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CEM FICHA 01 CINEMÁTICA

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PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira 
Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br 
Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 1 
 
 
 
CEM 
CORPO DE ENGENHEIROS DA MARINHA 
 
 
FICHA 01 
CINEMÁTICA 
 
 
 
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CINEMÁTICA & LANÇAMENTOS DO CEM 
AULA-1GRAVADA: 
RESUMO DE CINEMÁTICA e QUESTÃO DE 2009 DO CEM 
Um ponto Material de massa 1 desloca-se no plano vertical xy (em que y é a coordenada vertical) 
segundo a equação horária 𝑟(𝑡) = (𝑡3 − 3𝑡2 + 3𝑡, 𝑡4 − 4𝑡2 + 4𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. No instante t=1 o ponto 
começa a cair em queda livre sob ação exclusiva da força peso, suposta constante, com aceleração da 
gravidade g=9.8, até atingir o ponto (1,0) onde um anteparo absorve metade de sua energia mecânica. 
Após isso o ponto descola-se em movimento retilíneo e uniforme na reta y=0 com velocidade v=(a,0), 
a>0. Considere todas as unidades no sistema internacional. Calcule: 
a) A velocidade do ponto no instante t=1 seg. (1 ponto) 
b) O tempo gasto pelo ponto no movimento de queda livre entre (1,1) e (1,0). (2 pontos) 
c) A. (1 ponto) 
 
 
 
AULA-2GRAVADA: 
QUESTÃO DE 2010 DO CEM 
Uma bola é atirada do chão para o alto. Quando ela atinge a altura de 5m, sua velocidade, em m/seg, é 
𝑉 = 5𝑖 + 0𝑗 + 10𝑘. Suponha que a aceleração da gravidade é, em 𝑚/𝑠𝑒𝑔2, 𝑔 = 0𝑖 + 0𝑗 − 10𝑘 e 
calcule: 
a) A altura máxima que a bola atingirá. (1 ponto) 
b) O tempo que levará para a bola atingir o solo. (1 ponto) 
c) A distância horizontal percorrida pela bola, após a trajetória atingir o seu ponto mais alto. (0,5 
ponto) 
QUESTÃO DE 2012 DO CEM 
Dois pontos matérias A e B, ambos de massa m, são atirados para cima a partir do solo, na vertical, com 
velocidades iniciais 𝑣𝑎 𝑒 𝑣𝑏, respectivamente, sujeitos exclusivamente á ação da força peso, num local 
cuja aceleração da gravidade é g. A altura máxima atingida pelo ponto material A é o dobro da altura 
máxima atingida pelo ponto material B. Então, o quociente 𝑣𝑎/𝑣𝑏 é: 
a) 
√2
2
 
b) 2 
c) 4 
d) ½ 
e) √2 
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AULA-3GRAVADA: 
QUESTÃO DE 2013 DO CEM 
Um projétil é lançado para cima a partir do solo e sua velocidade inicial forma um ângulo de 45º graus 
com a horizontal. Quando o projétil atinge a altura de 10m, sua trajetória forma um ângulo de 30º com 
a horizontal. A componente horizontal da velocidade inicial do projétil, em m/s é: 
a) 0 
b) 10√3 
c) 20/3 
d) 20√2 
e) 50√2 
 
 
QUESTÃO DE 2014 DO CEM 
Um ponto material movimenta-se no espaço com vetor posição dado por 𝑟(𝑡) = (𝑡2𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 +
𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘)𝑚, onde t é medido em segundos. A aceleração desse ponto material no instante t=0s é: 
a) Nula 
b) (2𝑖 − 1𝑗 + 1𝑘)𝑚/𝑠2 
c) (2𝑖 + 1𝑘)𝑚/𝑠2 
d) (1𝑗 + 1𝑘)𝑚/𝑠2 
e) 1𝑘 𝑚/𝑠2 
 
 
QUESTÃO DE 2014 DO CEM 
No espaço xyz, no qual o eixo z é vertical e aponta para cima, um homem de 1.80m de altura está 
caminhando sobre o plano horizontal xy, com velocidade constante (3,0,0)m/s. Uma lâmpada, presa ao 
ponto (0,0,5)m, está acesa. Sendo assim, a velocidade do ponto da sombra do homem que mais dista 
da origem é: 
A) Constante e igual a (5/3.2)(3,0,0)m/s. 
B) Constante e igual a (5/1.8)(3,0,0)m/s. 
C) Constante e menor do que a velocidade do homem. 
D) De módulo estritamente crescente e varia linearmente com o tempo. 
 
