calculo diferencial e integral 1

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2018
CálCulo DiferenCial 
e integral i
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Copyright © UNIASSELVI 2018
Elaboração:
Profª. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H811c,
Horbach, Jaqueline Luiza
Cálculo diferencial e integral I. / Jaqueline Luiza Horbach; Leonardo 
Garcia dos Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2018.
 
208 p.; il.
 
 ISBN 978-85-515-0216-7
1. Cálculo. – Brasil. I. Santos, Leonardo Garcia dos. II. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 517
III
apresentação
Prezado(a) acadêmico(a)! Bem-vindo(a) à disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral I. Este livro trata de um dos principais alicerces do curso 
de Matemática. Este campo do conhecimento é de grande relevância para o 
professor de matemática, pois ele apropria ao acadêmico o rigor necessário 
para sua futura prática docente. 
Temos a certeza de que você irá verificar o quanto esta disciplina é 
interessante e rica em conhecimento e estratégias de resolução de problemas 
práticos. Entenderemos que o mundo que conhecemos hoje teve sua base 
teórica revolucionada após os estudos ligados ao cálculo. Pode-se dizer que 
o cálculo mudou os paradigmas do conhecimento científico, determinando 
uma linguagem para diversas aplicações da matemática.
Este material está dividido em três unidades que abordam teoria 
e prática das ferramentas iniciais do cálculo. Na primeira unidade 
apresentaremos os conceitos introdutórios do Cálculo, que envolvem 
conceitos de limites e continuidade de funções de uma variável. Eles nos 
trarão a ideia de tendência, convergência, basicamente de modo teórico, e 
assim sendo, serão de suma importância para a sequência de seus estudos.
Na sequência, unidades 2 e 3, estudaremos derivadas, seus métodos de 
resolução, principais propriedades e, por fim, usaremos estas em aplicações. 
Este é um dos conceitos mais bonitos do Cálculo Diferencial e Integral, 
riquíssimo em aplicações. Por isto destinamos duas unidades deste material 
apenas para seu estudo e aprofundamento. Pode-se dizer que, daqui para 
a frente, em todas as disciplinas de Cálculo (e algumas outras) ao longo do 
curso, a derivada será um “ator”, um “protagonista” das discussões existentes.
 
