AULA 2 edo

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA 2 – Equações Separáveis
Profa Msc. Mariel Cadena
Definição
• Uma equação separável é aquela diferencial de primeira ordem na qual a
expressão para ൗ𝑑𝑦 𝑑𝑥 pode ser fatorada como uma função de x vezes uma
função de y. Em outras palavras, pode ser escrita na forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 . 𝑓(𝑦)
Equações Separáveis
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Definição
• O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser
"separada" em função de x e uma função de y.
• De modo equivalente, se f(y) ≠ 0 podemos, podemos escrever
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔 𝑥
ℎ(𝑦)
Equações Separáveis
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Diferenciais
• Onde h y = ൗ1 f(y). Para resolver essa equação a reescrevemos na forma
diferencial
ℎ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
• Assim todos os y estão em um lado da equação e todos os x estão do outro
lado. Então, integramos ambos os lados da equação:
නℎ 𝑦 𝑑𝑦 = න𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Equações Separáveis
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Exemplo 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
𝑦2
, 𝑦 0 = 2 ∴ 𝑦 =
3
𝑥3 + 8
Exemplo 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
6𝑥2
2𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑦
∴ 𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2𝑥3 + 𝐶
Exemplo 3
𝑦′ = 𝑥2𝑦 ∴ 𝑦 = 𝐾. 𝑥 ൗ
𝑥3
3
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
Solução 
implícita
Exemplo 4 – Circuito RL
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
Por análise de malhas: Soma
das tensões na malha de um
circuito é igual a zero.
𝜀 − 𝑣𝑅 − 𝑣𝐿 = 0
𝜀 − 𝑅. 𝑖 − 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 0
Logo, temos:
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅. 𝑖 = 𝜀
Exemplo 4 – Circuito RL
• Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é
12Ω, a indutância é 4H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60V.
Além disso, a corrente começa a fluir quando 𝑡 = 0. Qual o valor limite da
corrente?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅. 𝑖 = 𝜀
Exemplo 4 – Circuito RL
• Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é
12Ω, a indutância é 4H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60V.
Além disso, a corrente começa a fluir quando 𝑡 = 0. Qual o valor limite da
corrente?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
4
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 12𝑖 = 60 ∴
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 15 − 3𝑖 ∴
𝑑𝑖
15 − 3𝑖
= 𝑑𝑡 ∴ 𝑖 𝑡 = 5 −
1
3
𝑘. 𝑒−3𝑡
solução geral
Exemplo 4 – Circuito RL
• Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é
12Ω, a indutância é 4H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60V.
Além disso, a corrente começa a fluir quando 𝑡 = 0. Qual o valor limite da
corrente?
• Para o Problema de Valor Inicial, temos i(t) = 0
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Equações Separáveis
𝑖 𝑡 = 5 − 5. 𝑒−3𝑡
Exemplo 4 – Circuito RL
• Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é
12Ω, a indutância é 4H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60V.
Além disso, a corrente começa a fluir quando 𝑡 = 0. Qual o valor limite da
corrente?
• A corrente limite em Ampères é
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Equações Separáveis
lim
𝑡→∞
5 − 5. 𝑒−3𝑡 = 5𝐴
Exemplo 5 – Problemas de Misturas
• Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000L de água. A água
salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min.
A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
• 𝑦 𝑡 − 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙
•
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙
•
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎
Exemplo 5 – Problemas de Misturas
• Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000L de água. A água
salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min.
A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0,03
𝑘𝑔
𝐿
25
𝐿
𝑚𝑖𝑛
= 0,75
𝑘𝑔
𝑚𝑖𝑛
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 =
𝑦(𝑡)
5000
𝑘𝑔
𝐿
25
𝐿
𝑚𝑖𝑛
=
𝑦(𝑡)
200
𝑘𝑔
𝑚𝑖𝑛
Exemplo 5 – Problemas de Misturas
• Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000L de água. A água
salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min.
A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0,75 −
𝑦 𝑡
200
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
150 − 𝑦 𝑡
200
∴ න
𝑑𝑦
150 − 𝑦 𝑡
= න
𝑑𝑡
200
−𝑙𝑛 150 − 𝑦 =
𝑡
200
+ 𝐶 ∴ 150 − 𝑦 = 𝑒−
𝑡
200 − 𝐶 ∴
𝑦 = 150 − 𝑒−
𝑡
200 . 𝑒 − 𝐶 ∴ 𝑦 = 150 − 𝑘. 𝑒−
𝑡
200
solução geral
K
Exemplo 5 – Problemas de Misturas
• Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000L de água. A água
salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min.
A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
Exemplo 5 – Problemas de Misturas
• Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000L de água. A água
salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min.
A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
𝑦 = 150 − 𝑘. 𝑒−
𝑡
200, 𝑦 0 = 20 ∴ 𝑦 𝑡 = 150 − 130𝑒 ൗ
−𝑡
200
solução particular
Exemplo 5 – Problemas de Misturas
• Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000L de água. A água
salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min.
A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa.
• Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Equações Separáveis
𝑦 30 = 150 − 130𝑒 ൗ
−𝑡
200 ≈ 38,1 𝑘𝑔
Crescimento e Decaimento exponencial
• Em geral, se y(t) é o valor de uma quantidade y a um tempo t e se a taxa de
mudança de y em relação a t é proporcional a seu tamanho y(t) em um
tempo qualquer, então
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘. 𝑦
Onde K é uma constante.
Se 𝑘 > 0 crescimento e se 𝑘 < 0 decaimento.
constante 
Resolvendo a equação diferencial separável:
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘. 𝑦 ∴
𝑑𝑦
𝑘. 𝑦
= 𝑑𝑡 ∴ න
𝑑𝑦
𝑘. 𝑦
= න𝑑𝑡 ∴
1
𝑘
. ln 𝑦 = 𝑡 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑒𝑘𝑡+𝑘𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑒𝑘𝑡. 𝑒𝑘𝐶 ∴
𝑦(𝑡) = 𝐴. 𝑒𝑘𝑡
Em t = 0 ocorre o valor inicial da função:
𝑦 0 = 𝐴. 𝑒𝑘.0 = 𝐴
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑘.𝑚 ∴
𝑑𝑚
𝑘.𝑚
= 𝑑𝑡 ∴
1
𝑘
න
𝑑𝑚
𝑚
= න𝑑𝑡 ∴
1
𝑘
. ln 𝑚 = 𝑡 + 𝐶 ∴
𝑚 = 𝑒𝑘𝑡+𝑘𝐶 ∴ 𝑚 = 𝑒𝑘𝑡. 𝑒𝑘𝐶 ∴ 𝑚 𝑡 = 𝐴. 𝑒𝑘𝑡 ∴ 𝑚(𝑡) = 𝑚0. 𝑒
𝑘𝑡
A
Decaimento Radioativo:
Para substâncias radioativas que decaem pela emissão espontânea de
radiação, temos que a taxa de decaimento é
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑘𝑚
Onde k é uma constante negativa.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
Exemplo 6 – Decaimento Radioativo:
A meia vida do radio-226 é de 1590 anos.
a) Uma amostra de rádio- 226 tem uma massa de 100mg. Encontre
uma fórmula para a massa do Radio-226 que permanece após t anos.
b) Calcule a massa depois de 1000 anos.
c) Quandoa massa será reduzida a 30 mg.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑚(𝑡) = 𝑚0. 𝑒
𝑘𝑡
Exemplo 6 – Decaimento Radioativo:
A meia vida do radio-226 é de 1590 anos.
a) Uma amostra de rádio- 226 tem uma massa de 100mg. Encontre
uma fórmula para a massa do Radio-226 que permanece após t anos.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑚 𝑡 = 𝑚0. 𝑒
𝑘𝑡 ∴ 50 = 100. 𝑒1.590𝑘
Tempo de meia vida t Τ
1 2
é o tempo necessário para que uma amostra decaia a sua metade.
Ou seja, quando t = 1.590 anos, teremos Τ𝑚0 2.
Massa inicial
m0
Exemplo 6 – Decaimento Radioativo:
A meia vida do radio-226 é de 1590 anos.
a) Uma amostra de rádio- 226 tem uma massa de 100mg. Encontre
uma fórmula para a massa do Radio-226 que permanece após t anos.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑒1.590𝑘=
1
2
∴ 1.590𝑘 = 𝑙𝑛
1
2
= −𝑙𝑛2 ∴ 𝑘 =
−𝑙𝑛2
1590
∴
𝑚 𝑡 = 100. 𝑒 Τ−(𝑙𝑛2 1590)𝑡
Exemplo 6 – Decaimento Radioativo:
b) Calcule a massa depois de 1000 anos.
c) Quando a massa será reduzida a 30 mg.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑚 𝑡 = 100. 𝑒 Τ−(𝑙𝑛2 1590)𝑡 ∴ 𝑚 1000 = 100. 𝑒 Τ−(𝑙𝑛2 1590).1000 ≈ 65𝑚𝑔
𝑚 𝑡 = 100. 𝑒 Τ−(𝑙𝑛2 1590)𝑡 ∴ 30 = 100. 𝑒 Τ−(𝑙𝑛2 1590).𝑡 ≈ 2.672 𝑎𝑛𝑜𝑠
𝑑𝑇
𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎)
= 𝑑𝑡 ∴ න
𝑑𝑇
𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎)
= න𝑑𝑡 ∴
1
𝑘
. ln 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑡 + 𝐶 ∴
ln 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑘𝑡 + 𝑘𝐶 ∴ 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑒𝑘𝑡+𝑘𝐶 ∴ 𝑇(𝑡) = 𝑇0. 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑎
Temperatura 
Ambiente
Lei do Resfriamento de Newton:
• A Lei do Resfriamento de Newton estabelece que a taxa de resfriamento de
um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua
redondeza, dado que essa diferença não seja muito grande.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎)
Exemplo 7 – Lei do Resfriamento de Newton:
Uma garrafa de soda limonada com temperatura de 72℉ é colocada
em um refrigerador onde a temperatura indica 44℉. Depois de meia
hora a soda é resfriada a uma temperatura de 61℉.
a) Qual é a temperatura da soda depois de mais 30 minutos na
geladeira?
b) Quanto tempo demoraria para a soda atingir 50F?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑇(𝑡) = 𝑇0. 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑎
Exemplo 7 – Lei do Resfriamento de Newton:
Uma garrafa de soda limonada com temperatura de 72℉ é colocada
em um refrigerador onde a temperatura indica 44℉. Depois de meia
hora a soda é resfriada a uma temperatura de 61℉.
