Função Exponencial e Logarítmica

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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
F(x) = 𝒂𝒙 
b = 𝑎𝑛 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 → n Vezes 
Para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ, temos: 𝑎𝑛 = 𝑏, onde: 
𝑎 = Base 
𝑏 = Potência 
𝑛 = Expoente 
Por definição: 
𝑎0 = 1 a¹ = 𝑎 𝑎−𝑛 = 
1
𝑎𝑛
 
Propriedades: 
Potenciação: 
Se 𝒎 e 𝒏 são números inteiros, valem as seguintes propriedades: 
 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 
 (𝑎. 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑏𝑚 
 (𝑎: 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚: 𝑏𝑚 
 (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
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Radiciação: 
Se 𝒎 e 𝒏 são número naturais não nulos, valem as seguintes propriedades: 
 √𝑎
𝑛 = 𝑎
1
𝑛 
 √𝑎
𝑛 . √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
 
 √𝑎
𝑛 : √𝑏
𝑛
= √
𝑎
𝑏
𝑛
 
 √ √𝑎
𝑚𝑛 = √𝑎
𝑛.𝑚
 
 ( √a
n )
p
= √ap
n
 
Equação Exponencial: 
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas 
para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. 
Observe a resolução da equação exponencial a seguir: 
 3𝑥 = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37). 3𝑥 = 37 
 x = 7 
 O valor de x na equação é 7. 
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A função exponencial natural, denotada e
x
 ou exp(x) é a função 
exponencial cuja base é o número de Euler (um número 
irracional que vale aproximadamente 2,718281828). 
EEAR 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 
EEAR 
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3/2 
EsPCEx 2008 
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EsPCEx 2009 
EsPCEx 2011 
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EsPCEx 2018 
Equação Exponencial: 
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar 
técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são 
iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir: 
 3𝑥 = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37). 
 3𝑥 = 37 
 x = 7 
 O valor de x na equação é 7. 
 Exemplos: 
2𝑥 = 32 ⇒ 2𝑥 = 25 ⇒ 𝑥 = 5 
(
1
3
)
𝑥
= 27 ⇒ (3−1)𝑥 = 33 ⇒ 3−𝑥 = 33 ⇒ 𝑥 = −3 
(√2)
𝑥
= 16 ⇒ (2
1
2)
𝑥
= 24 ⇒ 
𝑥
2
= 4 ⇒ 𝑥 = 8 
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Exemplos: 
 32𝑥+1. 93𝑥+1 = 27𝑥−1 
 9𝑥 + 3𝑥 = 12 
 4𝑥+1 − 4. 2𝑥 = 224 
1) (PUC-RJ 2012) A equação 2𝑥
2−14 = 
1
1024
. A soma das duas soluções é: 
 a) – 5 
 b) 0 
 c) 2 
 d) 14 
 e) 1024 
2) (CFTMG 2013) O produto das raízes da equação exponencial 
3.9𝑥 − 10. 3𝑥 + 3 = 0 é igual a 
a) –2. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 1. 
4) Dada a equação: 2𝑥
2
. 2𝑥= 64 a diferença entre a maior e a menor raiz dessa 
equação é: 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 5 
16) Calcule x em 3𝑥+1 −
18
3𝑥
= 25: 
 a) 2 
 b) – 1 
 c) 0 
 d) 1 
 e) 1 
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17) O produto das raízes da equação, 4𝑥+1 − 9. 2𝑥 + 2 = 0 é: 
 a) – 2 
 b) – 1 
 c) 0 
 d) ½ 
 e) 3 
18) Os números inteiros x e y satisfazem 2𝑥+1 + 2𝑥 = 3𝑦+2 − 3𝑦. Então x é: 
 a) – 1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2 
 e) 3 
(EEAr 2012) No conjunto dos números reais, a equação (3𝑥)𝑥 = 98 tem por raízes 
a) um número positivo e um negativo. 
b) um número negativo e o zero. 
c) dois números negativos. 
d) dois números positivos. 
(EEAr 2004) O valor da expressão 5𝑥0 + 2𝑥
3
4 + 9𝑥−
1
2 , quando 𝑥 = 81, é 
a) 48. 
b) 60. 
c) 65. 
d) 72. 
(EsPCEx 2018) As raízes inteiras da equação 23𝑥 − 7. 2𝑥 + 6 = 0 são 
 a) 0 e 1 b) -3 e 1 c) -3, 1 e 2 d) -3, 0 e 1 e) 0, 1 e 2 
(EsPCEx 2012)O conjunto solução do sistema {
3𝑥 . 27𝑦 = 9
𝑦3 +
2
3
𝑥𝑦2 = 0 
é formado por dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é 
a) Ambos no primeiro quadrante. 
b) Um no quarto quadrante e outro no eixo X . 
c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. 
d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y . 
e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X . 
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Inequação Exponencial: 
Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas 
que apresentam a incógnita no expoente. 
Base 𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 0) 
𝑎𝑥1<𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 < 𝑥2 (𝑠𝑒 𝑎 > 1) 
𝑎𝑥1<𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 > 𝑥2 (𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1) 
Exemplos: 
 2𝑥 > 64 ⇒ 2𝑥 > 26 ⇒ 𝑥 = 6 
 (
1
3
)
𝑥
≤ 27 ⇒ (3−1)𝑥 ≤ 33 ⇒ 3−𝑥 ≤ 33 ⇒ −𝑥 ≤ 3 ⇒ 𝑥 ≥ −3 
 (√2)
𝑥
≥ 8√2 ⇒ (2
1
2)
𝑥
≥ 23. 2
1
2 ⇒ 2
𝑥
2 ≥ 2
7
2 ⇒ x = 7 
 (0,7)2𝑥−1 > 1 ⇒ (0,7)2𝑥−1 > (0,7)0 ⇒ 2𝑥 − 1 < 0 ⇒ 𝑥 <
1
2
 
