Aula 1 2 - Livro

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FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
V217m Van de Walle, John A.
 Matemática no ensino fundamental [recurso eletrônico] :
 formação de professores em sala de aula / John A. Van de Walle
 ; tradução Paulo Henrique Colonese. – 6. ed. – Dados
 eletrônicos. – Porto Alegre : Artmed, 2009.
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-363-2090-8
 1. Matemática – Ensino fundamental. 2. Conceitos
 numéricos. 3. Senso numérico. 4. Operações. I. Título. 
CDU 51:373.3
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
capítulo 2
Explorando o que 
Signifi ca Fazer 
Matemática
Em termos práticos, a matemática é uma ciência de padrões 
e de ordem. Seu domínio não envolve moléculas ou células, mas 
sim números, chances, formas, algoritmos, variações e transfor-
mações. Como uma ciência de objetos abstratos, a matemática 
se baseia na lógica em vez de em observações como seu padrão 
de verdade, apesar de empregar a observação, a simulação e, até 
mesmo, a experimentação como meios para descobrir verdades.
Mathematical Sciences Education Board 
*
(1989, p. 31)
Como você descreveria o que você faz ao criar e construir ideias matemáticas? Pare por um momento e escreva 
algumas frases sobre o que signifi ca saber e fazer matemática, 
baseado em suas próprias experiências. Guarde as suas anotações 
até terminar este capítulo.
A descrição do fazer matemática que você lerá aqui pode 
não combinar com suas experiências pessoais. Mas tudo bem! 
Você chegou a este ponto com convicções desenvolvidas em suas 
experiências anteriores com a matemática. Entretanto, não deve-
mos aceitar ideias antiquadas sobre a matemática e ainda espe-
rar ser um professor de qualidade. O seu dever, e grande desafi o 
ao ler este capítulo e este livro, é reconceitualizar sua própria 
compreensão do que signifi ca saber e fazer matemática de modo 
que as crianças com quem você trabalhe desenvolvam uma visão 
mais excitante e mais acurada da matemática.
Percepções divergentes da 
matemática escolar
Muitas mudanças ocorreram desde 1989 quando o NCTM 
estabeleceu uma visão para as mudanças nas salas de aula de 
matemática. Cada vez mais professores estão começando a usar 
o que pode ser chamado de uma “abordagem dos Padrões”: mais 
aprendizagem cooperativa, mais ênfase em conceitos e na reso-
lução de problemas e uma maior tolerância para o uso de calcu-
 * N. de T.: MSEB: Conselho de Educação em Ciências Matemáticas, EUA. 
(site: http://www7.nationalacademies.org/MSEB/index.html). As publica-
ções do MSEB estão disponíveis gratuitamente para leitura no site da Na-
tional Academy Press (Imprensa da Academia Nacional): www.nap.edu.
ladoras. Em geral, essas mudanças são superfi ciais e não estão 
mudando de fato a natureza do que as crianças fazem e como elas 
pensam nas aulas de matemática. Além disso, como indicado no 
Capítulo 1, as pressões das pontuações dos testes estatais têm 
uma tendência para reforçar as abordagens de “exercício e ades-
tramento” embora as pesquisas demonstrem consistentemente 
que tais métodos são inefi cazes. Felizmente, exceções maravi-
lhosas podem ser encontradas por toda parte.
Visões tradicionais da matemática
A maioria dos adultos reconhecerá que a matemática é um 
tema importante, mas poucos compreendem sobre o que trata a 
disciplina. Para muitos, a matemática é uma coleção de regras a 
serem dominadas, de cálculos aritméticos, de equações algébri-
cas misteriosas e de demonstrações geométricas. Esta percepção 
está totalmente em contraste com uma visão da matemática que 
envolva dar signifi cado aos objetos matemáticos tais como dados, 
formas, variações ou padrões. Um número signifi cativo de adultos 
quase chega a se orgulhar em dizer, “Eu nunca fui muito bom em 
matemática”. Como esta perspectiva debilitante da matemática 
– uma simples coleção de procedimentos e regras enigmáticas – 
se tornou tão dominante em nossa sociedade? A melhor resposta 
pode ser encontrada nas abordagens tradicionais do ensino de ma-
temática. O ensino tradicional, o padrão educativo ainda predomi-
nante, começa tipicamente com uma explicação de qualquer ideia 
que esteja na página atual do texto didático, seguida por mostrar às 
crianças como fazer os exercícios indicados. Até mesmo com ati-
vidades envolvendo materiais ou modelos concretos
**
, o professor 
tradicional continua guiando os estudantes, dizendo exatamente 
como usar os materiais de uma maneira bem prescrita. O enfo-
que da lição está principalmente em obter respostas. Os estudantes 
delegam apenas ao professor a responsabilidade de determinar se 
suas respostas estão corretas. As crianças emergem dessas expe-
riências com uma visão de que a matemática é uma série de regras 
arbitrárias, transmitidas pelo professor que por sua vez as obteve 
de alguma fonte muito inteligente.
