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PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 1 CEM CORPO DE ENGENHEIROS DA MARINHA FICHA 01 CINEMÁTICA http://www.mirante/ http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 2 CINEMÁTICA & LANÇAMENTOS DO CEM AULA-1GRAVADA: RESUMO DE CINEMÁTICA e QUESTÃO DE 2009 DO CEM Um ponto Material de massa 1 desloca-se no plano vertical xy (em que y é a coordenada vertical) segundo a equação horária 𝑟(𝑡) = (𝑡3 − 3𝑡2 + 3𝑡, 𝑡4 − 4𝑡2 + 4𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. No instante t=1 o ponto começa a cair em queda livre sob ação exclusiva da força peso, suposta constante, com aceleração da gravidade g=9.8, até atingir o ponto (1,0) onde um anteparo absorve metade de sua energia mecânica. Após isso o ponto descola-se em movimento retilíneo e uniforme na reta y=0 com velocidade v=(a,0), a>0. Considere todas as unidades no sistema internacional. Calcule: a) A velocidade do ponto no instante t=1 seg. (1 ponto) b) O tempo gasto pelo ponto no movimento de queda livre entre (1,1) e (1,0). (2 pontos) c) A. (1 ponto) AULA-2GRAVADA: QUESTÃO DE 2010 DO CEM Uma bola é atirada do chão para o alto. Quando ela atinge a altura de 5m, sua velocidade, em m/seg, é 𝑉 = 5𝑖 + 0𝑗 + 10𝑘. Suponha que a aceleração da gravidade é, em 𝑚/𝑠𝑒𝑔2, 𝑔 = 0𝑖 + 0𝑗 − 10𝑘 e calcule: a) A altura máxima que a bola atingirá. (1 ponto) b) O tempo que levará para a bola atingir o solo. (1 ponto) c) A distância horizontal percorrida pela bola, após a trajetória atingir o seu ponto mais alto. (0,5 ponto) QUESTÃO DE 2012 DO CEM Dois pontos matérias A e B, ambos de massa m, são atirados para cima a partir do solo, na vertical, com velocidades iniciais 𝑣𝑎 𝑒 𝑣𝑏, respectivamente, sujeitos exclusivamente á ação da força peso, num local cuja aceleração da gravidade é g. A altura máxima atingida pelo ponto material A é o dobro da altura máxima atingida pelo ponto material B. Então, o quociente 𝑣𝑎/𝑣𝑏 é: a) √2 2 b) 2 c) 4 d) ½ e) √2 http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 3 AULA-3GRAVADA: QUESTÃO DE 2013 DO CEM Um projétil é lançado para cima a partir do solo e sua velocidade inicial forma um ângulo de 45º graus com a horizontal. Quando o projétil atinge a altura de 10m, sua trajetória forma um ângulo de 30º com a horizontal. A componente horizontal da velocidade inicial do projétil, em m/s é: a) 0 b) 10√3 c) 20/3 d) 20√2 e) 50√2 QUESTÃO DE 2014 DO CEM Um ponto material movimenta-se no espaço com vetor posição dado por 𝑟(𝑡) = (𝑡2𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘)𝑚, onde t é medido em segundos. A aceleração desse ponto material no instante t=0s é: a) Nula b) (2𝑖 − 1𝑗 + 1𝑘)𝑚/𝑠2 c) (2𝑖 + 1𝑘)𝑚/𝑠2 d) (1𝑗 + 1𝑘)𝑚/𝑠2 e) 1𝑘 𝑚/𝑠2 QUESTÃO DE 2014 DO CEM No espaço xyz, no qual o eixo z é vertical e aponta para cima, um homem de 1.80m de altura está caminhando sobre o plano horizontal xy, com velocidade constante (3,0,0)m/s. Uma lâmpada, presa ao ponto (0,0,5)m, está acesa. Sendo assim, a velocidade do ponto da sombra do homem que mais dista da origem é: A) Constante e igual a (5/3.2)(3,0,0)m/s. B) Constante e igual a (5/1.8)(3,0,0)m/s. C) Constante e menor do que a velocidade do homem. D) De módulo estritamente crescente e varia linearmente com o tempo. http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 4 AULA-4GRAVADA: QUESTÃO DE 2015 DO CEM AULA-5 GRAVADA: QUESTÃO DE 2013.2 DO CEM Um ponto material de massa m = 1kg sobe, a partir do solo, uma rapa inclinada com 10m de comprimento, em movimento retilíneo uniforme, com velocidade de intensidade 2m/seg. Ao atingir o topo da rampa, a qual forma um ângulo de π/4 radianos com o solo, o ponto passa a se mover sob ação exclusiva da gravidade. Esse ponto atinge a altura máxima em relação ao solo após quantos segundos, contados a partir do instante em que o mesmo começa a subir a rampa? Considere a aceleração da gravidade g = 10m/ seg² a) √2 / 10 b) 5 - √2 /10 c) 5 d) 5 + √2 / 10 e) 6 / 5 http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 5 AULA-6 GRAVADA: QUESTÃO DE 2011 DO CEM Um projétil foi disparado no instante t=0 de uma plataforma que se encontra a 10m de altura. O canhão que disparou este projétil fazia um ângulo de 30º com a horizontal, apontado para cima, e a velocidade inicial do projétil era de 100 m/s. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10m/s². O projétil atinge o solo no instante. AULA-7 GRAVADA: QUESTÃO DE 2019 DO CEM http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 6 CINEMÁTICA COM DERIVADAS http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 7 Material de CINEMÁTICA com DERIVADAS em VÍDEO (NÍVEL SUPERIOR) 01. Os itens a) e b), abaixo, são independentes. a) (1,0) A posição de um corpo (massa m = 1,00 kg) que se move em uma dimensão dada pela equação horária x(t) = 8,00 + 18,0 t – 18,0 t2 (x em metros e t em segundos). Para que tempo t a velocidade do corpo e nula? Qual é a posição da partícula neste tempo? Qual é a força (módulo e sentido) que atua sobre o corpo no instante t = 8,75 s? b) (1,5) Qual é o tempo necessário a um corpo, em queda livre a partir de uma velocidade inicial nula, para percorrer o enésimo centímetro de sua trajetória? 02. A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo é dada (no sistema internacional de unidades SI) por x(t) = t3 – 9t2 + 15t + 5. Nesta circunstâncias, calcule: a) (1,0) O(s)instantes(s) em que a velocidade da partícula é nula. b) (1,5) A velocidade média da partícula entre o instante inicial t = 0 e o instante em que sua aceleração é nula. c) (1,0) Os instantes t1 e t2 nos quais a velocidade da partícula é 15 m/s. Em seguida, calcule o deslocamento ∆𝑥 = 𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1) neste intervalo de tempo. http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 8 03. Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t )= 16t2 – 2t4 onde a posição x e o tempo t estão dados no Sistema Internacional de unidades. a) (1,0) Calcule a posição, velocidade instantânea e a aceleração instantânea em t=1,0s b) (1,0) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de x? Calcule a posição e a aceleração instantânea da partícula neste instante. c) (1,0) Calcule o instante t > 0s em que a partícula retorna à posição x = 0 m. Quanto vale sua aceleração neste instante? 04. Um bloco de massa m=2,0 kg move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por x(t) = -2,0-3,0t+1/2t3, para o tempo dado em segundos. a) (0,5) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para t = 0 e t = 2. b) (1,0) Calcule a velocidade media e a aceleração média do bloco no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝑠. c) (1,0) Em que instante o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória? Qual a posição da partícula neste instante? d) (0,5) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre a partícula no instante t = 3s. Esta força varia ao longo do tempo? http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 9 05. uma partícula se move ao longo do eixo x. Inicialmente em repouso na origem, ela desloca-se para a direita, atinge sua posição máxima em t= t1, retorna e passa pela origem em t = t2. Seu movimento é descrito por 𝑥(𝑡) = 4 3 𝑡3 − 1 9 𝑡4. Em unidades do Sistema Internacional. a) (1,0) Calcule t1 e a aceleração naquele instante. b) (1,0) Calcule t2 e a velocidade naquele instante. c) (1,0) No intervalo entre t = 0 e t = t2, em que instante a maior velocidade (positiva) é alcançada? Quanto vale esta velocidade máxima? 