Queremos aqui salientar que este material traz um curso introdutório 
do Cálculo Diferencial e Integral. Você deve se sentir curioso e instigado a 
pesquisar outros materiais para ampliar e completar seu aprendizado. 
Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que existem fatores 
importantes para um bom desempenho: disciplina, organização e um 
horário de estudos predefinido para que obtenha sucesso. Em sua caminhada 
acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por 
vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita 
concentração e dedicação. Lembre-se de que o estudo é algo primoroso. 
Aproveitando esta motivação, vamos iniciar a leitura deste livro.
Estimamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a 
evolução do seu entendimento matemático, pois a melhoria constante 
deve ser o objetivo de todo(a) acadêmico(a). Desta forma, esta disciplina 
pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui 
trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes.
Bom estudo!
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - LIMITES E CONTINUIDADE ................................................................................ 1
TÓPICO 1 - CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES ....................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3
2 CONCEITO DE LIMITE .................................................................................................................. 3
2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES ........................................................................................... 4
2.2 PONTO DE ACUMULAÇÃO ................................................................................................... 6
2.3 DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO ........................................................................ 9
2.4 UNICIDADE DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO ..................................................................... 13
3 PROPRIEDADES DE LIMITES .................................................................................................... 14
3.1 PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO ............................................................... 15
3.2 TEOREMA DO CONFRONTO E DA FUNÇÃO LIMITADA ............................................... 19
4 CÁLCULO DE LIMITES.................................................................................................................. 22
4.1 INDETERMINAÇÕES ................................................................................................................. 22
4.2 TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS ..................................... 24
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 29
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 31
TÓPICO 2 - ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES .................................................................... 33
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 33
2 LIMITES LATERAIS ....................................................................................................................... 33
3 LIMITE NO INFINITO .................................................................................................................... 38
4 LIMITES INFINITOS ...................................................................................................................... 43
5 LIMITES FUNDAMENTAIS ..........................................................................................................49
5.1 PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL ..................................................................................... 49
5.2 SEGUNDO LIMITE FUNDAMENTAL .................................................................................... 54
5.3 TERCEIRO LIMITE FUNDAMENTAL .................................................................................... 56
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 59
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 60
TÓPICO 3 - CONTINUIDADE DE FUNÇÕES.............................................................................. 63
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 63
2 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO ........................................................................................ 63
3 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS ..................................................................... 67
4 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO ............................................................................... 69
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 71
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 74
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 75
UNIDADE 2 - DERIVADAS .............................................................................................................. 77
TÓPICO 1 - CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL ................ 79
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 79
2 RETA TANGENTE ............................................................................................................................ 79
2.1 TAXA DE VARIAÇÃO ............................................................................................................... 85
sumário
VIII
2.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA .................................................................................................... 87
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 94
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 95
TÓPICO 2 - PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO ......................................................................... 97
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 97
2 REGRAS DE DERIVAÇÃO ............................................................................................................ 97
2.1 FUNÇÃO COMPOSTA E REGRA DA CADEIA ................................................................... 108
2.2 FUNÇÃO INVERSA E SUAS DERIVADAS ........................................................................... 112
2.3 DERIVADAS SUCESSIVAS ....................................................................................................... 117
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 120
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 121
TÓPICO 3 - DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS .............. 123
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 123
2 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................... 123
2.1 FUNÇÃO SENO .......................................................................................................................... 123
2.2 FUNÇÃO COSSENO ................................................................................................................... 126
2.3 FUNÇÃO TANGENTE .............................................................................................................. 128
2.4 FUNÇÃO SECANTE ................................................................................................................... 129
2.5 FUNÇÃO COSSECANTE .......................................................................................................... 131
2.6 FUNÇÃO COTANGENTE ........................................................................................................ 132
3 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ..................................... 134
3.1 FUNÇÃO ARCO-SENO ............................................................................................................. 135
3.2 FUNÇÃO ARCO-COSSENO ..................................................................................................... 136
3.3 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE .................................................................................................. 137
4 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS ................................................................................... 138
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 142
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 144
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 145
UNIDADE 3 - APLICAÇÕES DAS DERIVADAS ......................................................................... 147
TÓPICO 1 - ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA ................................................................. 149
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 149
2 LANÇAMENTO VERTICAL (MOTIVAÇÃO) ........................................................................... 149
3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O PROBLEMA ........................................................... 152
4 COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES ........................................................................................... 154
4.1 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES ....................................................................... 154
4.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS ............................................................................................................. 155
4.3 TEOREMA DE ROLLE E TEOREMA DO VALOR MÉDIO .................................................. 160
4.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES ......................................................... 162
4.5 OUTRO CRITÉRIO PARA A DEFINIÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS ........................... 165
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 170
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 172
TÓPICO 2 - GRÁFICOS DE FUNÇÕES .......................................................................................... 175
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 175
2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES ........................................................................ 175
RESUMO DO TÓPICO 2....................................................................................................................184
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 185
IX
TÓPICO 3 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS ........................ 187
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 187
2 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM TAXAS DE VARIAÇÃO ..................................................... 187
3 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM TAXAS RELACIONADAS
 E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ........................................................................................................... 188
3.1 TAXAS RELACIONADAS E REGRA DA CADEIA .............................................................. 189
3.2 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA E TAXAS RELACIONADAS ....................................................... 190
4 PROBLEMAS DE MÁXIMO E MÍNIMOS (OTIMIZAÇÃO) .................................................. 193
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 197
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 198
TÓPICO 4 - CÁLCULO DE LIMITES .............................................................................................. 201
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 201
2 DEFINIÇÃO DA REGRA DE L’HOSPITAL ............................................................................... 201
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 204
RESUMO DO TÓPICO 4.................................................................................................................... 206
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 207
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 208
X
1
UNIDADE 1
LIMITES E 
CONTINUIDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• apresentar o conceito de limite de funções de uma variável;
• calcular limites de funções reais;
• compreender a ideia de limites no infinito e infinitos;
• calcular limites notáveis fundamentais;
• compreender o conceito de função contínua intuitivo e formal;
• verificar a continuidade das funções.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
TÓPICO 2 – ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
TÓPICO 3 – CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
1 INTRODUÇÃO
O estudo de limite é muito antigo, mas sempre foi tratado como um 
conceito sem muito rigor e com ideias vagas. O primeiro registro de aproximação 
foi dado em meados de 450 a.C. com os paradoxos de Zeno (ou Zenão), um desses 
paradoxos é chamado de Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga. 
Podemos ter uma ideia desse paradoxo ao considerar um corredor que 
vai fazer um percurso de 200 metros e que, antes de chegar ao final do percurso, 
precisaria passar pelo ponto que marca a metade do percurso, depois pela 
metade da metade do percurso e assim por diante, ou seja, ele precisará passar 
por uma infinidade de pontos antes de finalizar o percurso. Sem todo o avanço da 
matemática e a ideia de limite, era difícil para estudiosos da época entender como 
o corredor iria passar por infinitos pontos sem levar um tempo infinito.
Você, acadêmico, deve estar pensando: é obvio que o Paradoxo de Zeno 
é um absurdo e muitos pesquisadores da época tentaram mostrar que ele era 
falso. Dois deles foram Aristóteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.), 
mas suas tentativas foram frustradas, pois sempre chegavam em séries infinitas e 
nada podiam concluir com a matemática da época.
Outros estudos, como encontrar a reta tangente a uma curva, área delimitada 
por uma curva, pontos de máximos e mínimos de curvas, os pesquisadores conseguiam 
encontrar resultados corretos, porém sem nenhum rigor, pois sempre lhes faltava o 
conceito de limite. Mesmo com toda a importância, a definição moderna de limite só 
foi introduzida nos séculos XVIII e XIX na Europa. Essa formalização foi dada pelos 
pesquisadores Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1642-1727) 
simultaneamente, o que causou um certo desconforto entre eles. 
Você, acadêmico, vai perceber neste livro que o conceito de limite é 
fundamental para o desenvolvimento de muitas teorias. O conceito de limite é 
usado para definir derivadas e integrais, dois dos assuntos fundamentais do cálculo.
2 CONCEITO DE LIMITE
Queremos nesse tópico apresentar o conceito de limite de uma função, 
ou seja, o comportamento de uma função quando seu argumento se aproxima, 
“tende”, de um valor determinado. 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
4
A definição de limite pode ser feita de duas maneiras, uma delas é 
usando sequências, a outra é usando e (épsilon) e d (delta). As duas definições 
são equivalentes, porém, usando sequências, precisamos conhecer previamente 
vários conceitos que as envolvem, o que demandaria tempo (fica a cargo de sua 
curiosidade estudar e entender esta definição). A definição usando e (épsilon) e 
d (delta) é a definição de limite mais usada, por ser mais fácil de trabalhar com 
funções, e por isso a escolhemos para trabalhar neste livro.
2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES
Acadêmico, antes de definirmos limites, vamos primeiro entender o 
que seria limite, ter uma noção intuitiva de limite, para isso considere a função
f (x) = x2 + 1. Já estudamos o comportamento dessa função no Ensino Médio, assim 
sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola, de vértice (0,1) e concavidade 
para cima, como mostra o Gráfico 1. 
GRÁFICO 1 – FUNÇÃO f (x) = x2 + 1
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
5
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Observe que quanto maiores os valores do argumento da função, ou seja, 
quanto maior o valor de x, maiores são os valores da função, como mostra a tabela:
QUADRO 1 – FUNÇÃO f EM PONTOS DO DOMÍNIO
QUADRO 2 – PONTOS DO DOMÍNIO
x 10 100 1.000 10.000 100.000 ...
f (x) 101 10.001 1.000.001 100.000.001 10.000.000.001 ...
Podemos afirmar que quando x cresce, se aproxima do infinito (tende ao 
infinito), o valor da função f (x) se aproxima do infinito.
Outra situação que podemos observar no gráfico é o fato de que quando o 
argumento x se aproxima de 0, o valor da função se aproxima de 1.
Observe ainda que podemos nos aproximar de 1 tanto quanto queremos, 
desde que valores para x sejam escolhidos cada vez mais próximos de 0. Essa 
noção de “se aproximar tanto quanto se queira” é a motivação para definir limite 
de uma função.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
6
2.2 PONTO DE ACUMULAÇÃO 
Agora que entendemos a ideia de limite, precisamos formalizar esse 
conceito e, motivados pela seção anterior, vamos definir ponto de acumulação. 
Um ponto de acumulação, como o próprio nome já diz, é um ponto onde temos 
uma acumulação de pontos de um conjunto X, não importa a distância que 
estamos do ponto de acumulação, sempre vai existir um ponto em X que está 
mais próximo. 
GRÁFICO 2 – PONTO DE ACUMULAÇÃO IDEIA INTUITIVA
FONTE: Os autores
Definição 1: Considere um subconjunto X de  . Dizemos que a é um ponto de 
acumulação do conjunto X, se todo intervalo aberto que contém a tem pelo menos 
um ponto deX diferente de a. O conjunto de todos os pontos de acumulação é 
representado por X'.
A Definição 1 é facilmente entendida, mas para mostrar que um ponto 
é ponto de acumulação, a definição não é prática. Por isso, iremos apresentar 
uma outra definição de ponto de acumulação, que é equivalente à Definição 1, 
mas nessa nova definição iremos usar e, definições dessa forma serão comuns 
no curso de Cálculo Diferencial e Integral, é importante que desde agora você 
entenda a definição e se sinta confortável com ela. 
 
Definição 2: Dizemos que um ponto a é um ponto de acumulação de um conjunto 
X, se para todo e > 0 existe x ∈ X tal que se x ≠ a, temos que x pertence ao intervalo 
(a - e, a + e). Na forma simbólica matemática, podemos reescrever a definição da 
seguinte forma:
a ∈ X' se, e somente se, e > 0 existe x ∈ X tal que x ≠ a e x ∈ (a - e, a + e).
 