EEAR 
 
EsPCEx 2012 
 
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LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
F(x) = 𝒍𝒐𝒈 𝒙 
Sejam a e b dois números reais positivos (𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑎 > 0), 
denominasse logaritmo de a na base b o expoente x (log𝑏 𝑎 = 𝑥), sendo 
𝑏𝑥 = 𝑎: 
 Obs : log 𝑎 = log10 𝑎: 
Propriedades: 
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Mudança de Base: 
log𝑎 𝑏=
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
 
Logaritmos Naturais: ln x = loge x 
Cologaritmo: cologa b = −loga b 
Equações logarítmicas: 
log2 4 = 2 , pois 2
2 = 4 
log3 81 = 4 , pois 3
4 =81 
log7 7 = 1 , pois 7
1 = 7 
log5 1 = 0 , pois 5
0 = 1 
log2
1
8
= −3 , pois 2−3 =
1
8
 
log2 √2 =
1
2
 , pois 2
1
2 = √2 
log2
1
8
= −3 , pois 2−3 =
1
8
 
log1
5
125 = −3 , pois 53 = 125 
Exemplos: 
a) log
√4
3 2 b) log32 0,125 
c) 9log3 7 d) log2(𝑥
2 + 𝑥) = log2(4𝑥 − 2) 
e) ln 𝑒4 − log 0,001 
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3) (PUCRS) Escrever 𝑏log𝑏 𝑎 = 𝑏−2, equivale a escrever 
a) 𝑎 = 
1
𝑏2
 
b) 𝑏 = 𝑎2 
c) a = b² 
d) b² = -a 
e) 𝑏 = 
1
𝑎2
 
4) O número real x, tal que log𝑥 (
9
4
) = 
1
2
 , é 
a) 81/16 
b) -1/2 
c) 1/2 
d) 2 
e) -81/16 
5) (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: 
a) o número ao qual se eleva a para se obter b 
b) o número ao qual se eleva b para se obter a 
c) a potência de base b e expoente a 
d) a potência de base a e expoente b 
e) a potência de base 10 e expoente a 
6) (FUVEST) Se log2 𝑏 − log2 𝑎 = 5, o quociente 
𝑏
𝑎
 vale: 
a) 10b) 25 
c) 32 
d) 64 
e) 128 
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7) (FEI) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log
32
27
 em função de a e b 
obtemos: 
a) 2a + b 
b) 2a − b 
c) 2ab 
d) 2a/b 
e) 5a − 3b 
8) Se 𝑙𝑜𝑔 𝐸 = 2 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 3 𝑙𝑜𝑔 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔 𝑐 − 𝑙𝑜𝑔 𝑑, então E é igual a: 
a) 𝑎² + 𝑏³ − 𝑐 − 𝑑 
b) 𝑎²𝑏³ − 𝑐𝑑 
c) 
𝑎²𝑏³
𝑐𝑑
 