 ** N. de T.: Atualmente chamadas de atividades hands-on (manipulativas ou 
interativas) pelo ensino formal e não formal (museus de ciências).
32 John A. Van de Walle
Esta visão “siga as regras”, “dominada pelos cálculos” e 
“orientada para respostas” da matemática é uma distorção brutal 
da real essência da matemática. Ela não pode ser muito excitan-
te. Algumas crianças são boas em aprender regras e prosperam 
bem nas séries seguintes. Mas, estes estudantes não são, neces-
sariamente, os melhores pensadores em sala de aula. O sistema 
tradicional recompensa a aprendizagem de regras, mas oferece 
poucas oportunidades para realmente fazer matemática.
Matemática como uma ciência de 
padrões e ordem
A Matemática é a ciência de padrões e ordem. Esta des-
crição maravilhosamente simples da matemática se encontra na 
publicação provocadora de refl exões Everybody Counts * (Todo 
Mundo Conta, MSEB, 1989; veja também Schoenfeld, 1992). 
Esta defi nição desafi a a visão social popular da matemática en-
quanto uma disciplina dominada por cálculo e regras sem razão. 
A ciência é um processo de compreender e dar signifi cado às coi-
sas. Ela começa com situações baseadas em problemas. Embora 
você possa nunca ter pensado na matemática deste modo, ela é 
uma ciência de coisas que possuem um padrão de regularidade 
e de ordem lógica. Descobrir e explorar esta regularidade ou or-
dem e então, dar sentido a esta ordem é do que realmente se trata 
o fazer matemática.
Até mesmo a criança no início da escolarização pode e deve 
ser envolvida na ciência dos padrões e da ordem. Você alguma 
vez notou que 6+7 é igual a 5+8 e 4+9? Qual é o padrão? Quais 
são as relações? Quando dois números ímpares são multiplica-
dos, o resultado também é ímpar, mas se os mesmos números fo-
rem somados ou subtraídos, o resultado é par. Há uma lógica por 
trás de resultados simples como esses, uma ordem, um padrão.
Considere o estudo de álgebra. Alguém pode aprender a fa-
zer o gráfi co da equação de uma parábola simplesmente seguin-
do regras e plotando pontos. E atualmente, calculadoras estão 
prontamente disponíveis para fazer isso com uma velocidade e 
precisão que nós nunca esperaríamos alcançar. Mas compreen-
der por que certas formas de equações sempre produzem gráfi cos 
parabólicos envolve uma busca por padrões no modo como os 
números se comportam. Descobrir que tipos de relações do mun-
do real são representados através de gráfi cos parabólicos (por 
exemplo, um balanço de pêndulo relacionado ao comprimento 
do pêndulo) é ainda mais interessante e até mesmo mais cientí-
fi co e infi nitamente mais valioso do que a habilidade de plotar a 
curva quando alguém fornece sua equação.
E os padrões não estão apenas em números e equações, mas 
também em tudo ao nosso redor. O mundo está cheio de padrões 
e de ordem: na natureza, na arte, nas construções, na música. 
Padrões e ordem são encontrados no comércio, na ciência, na 
medicina, nas indústrias e fábricas e na sociologia. A matemática 
descobre esta ordem, lhe dá sentido, e a utiliza em uma variedade 
de maneirasfascinantes, melhorando nossas vidas e amplian-
do nosso conhecimento. A escola tem que começar a ajudar as 
crianças com este processo de descoberta.
 * N. de T.: Você poderá ler e imprimir o livro no site da NAP: http://books.
nap.edu/openbook.php?record_id=1199&page=R1.
O que signifi ca fazer 
matemática?
Se engajar na ciência dos padrões e da ordem – em fazer ma-
temática – envolve esforço e demanda tempo. Há muitas ideias 
para aprender. Geralmente estas ideias aparecem em listas de 
“habilidades básicas”. Por exemplo, as crianças devem ser capa-
zes de contar com precisão, conhecer os fatos básicos da adição 
e da multiplicação, ter métodos efi cientes para operar com núme-
ros inteiros, frações e decimais, conhecer os fatos básicos de me-
didas, tais como, o número de polegadas
**
 em um pé
***
 ou quartos
****
 
em um galão
*****
, saber os nomes de formas geométricas, e assim 
por diante. Entretanto, dominar esses conhecimentos pontuais e 
parciais não é mais fazer matemática do que tocar notas no piano 
seria fazer música.
O documento Princípios e Padrões deixa muito claro 
que há um momento e um lugar para a prática de exer-
cícios, mas que os exercícios nunca devem vir antes da 
compreensão. Exercícios repetitivos de conteúdos isolados e com-
partimentados da matemática não são “fazer matemática” e nunca 
resultarão em compreensão. Os exercícios podem, em curto prazo, 
produzir bons resultados em testes tradicionais, mas os seus efeitos 
têm produzido, em longo prazo, uma nação de cidadãos felizes em 
admitir que não conseguem fazer ou compreender matemática.