O e que aparece na Definição 2 é fundamental, note que quanto menor 
for o e, menor vai ser o intervalo onde precisa existir o x diferente do ponto de 
acumulação a, ou seja, o intervalo pode ser tão pequeno quanto queremos e 
mesmo assim vai existir um x ∈ X, que também pertence ao intervalo.
Vamos entender melhor essa definição com um exemplo. 
Exemplo: Dado um intervalo X = (0,1), encontre X'.
Resolução: Vamos considerar o ponto a = 1
2
 e mostrar que é um ponto de 
acumulação. 
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
7
Considere e = 1, então temos o seguinte intervalo
1 1 1 1 1 3, 1, 1 ,
2 2 2 2 2 2
e e     − + = − + = −     
     
, precisamos mostrar que existe x ∈ X nesse 
intervalo, tal que 1
2
x ≠ . Note que nesse caso podemos considerar qualquer x ∈ X 
desde que 1
2
x ≠ , por exemplo, 1
4
x = .
Para qualquer e > 1, sempre podemos considerar 1
4
x = . Vamos agora 
analisar o que acontece quando e vai diminuindo.
Considere 1
2
e = então ( )1 1 1 1, 0,1
2 2 2 2
 − + = 
 
, podemos considerar qualquer x ∈ X, 
por exemplo 1
4
x = . 
Considere 1
4
e = então 
1 1 1 1 1 3, ,
2 4 2 4 4 4
   − + =   
   
 podemos considerar 
3
8
x = .
Se consideramos 
1
2n
e = , para n∈ temos 1 1 1 1 1 1, ,
2 2 2 2 2 2
n n
n n n n
− +   − + =   
   
, e 
podemos considerar 
( )2 1
nx
n
=
+
.
Não importa o valor de n, sempre conseguimos encontrar um x no 
intervalo (a - e, a + e), mesmo para n muito grande. Portanto, temos que a = 1
2
 é 
um ponto de acumulação. A mesma prova pode ser usada para qualquer ponto 
a ∈ X. No caso dos extremos, podemos usar também a mesma demonstração, 
neste caso você verá que metade do intervalo (a - e, a + e) estará fora de X e a outra 
metade contida em X é nessa metade que iremos considerar o x.
Usando o exemplo acima, acadêmico, podemos concluir que para qualquer 
intervalo da forma X = (a, b) ou X = [a, b) ou X = (a, b] ou X = [a, b] o conjunto dos 
pontos de acumulação é X' = [a, b], pois para qualquer ponto x ∈ X existe uma 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
8
infinidade de pontos no intervalo (x - e, x + e) para qualquer e > 0. A mesma 
situação acontece para os pontos extremos do intervalo a e b, os intervalos (a - e, a 
+ e) e (b - e, b + e) têm uma infinidade de pontos de X. 
Neste livro iremos trabalhar muitas vezes com conjuntos que são intervalos 
de números reais, como você pode observar no exemplo acima. Caso você não lembre 
de alguma propriedade ou tenha alguma dúvida, pode procurar no livro de Introdução ao 
cálculo. Iremos usar a seguinte notação
1) Intervalo aberto (a, b): São todos os pontos x ∈  tal que a < x < b.
2) Intervalo fechado [a, b]: São todos os pontos x ∈  tal que a ≤ x ≤ b.
3) Intervalos semiabertos ou semifechados: 
a. [a, b): São todos os pontos x ∈  tal que a ≤ x < b
b. (a, b]: São todos os pontos x ∈  tal que a < x ≤ b.
UNI
Exemplo: Encontre os pontos de acumulação do conjunto 1 , X n
n
 = ∈ 
 
 , se 
existirem.
GRÁFICO 3 – CONJUNTO 
1 , X n
n
 = ∈ 
 

FONTE: Os autores
Resolução: Diferente do exemplo anterior, esse conjunto não é um intervalo, 
precisamos ficar atentos a qual valor de x que vamos considerar. 
Considere o ponto a = 1
2
, note que o intervalo 
1 1 1 1 1 3, ,
2 4 2 4 4 4
   − + =   
   
 não 
contém nenhum ponto do conjunto X, somente o ponto a = 1
2
, frisamos aqui que 
1 1 3 ,
4 4 4
 ∉ 
 
, pois estamos considerando um intervalo aberto. Então para qualquer 
1
4
e = não existe x ∈ X, tal que 1
2
x ≠ e ainda 1 3,
2 4
x e e ∈ − + 
 
.
GRÁFICO 4 – CONJUNTO 
1 , X n
n
 = ∈ 
 

FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
9
A observação feita acima serve para qualquer ponto do conjunto X. Note 
que, para qualquer n fixado, o intervalo aberto 1 1,
n n
e e − + 
 
 contém apenas o ponto 
1
n
 do conjunto X para ( )
1 1 1
1 1n n n n
e < − =
+ +
.
GRÁFICO 5 – INTERVALO 
1 1,
n n
e e − + 
 
FONTE: Os autores
Portanto, nenhum ponto de X é ponto de acumulação de X. Mas, zero, 
mesmo não pertencendo ao conjunto X, é ponto de acumulação desse conjunto, 
pois qualquer intervalo centrado em 0, esse intervalo contém uma infinidade de 
pontos de X. Então, X' = {0}.
Além de ponto de acumulação, podemos estudar pontos isolados e pontos 
aderentes de conjuntos. Aqui neste livro não iremos usar essas definições, mas são 
definições que podem ajudar muito a entender as propriedades dos conjuntos
ATENCAO
2.3 DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Na seção anterior, estudamos o ponto central da motivação para a definição 
de limite de uma função quando x tende a um ponto de acumulação. Para entender 
melhor a definição de limite, vamos apresentar algumas observações:
1 – Quando escrevemos |x - a| < d, significa que a distância entre x e a é menor 
que d, ou ainda, que x pertence ao intervalo (a - d, a + d). 
2 – Quando escrevemos |f (x) - L| < e, significa que a distância entre f (x) e L é 
menor que e, ou ainda, que f (x) pertence ao intervalo (L - e, L + e). 
3 – Dizer que x tende para a significa que x se aproxima de a.
 
Com essas observações esperamos que você se sinta mais confortável ao 
estudar a definição de limite.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
10
A definição a seguir foi dada Karl Weierstrass (1815 - 1897), mas as primeiras 
aparições de e e d já surgiam em trabalhos de Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857).
 
Definição 3: Considere uma função :f X ⊂ →  e a um ponto de acumulação 
de X. Dizemos que o limite de uma função f quando x tende para a é L se para todo 
e > 0 existe um número real d > 0 tal que se x ∈ X e |x - a| < d então | f (x) - L| < e. 
E o limite de uma função f quando x tende de a é L é denotado da seguinte forma
Em palavras mais simples, se a distância entre x e a for suficientemente 
pequena e implicar que a distância entre f (x) e L for tão pequena quanto se queira, 
podemos concluir que 
( )lim
x a
f x L
→
=
( )lim
x a
f x L
→
=
Outra maneira de formalizar limite é usando intervalos, como na definição 
de ponto de acumulação que estudamos na seção anterior, ou seja, podemos 
reescrever a definição de ( )lim
x a
f x L
→
= da seguinte forma, para todo e > 0 existe 
um d > 0, tal que se x ∈ X com x ≠ a e x ∈ (a - d, a + d), então f (x) ∈ (L - e, L + e).
Simbolicamente, temos a definição de limite:
( ) ( )lim { 0, 0 / }
x a
f x L x X x a f x Le d d e
→
= ⇔ ∀ > ∃ > ∈ ∧ − ≤ ⇒ − ≤ .
GRÁFICO 6 – DEFINIÇÃO DE LIMITE
FONTE: Os autores
.
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
11
É importante lembrar que não é necessário que a esteja no domínio da função 
que estamos calculando o limite, mas é necessário que a seja um ponto de acumulaçãodo domínio.
IMPORTANT
E
Exemplo: Considere a função f (x) = 2, usando a definição de limite, mostre que 
Resolução: Essa é a primeira prova usando e e d, preste muita atenção a todos os 
detalhes. 
Primeiro passo é considerar e > 0. Agora precisamos encontrar d > 0 que 
se encaixe na definição, ou seja, tal que se x ∈ X e |x + 1| < d, então | f (x) - 2| < e. 
Observe que reescrevemos a definição usando as informações do enunciado do 
exemplo.
 
Note que | f (x) - 2| = |2 - 2| = 0 < e. Então podemos escolher qualquer d > 0 
e ainda assim conseguimos provar o que se pede.
 
