráter global. Já as propriedades intensivas, tais como temperatura (T), pressão (P) e pro- priedades específicas (M=M/m), possuem um caráter local que impede a sua análise via balanços. Por exemplo, a temperatura pode ser diferente em cada ponto do sistema e só é possível atribuir um valor ao sistema como um todo no caso de todos os pontos possuirem a mesma temperatura. Qualquer outra situação para a qual se pretenda atribuir um valor único para a temperatura do sistema, não pode ir além de um valor médio das temperaturas dos seus pontos. Outro fato a ressaltar é a complexidade usualmente associada aos termos de gera- ção. Tal aspecto faz com que as propriedades conservativas (aquelas que não podem ser afetadas por mecanismos de geração), tais como massa e energia por exemplo, sejam as preferidas para a aplicação da análise de balanço. Mesmo assim, há propriedades não- conservativas importantes para as quais a análise de balanço costuma ser feita. Um exem- plo típico é a massa do componente i numa mistura, a qual pode ser gerada ou destruída por reações químicas. Os balanços de massa, energia, entropia e quantidade de movimento são os mais utilizados em engenharia. Todos eles possuem em comum a presença de termos de fluxo convectivo mas, a presença ou não de termos de fluxo não-convectivo e de termos de gera- ção é específica para cada caso e depende de leis básicas como a lei de Lavoisier para a massa, as leis de Newton da Mecânica e as leis da Termodinâmica. Por exemplo, no balan- ço de massa de um sistema, a lei de Lavoisier garante que para processos não envolvendo a transformação de massa em energia e vice-versa, os termos de geração são nulos (massa não pode ser gerada nem destruída). No balanço de energia, a 1a lei da termodinâmica ga- rante que os termos de geração são nulos (energia não pode ser criada nem destruída) e que os termos de fluxo não-convectivo só envolvem trocas de calor e trabalho. Desse modo, é a associação da equação geral de balanço às leis básicas da natureza que permite a real apli- cação dessa ferramenta em problemas físicos. Fred & Lúcio 6 O BALANÇO MATERIAL Balanço material é a denominação genérica dada à análise de balanço aplicada à quantidade de material total ou de componentes do sistema, expressa em termos de massa ou número de moles. As possibilidades a serem analisadas são as seguintes: ï ï î ï ï í ì = = = = q )sistemadocomponenteumdemoles(n )sistemadocomponenteumdemassa(m )sistemadomoles(n )sistemadomassa(m i i Obviamente, para o caso de balanços materiais, não existem termos de fluxo não- convectivo uma vez que, a única forma de um sistema trocar massa ou moles é através da troca de material com as vizinhanças. Em relação aos termos de geração é importante ob- servar que apesar da massa ( m ) de um sistema não poder ser gerada ( lei de Lavoisier), o mesmo não pode ser afirmado para os casos de n (moles do sistema), mi (massa do compo- nente i do sistema) e ni (moles do componente i do sistema). As equações de balanços materiais para os casos acima citados podem ser escritas na seguinte forma de taxas: åå -= sai sai en en mm dt dm && ger sai sai en en nnn dt dn &&& +-= åå ger i sai sai i en en i i mmm dt dm &&& +-= åå ger i sai sai i en en i i nnn dt dn &&& +-= åå As formas alternativas, diferencial e integral, seguem o padrão já descrita no caso geral da equação de balanço. Como já descrito anteriormente, a equação de balanço assume uma forma mais simples quando há restrições envolvendo o sistema sob análise. Por exem- plo, no caso de sistemas fechados as equações acima assumem a seguinte forma: Fred & Lúcio 7 0 dt dm = ; gerndt dn &= ; geri i m dt dm &= ; geri i n dt dn &= No caso de sistemas em regime permanente tem-se que a propriedade analisada não varia com o tempo e dessa forma as equações gerais assumem a forma: åå -= sai sai en en mm0 && ; ger sai sai en en nnn0 &&& +-= åå ; geri sai sai i en en i mmm0 &&& +-= åå ; geri sai sai i en en i nnn0 &&& +-= åå Fred & Lúcio 8 O BALANÇO DE ENERGIA Não será apresentada aqui, uma discussão detalhada sobre o estabelecimento da equação geral de balanço de energia, tal como ela costuma ser utilizada nas aplicações em termodinâmica clássica. O tema ficará limitado á apresentação da equação ,do significado sucinto de seus termos e de algumas aplicações. Desse modo tem-se que o balanço de ener- gia na forma de taxas pode ser escrito na seguinte forma: WQm)EpEcH( m)EpEcH( dt )EpEcU(d sai saisaisaisai en enenenen &&& & ++++- -++= ++ å å Nessa equação tem-se que: U= energia interna (soma de todas as energias que o sistema contém na forma de contribuições de sua estrutura interna: energias de átomos, partículas subatômi- cas, de ligação química, etc.); Ec=(1/2)mu2= energia cinética (energia relacionada a um referencial externo ao sistema; u é a velocidade do sistema); Ep=mgz= energia potencial (energia relacionada a um referencial externo ao sis- tema; z é a altura do sistema e g é a aceleração da gravidade); H= U + PV= entalpia (propriedade definida por conveniência; P é a pressão e V é o volume) ;notar que H e o produto PV possuem, ambos, dimensões de energia; Q= calor (forma de troca de energia provocada por uma diferença de temperatura entre sistema e vizinhanças); calor que entra no sistema é considerado positivo e calor que sai é considerado negativo; W= trabalho (toda forma de troca de energia que não é calor); trabalho que entra é considerado positivo e trabalho que sai é considerado negativo; Com relação a trabalho, há que se distinguir três formas de interesse mais básico: - trabalho de mudança de volume: trabalho envolvido com a mudança de volu- me do sistema e que costuma ser representado por ò-= PdVWvol - trabalho “shaft”: trabalho trocado por mecanismos especiais como bombas, compressores, correntes elétricas ( Wsh ). Fred & Lúcio 9 - trabalho de entrada e saída: trabalho envolvido com a entrada e saída de mate- rial e que pode ser representado por å sai/en sai/ensai/ensai/en mVP & ; esse tipo de tra- balho está sendo levado em conta, na equação de balanço de energia acima, nos termos de entrada/saída e mais especificamente em enenenenen m)VPU(mH && += e em saisaisaisaisai m)VPU(mH && += ; o termo W& na equação, representa ape- nas as contribuições de shW& e de vilW& isto é, volsh WWW &&& += ; Novamente, a equação de balanço assume uma forma mais simples quando há res- trições envolvendo o sistema sob análise. Por exemplo, no caso de sistemas fechados em repouso a equação acima assume a seguinte forma: WQ dt dU && += No caso de sistemas em regime permanente tem-se que a propriedade analisada não varia com o tempo e dessa forma 0 dt )EpEcU(d = ++ , para sistemas adiabáticos tem-se 0Q =& e assim por diante são estabelecidas as simplificações que, de um modo geral, são introduzidas na equação de balanço quando um sistema apresenta alguma restrição. É interessante notar a importância que têm as propriedades intensivas na descrição de um sistema. Elas são usadas para descrever as características do sistema que, não possu- em dependência no seu tamanho e que portanto são as características mais importantes para fins de registro (tabelas, gráficos, equações). A descrição do sistema com base nessas pro- priedades costuma ser denominada de estado intensivo do sistema em contraposição ao estado global no qual, a descrição inclui,também, as propriedades extensivas. A experiên- cia tem indicado que, no caso de materiais monofásicos (gases, líquidos ou sólidos) e de composição fixa, duas propriedades intensivas independentes, usualmente os pares (T,P) ou (T,V), são suficientes para descrever completamente o estado intensivo do sistema. Assim, qualquer outra propriedade intensiva desse material pode ser descrita por meio de uma fun- ção das duas propriedades intensivas independentes selecionadas. Por exemplo, para pro- priedades específicas, é possível escrever M=M(T,P) ou M=M(T,V) , conforme a escolha do par de variáveis independentes. No caso de processos térmicos, em que ocorrem variações de temperatura no siste- ma analisado, é de fundamental importância a utilização das capacidades caloríficas (C) dos materiais envolvidos. Basicamente, essas propriedades representam a quantidade de calor necessária para provocar uma variação unitária na temperatura de uma quantidade unitária de um material, de composição fixa, em processos específicos ( Tm Q C D = ). As capacidades caloríficas mais usadas são: (i) capacidade calorífica a pressão constante, definida para processos a pressão constante e que pode ser representada por P p T H c ¶ ¶ = ; (ii) capacidade calorífica a volume constante, definida para processos a vo- lume constante e que pode ser representada por V V T U c ¶ ¶ = . Fred & Lúcio 10 Essas definições permitem que, para materiais de composição fixa em que cP e cV são conhecidos, variações da entalpia em processos a pressão constante, H(T,P), e da ener- gia interna em processos a volume constante, U(T,V), podem ser calculados por meio de: )P(dTcHdP P H dT T H Hd 2 1 T T P TP ò=D®¶ ¶ + ¶ ¶ = )V(dTcUVd V U T U Ud 2 1 T T V TV ò=D®¶ ¶ + ¶ ¶ = No caso de sistemas bifásicos (gás-líquido, gás-sólido, sólido-líquido) existe uma relação simples entre as propriedades específicas do sistema (M ) , as propriedades especí- ficas das fases individuais ( III M,M ) que formam o mesmo e as frações mássicas (III x,x ) correspondentes a cada fase. Tal relação se baseia no fato das propriedades extensivas cor- respondentes serem aditivas para as partes em que se subdivide um sistema. Para o caso em questão pode-se escrever: )1xx(MxMxM IIIIIIIII =++= Dentre os modelos usados para representar o comportamento de materiais, desta- cam-se os modelos de gás ideal (para gases a baixa pressão) e de substância incompressí- vel (para líquidos e sólidos). A representação desses modelos é feita por meio de: Gás ideal : R)T(c)T(c;)T(H;)T(U;RTVP VP =-= Subst. incompr.: )T(c)T(c;)P,T(H;)T(U;cteV VP ==
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