Os verbos do fazer matemática
Imagine por um momento uma sala de aula de matemática 
elementar onde os estudantes estejam realmente fazendo mate-
mática. Que verbos você usaria para descrever as atividades nes-
ta sala de aula? Pare por um momento e faça uma pequena lista 
de verbos antes de continuar a leitura.
As crianças em aulas de matemática tradicionais descrevem 
normalmente a matemática como “trabalho” ou “achar a res-
posta”. Elas falam em fazer contas de somar e multiplicar. Em 
contraponto podemos encontrar a seguinte coleção de verbos na 
maioria da literatura que descreve a reforma em educação mate-
mática, e todos são usados nos Princípios e Padrões:
explorar representar explicar
investigar formular predizer
conjecturar descobrir desenvolver
resolver construir descrever
justifi car verifi car usar
Esses são verbos de procedimentos científi cos indicadores 
do processo de “atribuir signifi cado” e de “compreender”. Quan-
do as crianças estão comprometidas com os tipos de atividades 
sugeridos nesta lista, é quase impossível que elas sejam observa-
 ** N. de T.: Polegada: medida de comprimento inglesa equivalente a 2,54 
cm. (ainda muito usada em construções).
 *** N. de T.: Pé: medida de comprimento inglesa equivalente a 30,48 cm.
 **** N. de T.: Quarto: medida de capacidade inglesa para líquidos equiva-
lente a ¼ de galão ou 0,95 litros.
 ***** N. de T.: Galão: medida de capacidade inglesa para líquidos equiva len-
te a 4 quartos ou 3,8 litros. (ainda muito usada em tintas).
Padrões
NCTM
Matemática no Ensino Fundamental 33
doras passivas. Elas necessariamente estarão pensando ativamen-
te nas ideias matemáticas envolvidas.
Em salas de aula onde fazer matemática deste modo é uma 
ocorrência diária, os estudantes estão internalizando uma mensa-
gem poderosa: “Você é capaz de dar signifi cado a isso – você é 
capaz de fazer matemática!”.
O que é básico em matemática?
Em um clima onde os “fundamentos” (conhecimentos bási-
cos) são mais uma vez uma questão de discussão pública e há uma 
pressão infl exível sobre os professores para elevar as pontuações 
dos testes estaduais e nacionais, é útil perguntar, “O que é básico 
em matemática?” A posição deste texto é a seguinte:
A ideia mais fundamental em matemática é que a mate-
mática faz sentido!
Os estudantes devem diariamente aprender por expe- ■
riência própria que a matemática faz sentido.
Os estudantes devem vir a acreditar que eles são capa- ■
zes de dar signifi cado à matemática.
Os professores devem deixar de ensinar simplesmente ■
expondo e começar a deixar os estudantes atribuir signifi -
cado à matemática que eles estão aprendendo.
E para isto, os professores devem acreditar em seus es- ■
tudantes – em todos eles!
Toda ideia introduzida na aula de matemática pode e deve 
ser compreendida completamente por todas as crianças. Sem ne-
nhuma exceção! Não há absolutamente nenhuma desculpa para 
que as crianças aprendam qualquer aspecto da matemática sem 
compreendê-lo completamente. Todas as crianças são capazes de 
aprender toda a matemática que nós queremos que elas apren-
dam, e elas podem aprendê-la de uma maneira signifi cativa e de 
um modo que lhes faça sentido.
Um ambiente para fazer matemática
Olhe novamente os verbos do fazer matemática. Eles são 
verbos de ação. Eles requerem se envolver, correr riscos, colocar 
as ideias para fora onde os outros possam vê-las. Compare esses 
verbos com os que podem refl etir a aula de matemática tradicio-
nal: escutar, copiar, memorizar, fazer exercícios. Essas são ativi-
dades passivas. Elas não envolvem nenhum risco e apresentam 
pouca iniciativa. Fazer matemática exige esforço e iniciativa.
Embora pensar, argumentar e dar sentido possam ser diver-
tidos, “correr o risco de aprender” também pode ser um pouco 
assustador quando ninguém lhe diz exatamente o que fazer. A 
sala de aula deve ser um ambiente onde fazer matemática não seja 
ameaçador e onde todos os estudantes sejam respeitados por suas 
ideias. Os estudantes devem se sentir confortáveis em correr riscos 
e saber que eles não serão ridicularizados ao cometerem erros.
O papel do professor é criar este espírito de pesquisa, de 
confi ança e de expectativa. Neste ambiente, os estudantes são 
convidados a fazer matemática. Os problemas são apresentados e 
os estudantes buscam soluções por eles mesmos. O foco está nos 
estudantes ativamente compreenderem as coisas, testarem ideias 
e fazerem conjecturas, desenvolverem raciocínios e apresentarem 
explicações. Os estudantes trabalham em grupos, em duplas ou 
individualmente, mas eles estão sempre compartilhando e discu-
tindo suas ideias. O raciocínio é celebrado quando os estudantes 
defendem seus métodos e justifi cam suas soluções.