Todos os passos feitos até aqui servem para construirmos a nossa prova, 
e se você estiver fazendo alguma prova formal de matemática, deve apresentar 
somente o que está a seguir. 
Dado e > 0, considere d = 1
2
 tal que se x ∈ X e |x + 1| < d, temos
| f (x) - 2| = |2 - 2| = 0 < e.
Funções constantes são as funções mais simples e por isso sempre 
começamos com elas. Agora sabemos do exemplo anterior que, para toda função 
constante, o limite da função, quando x tende a um ponto a (de acumulação do 
domínio), é o próprio valor da função constante. 
Dado :f →  tal que f (x) = c temos que 
( )
1
lim 2
x
f x
→−
=
Vamos avançar no estudo de limites e considerar agora uma função afim. 
( )lim
x a
f x c
→
=
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
12
Exemplo: Considere a função f (x) = 2x - 3, usando a definição de limite, mostre que
( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
=
Resolução: Lembre-se de reescrever a definição de limite para saber onde queremos 
chegar. Dado e > 0, precisamos encontrar d > 0, tal que se x ∈ X e |x - 1| < d então 
|f (x) - f (1)| = e. 
Vamos fazer algumas contas para determinar o d. Para x ∈ X com |x - 1| < d, 
temos
| f (x) - f (1)| = |2x - 3 + 1| = |2x - 2| = 2|x - 1| < 2d.
Agora chegou o momento de encontrar o valor de d, queremos chegar em 
|f (x) - f (1)| = e, mas encontramos |f (x) - f (1)| < 2d. Então se 2d ≤ e, conseguimos 
que |f (x) - f (1)| < 2d ≤ e, portanto, devemos escolher d ≤ 
2
e . Agora que decidimos 
quem será nosso d, vamos à demonstração. 
 
Dado e > 0 considere d = 
2
e , então se x ∈ X e |x - 1| < d, temos
| f (x) - f (1)| = |2x - 3 + 1| = |2x - 2| = 2|x - 1| < 2d = 2 . 
2
e = e.
 
Portanto, ( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= .
Uma observação a se fazer nesta demonstração é o fato de termos escolhido 
d = 
2
e , poderíamos ter escolhido d = 
4
e ou outro valor, desde que o valor de d e e 
satisfaça a desigualdade d ≤ 
2
e .
AUTOATIVIDADE
Usando o mesmo raciocínio apresentado no exemplo anterior, mostre 
que toda função afim f (x) = bx + c satisfaz lim
x a
bx c ba c
→
+ = + .
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
13
Exemplo: Considere a função f (x) = x2 + 3x - 4, usando a definição de limite, mostre que
( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= .
Resolução: Reescrevendo a definição com os dados do enunciado: Dado e > 0 
precisamos encontrar d > 0 tal que se x ∈ X e |x + 0| = |x| < d, então |f (x) - f (0)| < e. 
Agora fazendo as contas auxiliares, sabemos que para x ∈ X com |x| < d, 
temos |f (x) - f (0)| = |x2 + 3x - 4 + 4| = |x2 + 3x| = |x||x + 3|< |x|. 4 < 4 d, podemos 
impor que |x + 3| < 4, pois estamos considerando x próximo de 0. Vamos à 
demonstração. 
 
Dado e > 0 , considere d = 
4
e , então se x ∈ X e |x| < d, temos 
|f (x) - f (0)| < 4d = 4 . 
4
e = e.
 
Portanto, ( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= .
Na maioria das vezes o valor de d dependerá de e.
NOTA
Dos exemplos acima, você pode perceber que as funções polinomiais “são 
bem-comportadas” em relação ao limite. Nas seções mais à frente, iremos provar 
que se f (x) é uma função polinomial então ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= .
2.4 UNICIDADE DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
A primeira pergunta que você, acadêmico, pode fazer é: “Será que o limite 
de uma função é único?” A resposta a essa pergunta é sim, não importa quem 
esteja calculando ou como esteja calculando, se o processo estiver certo, o limite é 
único. Essa propriedade de unicidade é mostrada no teorema abaixo. 
Teorema 1: Dada uma função :f X ⊂ →  e a ∈ X'. Se existe ( )lim
x a
f x
→
, então 
ele é único. 
Demonstração: Para mostrar que o limite de uma função é único, vamos usar o 
princípio da contradição, ou seja, vamos supor que o limite não é único e chegar 
a uma contradição. 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
14
Suponha que o limite não seja único, ou seja, que a função tem dois limites 
diferentes, quando x tende a (ponto de acumulação) e sejam eles ( ) 1limx a f x L→ = e ( ) 2limx a f x L→ = . 
Vamos reescrever os limites usando a definição de limite. 
Dado e > 0. 
Se ( ) 1limx a f x L→ = existe um d1 > 0, tal que para todo x ∈ X com |x - a| < d1, 
temos |f (x) - L1|< 2
e .
E se ( ) 2limx a f x L→ = , existe um d2 > 0, tal que para todo x ∈ X com |x - a| < d2, 
temos |f (x) - L2|< 2
e .
A definição de limite nos permite impor |f (x) - L1|< 2
e
, pois estamos considerando 
e > 0 qualquer.
NOTA
Pela definição de limite, existe d1 e d2, considere d = min {d1, d2}, então 
existe x ∈ X, tal que |x - a| < d. Note que a distância entre L1 e L2 é
|L1 - L2| = |L1 - f (x) + f (x) - L2|
≤ |L1 - f (x)| + |f (x) - L2|
= |f (x) - L1| + |f (x) - L2|
< 
2
e + 
2
e = e.
Como |L1 - L2| < e, para qualquer e > 0 significa que a distância entre L1 e L2 
é tão pequena quanto se queira, mas a distância entre L1 e L2 é fixa. Então a única 
possibilidade é que eles sejam iguais. 
Portanto, concluímos que L1 = L2.
3 PROPRIEDADES DE LIMITES 
Usar a definição de limite para calculá-los não é um processo simples, 
como vimos na seção anterior, precisamos primeiramente ter uma intuição de 
qual vai ser o limite da função, para depois provar que ele é mesmo o limite. 
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
15
Para facilitar o processo de calcular limites, nessa seção iremos apresentar uma 
série de propriedades que dispensam o uso da definição. Mas isso não quer 
dizer que a definição de limite não seja importante, como todo bom matemático, 
sempre queremos provar todas as propriedades, e as propriedades a seguir serão 
provadas usando a definição de limite.
3.1 PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Já sabemos que, para calcular o limite de funções polinomial, basta aplicar 
o valor limite de x na função. Agora iremos estudar várias outras propriedades 
que irão nos ajudar no processo de calcular limites.
Demonstração: a) Vamos apresentar a demonstração da soma, a propriedade da 
subtração é análoga. 
Da hipótese de que ( ) 1limx a f x L→ = e ( ) 2limx a f x L→ = , dado e > 0 existe d1 > 0, 
tal que para |x - a| < d1 temos |f (x) - L1| < 2
e e ainda existe d2 > 0, tal que para
|x - a| < d2 temos |g (x) - L2| < 2
e .
Considere d = min {d1, d2}, assim para |x - a| < d, temos
|f (x) - L1| < 2
e e |g (x) - L2| < 2
e .
Note que
|(f (x) + g (x)) - (L1 - L2 )| = |(f (x) - L1 + g (x)- L2|
≤ |f (x) - L1| + |g (x) - L2|
< 
2
e + 
2
e = e.
Portanto, o item a) está provado.
b) Da hipótese de que ( ) 1limx a f x L→ = , dado e > 0, existe d > 0, tal que para |x 
- a| < d, temos |f (x) - L1| < c
e
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
16
Aqui novamente usamos o artifício de limitar |f (x) - L1| < c
e
, pois isso irá 
nos ajudar no próximo passo e a definição de limite nos permite, já que estamos 
considerando e > 0 qualquer.
Então para |x - a| < d, temos 
|c . f (x) - c . L1| = |c . (f (x) - L1)|
≤ |c| . |f (x) - L1|
< |c| . c
e
 = e.
As demonstrações dos demais itens seguem de forma parecida com 
as apresentadas, por isso não serão descritas aqui. Sugerimos que você tente 
demonstrar: caso tenha dificuldade, essas propriedadessão padrões e podem ser 
encontradas em qualquer livro de cálculo.
Como consequência imediata da Proposição 1 item c), temos a seguinte 
propriedade 
( )( ) ( )1lim
n n
x a
f x L
→
=
3
2
lim3 5 3
x
x x
→
+ −
Exemplo: Calcule o limite abaixo
Resolução: Para calcular o limite, vamos usar a Proposição 1 
Mostramos na seção anterior que e , portanto
Como já mencionado anteriormente, se considerarmos um polinômio de 
grau n qualquer
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
17
Como já mencionado anteriormente, se considerarmos um polinômio 
de grau n qualquer ( ) 11 1 0n nn nf x a x a x a x a−−= + + + + temos que o limite de f (x), 
quando x tende a a, é f (a).Podemos ver que essa afirmação segue diretamente das 
propriedades em a), b) e c).
Exemplo: Calcule os limites a seguir: 
a) 
2
4
16lim
6x
x
x→
−
+
Resolução: Para calcular esse limite, vamos usar os itens a), c) e d) da proposição 1.
Resolução: Para calcular esse limite, vamos usar os itens a), c) e e)
Proposição 2: Considere que ( )lim
x a
f x L
→
= então
a) ( )( ) ( )limsen sen .
x a
f x L
→
=
b) ( )( ) ( )lim cos cos .
x a
f x L
→
=
Demonstração: a) Como ( )lim
x a
f x L
→
= , dado e > 0, existe d > 0, tal que se |x - a| < d, 
então |f (x) - L| ≤ e. 
Note que 
pois 
( )cos 1
2
f x L+ 
≤ 
 
