AULA 6 _ Funções

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Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Claudia Lorena Juliato Araújo 
 
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Conversa inicial 
Nesta aula, serão estudadas noções do estudo das funções. A 
compreensão desse estudo é de suma importância para compreender como 
determinadas situações produzem em nossas vidas e como devemos tratá-las. 
Tudo que tem um comportamento padrão, em qualquer área, pode ser 
representado e estudado por uma função. Por esse motivo, faz-se importante 
compreendê-las. 
Contextualizando 
O uso das funções é de extrema importância para vários setores, como a 
indústria, as empresas, o mercado financeiro, a química, a física, os estudos 
científicos e os estudos estatísticos. Só por essa imensidade de ciências que 
dependem do estudo das funções para obterem resultados é que se faz 
importante seu estudo. 
Tema 1: Funções 
O conceito de função é de suma importância para o nosso cotidiano e 
nossas vidas. Quase tudo pode ser expresso no formato de função. Mas o que 
é uma função? 
Uma função é um tipo de relação. Ou seja, é a associação de valores de 
um determinado conjunto para com um segundo conjunto por meio de uma lei 
de formação. Um exemplo de função pode ser representado por: 
Figura 1.1 
 
 
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Para uma relação ser função, todos elementos do primeiro conjunto 
devem ter um e somente um correspondente no segundo conjunto. Além disso, 
não pode sobrar elementos no primeiro conjunto. Um exemplo de função seria: 
Figura 1.2 
 
Observe que no primeiro exemplo existe um elemento que tem dois 
correspondentes no segundo conjunto. Isso não acontece com o segundo 
exemplo, pois cada elemento do primeiro conjunto só tem possui um único 
elemento no segundo conjunto. 
Os elementos do primeiro conjunto são chamados de domínio da função. 
Os do segundo são chamados de contradomínio da função. 
Os elementos que são correspondentes dos elementos do primeiro 
conjunto são chamados de imagem da função. 
A fórmula matemática que faz com que exista correspondência entre os 
elementos do primeiro conjunto e do segundo conjunto é chamada de lei de 
formação. Esta, por sua vez, faz com que um elemento do primeiro conjunto se 
transforme em um elemento do segundo conjunto. 
Quadro 1.1 
DOMÍNIO Elementos do primeiro conjunto 
CONTRADOMÍNIO Elementos do segundo conjunto 
IMAGEM Elementos correspondentes no segundo 
 
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conjunto 
Uma função é representada por um conjunto de pares ordenados que se 
formam ao se relacionar um elemento do primeiro conjunto com um elemento do 
segundo conjunto. 
Esses pares ordenados são representados no plano cartesiano e 
representam, respectivamente, o domínio e a imagem da função. Então, quando 
queremos ver o domínio em um gráfico, olhamos para o eixo x (eixo das 
abscissas); quando queremos verificar a imagem de uma função, olharemos 
para o eixo y (eixo das ordenadas). 
Gráfico 1.1 
 
 
Veja no exemplo do gráfico 1.1. O domínio e a imagem são formados 
pelos elementos: 
 Domínio : D = {-1, 0, 1, 2, 3}. 
 Imagem: Im = {0, 1, 2, 3, 4}. 
Estudo do domínio de uma função 
O estudo do domínio é de suma importância, pois certas operações 
matemáticas não podem ser realizadas dentro do conjunto dos números Reais. 
Vejamos estes casos: 
 
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Quadro 1.2 
FUNÇÃO DOMÍNIO 
𝐟(𝐱) =
𝐤
𝐱
 
 
x ≠ 0 
𝐟(𝐱) = √𝐱
𝐩𝐚𝐫
 x ≥ 0 
𝐟(𝐱) = 
𝐤
√𝐱
𝐩𝐚𝐫 
x > 0 
Assim, toda função: 
 cuja variável encontra-se no denominador não pode ser igual a zero, pois 
não existe divisão por zero. 
 que está dentro de uma raiz cujo índice é par não pode ser negativa, pois 
não há raiz quadrada de número negativo, todavia, pode ser zero. 
 que está dentro de uma raiz de índice par e no denominador de uma 
fração não pode negativa nem igual a zero, pois não há raiz de índice par 
de número negativo, nem divisão por zero. 
Classificação de uma função 
As funções podem ser classificadas em injetora, bijetora e sobrejetora. 
Figura 1.3 
 