Um convite para fazer 
matemática
Se você quer criar um ambiente de sala de aula onde as crian-
ças estejam verdadeiramente fazendo matemática é importante 
que você tenha uma sensibilidade pessoal para fazer matemática 
desta maneira. É provável que suas experiências em aulas de ma-
temática tenham sido bastante diferentes. O objetivo desta parte 
do capítulo é lhe proporcionar oportunidades para se envolver 
com a ciência dos padrões e da ordem e fazer alguma matemática. 
Embora as tarefas ou problemas sejam apropriados para estudan-
tes nas séries fi nais do EF e no EM, você não deve se preocupar 
muito, agora, em como as crianças abordariam estes problemas. 
Em vez disso, se envolva pessoalmente com os problemas como 
um adulto e descubra tanto quanto você puder no processo. Se 
possível, convide um ou dois amigos para trabalhar com você. 
Pegue algum papel para anotar suas ideias. Não seja tímido com 
suas ideias. Respeite e escute as ideias de seus amigos. Você pode 
e deve desafi ar suas ideias, mas não depreciá-las.
Este livro lhe fornecerá dicas e sugestões para substituir 
parcialmente, na ausência de um professor, a interação com o 
mesmo. Não leia muito de uma vez só. Pare a leitura e faça tantas 
atividades quanto você puder, até que você e seu grupo fi quem 
cansados ou bloqueados – realmente bloqueados; e então discu-
tam e leiam um pouco mais.
Vamos fazer matemática!
Nós exploraremos quatro problemas diferentes. Cada um 
deles é independente dos outros. Nenhum deles requer qualquer 
matemática sofi sticada, nem mesmo álgebra. Não seja passivo!Experimente e teste suas ideias. Divirta-se!
NÚMEROS DE LARGADA E DE SALTO: 
PROCURANDO PADRÕES
Você precisará fazer uma lista de números que comece com um 
“número de largada” e aumente por uma quantidade fi xa que 
chamaremos de “número de salto”. Primeiro, experimente 3 
como o número de largada e 5 como o número de salto. Escre-
va o número de largada no topo de sua lista, e então 8, 13, e 
assim por diante, “saltando” 5 a cada vez até sua lista chegar 
a cerca de 130.
Sua tarefa é examinar bem esta lista de números e achar 
tantos padrões quanto você puder. Compartilhe suas ideias 
com o grupo e escreva todos os padrões que vocês realmente 
concordarem.
PARE
Volte ao trabalho antes de prosseguir a leitura. Continue simplesmen-
te procurando padrões até você não puder encontrar mais nenhum.
34 John A. Van de Walle
Algumas ideias. Aqui estão alguns tipos de coisas que você 
já pode ter encontrado:
Há pelo menos um padrão alternativo. ●
Você observou os números pares e ímpares? ●
O que você pode dizer sobre os algarismos na “casa” das ●
dezenas?
O que você pensou sobre os primeiros dois números sem ●
algarismos de dezenas?
O que acontece quando os números ultrapassam a centena? ●
(Há dois modos para pensar sobre isto).
Você tentou fazer qualquer adição de números? Os números ●
na lista? Os algarismos nos números?
PARE
Se houver alguma ideia nesta lista que você ainda não tenha explo-
rado, investigue-a agora.
Não se esqueça de pensar sobre o que acontece a seus pa-
drões após os números ultrapassarem a centena. O que você pensa 
sobre o número 113? Um modo de pensar nele é como 1 centena, 
1 dezena e 3 unidades. Mas, claro que, também poderia se pensar 
em onze dezenas e três unidades, onde o algarismo das dezenas 
foi de 9 para 10 e de 10 para 11. Como estas perspectivas diferen-
tes afetam seus padrões? O que aconteceria depois de 999?
Quando você soma os algarismos nos números, as somas 
são 3, 8, 4, 9, 5, 10, 6, 11, 7, 12, 8,... . Você observou todos os 
números nesta sequência? E qual é a soma para 113? É 5 (1+1+3) 
ou 14 (11+3 ou 1+13)? (Não há “resposta certa” aqui, mas é inte-
ressante considerar as diferentes possibilidades.)
Próximos passos. Às vezes quando você descobre alguns 
padrões em matemática, é uma boa ideia fazer algumas modifi -
cações e ver como as mudanças afetam os padrões. Que modifi -
cações você poderia fazer neste problema?
PARE
Agora, experimente algumas ideias antes de prosseguir.
As suas propostas de modifi cações podem ser mais interes-
santes do que as seguintes sugestões. Mas, aqui estão algumas 
ideias que parecem um pouco mais óbvias do que outras:
Mude o número de largada, mas mantenha o número de sal- ●
to igual a 5. O que se mantém e o que se modifi ca?