. Para valores de y pequenos, temos que sen(y) ≤ y, logo 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen 2sen cos 2 sen
2 2 2
f x L f x L f x L
f x L
− + −     
− = ≤     
     
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
18
b) A demonstração do item b) é análoga ao item a), usando a propriedade
2sen(x)sen(y) = cos(x - y) - cos(x + y)
Exemplo: Calcule os limites
a) 
( )
1
1
limsen
1 3x
x
x
p
→
+ 
 − 
 b) ( )
1
lim cos 35 2
x
x
→−
+ −
( )( ) ( ) ( ) ( )sen sen 2
2
f x L
f x L f x L e
−
− ≤ = − ≤
e
Você já aprendeu várias propriedades e, dependendo da função ou 
situação, vai usar uma ou outra, vai aplicar a propriedade que for mais adequada. 
Somente com muita prática você vai conseguir lembrar de todas as proposições 
e aplicá-las da maneira mais eficaz. Para ajudá-lo, sugerimos que vá anotando as 
proposições e os teoremas em uma folha, e os consulte quando precisar.
Proposição 3: Considere que ( )lim
x a
f x L
→
= , então
a) ( )( ) ( )lim ln ln
x a
f x L
→
= , desde que L > 0.
b) ( )lim f x L
x a
e e
→
= .
AUTOATIVIDADE
A demonstração da Proposição 3 é deixada como autoatividade para 
você, essas proposições são padrão e podem ser encontradas na maioria dos 
livros de cálculo.
Resolução: Usando as Propriedades 1 e 2, temos 
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
19
b) ( )cos
1
lim x
x
e p
→−
Resolução: Usando as Propriedades 1 e 2, temos 
( ) ( )
( )( ) ( )
3 3
0 0
3
lim ln 12 4 2 ln lim1 2 4 2
ln 1 2 0 4 0 2 ln 2
x x
x x x x
→ →
− + = − +
= − ⋅ + =
3.2 TEOREMA DO CONFRONTO E DA FUNÇÃO LIMITADA
Em certas situações, usando as propriedades estudadas na seção anterior, 
você não conseguirá determinar o limite de uma função, isso pode ocorrer por 
vários motivos. Os teoremas a seguir nos ajudarão em algumas situações. O 
primeiro deles é o Teorema do Confronto, ou também conhecido Teorema do 
Sanduíche, ou Teorema da Espremedura.
( ) ( )
( )
1
lim coscos
1
cos 1
lim
1
x
xx
x
e e
e e
e
pp
p
→−
→−
− −
=
= = =
O Teorema do Confronto também é chamado de Teorema do Sanduíche, pois a 
ideia principal do teorema é encontrar duas funções que tenham o mesmo limite e que elas 
façam um “sanduíche” da função de que queremos calcular o limite, ou seja, encontramos 
duas funções (pão do sanduíche), uma que é menor e outra que é maior que a função de 
que queremos calcular o limite (recheio do sanduíche).
NOTA
Teorema 2: (Confronto) Considere as funções f, g e h definidas num intervalo 
aberto I contendo a, tal que
g (x) ≤ f (x) ≤ h (x)
para todo x ∈ I (exceto talvez em a). Se ( ) ( )lim lim
x a x a
g x L h x
→ →
= = , então 
( )lim
x a
f x L
→
=
.
Exemplo: Calcule os limites
a)
2
4
16lim
6x
x
x→
−
+
Resolução: Usando as Propriedades 1 e 2, temos 
lim
 x→0
In(12x3–4x+2)
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
20
Demonstração: Dado e > 0. 
Como ( )lim
x a
f x L
→
= , existe d1 > 0, tal que se |x - a| < d1, então |g (x) - L| < e, ou 
ainda, 
L - e < g (x) < L + e.
Como ( )lim
x a
f x L
→
= , existe d2 > 0, tal que se |x - a| < d1, então |h (x) - L| < e, ou 
ainda, 
L - e < h (x) < L + e.
Considere d = min{d1,d2}, então se |x - a| < d1, temos que
L - e < g (x) < L + e e L - e < h (x) < L + e.
E, portanto 
L - e < g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) < L + e,
ou seja, f (x) - L ≤ e.
Usando aqui a analogia com o sanduíche acadêmico, a função f (x) é o 
recheio do nosso sanduíche, a função de que queremos calcular o limite, já as 
funções g (x) e h (x) são os dois pães que formam o sanduíche. Depois dessa 
delícia de sanduíche matemático, provavelmente você nunca mais vai esquecer 
do Teorema do Sanduíche.
Exemplo: Considere a função f (x) = x2 2 1sen
x
 
 
 
, calcule ( )
0
lim
x
f x
→
.
Resolução: A função 2 1sen
x
 
 
 
, próximo do zero fica variando de 0 até 1, como 
podemos ver no gráfico.
GRÁFICO 6 – FUNÇÃO 
2 1sen
x
 
 
 
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
21
FONTE: Os autores
Usando a Proposição 1, não conseguimos calcular o limite da função 
f (x), pois não conseguimos determinar para onde vai a função devido ao 
comportamento da função. 
Mas observando a função e usando o fato de que 0 ≤ 2 1sen
x
 
 
 
 ≤ 1, temos 
que 
0 ≤ x2 2 1sen
x
 
 
 
 ≤ x2.
Ou seja, podemos considerar g (x) = 0 e h (x) = x2. Como 
( )
0 0
lim lim 0 0
x x
g x
→ →
= = e ( ) 2
0 0
lim lim 0
x x
h x x
→ →
= =
concluímos do Teorema do Confronto que 
No Gráfico 7, podemos verificar a situação do Teorema do Confronto.
( ) 2 2
0 0
1lim lim sen 0
x x
f x x
x→ →
 = = 
 