 
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AULA-4GRAVADA: 
QUESTÃO DE 2015 DO CEM 
 
 
 
 
AULA-5 GRAVADA: 
QUESTÃO DE 2013.2 DO CEM 
Um ponto material de massa m = 1kg sobe, a partir do solo, uma rapa inclinada com 10m de comprimento, em 
movimento retilíneo uniforme, com velocidade de intensidade 2m/seg. Ao atingir o topo da rampa, a qual forma 
um ângulo de π/4 radianos com o solo, o ponto passa a se mover sob ação exclusiva da gravidade. Esse ponto 
atinge a altura máxima em relação ao solo após quantos segundos, contados a partir do instante em que o mesmo 
começa a subir a rampa? 
Considere a aceleração da gravidade 
g = 10m/ seg² 
a) √2 / 10 
b) 5 - √2 /10 
c) 5 
d) 5 + √2 / 10 
e) 6 / 5 
 
 
 
 
 
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AULA-6 GRAVADA: 
QUESTÃO DE 2011 DO CEM 
Um projétil foi disparado no instante t=0 de uma plataforma que se encontra a 10m de altura. O canhão que disparou este 
projétil fazia um ângulo de 30º com a horizontal, apontado para cima, e a velocidade inicial do projétil era de 100 m/s. 
Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10m/s². O projétil atinge o solo no instante. 
 
 
AULA-7 GRAVADA: 
QUESTÃO DE 2019 DO CEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CINEMÁTICA COM 
DERIVADAS 
 
 
 
 
 
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Material de CINEMÁTICA com DERIVADAS em VÍDEO 
(NÍVEL SUPERIOR) 
01. Os itens a) e b), abaixo, são independentes. 
a) (1,0) A posição de um corpo (massa m = 1,00 kg) que se move em uma dimensão dada pela equação 
horária x(t) = 8,00 + 18,0 t – 18,0 t2 (x em metros e t em segundos). Para que tempo t a velocidade do 
corpo e nula? Qual é a posição da partícula neste tempo? Qual é a força (módulo e sentido) que atua sobre 
o corpo no instante t = 8,75 s? 
b) (1,5) Qual é o tempo necessário a um corpo, em queda livre a partir de uma velocidade inicial nula, 
para percorrer o enésimo centímetro de sua trajetória? 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo é 
dada (no sistema internacional de unidades SI) por x(t) = t3 – 9t2 + 15t + 5. Nesta circunstâncias, calcule: 
a) (1,0) O(s)instantes(s) em que a velocidade da partícula é nula. 
b) (1,5) A velocidade média da partícula entre o instante inicial t = 0 e o instante em que sua aceleração 
é nula. 
c) (1,0) Os instantes t1 e t2 nos quais a velocidade da partícula é 15 m/s. Em seguida, calcule o 
deslocamento ∆𝑥 = 𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1) neste intervalo de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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03. Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t )= 16t2 – 2t4 onde a posição 
x e o tempo t estão dados no Sistema Internacional de unidades. 
a) (1,0) Calcule a posição, velocidade instantânea e a aceleração instantânea em t=1,0s 
b) (1,0) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de x? Calcule a posição e a aceleração 
instantânea da partícula neste instante. 
c) (1,0) Calcule o instante t > 0s em que a partícula retorna à posição x = 0 m. Quanto vale sua aceleração 
neste instante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Um bloco de massa m=2,0 kg move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por 
x(t) = -2,0-3,0t+1/2t3, para o tempo dado em segundos. 
 a) (0,5) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para t = 0 e t = 2. 
b) (1,0) Calcule a velocidade media e a aceleração média do bloco no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝑠. 
c) (1,0) Em que instante o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória? Qual a posição da 
partícula neste instante? 
d) (0,5) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre a partícula no instante t = 3s. Esta força varia 
ao longo do tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
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05. uma partícula se move ao longo do eixo x. Inicialmente em repouso na origem, ela desloca-se para 
a direita, atinge sua posição máxima em t= t1, retorna e passa pela origem em t = t2. Seu movimento é 
descrito por 
𝑥(𝑡) =
4
3
𝑡3 −
1
9
𝑡4. 
Em unidades do Sistema Internacional. 
a) (1,0) Calcule t1 e a aceleração naquele instante. 
b) (1,0) Calcule t2 e a velocidade naquele instante. 
c) (1,0) No intervalo entre t = 0 e t = t2, em que instante a maior velocidade (positiva) é alcançada? 
Quanto vale esta velocidade máxima? 
 