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Quadro 1.3 
INJETORA Quando só existe relação de um elemento do primeiro 
conjunto com um elemento do segundo. A relação é um 
para um. 
SOBREJETORA Quando não sobram elementos no segundo conjunto, ou 
seja, quando o contradomínio é igual à imagem. 
BIJETORA Quando a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, 
ou seja, os elementos só se relacionam de um para um e 
não sobram elementos no segundo conjunto. Isto é, 
contradomínio é igual à imagem. 
Tema 2: Função composta e função inversa 
Função composta 
É aquela que acrescenta outra lei de formação à já existente. Suponha 
que tenhamos uma função que expressa o dobro de certos valores, logo, ela 
pode ser representada por: 
Classificação 
das funções
Injetora Bijetora Sobrejetora
 
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f(x) = 2 ⋅ x 
Então, a esse valor acrescentemos o triplo, assim teremos: 
g(x) = 3 ⋅ f(x) 
g(x) = 3 ⋅ 2 ⋅ x 
g(x) = 6 ⋅ x 
Por isso, podemos definir a função composta como a função de outra 
função ou de outras funções. Representamos a função composta de g(x) em 
relação à função f(x) por: 
f(g(x)) ou f o g 
A importância da função composta é o fato de ela gerar uma nova por 
meio das já existentes. 
Figura 1.5 
 
Função inversa 
A função inversa, também representada por 𝐟−𝟏(𝐱), é a função contrária 
à função f(x). 
Para que a função inversa exista, faz-se necessário que f(x) seja uma 
função bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
Para que possamos encontrar a função inversa de uma função devemos: 
 trocar o f(x) pela variável x e a variável x por f(x); 
 isolar o novo f(x); 
 
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 escrever o símbolo de representação da inversa. 
Funções que não tem inversa: 
 𝐟(𝐱) = 
𝟏
𝐱
 quando definida de R em R, não é uma função sobrejetora, pois 
o contradomínio não é igual à imagem. Logo, não tem inversa. 
 𝐟(𝐱) = 𝐱² + 𝟐, quando definida de R em R, não é uma função injetora, pois 
vários elementos do seu domínio têm a mesma imagem. 
Vejamos alguns exemplos de construção de função composta e de função 
inversa. 
Considere as funções: 
f(x) = 2x+3 e g(x) = x – 1, encontre: 
 a inversa de f(x) 
 a composta f(g(x)) 
Solução: 
 a inversa de f(x): 
x = 2. f(x) + 3 → 
x − 3 = 2. f(x) → 
x − 3
2
= f(x) 
Logo: 
f −1(x) = 
x−3
2
 é a inversa de f(x). 
 a composta de f(x) com g(x): 
f(g(x)) = 2 . (x – 1) + 3 
f(g(x)) = 2x – 2 + 3 
f(g(x)) = 2x +1, que é a composta de f em relação a g 
 
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Tema 3: Função Linear, afim, constante 
Função afim 
Uma função definida por f: R → R, chama-se afim quando existem duas 
constantes a, b tal que: 
f(x) = a ⋅ x + b 
Gráfico 3.1 
 
 a é o coeficiente angular da reta. 
 b é o coeficiente linear da reta. 
É com o valor de a que sabemos se a reta será crescente ou decrescente. 
Se a é positivo, a reta é crescente. Se a é negativo, a reta será decrescente. 
É com o valor de b que sabemos em qual ponto do eixo y a reta passa. 
Para encontramos o zero ou a raiz da função, devemos fazer f(x) = 0. 
Funçãolinear 
Uma função definida por f: R → R, chama-se linear quando existe apenas 
uma constante a, tal que: 
f(x) = a ⋅ x 
Nesse caso, a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Seu 
coeficiente angular é dado pelo valor de a e é ele quem define se a reta será 
 
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crescente ou decrescente. Em caso de a positivo, a reta será crescente. Em caso 
de a negativo, a reta será decrescente. 
Gráfico 3.2 
 
Função constante 
Uma função definida por f: R → R, chama-se constante quando existe 
apenas a constante b, tal que: 
f(x) = b 
Essa função não tem variação, é sempre igual ao longo de seu domínio. 
A reta que representa a função é sempre paralela ao eixo x. 
Gráfico 3.3 
Obtenção de uma função com base no gráfico 
Quando conhecemos apenas o gráfico de uma função, e não sua lei de 
formação, devemos obter pelo menos dois pontos desse gráfico e substituir os 
respectivos valores de x (abscissa) e y (ordenada) na lei de formação geral da 
 