GRÁFICO 7 – TEOREMA DO CONFRONTO
Uma conclusão direta do Teorema do Confronto é a relação entre dois 
limites, se duas funções são uma menor igual a outra, podemos concluir que o 
limite também terá o mesmo comportamento.
Teorema 3: Sejam f e g duas funções, tais que f (x) ≤ g (x), para todo x num intervalo 
aberto l contendo a (exceto talvez em a). Se ( )lim
x a
f x L
→
= e ( )lim
x a
g x M
→
= , então L ≤ M.
Demonstração: Tente demonstrar o teorema usando a definição de limite e 
considerando uma função h (x) = f (x) - g (x). 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
22
O próximo teorema também é uma consequência direta do Teorema do 
Confronto. Para entendê-lo melhor, iremos relembrar a definição de uma função 
limitada, que você já estudou na disciplina de Introdução ao Cálculo. 
Dizemos que uma função f é limitada em todo o seu domínio, se sua 
imagem está contida num intervalo limitado, ou seja, h (x) = Im((f (x)) ∈ [a, b] com 
a, b ∈ , logo, a ≤ f (x) ≤ b. Podemos também considerar M = max{|a|, |b|}, assim 
|f (x)| ≤ M.
Teorema 3: (Da função limitada) Sejam f e g duas funções. Se ( )lim 0
x a
f x
→
= e g é 
uma função limitada então
( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
Demonstração: Como g é uma função limitada, existe M > 0, tal que - M ≤ g (x) ≤ M 
para todo x no domínio de g. Se multiplicamos a desigualdade por f (x), temos
- M . f (x) ≤ f (x) . g (x) ≤ M . f (x).
 
Como ( )lim 0
x a
f x
→
= , concluímos que
e
 Portanto, do Teorema doConfronto, concluímos que ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
4 CÁLCULO DE LIMITES
Este ponto de nosso estudo é bastante amplo, pois existe uma grande 
diversidade de funções, cada qual com suas características. Porém, aqui iremos 
focar nas funções que possuem pontos onde ocorrem situações “estranhas”; mais 
tarde, notaremos com o estudo da continuidade de funções o porquê destes casos. 
Estamos falando de limites de funções que recaem em indeterminações. Vamos 
compreender este conceito.
4.1 INDETERMINAÇÕES
Para compreender melhor o significado de “indeterminações”, 
consideraremos os seguintes limites 
( ) ( )lim lim 0 0
x a x a
M f x M f x M
→ →
− ⋅ = − = − ⋅ =
( ) ( )lim lim 0 0
x a x a
M f x M f x M
→ →
⋅ = = ⋅ =
3 2
20 7
5 49lim e lim
7x x
x x
x x→ →−
−
+
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
23
Usando a propriedade do limite do quociente, temos que 
3 3
2 20
5 5 0 0lim
0 0x
x
x→
⋅
= =
e
chegamos à expressão 
0
0 , que não conseguimos calcular. 
E agora, o que fazer? Calma, pois existe uma maneira de calcularmos esse 
limite, desviando desse problema, se usarmos fatoração. 
Concluímos que a resolução destes limites é possível, como mostramos a 
seguir
( )22
7
7 4949 0lim
7 7 7 0x
x
x→−
− −−
= =
+ − +
e
3
20 0
5lim lim 5 5 0 0
x x
x x
x→ →
= = ⋅ =
Observe que os dois limites tinham chegado a uma expressão do tipo 
0
0 , 
mas quando usamos a segunda técnica de resolução, os resultados dos limites foram 
diferentes, o primeiro limite é 0 e o segundo é -14. Assim, fica evidente que a expressão 
0
0 não pode ter um valor determinado, pois ela varia dependendo da função.
Usando a prova por absurdo, vamos compreender melhor a situação, 
suponha que 
0
0 tenha um valor fixo, ou seja, 
0
0 = k, para algum k ∈ , vamos 
tentar determinar o valor de k. Então, 
( )( )2
7 7
7
7 749lim lim
7 7
lim 7 7 7 14
x x
x
x xx
x x
x
→− →−
→−
+ −−
=
+ +
= − = − − = −
0 0 0
0
k k= ⇒ = ⋅
A segunda igualdade é verdadeira para todo k ∈ . Ou seja, o que estamos 
querendo dizer é que, por exemplo, 
0 5
0
= ou 
0 7
0
= − ou 
0 3
0 2
= e assim sendo, é 
por este motivo que esta expressão é dita uma indeterminação, não tem valor fixo.
Você deve estar pensando, “então é só fatorar”. Nos casos acima foi esse 
artifício algébrico que usamos, mas em outras situações iremos recorrer a outros 
artifícios algébricos.
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
24
Calculando limites de funções, podemos também chegar a outras expressões 
cujo significado, ou valor, não é determinado. Ao todo são sete os símbolos de 
indeterminação:
IMPORTANT
E
Observe que cinco das indeterminações envolvem o infinito, essas indeterminações serão 
estudadas na Unidade 2.
0 00 , 0 , , 0 , 1 e 
0
∞∞ ⋅∞ ∞ − ∞ ∞
∞
Sempre que no cálculo de um limite você chegar a um destes símbolos, 
deve-se buscar alguma alternativa para obter o valor do limite usando artifícios 
algébricos. A este trabalho dá-se o nome de levantamento de uma indeterminação. 
Veremos a seguir algumas situações que podem ocorrer. 
4.2 TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LIMITES 
INDETERMINADOS
Como comentamos anteriormente, iremos estudar as indeterminações do 
tipo 00 e 0
0. A indeterminação do tipo 00 não é tão comum, por isso iremos focar 
em técnicas para resolver a indeterminação 
0
0 . Para isso, iremos utilizar exemplos 
para explorar alguns dos diversos casos de limites indeterminados que podem 
surgir. Vamos a eles.
Exemplo: Calcular 2 3
3lim 
9x
x
x→
−
−
.
Resolução: Vamos calcular o limite utilizando as propriedades conhecidas
Chegamos a uma indeterminação do tipo 
0
0 , neste caso o artifício algébrico 
usado para “levantar” a indeterminação obtida é a FATORAÇÃO.
Para fatorar o denominador x2 - 9, utilizamos o produto notável da forma 
a2 - b2 = (a - b) . (a + b)
3
2 23
3
2
lim 33lim
9 lim 9
3 3 0
3 9 0
x
x
x
xx
x x
→
→
→
−−
=
− −
−
= =
−
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
25
Assim, você tem x2 - 9 = x2 - 32 = (x - 3) . (x + 3). Desta forma, temos que o 
limite será igual a:
Portanto, 
2 3
3 1lim 
9 6x
x
x→
−
=
−
.
Exemplo: Calcular 
16
4lim
16x
x
x→
−
−
.
Resolução: Calculando o limite usando as propriedades, temos
( ) ( )23 3
3
3 3lim lim
9 3 3
1 1 1lim
3 3 3 6
x x
x
x x
x x x
x
→ →
→
− −
=
− − ⋅ +
= = =
+ +
e novamente chegamos à indeterminação do tipo 
0
0 .
Para levantar esta indeterminação, você deve usar o artifício algébrico do 
produto notável novamente, a2 - b2 = (a - b) . (a + b). Como na função aparece 
uma raiz quadrada, vamos multiplicar o numerador da função, 4x + , pelo seu 
conjugado, 4x + , para eliminar essa raiz quadrada. Para não alterar a função, 
você também multiplica o denominador por 4x + . Logo,
16
16
16
lim 44lim
16 lim 16
16 4 0
16 16 0
x
x
x
xx
x x
→
→
→
−−
=
− −
−
= =
−
e assim o limite fica 
( ) ( ) ( )2 24 4 4 16x x x x− ⋅ + = − = −
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
 16 16
 16
 16
4 44lim lim 
16 16 4
16
lim 
16 . 4
1 1 1 1lim 
4 4 84 16 4
x x
x
x
x xx
x x x
x
x x
x
→ →
→
→
− +−
=
− − +
−
=
− +
= = = =
++ +
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
26
Portanto, 
16
4 1lim 
16 8x
x
x→
−
=
−
.
O conjugado de um número com raiz é um artifício matemático usado para 
eliminar a raiz do numerador ou denominador de uma fração. No exemplo anterior, o 
numerador é igual a x - 4 e, da mesma forma que em números complexos, aqui o 
conjugado vai trocar o sinal de um dos termos, no exemplo consideramos o conjugado 
como sendo x + 4, pois 
NOTA
Mas também poderíamos considerar o conjugado de x - 4 como sendo - x - 4, trocando 
o sinal do termo com raiz, pois 
( ) ( ) ( )2 2x -4 × x+4 = x -4 =x-16
Eliminando a raiz, note que o limite do exemplo anterior continua o mesmo se usarmos 
esse conjugado
.
.
( ) ( ) ( )2 2x -4 × - x-4 =- x +(-4) =-x+16
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
→ →
→
→
→
x 16 x 16
x 16
x 16
x 16
x -4 - x-4x-4lim = lim
x-16 x-16 - x-4
-x+16= lim
x-16 - x-4
- x-16
= lim
x-16 - x-4
-1= lim
- x-4
-1 -1 1= = =
-8 8- 16-4
Exemplo: Calcular 
3
 1
1lim 
1x
x
x→
−
−
.
Resolução: Da mesma forma que nos exemplos anteriores, se calcularmos este 
limite pelas propriedades chegaremos à indeterminação do tipo 
0
0 .
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
27
Este limite é novamente uma situação em que se fatoram o numerador e 
o denominador.
3
3 1 1
1 1lim lim .
1 1x t
x t
x t→ →
− −
=
− −
Portanto, 
3
 1
1 1lim 
1 3x
x
x→
−
=
−
.
Exemplo: Calcular 
 0
2 2lim 
x
x
x→
+ −
.
Resolução: Novamente tentamos calcular o limite pelas propriedades de limites 
e chegamos à indeterminação 
0
0 .
Usaremos o artifício algébrico da racionalização do numerador da função 
para “levantar” a indeterminação, como foi feito no exemplo anterior. Multiplica-
se o numerador da função, 2 2x + − , pelo seu conjugado, 2 2x + + . Para não 
alterar a função, você multiplica também o denominador por 2 2x + + . 
Já sabemos que a2 - b2 = (a - b) . (a + b). Assim:
( ) ( )
3
2 1 1
2 1
1 1lim lim 
1 1 1
1 1 1lim .
1 1 1 1 3
x t
t
x t
x t t t
t t
→ →
→
− −
=
− − ⋅ + +
= = =
+ + + +
Desta vez, para “levantar” a indeterminação, faremos a substituição da 
variável x por t3, faremosessa substituição para eliminar a raiz cúbica que aparece 
na função. Veja que essa substituição transforma a função 
3 1
1
x
x
−
−
 na seguinte 
3 3
3
1
1
t
t
−
−
 