Temperatura 
Inicial
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑇(𝑡) = 𝑇0. 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑎 ∴ 72 = 𝑇0.1 + 44 ∴ 𝑇0 = 28℉
Temperatura 
Ambiente
Exemplo 7 – Lei do Resfriamento de Newton:
Uma garrafa de soda limonada com temperatura de 72℉ é colocada
em um refrigerador onde a temperatura indica 44℉. Depois de meia
hora a soda é resfriada a uma temperatura de 61℉.
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑇 = 28. 𝑒𝑘𝑡 + 𝑇𝑎 ∴ 61 = 28. 𝑒30.𝑘 + 44 ∴ 𝑒30.𝑘 = 0,6071 ∴
30𝑘 = ln(0,6071) ∴ 30 𝑘 = −0,499 ∴ 𝑘 = −0,01663
→ 𝑇 𝑡 = 28. 𝑒−0,01663.𝑡 + 44
T(30) = 61
Exemplo 7 – Lei do Resfriamento de Newton:
a) Qual é a temperatura da soda depois de mais 30 minutos na
geladeira?
b) Quanto tempo demoraria para a soda atingir 50℉?
T(60) = ?? ℉
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑇 𝑡 = 28. 𝑒−0,01663.60 + 44 ≈ 54,3℉
T(??) = 50℉
50 = 28. 𝑒−0,01663.𝑡 + 44 ≈ 92,6 ≈ 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒 33 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑑𝑃
𝑘𝑃
= 𝑑𝑡 ∴ න
𝑑𝑃
𝑘𝑃
= න𝑑𝑡 ∴
1
𝑘
. ln 𝑃 = 𝑡 + 𝐶 ∴
ln 𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝑘𝐶 ∴ 𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑘𝐶 ∴ 𝑃(𝑡) = 𝑃0. 𝑒
𝑘𝑡
Modelo para Crescimento Populacional:
• Um dos modelos para o crescimento populacional baseia-se na premissa
que a população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população:
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘. 𝑃
Valor da constante 
k em %
População Inicial
(amostra zero)
𝑃 0 = 1.650
Exemplo 8 – Modelo para Crescimento Populacional:
• Presumindo que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da
População, use os dados da Tabela para modelar a população do mundo no
século XX. Qual a taxa de crescimento relativo?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
Ano
População 
(milhões)
1900 1.650
1920 1.860
1940 2.300
1960 3.040
1980 4.450
2000 6.080
Valor da constante 
k em %
População Inicial
(amostra zero)
𝑃 0 = 1.650
Exemplo 8 – Modelo para Crescimento Populacional:
• Presumindo que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da
População, use os dados da Tabela para modelar a população do mundo no
século XX. Qual a taxa de crescimento relativo?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
Ano
População 
(milhões)
1900 1.650
1920 1.860
1940 2.300
1960 3.040
1980 4.450
2000 6.080
𝑃(𝑡) = 𝑃0. 𝑒
𝑘𝑡
“Como determinamos k”?
Escolhendo outro ponto da Tabela (ou da curva) e 
substituindo na nossa equação conhecida.
Exemplo 8 – Modelo para Crescimento Populacional:
• Presumindo que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da
População, use os dados da Tabela para modelar a população do mundo no
século XX. Qual a taxa de crescimento relativo?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
Ano
População 
(milhões)
1900 1.650
1920 1.860
1940 2.300
1960 3.040
1980 4.450
2000 6.080
𝑃 𝑡 = 𝑃0. 𝑒
𝑘𝑡 ∴ 𝑃 20 = 1.650. 𝑒𝑘.20 = 1.860 ∴
𝑒𝑘.20 =
1860
1650
∴ 20𝑘 = ln 1,127 ∴ 𝑘 = 0,00599
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 0,6% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜
𝑃 𝑡 = 1.650𝑒0,00599.𝑡
Exemplo 8 – Modelo para Crescimento Populacional:
• Presumindo que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da
População, use os dados da Tabela para modelar a população do mundo no
século XX. Qual a taxa de crescimento relativo?
STEWART, J. Cálculo, volume 2, 5ª edição, Thomson, 2007.
Lei do Crescimento e Decaimento Natural
Ano
População 
(milhões)
1900 1.650
1920 1.860
1940 2.300
1960 3.040
1980 4.450
2000 6.080
• Validando o modelo:
𝑃 80 = 1.650𝑒0,00599.𝑡 =?
𝑃 80 = 1.650𝑒0,00599.80 ∴ 𝑃 80 = 1.650𝑒0,4792 ∴
𝑃 80 = 2.149,3 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Se tornou impreciso com um período de tempo maior.