Experimente manter o mesmo número de largada e examine ●
diferentes números de salto. Você descobrirá que variar o 
número de salto realmente altera muito mais as coisas do 
que comparado a mudança dos números de largada.
Se você obtiver padrões para vários números de salto dife- ●
rentes, o que você pode descobrir sobre como um número 
de salto afeta os padrões? Por exemplo, quando o número de 
salto era 5, o padrão dos algarismos das unidades se repetia a 
cada dois números – ele tinha um padrão com “tamanho” de 
duas unidades. Mas quando o número de salto é 3, o “tama-
nho” do padrão dos algarismos das unidades é dez! Outros 
números de salto criam padrões de “tamanhos” diferentes?
Para um número de salto de 3 unidades, como o padrão do ●
algarismo das unidades se relaciona ao círculo de números 
na Figura 2.1? Há outros círculos de números para outros 
números de salto?
Usando o círculo de números para 3, encontre o padrão para ●
saltos de múltiplos de 3, ou seja, saltos de 6, 9, ou 12.
Olhando para trás: Você pode querer explorar esta ideia um 
pouco mais ou talvez você já tenha explorado bastante os nú-
meros de salto. Mas lembre-se de que há mais ideias do que as 
sugeridas aqui.
Uma calculadora pode ser usada para facilitar a elaboração da 
listagem para as crianças nas séries iniciais do EF ou para traba-
lhar com números de salto maiores, tais como 25 ou 36 em séries 
posteriores. A maioria das calculadoras simples tem uma função 
automática que somará de forma constante o mesmo número su-
cessivamente. Por exemplo, se você digitar 3 + 5 = e então con-
tinuar digitando = , você obterá a primeira sucessão de números 
que você escreveu. A calculadora “armazena” a última operação 
de + 5 e repete esta operação na tela para cada vez que você digi-
tar = . Isto também funciona para as outras três operações.
DUAS MÁQUINAS, UM TRABALHO
A Loja de Reciclagem de Ronaldo inaugurou quando ele com-
prou uma máquina usada de picotar papel. Os negócios pros-
peravam e Ronaldo comprou uma máquina nova de picotar 
papel. A máquina antiga podia picotar a carga de um cami-
nhão de papel em 4 horas. A máquina nova podia picotar a 
mesma carga em apenas 2 horas. Quanto tempo levará para 
picotar a carga de um caminhão de papel se Ronaldo ligar am-
bas as máquinas ao mesmo tempo?
0 3 6
97
1
4
5
2
8
FIGURA 2.1 Para saltos de 3 unidades, o ciclo dos algarismos 
ocorrerá na “casa” das unidades. O número de largada determi-
na onde o ciclo começa.
Matemática no Ensino Fundamental 35
Para começar: Às vezes você deve apenas experimentar fazer 
alguma coisa. Antes de ler algumas das ideias que se seguem, 
trabalhe neste problema até você obter uma resposta ou fi car blo-
queado. Se você conseguir uma resposta, tente decidir como você 
determinaria se ela está correta. Se você se bloquear, certifi que-se 
de que você está de fato bloqueado. Escreva tudo que você sabe e 
examine todas as ideias que você teve.
PARE
Explore um pouco antes de continuar a leitura.
Bloqueado? Você está negligenciando alguma suposição feita 
no problema? As máquinas funcionam simultaneamente? O pro-
blema diz “ao mesmo tempo”. Elas funcionam tão rápido quando 
funcionam juntas do que quando funcionam sozinhas?
PARE
Se estas questões lhe sugeriram alguma ideia, experimente a mesma 
antes de continuar a leitura.
Você tentou predizer quanto tempo, aproximadamente, as 
duas máquinas levariam para fazer o serviço? Faça uma estimativa 
em números aproximados. Por exemplo, será mais próximo de 1 
hora ou mais próximo de 4 horas? O que o faz pensar e responder 
desta maneira? Você pode dizer se seu “palpite” faz sentido ou se, 
pelo menos, ele está no caminho certo? Verifi car e checar um pal-
pite ou suposição deste modo às vezes conduz a um novo insight.
Algumas pessoas desenham fi guras para resolver proble-
mas. Outras gostam de usar algo que elas possam mover ou mo-
difi car. Por exemplo, você poderia desenhar um retângulo ou um 
segmento de reta para representar a carga de caminhão de papel, 
ou você poderia obter alguns contadores (fi chas, cubos plásticos, 
moedas) e fazer uma coleção que represente a carga de papel.
PARE
Volte e experimente mais um pouco.
Considere as soluções dos outros. Aqui estão os relatos das 
soluções de três professores do EF que trabalharam neste problema 
(os exemplos são adaptados de Schifter e Fosnot, 1993, p. 24-27). 