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função afim f(x) = a ⋅ x + b. Com isso, obteremos um sistema de equação com 
incógnitas a e b. 
Considere o gráfico da figura e determine a função que o representa. 
Gráfico 3.4 
Com os pontos A (0,5) e B (4,7), podemos montar um sistema substituindo 
os valores de 0 e 4 no lugar do x e de 5 e 7 no lugar de f(x), obtendo duas 
equações, assim: 
f(x) = a ⋅ x + b 
5 = a ⋅ 0 + b 
7 = a ⋅ 4 + b 
Na primeira equação, o resultado sai com b = 5. 
Substituindo o valor de na segunda equação, teremos o valor de a = 0,5. 
Logo, a função ficará desta forma: 
f(x) = 0,5 ⋅ x + 5 
Tema 4: Função quadrática 
Função quadrática é uma função polinomial de 2º grau do tipo: 
y = ax² + bx + c 
Seu gráfico é uma parábola. 
 
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Concavidade da parábola 
O valor de a da função fornece a concavidade da função. Quando o valor 
de a for positivo, a concavidade estará voltada para cima. Quando o valor de a 
for negativo, a concavidade estará voltada para baixo. 
Gráfico 4.1 
Parábola toca o eixo x 
Uma parábola toca o eixo x em suas raízes ou zeros da função. As raízes 
de uma equação de 2º grau são calculadas pela fórmula: 
𝐱 = 
−𝐛 ± √𝚫
𝟐 ⋅ 𝐚
 
onde 
𝚫 = 𝐛² − 𝟒 ⋅ 𝐚 ⋅ 𝐜 
Quando 𝚫 > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, logo, a 
parábola interceptará o eixo x em dois pontos diferentes. 
Quando 𝚫 < 0, a equação não tem raízes reais, logo, a parábola não 
interceptará o eixo x. 
Quando 𝚫 = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, logo, a parábola 
interceptará o eixo x em apenas um ponto. 
Quadro 4.1 
 
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𝚫 > 0 
 
𝚫 < 0 
 
𝚫 = 0 
 
Vértice da parábola 
O vértice de uma parábola é o ponto em que ela troca a trajetória do 
gráfico. É o valor máximo ou o valor mínimo, dependendo da concavidade da 
parábola. O cálculo se dá por: 
𝐕 = (
−𝐛
𝟐 ⋅ 𝐚
,
−𝚫
𝟒 ⋅ 𝐚
) 
Se a parábola estiver com a concavidade voltada para cima, terá um ponto 
mínimo. Se a parábola estiver com a concavidade voltada para baixo, terá um 
ponto máximo. 
 
Gráfico 4.2 
 
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Tema 5: Função exponencial e função logarítmica 
Função exponencial 
É uma função com base constante e expoente variável. Isto é, a variável 
x encontra-se no expoente, desde que a base seja diferente de 1. 
𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 
Gráfico da função 
O gráfico da função exponencial pode ser: 
 Crescente se a base for maior que 1. 
 Decrescente se a base for menor que 1. 
Quando a base é igual a 1, a função não é exponencial. 
Gráfico 5.1 
Raízes ou zeros da função 
As raízes ou zeros de uma função exponencial não existem, pois, de 
acordo com o explícito no gráfico de uma função exponencial, ele não toca o eixo 
x. 
Função logarítmica 
Uma função logarítmica é uma função com base constante e logaritmando 
variável. A condição de existência de uma função logarítmica é de que a base 
do logaritmo seja um número positivo e diferente de 1. 
 
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𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 
Gráfico da função 
Assim como na função exponencial, a função logarítmica será crescente 
se a base do logaritmo for maior que 1. O gráfico será decrescente se a base for 
um numero entre 0 e 1. 
Gráfico 5.2 
Gráfico 5.3 
 
 
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Raízes ou zeros da função 
Ao contrário da função exponencial, a função logarítmica tem um único 
ponto onde ela toca o eixo x, que é no ponto x = 1 para qual função logarítmica. 
Gráfico 5.4 
Síntese 
Nesta aula, você estudou a noção de algumas funções. As funções de 1º 
grau, de 2º grau e função exponencial são as mais utilizadas e de maior 
importância no estudo matemático. A compreensão do comportamento da 
ocorrência de várias situações em nossas vidas depende da compreensão e do 
estudo das funções.