que, simplificando, fica 3
1
1
t
t
−
−
 e essa nova função não tem nenhuma raiz cúbica, 
facilitando assim os cálculos. Observe que, quando x → 1, significa que t3 → 1, ou 
ainda que t → 1 . Assim: 
Conforme o que foi discutido acima, temos o limite:
( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 .x x x x x+ − + + = + − = + − =
( )
 0 0
 0
 0
2 2 2 2 2 2lim lim 
2 2
lim 
2 2
1lim 
2 2
1 1 1 2 2 2. .
2.2 42 2 2 2 2 2 2
x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
→ →
→
→
+ − + − + +
= ⋅
+ +
=
⋅ + +
=
+ +
= = = = =
+
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
28
Portanto,
 0
2 2 2lim 
4x
x
x→
+ −
= .
 
Nesses exemplos aprendemos a resolver uma indeterminação do tipo 
0
0 
usando três artifícios mais comuns:
 1 – Fatoração. 
 2 – Multiplicação pelo conjugado. 
 3 – Substituição de variável.
Observe que em alguns dos exemplos usamos mais de um artifício para 
calcular o limite.
( )
 0 0
 0
 0
2 2 2 2 2 2lim lim 
2 2
lim 
2 2
1lim 
2 2
1 1 1 2 2 2. .
2.2 42 2 2 2 2 2 2
x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
→ →
→
→
+ − + − + +
= ⋅
+ +
=
⋅ + +
=
+ +
= = = = =
+
29
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Ponto de acumulação é todo ponto a se para todo e > 0 existe x ∈ X tal que se 
x ≠ a temos que x pertence ao intervalo (a - e, a + e).
• Definição de limite é matematicamente expressa por 
( ) ( )lim { 0, 0 / }
x a
f x L x X x a f x Le d d e
→
= ⇔ ∀ > ∃ > ∈ ∧ − ≤ ⇒ − ≤
• O limite é único. 
• Podemos operar com o limite como apresentado na Proposição 1: Sejam 
( ) 1limx a f x L→ = , ( ) 2limx a f x L→ = e c ∈  então 
 
• Podemos fazer composição de funções e calcular seus limites: Se ( )lim
x a
f x L
→
=
então
( )( ) ( )limsen sen .
x a
f x L
→
=
( )( ) ( )lim cos cos .
x a
f x L
→
=
( )lim f x L
x a
e e
→
=
( )( ) ( )lim ln ln
x a
f x L
→
= desde que L > 0.
• Se g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), ( ) ( )lim lim
x a x a
g x L h x
→ →
= = , então ( )lim
x a
f x L
→
= . (Teorema do 
Confronto)
• Do Teorema do Confronto temos duas consequências diretas, são elas: 
 o Se f (x) ≤ g (x), ( )lim
x a
f x L
→
= e ( )lim
x a
g x M
→
= então L ≤ M.
30
 o Se ( )lim 0
x a
f x
→
= e g é uma função limitada então ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
• Alguns limites chagam e indeterminação e estudamos técnicas de resolução 
para a indeterminação 
0 00 , 0 , , 0 , 1 e 
0
∞∞ ⋅∞ ∞ − ∞ ∞
∞
31
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Usamos o limite para descrever o comportamento de uma função à medida 
que o argumento da função tende a um determinado valor. O conceito de 
limite é usado para definir outros conceitos, como derivada e continuidade 
de funções. Analise as afirmações abaixo e classifique-as em verdadeiro (V) 
ou falso (F).
a) ( ) O limite de uma função da forma f (x) = ax + b, quando x tende para 0 é b.
b) ( ) Do Teorema do Confronto, podemos concluir que se ( )lim 0
x a
f x
→
= e 
( )lim
x a
g x
→
= ∞, então ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
c) ( ) Quando calculamos limites, podemos encontrar indeterminações, 
uma indeterminação representa um único valor real.
d) ( ) Se ( ) 1limx a f x L→ = e ( ) 2limx a g x L→ = então 
( )
( )
1
2
lim
x a
f x L
g x L→
= , para qualquer L1 e L2.
2 Determine os pontos de acumulação dos conjuntos abaixo: 
a) A = (-∞, 3)
b) B = 2
11 ;n
n
 + ∈ 
 