06. Um bloco de massa m = 1Kg move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por x(t) = 27t - 3t3, para o tempo dado em segundos. a) (1,0) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para t = 2s e t = 5s. b) (1,0) Calcule a velocidade média e aceleração média do bloco no intervalo de tempo 2𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 5𝑠. c) (1,0) Em que instante de tempo o bloco atinge o ponto mais positivo de sua trajetória (considere a dinâmica apenas para t>0)? d) (1,0) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre o bloco ao instante t = 3s. Esta força varia ao longo do tempo? http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 10 Material de CINEMÁTICA /LANÇAMENTOS em VÍDEO (NÍVEL SUPERIOR) 01. Uma bola e lançada a partir do solo, no instante t = 0s, com uma velocidade inicial 𝑉𝑏0 = (2,0 𝑖 + 300,0 𝑗)𝑚/𝑠 como mostrado na Figura 1. A bola esta sobre a influência da força gravitacional de aceleração g = 10 m/s2 e não sofre resistência do ar. Uma parede móvel de altura infinita se encontra na posição D = 40 m, no instante t = 0s e se desloca para a direita com velocidade constante 𝑉𝑝 = (1,0 𝑖) 𝑚/𝑠. a) (1,0) Escreva a equação horária da bola ( xb(t) e yb(t) ) e da parede xp(t). b) (1,0) Qual é o instante de tempo e a altura da bola quando ela atinge a parede? c) (1,0) Para o instante de tempo em que a bola atinge a parede, escreva o vetor velocidade da bola Vb, em termos dos vetores unitários i e j. Neste instante, o movimento da bola é ascendente ou descendente? http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 11 02. De um ponto 0 situado 300 m acima do solo, lança-se horizontalmente uma partícula com velocidade escalar v0. No mesmo instante, uma outra partícula é lançada verticalmente para cima, de um ponto 0’ situado no solo, com velocidade escalar v0’ = 50,0 m/s, conforme mostra a Figura 1. Sabe-se que as partículas chocam-se em um ponto P. Desprezando a resistência do ar, calcule: a) (1,0) o tempo decorrido desde o lançamento até o choque das partículas; b) (1,0) a altura do ponto P em relação ao solo; c) (0,5) o valor de v0; d) (1,0) o vetor velocidade da partícula lançada horizontalmente quando ela atinge o ponto P. 03. Na figura ao lado, uma bola é lançada da origem em t = 0 com velocidade V0 = (20i + 20j) m/s (onde i e j são os vetores unitários ao longo dos eixos x e y respectivamente). Efeitos da resistência do ar são desprezíveis e g = -10 j m/s2. a) (1,0) Calcule a altura da bola após ela ter percorrido uma distância horizontal x = 20 m. b) (1,0) Determine o vetor velocidade para qualquer instante t > 0 e o vetor velocidade quando x = 20 m (todos em termos de i e j). c) (1,5) Suponha agora que tenhamos um platô a uma distância horizontal de x = 40 m da origem do lançamento (ver figura). A altura do platô é de 30 m. A bola cai por cima (A) ou atinge a lateral (B) do platô? Em qualquer dos casos, determine a distância do ponto P ao ponto de colisão com o platô. http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 12 04. Um projétil é lançado, a partir do solo, para o alto de um edifico de 40 m de altura. O voo do solo até o edifício dura 4s. A trajetória do projétil, no final, tem uma inclinação 𝜃 = 53° em relação à horizontal, como mostra a figura. Despreze a resistência do ar. a) (1,0) Calcule a componente vertical (vy) da velocidade do projétil, quando ele atinge o alto do edifício; b) (1,0) Calcule a componente horizontal (vx) da velocidade do projétil, quando ele atinge o alto do edifício; c) (1,0) Calcule a distância horizontal (d) percorrida pelo projétil desde o instante do lançamento até o momento em que ele atinge o alto do edifício; d) (1,0) Calcule a altura máxima atingida pelo projétil, nas condições deste lançamento. Seria possível atingir uma altura máxima superirà calculada neste item, mudando-se apenas o ângulo de lançamento do projétil? Explique sua resposta. 05. Uma bola é atirada para cima a partir do nível do solo. Quando a bola está no ponto A, a uma altura de 25 m, sua velocidade é V = 5,0i + 20j (m/s). Despreze a resistência do ar. a) (1,0) Calcule a altura máxima alcançada pela bola. b) (1,0) Calcule as componentes da velocidade da bola no instante em que ela é atirada para cima, a partir do solo. c) (1,5) Existe um muro ( ver figura) de 30 m de altura e localizado a 25 m de distância do ponto de onde a bola foi atirada. A bola passará sobre o muro? Justifique sua resposta fazendo os cálculos (sem Justificativa esse item não tem validade). http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 13 