Betsy leciona na 6
a
 série. Aqui está a solução de Betsy:
Betsy segura uma barra de cubos de plástico. “Digamos que 
esses 16 cubos são a carga de papel. Em 1 hora, a máquina nova 
picota 8 cubos e a máquina antiga 4 cubos”. Betsy retira 8 cubos 
e, então, 4 cubos. “Isso deixa ainda estes 4 cubos. Se a máquina 
nova faz 8 cubos em 1 hora, pode fazer 2 cubos em 15 minutos. 
A máquina antiga faz a metade disso, ou 1 cubo”. Enquanto ela 
diz isso, ela retira mais 3 cubos. “Se passaram 1 hora e 15 minu-
tos, e nós ainda temos 1 cubo de sobra.” Pausa longa. “Bem, a 
máquina nova fez 2 cubos em 15 minutos, assim fará este cubo 
em 712 minutos. Acrescente isso a 1 hora e 15 minutos. O tempo 
total será 1 hora 2212 minutos”. (veja Figura 2.2.)
Cora leciona na 4
a
 série. Ela discordade Betsy. Aqui está a 
proposta de Cora:
“Esse retângulo (veja Figura 2.3) representa toda a carga. Em 1 
hora, a máquina nova fará a metade disto”. O retângulo é divi-
dido pela metade. “Em 1 hora, a máquina antiga poderia fazer 
1
4 do papel”. O retângulo é dividido adequadamente. “Assim em 
1 hora, as duas máquinas fi zeram 34 da carga, e ainda sobra 
1
4. O 
que sobra é um terço do que elas já fi zeram, assim as duas má-
Máquina nova faz
este trabalho
em 1 hora.
Máquina antiga faz
este trabalho
em 1 hora.
Carga total de papel
Ambas fazem
isto em
15 minutos.
Máquina nova
faz isto em
7 minutos.1–2
FIGURA 2.2 A solução de Betsy para o problema de picotar papel.
Máquina antiga
em 1 hora.
Máquina nova
em 1 hora.
Ambas as
máquinas juntas.
60 minutos 20 minutos
FIGURA 2.3 A solução de Cora para o problema de picotar papel.
36 John A. Van de Walle
quinas devem levar um terço do tempo que levaram para picotar 
a primeira parte para picotar esta sobra. Um terço de uma hora é 
20 minutos. Isso signifi ca que elas levarão 1 hora e 20 minutos 
para picotar tudo”.
Sylvia leciona na 3
a
 série. Ela e seu colega tiveram essas 
ideias:
Primeiro, resolvemos o problema calculando a média. Nós deci-
dimos que levaria 3 horas porque essa é a média. Então, [a pro-
fessora] Deborah perguntou como nós calculamos a média. Nós 
pensamos que estávamos certos, mas a Deborah nos perguntou 
como Ronaldo se sentiria se as suas duas máquinas juntas le-
vassem muito mais tempo do que a sua nova máquina sozinha 
levaria para fazer o trabalho em apenas 2 horas. Assim nós per-
cebemos que as 3 horas não faziam sentido. Assim, continuamos 
sem saber se é 1 hora e 20 minutos ou 1 hora e 2212 minutos.
No Instituto SummerMath for Teachers*, onde esses profes-
sores participavam de um curso de verão, não lhes foi apresen-
tada a solução desse problema. Fato que em si causou um pouco 
de tumulto, mas não há valor educativo em ver uma solução de 
um livro ou obtê-la de um professor. Você acaba sentindo que o 
professor é muito inteligente e que você não é tão inteligente. 
Nenhuma solução será fornecida aqui também.
Se você tiver uma solução, uma boa coisa a fazer é, primei-
ro, verifi car por que você acredita que ela esteja correta e tentar 
articular isso. E então, verifi car se você consegue encontrar um 
modo para resolver o problema diferente do modo que você o 
resolveu na primeira vez. (Qual seria o valor de duas soluções 
diferentes ambas conduzindo à mesma resposta?).
UM PARA CIMA, UM PARA BAIXO
Quando você soma 7 a ele mesmo, obtém 14. Quando você 
acrescenta 1 ao primeiro termo da adição e subtrai 1 ao segun-
do, você obtém a mesma resposta:
⇑ ⇓
7 + 7 = 14 é o mesmo que 8 + 6 = 14
Isso funciona também para 5 + 5:
⇑ ⇓
5 + 5 = 10 que é igual a 6 + 4 = 10
O que você pode descobrir sobre isso?
Para crianças nas séries iniciais do EF, esta é uma explora-
ção mais desafi adora do que você poderia imaginar. Porém, 
sua tarefa aqui é examinar o que acontece quando você muda 
a operação de adição para a de multiplicação nesta exploração. 
Comece com 7 × 7. Faça um fator aumentar e o outro diminuir. 
7 × 7 = 49 e 8 × 6 = 48. Que outros produtos você deveria exa-
minar? O que você pode descobrir sobre fatores variando em 
sentidos opostos?