 
 
 
 
 
06. Um bloco de massa m = 1Kg move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por x(t) 
= 27t - 3t3, para o tempo dado em segundos. 
a) (1,0) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para t = 2s e t = 5s. 
b) (1,0) Calcule a velocidade média e aceleração média do bloco no intervalo de tempo 2𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 5𝑠. 
c) (1,0) Em que instante de tempo o bloco atinge o ponto mais positivo de sua trajetória (considere a 
dinâmica apenas para t>0)? 
d) (1,0) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre o bloco ao instante t = 3s. Esta força varia ao 
longo do tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de CINEMÁTICA /LANÇAMENTOS em VÍDEO 
(NÍVEL SUPERIOR) 
01. Uma bola e lançada a partir do solo, no instante t = 0s, com uma velocidade inicial 𝑉𝑏0 =
(2,0 𝑖 + 300,0 𝑗)𝑚/𝑠 como mostrado na Figura 1. A bola esta sobre a influência da força gravitacional 
de aceleração g = 10 m/s2 e não sofre resistência do ar. Uma parede móvel de altura infinita se encontra 
na posição D = 40 m, no instante t = 0s e se desloca para a direita com velocidade constante 𝑉𝑝 =
(1,0 𝑖) 𝑚/𝑠. 
a) (1,0) Escreva a equação horária da bola ( xb(t) e yb(t) ) e da parede xp(t). 
b) (1,0) Qual é o instante de tempo e a altura da bola quando ela atinge a parede? 
c) (1,0) Para o instante de tempo em que a bola atinge a parede, escreva o vetor velocidade da bola Vb, 
em termos dos vetores unitários i e j. Neste instante, o movimento da bola é ascendente ou descendente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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02. De um ponto 0 situado 300 m acima do solo, lança-se horizontalmente uma partícula com 
velocidade escalar v0. No mesmo instante, uma outra partícula é lançada verticalmente para cima, de um 
ponto 0’ situado no solo, com velocidade escalar v0’ = 50,0 m/s, conforme mostra a Figura 1. Sabe-se 
que as partículas chocam-se em um ponto P. Desprezando a resistência do ar, calcule: 
a) (1,0) o tempo decorrido desde o 
lançamento até o choque das partículas; 
 b) (1,0) a altura do ponto P em relação ao 
solo; 
c) (0,5) o valor de v0; 
d) (1,0) o vetor velocidade da partícula 
lançada horizontalmente quando ela atinge 
o ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
03. Na figura ao lado, uma bola é lançada da 
origem em t = 0 com velocidade V0 = (20i + 20j) m/s 
(onde i e j são os vetores unitários ao longo dos eixos 
x e y respectivamente). Efeitos da resistência do ar são 
desprezíveis e g = -10 j m/s2. 
a) (1,0) Calcule a altura da bola após ela ter percorrido 
uma distância horizontal x = 20 m. 
b) (1,0) Determine o vetor velocidade para qualquer instante t > 0 e o vetor velocidade quando x = 20 m 
(todos em termos de i e j). 
c) (1,5) Suponha agora que tenhamos um platô a uma distância horizontal de x = 40 m da origem do 
lançamento (ver figura). A altura do platô é de 30 m. A bola cai por cima (A) ou atinge a lateral (B) do 
platô? Em qualquer dos casos, determine a distância do ponto P ao ponto de colisão com o platô. 
 
 
 
 
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04. Um projétil é lançado, a partir do solo, para o alto de um edifico de 40 m de altura. O voo do solo 
até o edifício dura 4s. A trajetória do projétil, no final, tem uma inclinação 𝜃 = 53° em relação à 
horizontal, como mostra a figura. Despreze a resistência do ar. 
a) (1,0) Calcule a componente vertical 
(vy) 
da velocidade do projétil, quando ele 
atinge o alto do edifício; 
b) (1,0) Calcule a componente horizontal 
(vx) da velocidade do projétil, quando ele 
atinge o alto do edifício; 
c) (1,0) Calcule a distância horizontal (d) 
percorrida pelo projétil desde o instante do 
lançamento até o momento em que ele atinge o 
alto do edifício; 
d) (1,0) Calcule a altura máxima atingida pelo projétil, nas condições deste lançamento. Seria possível 
atingir uma altura máxima superirà calculada neste item, mudando-se apenas o ângulo de lançamento do 
projétil? Explique sua resposta. 
 
 
 
 
05. Uma bola é atirada para cima a partir do nível do solo. Quando a bola está no ponto A, a uma altura 
de 25 m, sua velocidade é V = 5,0i + 20j (m/s). Despreze a resistência do ar. 
a) (1,0) Calcule a altura máxima alcançada 
pela bola. 
b) (1,0) Calcule as componentes da velocidade da 
bola no instante em que ela é atirada para cima, a 
partir do solo. 
c) (1,5) Existe um muro ( ver figura) de 30 m de 
altura e localizado a 25 m de distância do ponto de 
onde a bola foi atirada. A bola passará sobre o 
muro? Justifique sua resposta fazendo os cálculos 
(sem Justificativa esse item não tem validade). 
 