06. Um projétil é lançado do solo obliquamente, com velocidade inicial de 50, 0 m/s, cuja direção forma com a horizontal um ˆangulo α = 37, 0 ◦ . No instante em que ele atinge a altura máxima, encontra um plano horizontal liso e se move sobre toda sua extensão, durante 5, 00 s, quando, então, inicia seu movimento de declínio, conforme a figura 1. Considerando sen37◦ = 0, 60 e cos 37◦ = 0, 80, determine: a) (0,5) O tempo total de movimento. b) (0,5) O alcance. c) (1,0) A velocidade do projétil em notação de vetores unitários 1,00 s antes de ele atingir o solo (use o sistema de coordenadas da figura). d) (0,5) A distância do plano horizontal ao solo. 07. Um projétil é lançado obliquamente a partir da origem. Quando o projétil encontra-se a uma distância horizontal de 3,0 m em relação à origem sua velocidade é V1 = (2,0i + 5,0j)m/s, conforme mostra a figura abaixo. Despreze a resistência do ar. a) (1,0) Encontre o vetor velocidade inicial. b) (1,0) Calcule o tempo total de permanência no ar entre o lançamento do projétil e seu retorno ao solo. c) (1,0) Calcule a tangente do ângulo que a velocidade faz com o eixo x, no instante em que o projétil tem coordenada x = 6m. http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 14 08. Um grande pneu de raio R = 1 m, gira com velocidade angular constante em torno do seu eixo num plano vertical, conforme mostrado na figura. Em determinado instante, uma pedra se solta do ponto superior do pneu (ponto A). Sabemos que o eixo do pneu se encontra a uma altura h = 4 m do solo. a) (1,5) Sabendo que a aceleração centrípeta da pedra tinha módulo Ac = 100 m/s2 , calcule a distância horizontal percorrida pela pedra desde quando é solta até cair no solo no ponto B. b) (1,0) Escreva o vetor deslocamento da pedra entre os pontos A e B em termos dos vetores unitários î e ĵ. c) (1,0) Escreva o vetor velocidade da pedra ao cair no solo (ponto B), em termos dos vetores unitários î e ĵ. 09. Do alto de um morro, um homem joga um objeto A para cima (na direção vertical) e um outro objeto B para baixo (movimento também vertical), ambos com a mesma velocidade escalar inicial v0 = 10 m/s. (a) (1,5) Qual o primeiro instante de tempo em que o módulo da velocidade de B é o dobro do módulo da velocidade de A? (b) (1,0) Qual a distância entre A e B neste instante de tempo?. http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com PREPARATÓRIO ONLINE e PRESENCIAL CEM Prof. Chico Vieira Curso Online no site www.mirantedaaprovacao.com.br Informações: exataschicovieira@gmail.com Whatsapp 81 993029205 Página 15 10. Uma bola é chutada da origem do sistema de referência (ver figura) com uma certa velocidade inicial. Na representação de vetores unitários, no instante de tempo igual à metade do tempo de subida, a velocidade da bola é v = 7,0 i + 10,0 j, em unidades do Sistema Internacional, como mostrado na figura abaixo. Determine: a) (1,5) O vetor posição da bola, em termos de i e j, no instante igual à metade do tempo de subida; b) (1,0) A altura máxima atingida pelo projétil. 11. Uma roda uniforme, de raio R = 1,0 m, gira em torno de um eixo E, horizontal, fixo, orientado perpendicularmente ao plano da roda e passando por seu centro geométrico, como mostra a figura 2. A roda tem velocidade angular 𝜔 = 4,0 𝑟𝑒𝑑/𝑠. Uma partícula, inicialmente presa à borda da roda, destaca- se da mesma, no ponto P, indicado na figura. O ângulo ∝ é de 30°. Determine: a) (1,0) O vetor velocidade inicial da partícula, utilizando a notação de vetores unitários; b) (1,0) A maior altura que a partícula atinge, em relação ao plano horizontal de referência; c) (1,0) A distância horizontal percorrida pela partícula até ela atingir o plano horizontal de referência, mostrado na figura; d) (1,0) A velocidade da partícula, em notação de vetores unitários, imediatamente antes de ela atingir o plano de referência. http://www.mirante/ mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com mailto:exataschicovieira@gmail.com
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