PARE
Explore esse problema até você desenvolver ou descobrir algumas 
ideias. E escreva-as.
 * N. de T.: Instituto Matemática de Verão para Professores. Informações 
disponíveis no site: http://www.mtholyoke.edu/proj/smt/summerinstitutes.
html.
Experimente usar um modelo concreto: Você provavel-
mente encontrou alguns padrões interessantes. Você pode dizer 
por que esses padrões funcionam? No caso da adição, é bastante 
fácil ver que quando você retira uma quantidade de um termo e 
acrescenta a mesma quantidade ao outro, os totais permanecem 
os mesmos. Não é exatamente assim que funciona com a multi-
plicação. Um modo de explorar isso é fazer retângulos para cada 
produto e ver como eles mudam quando você aumenta um fator e 
reduz o outro (veja Figura 2.4a).
Você pode preferir pensar na multiplicação como conjuntos 
iguais. Por exemplo, 7 × 7 quer dizer sete conjuntos de sete coi-
sas em cada um. Você aumenta o número de conjuntos e diminui 
o número em cada conjunto (ou o contrário; veja Figura 2.4b).
O que acontece quando você muda um desses modelos para
representar 6 × 8? 
Isto é 7 × 7 como 7 conjuntos de 7
(b)
Isto é 7 × 7 como 7 filas de 7
(a)
FIGURA 2.4 Dois modos concretos para pensar na multiplica-
ção poderiam ajudar na exploração destas ideias.
PARE
Trabalhe com uma ou ambas as abordagens para ver se você obtém 
algum insight.
Coisas para examinar
Há alguns modos diferentes para continuar com essa explo-
ração. Aqui estão algumas sugestões. Você pode estar procurando 
algo um pouco diferente dessas ideias. Isso é ótimo! A intenção 
nesse problema é conduzir sua própria exploração para ver o que 
você consegue descobrir.
Você observou como os primeiros dois números estão relacio- ●
nados? Por exemplo, 7×7, 5×5 e 9×9 são todos produtos com 
Matemática no Ensino Fundamental 37
os mesmos fatores. Como esses resultados diferem quando os 
dois fatores são diferentes de 1 unidade (8×7 ou 13×12)? E 
que tal se os fatores diferirem por 2 ou 3 unidades?
Talvez você tenha ajustado os fatores para cima e para baixo ●
de 1 unidade. E se você for de 7×7 para 9×5? Experimente 
fazer ajustes com outros números.
Faz alguma diferença nos resultados se você usar números ●
grandes em vez de pequenos?
E se ambos os fatores aumentarem? ●
Essa exploração tem muitas respostas, mas você deve res-
ponder às que formular. Quando o problema é realmente seu 
e não há garantia de que o professor saiba a resposta, os estu-
dantes se sentem mais autores e interessados por eles. Em vez 
de perguntarem “O que você quer que eu faça?”, a autoria dos 
problemas muda a situação para “Eu acho que vou...”. (Baker 
e Baker, 1990) As questões sugeridas aqui foram apresentadas 
como uma lista por se tratar de um livro-texto. Em uma sala de 
aula, o professor pode selecionar desafi os e fazer sugestões quan-
do necessário. O professor também pode ajudar os estudantes a 
fazer suas próprias conjecturas e observações. Normalmente, as 
crianças procurarão uma tarefa completamente diferente daquela 
que foi antecipada. Os cientistas exploram novas ideias que lhes 
parecem interessantes e promissoras em vez de seguir cegamente 
as instruções de outros. A matemática é uma ciência.
A MAIOR CHANCE DE OBTER COR VIOLETA
Três estudantes estão girando duas roletas coloridas para con-
seguir “violeta” (ou obtendo primeiro o vermelho e depois o 
azul ou primeiro o azul e depois o vermelho; veja Figura 2.5). 
Eles podem escolher girar cada roleta de uma vez ou uma roleta 
duas vezes. Maria escolhe girar duas vezes a roleta A; João esco-
lhe girar duas vezes a roleta B; e Susana escolhe girar primeiro a 
roleta A e depois a roleta B. Quem tem a maior chance de obter 
um vermelho e um azul? (Lappan e Even, 1989, p. 17)
Roleta A Roleta B
FIGURA 2.5 Você pode girar A duas vezes, B duas vezes ou 
A e depois B. Qual opção lhe dá a melhor chance de obter um 
vermelho e um azul? (ver primeira orelha)
PARE
Como nos outros problemas, primeiro pense sobre o problema e o 
que você sabe e então experimente fazer algo que possa lhe ajudar 
um pouco. Antes de ler as sugestões, veja o que você consegue 
propor.