 
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06. Um projétil é lançado do solo obliquamente, com velocidade inicial de 50, 0 m/s, cuja direção forma 
com a horizontal um ˆangulo α = 37, 0 ◦ . No instante em que ele atinge a altura máxima, encontra um 
plano horizontal liso e se move sobre toda sua extensão, durante 5, 00 s, quando, então, inicia seu 
movimento de declínio, conforme a figura 1. Considerando sen37◦ = 0, 60 e cos 37◦ = 0, 80, determine: 
a) (0,5) O tempo total de movimento. 
b) (0,5) O alcance. 
c) (1,0) A velocidade do projétil em notação de 
vetores unitários 1,00 s antes de ele atingir o 
solo (use o sistema de coordenadas da figura). 
d) (0,5) A distância do plano horizontal ao 
solo. 
 
 
 
 
 
 
 
07. Um projétil é lançado obliquamente a partir da origem. Quando o projétil encontra-se a uma 
distância horizontal de 3,0 m em relação à origem sua velocidade é V1 = (2,0i + 5,0j)m/s, conforme 
mostra a figura abaixo. Despreze a resistência do ar. 
a) (1,0) Encontre o vetor velocidade inicial. 
b) (1,0) Calcule o tempo total de permanência 
no ar entre o lançamento do projétil e seu 
retorno ao solo. 
 c) (1,0) Calcule a tangente do ângulo que a 
velocidade faz com o eixo x, no instante em 
que o projétil tem coordenada x = 6m. 
 
 
 
 
 
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08. Um grande pneu de raio R = 1 m, gira com velocidade angular constante em torno do seu eixo num 
plano vertical, conforme mostrado na figura. Em determinado instante, uma pedra se solta do ponto 
superior do pneu (ponto A). Sabemos que o eixo do pneu se encontra a uma altura h = 4 m do solo. 
a) (1,5) Sabendo que a aceleração centrípeta da pedra tinha módulo Ac = 100 m/s2 , calcule a distância 
horizontal percorrida pela pedra desde quando é solta até cair no solo no ponto B. 
 b) (1,0) Escreva o vetor deslocamento da pedra entre os pontos A e B em termos dos vetores unitários î 
e ĵ. 
c) (1,0) Escreva o vetor velocidade da pedra ao cair no solo (ponto B), em termos dos vetores unitários î 
e ĵ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. Do alto de um morro, um homem joga um objeto A para cima (na direção vertical) e um outro 
objeto B para baixo (movimento também vertical), ambos com a mesma velocidade escalar inicial v0 = 
10 m/s. 
(a) (1,5) Qual o primeiro instante de tempo em que o módulo da velocidade de B é o dobro do módulo 
da velocidade de A? 
(b) (1,0) Qual a distância entre A e B neste instante de tempo?. 
 
 
 
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10. Uma bola é chutada da origem do sistema de referência (ver figura) com uma certa velocidade 
inicial. Na representação de vetores unitários, no instante de tempo igual à metade do tempo de subida, a 
velocidade da bola é v = 7,0 i + 10,0 j, em unidades do Sistema 
Internacional, como mostrado na figura abaixo. 
Determine: 
a) (1,5) O vetor posição da bola, em termos de i e j, no 
instante igual à metade do tempo de subida; 
b) (1,0) A altura máxima atingida pelo projétil. 
 
 
 
 
 
 
11. Uma roda uniforme, de raio R = 1,0 m, gira em torno de um eixo E, horizontal, fixo, orientado 
perpendicularmente ao plano da roda e passando por seu centro geométrico, como mostra a figura 2. A 
roda tem velocidade angular 𝜔 = 4,0 𝑟𝑒𝑑/𝑠. Uma partícula, inicialmente presa à borda da roda, destaca-
se da mesma, no ponto P, indicado na figura. O ângulo ∝ é de 30°. Determine: 
a) (1,0) O vetor velocidade inicial da partícula, 
utilizando a notação de vetores unitários; 
b) (1,0) A maior altura que a partícula atinge, em 
relação ao plano horizontal de referência; 
c) (1,0) A distância horizontal percorrida pela 
partícula até ela atingir o plano horizontal de referência, 
mostrado na figura; 
d) (1,0) A velocidade da partícula, em notação de vetores unitários, imediatamente antes de ela atingir o 
plano de referência. 
 
 
 
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