d) 
𝑎²𝑏³𝑑
𝑐
 
e) 𝑎²𝑏³𝑐𝑑 
11) (UEL) O valor da expressão 
log3 1+log 0,01
log2(
1
64
) . log4 √8
, é igual a: 
a) 4/15 
b) 1/3 
c) 4/9 
d) 3/5 
e) 2/3 
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EsPCEx 2019 
EsPCEx 2001 
EsPCEx 2001 
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EsPCEx 2001 
EsPCEx 2002 
EsPCEx 2003 
EsPCEx 2004 
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ESA 2010 
Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta 
em 2 unidades. Pode-se afirmar que x é um número: 
a) Irracional b) Divisor de 8 c) Múltiplo de 3 d) Menor que 1 e) Maior que 4 
Inequações Exponenciais 
𝑎𝑥1<𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 < 𝑥2 (𝑠𝑒 𝑎 > 1) 
𝑎𝑥1<𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 > 𝑥2 (𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1) 
3𝑥 > 7 
 4𝑥 < 3 
(0,4)𝑥 ≤2 
 23𝑥+1 ≥5 
Inequações Logarítmica 
1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base: 
log
a
 b < log
a
 c 
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), 
podemos desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os 
logaritmandos, isto é: 
Se a > 1, então log
a
 b < log
a
 c ↔ b < c 
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a 
inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma 
inequação entre os logaritmandos, ou seja: 
Se 0 > a > 1, então log
a
 b < log
a
 c ↔ b > c 
2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real: 
log
a
 b < x 
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade 
entre um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do 
logaritmo, mantendo intacto o símbolo da desigualdade: 
log
a
 b < x ↔ b < a
x
 ou log
a
 b > x ↔ b > a
x
 
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Exemplo 1: log
5
 (2x – 3) < log
5
 x 
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos: 
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do 
que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os 
logaritmandos: 
log
5
 (2x – 3) < log
5
 x 
2x – 3 < x 
2x – x < 3 
x < 3 
Exemplo 2: log
2
 (x + 3) ≥ 3 
x + 3 > 0 
x > – 3 
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. 
Podemos resolver o logaritmo da forma convencional, mantendo a 
desigualdade: 
log
2
 (x + 3) ≥ 3 
x + 3
 
≥ 2
3 
 
x + 3
 
≥ 8 
x
 
≥ 8 – 3 
x
 
≥ 5 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 ≥ 𝟓} 
 
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Exemplo 3: log
1/2
 3x > log
1/2
 (2x + 5) 
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que 
é menor do que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-
a entre os logaritmandos: 
log
1/2
 3x > log
1/2
 (2x + 5) 
3x < 2x + 5 
3x – 2x < 5 
x < 5 
𝑺 = {𝒙 ∈ 𝑹/ 𝟎 < 𝒙 < 𝟓} 
 
Exemplo 4: log
1/3
 (x+3) < -2 
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo: 
x+3>0⇒x>−3 
E, aplicando a definição de logaritmo, além de nos atentarmos ao fato que a 
desigualdade deverá ser invertida (pois a base é 1/3 que está entre 0 e 1), temos 
que 
x+3>(1/3)
−2
 
x+3>9⇒x>6 
𝑺 = {𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 > 𝟔} 
 
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 log3(3𝑥 − 2) ≤ log3 𝑥 
 log2(𝑥
2 − 5𝑥) > log2(𝑥 − 5) 
 log1
4
2𝑥2 < log1
4
(𝑥 + 1) 
log3(4𝑥 − 1) < 3 
 log1
2
(𝑥2 + 7𝑥) > − 3 
EsPCEx 2004 
Definição de Função Logarítmica: 
Dado um número real a (𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1) chamamos função logarítmica de base 
“a” função f(x)= log𝑎 𝑥, definida para todo 𝑥 real positivo 
Descobrir o domínio de uma Função Logarítmica 
f(x)= log(𝑥−2)(5 − 2𝑥) 
5 − 2𝑥 > 0 𝑥 − 2 > 0 𝑥 − 2 ≠ 1 
𝑥 <
5
2
, 𝑥 > 2, 𝑥 ≠ 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 2 < 𝑥 <
5
2
} 
 