Experimente
Às vezes é difícil desenvolver uma sensibilidade para pro-
blemas que parecem muito abstratos para se pensar. Em situações 
envolvendo probabilidades encontre um modo para concretizar a 
ideia de chance e observar o que acontece. Neste problema, você 
pode facilmente construir roletas usando um desenho a mão livre 
em papel, um clipe de papel e um lápis. Ponha a ponta de seu 
lápis na parte interna da curva do clipe e no centro de sua roleta. 
Agora você pode girar o “ponteiro” de clipe de papel. Experi-
mente,pelo menos, 20 pares de giros para cada escolha de roleta 
e registre o que acontece.
Para a escolha de roletas de Susana (A depois B), importaria ●
se ela girasse B primeiro e depois A? Por que sim ou por 
que não?
Explique por que você acredita que seja mais provável ocor- ●
rer a cor “violeta” em um dos três casos comparado aos 
outros dois. Às vezes, ajuda conversar sobre o que você ob-
servou para propor ou chegar a um modo mais preciso de 
aplicar o raciocínio.
PARE
Experimente essas sugestões antes de continuar a leitura.
Experimente construir diagramas de árvore
Na roleta A, cada uma das quatro cores tem a mesma chan-
ce de ocorrer. Você poderia fazer um diagrama de árvore para 
A com quatro ramos, e todos os ramos teriam a mesma chance 
(veja Figura 2.6). Na roleta B, qual é a relação entre a região 
de cor azul e cada uma das outras? Como você poderia fazer 
um diagrama de árvore para B com cada ramo tendo a mesma 
chance?
FIGURA 2.6 Um diagrama de árvore para a roleta A na fi gura 
2.5. (ver primeira orelha)
Como você poderia modifi car o diagrama de árvore da roleta 
A de modo que ele represente girar A duas vezes em sequência? 
Por que seu diagrama de árvore faz sentido? Que ramos em seu 
diagrama representam obter a cor “violeta”?
Como você faria diagramas de árvore para as escolhas de 
João e de Susana? Por que eles fazem sentido?
38 John A. Van de Walle
Qualquer ideia que você tenha desenvolvido deve ser testada 
girando, de fato, uma ou as roletas.
PARE
Os diagramas de árvore são apenas um modo de abordar este pro-
blema. Você pode criar um modo diferente. Contanto que seu modo 
pareça estar chegando a algum lugar, permaneça com seu modo de 
resolver. Há mais uma sugestão para seguir, mas não leia mais adian-
te se você tiver alguma ideia para experimentar.
Usar quadriculados
Suponha que você tenha um quadrado que represente todos 
os possíveis resultados para a roleta A e um quadrado semelhan-
te para a roleta B. Embora haja muitos modos para dividir um 
quadrado em quatro partes iguais, se você usar as linhas todas 
na mesma direção, você poderá fazer comparações de todos os 
resultados de um evento (um quadrado inteiro) com os resultados 
de outro evento (utilizando um quadrado diferente). Quando o se-
gundo evento (neste caso o segundo giro) seguir o primeiro even-
to, faça as linhas no segundo quadrado no sentido oposto às linhas 
no primeiro. Faça um traçado de um quadrado na Figura 2.7 e 
coloque-o no outro. Você terminará com 24 pequenas seções.
VM AZ VD
Roleta A Roleta B
AM
VM
AZ
AZ
AZ
AM
VD
FIGURA 2.7 Um quadrado mostra a chance de obter cada cor 
para as roletas na Figura 2.5. (ver primeira orelha)
Por que há seis subdivisões para o quadrado da roleta B? O 
que representa cada um dos 24 pequenos retângulos? Que seções 
representam a cor violeta? Em algum outro método que você es-
teja experimentando, o número 24 entrou em jogo quando você 
estava procurando a roleta A seguida da roleta B?
Aprender sem livro de respostas
Se você trabalhou bastante em qualquer uma ou em todas 
as quatro tarefas apresentadas, você pode ainda não ter chegado 
às respostas ou encontrado todos os padrões e ideias que outras 
pessoas também encontraram. Se você realmente fez algum es-
forço e correu alguns riscos ao compartilhar algumas das ideias 
que você tenha tido, você está no caminho certo. A ciência dos 
padrões e da ordem, às vezes, leva um pouco de tempo e quase 
sempre requer bastante esforço.
Nenhuma resposta ou solução será apresentada neste texto. 
Como você se sente sobre isso? O que sente sobre as “respostas 
certas”? Suas respostas estão corretas? O que torna a solução de 
qualquer pesquisa “correta”?
Em sala de aula, a disponibilidade imediata da resposta 
do livro ou do professor fornecer a solução ou verifi car se uma 
resposta está correta transmite uma mensagem forte às crianças 
sobre o que signifi ca “fazer matemática”. Ou seja, “Seu trabalho 
é achar as respostas que o professor já tem”. No mundo real da 
resolução de problemas fora da sala de aula, não há professor 
com respostas nem livro de respostas. Fazer matemática inclui 
decidir se uma resposta está correta e porquê. Também inclui po-
der justifi car seu raciocínio aos outros.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.