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Gráfico da Função Logarítmica 
f(x)= log2 𝑥 
a > 0, crescente 
0 < a < 1, decrescente 
f(x)= log1
2
𝑥 
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1. Determine o domínio de cada uma das funções: 
a) f(x)= log2(𝑥 − 1) 
b) f(x)= log3(𝑥² − 4) 
c) f(x)= log𝑥(−𝑥 + 2) 
2. (UC-GO) Suponha que o número de peças produzidas por uma 
indústria aumente mensalmente de acordo com a função 
N(t)= 200. log3(1 + 𝑡). Nessa função, t é o número de meses contados a 
partir de um certo período e N é o número de peças produzidas. 
I - Quantas peças serão produzidas no 2º mês? 
II - Quantos meses serão necessários para que a produção obtida seja o 
dobro da produção no 2º mês? 
a) I – 200, II – 6 b) I – 200, II – 8 c) I – 250, II – 6 d) I – 250, II – 8 
3. (FGV-SP) A função 𝑃 = 60(2)𝑡 representa a estimativa do Produto Interno 
Bruto em bilhões de dólares (PIB) de um país no ano t, adotando a seguinte 
convenção: (Utilize log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5) 
t = 0 representa o ano de 2021; 
t = 1 representa o ano de 2022; 
t = 2 representa o ano de 2023; 
Quantos meses serão necessários para que a produção obtida seja o triplo 
da produção do ano de 2023? 
a) 42 b) 52 c) 44 d) 54 
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4. (FGV-SP) Um automóvel vale hoje R$ 20.000,00 Estima-se que seu 
valor (y) daqui a x anos seja dado pela função exponencial função 
𝑦 = 𝑎. 𝑏𝑥 . Sabendo-se que o valor estimado para daqui a 3 anos é 
R$ 15.000,00: 
Qual o valor estimado daqui a 6 anos? 
a) R$ 12.000,00 b) R$ 11.500,00 c) R$ 12.300,00 d) R$ 11.250,00 
5. (UFSão Carlos-SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, 
que se destina a produção de madeira, evolui, desde que é plantada, 
segundo o modelo matemático: h(t)= 1,5 + log3(1 + 𝑡), com h(t) em 
metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco 
atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da 
plantação até o corte foi de: 
a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2 
6. (Fuvest-SP) A curva da figura que segue representa o gráfico da função 
y= log10 𝑥, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada 
pelos dois retângulos, é: 
 
 
 
 
 
 
a) log10 2 b) log10 3 c) log10 4 d) log10 5 e) log10 6 
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ExPCEx 2002 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (UFF-RJ) A figura representa o gráfico da função f definida por log2 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
a) √6 b) √5 c) log2 5 d) 2 e) log 2Prof Luís Guilherme Leite Martins –Prepare Cursos – EsPCEx – ESA - EEAR Página 26 
 
 
EsPCEX 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EsPCEx 2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESA 2012 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
2log 𝟐
1+log 2
 b) 
log 𝟐
log 2+2
 c) 
5log 𝟐
log 2+𝟏
 d) 
8log 𝟐
1−log 2
 e) 
5log 𝟐
1−log 2
 
Prof Luís Guilherme Leite Martins –Prepare Cursos – EsPCEx – ESA - EEAR Página 27 
 
 
EsPCEx 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESA 2012 
 
 
 
 
 
 
 
EEAR 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 0 b) 1 c) 10 d) 100 
Prof Luís Guilherme Leite Martins –Prepare Cursos – EsPCEx – ESA - EEAR Página 28 
 
 
EEAR 2013 
 
 
 
 
 
a) 10𝑘 b) 𝑘10 c) 5𝑘 d) 𝑘5