c) C um conjunto finito
3 Mostre, usando a definição de limite, que 
2
2
3 2lim 0
5 1x
x x
x→
− +
=
−
.
4 Prove, usando a definição de limite, que se ( )lim
x a
f x L
→
= , então 
( )( )lim 0
x a
f x L
→
− = .
5 Calcule os limites a seguir: 
AUTOATIVIDADE
32
6 Usando o Teorema do Confronto e da Função Limitada, calcule os limites:
7 Calcule o valor dos limites indeterminados:
8 Para quais valores de c, o limite 
2
22
3 3lim
2x
x ax a
x x→
+ + +
+ −
 existe. E qual o valor 
do limite?
9 A definição de limite usando e e d foi introduzida pelo matemático Karl 
Weierstrass para formalizar o conceito, essa definição tornou as demonstrações 
de propriedades e teoremas do cálculo mais lógicas e concretas. Classifique 
as propriedades de limites abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) O limite da soma de funções é a soma dos limites dessas funções. 
b) ( ) O limite da diferença entre duas funções é igual a zero. 
c) ( ) O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à 
constante. 
d) ( ) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas 
funções.
e) ( ) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas 
funções.
2x – 3
x – 2
lim
x→-2
33
TÓPICO 2
ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No Tópico 1 entendemos a noção intuitiva de limite e então definimos 
formalmente o conceito, também provamos várias propriedades de limites e as 
usamos para calcular o limite de várias funções. Agora, acadêmico, você deve 
estar se perguntando: “Para que serve tudo isso?” Já comentamos que vamos usar 
limites para definir os próximos conceitos de derivada e integral, mas isso agora 
parece vago e distante. 
Este tópico tem o objetivo de continuar o estudo sobre limites, queremos 
aqui apresentar algumas situações matemáticas em que o uso de limite ajuda 
a compreender. É importante que nós, como professores de matemática, 
tenhamos uma visão mais ampla dos assuntos que ensinamos aos nossos alunos, 
um exemplo é quando estamos ensinando a construir gráficos de funções e 
precisamos entender bem a função para saber identificar se ela apresenta algum 
comportamento diferente. 
Para identificar propriedades de funções, como assíntotas (vertical 
ou horizontal) e pontos de descontinuidade, iremos ampliar o estudo de 
limites definindo limites laterais, limites no infinito, limites infinitos e limites 
fundamentais. Se você não lembra ou nunca viu algumas dessas propriedades, 
fique tranquilo que iremos estudar cada uma delas detalhadamente, com um 
enfoque agora de cálculo.
2 LIMITES LATERAIS 
Antes de definirmos o que são limites laterais, vamos considerar a função 
de grau unitário ( )
0, se 0
1, se 0
x
f x
x
<
=  ≥
 cujo gráfico é dado pelo Gráfico 8.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
34
GRÁFICO 8 – FUNÇÃO DE GRAU UNITÁRIO
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Você pode perceber que quando x se aproxima de zero pelo lado esquerdo, 
a função f se aproxima de 0, ou seja, o limite seria 0, mas quando x aproxima de 
zero pelo lado direito, a função f se aproxima de 1 e neste caso o limite seria 1. O 
que é estranho, já que mostramos no tópico anterior que o limite é único. O que 
causa essa estranheza é que justamente no 0 a função muda, ou seja, ela tem um 
ponto de descontinuidade em 0. 
Usamos a notação x → a para representar a expressão “x tende para o 
valor a”. Quando dizemos que “x tende para o valor a pela direita”, usaremos 
a seguinte notação x → a+, esse + não significa valor positivo e sim que x está 
próximo de a mas a < x. Usando isso, vamos reescrever a definição de limite 
restringindo o intervalo de x para definir limite lateral à direita.
Definição 3: (Limite à Direita) Seja f uma função definida no intervalo (a, c). 
Dizemos queo limite à direita de f quando x tende a a é L, se dado e > 0, existe 
um d > 0, tal que se a < x < a + d, então |f (x) - L| < e.
 
Observe que |f (x) - L| < e é equivalente a < f (x) - L - e < f (x) < L + e.
GRÁFICO 9 – DEFINIÇÃO DE LIMITE À DIREITA
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
35
FONTE: Os autores
Representamos o limite pela direita pela expressão ( )lim
x a
f x L
+→
= .
Observe que a diferença entre o limite e o limite lateral pela direita é o 
fato de que no limite x se aproxima de a por ambos os lados, já no limite lateral à 
direita, x se aproxima de a somente pela direita (a < x). Já na notação, o que difere 
os dois é o símbolo de + no expoente de a.
Exemplo: Considere a função ( )
2 , se 2
2 , se 2
x x
f x
x x
 ≤
= 
− >
. Mostre que ( )
2
lim 4
x
f x
+→
= − 
usando a definição de limite à direita. 
Resolução: Note que, para x > 2, temos que f (x) = -2x, então
Assim, se 2 < x < 2 + d, temos que 0 < x - 2 + d, ou ainda, |x - 2| < d.
 
Dado e > 0. Considere d = 
2
e , tal que 2 < x < 2 + d, então 
( ) ( )4 2 4 2 2 2 2 .f x x x x+ = − + = − − = −
Portanto, mostramos que ( )
2
lim 4
x
f x
+→
= − .
De forma análoga ao limite lateral à direita, vamos definir limite lateral à 
esquerda. Quando dizemos que “x tende para o valor a pela esquerda”, usaremos 
a seguinte notação x → a-, x está próximo de a mas x < a.
Definição 4: (Limite à Esquerda) Seja f uma função definida no intervalo (b, a). 
Dizemos que o limite à esquerda de f quando x tende a a é L, se dado e > 0, existe 
d > 0, então |f (x) - L| < e para todo x, tal que a - d < x < a.
( ) 4 2 2 2 2 .
2
f x x ed e+ = − ≤ ⋅ = ⋅ =
GRÁFICO 10 – DEFINIÇÃO DE LIMITE À ESQUERDA
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
36
Representamos o limite pela direita pela expressão ( )lim
x a
f x L
+→
= .
Exemplo: Considere a função ( )
2 , se 2
2 , se 2
x x
f x
x x
 ≤
= 
− >
. Mostre que ( )
2
lim 4
x
f x
−→
= 
usando a definição de limite à direita. 
Resolução: Note que, para x ≤ 2, temos que f (x) = x2, então 
Assim, se 2 - d < x < 2, temos que - d < x - 2 < 0, ou ainda |x - 2| < d. Precisamos 
limitar |x + 2|, como estamos interessados em valores de x próximos de 2 pelo lado 
esquerdo, podemos supor que 1 < x < 2, logo 3 < x + 2 < 4 e portanto |x + 2|< 4.
 
Dado e > 0. Considere d = 
2
e tal que 2 - d < x < 2 então 
( ) ( )( )24 4 2 2 2 2 .f x x x x x x− = − = − + = − ⋅ +
Portanto, mostramos que ( )
2
lim 4
x
f x
−→
= .
No Tópico 1, estudamos várias propriedades de limites, todas essas 
propriedades podem ser usadas nesta seção para calcular os limites laterais, 
como veremos nos exemplos a seguir. 
Exemplo: Considere a função ( )
2 9
3
xf x
x
−
=
+
. Calcule ( )
3
lim
x
f x
+→−
 e ( )
3
lim
x
f x
−→−
.
Resolução: Observe que se calcularmos o limite de x tendendo para -3, temos
( ) 4 2 2 4 4 .
4
f x x x ed e+ = − ⋅ + ≤ ⋅ ≤ ⋅ =
uma indeterminação do tipo 
0
0 . 
Apresentaremos aqui mais um artifício para resolver uma indeterminação 
do tipo 
0
0 . Pela definição de módulo, temos que 
( )
22
3
3
3
2
lim 99lim
3 lim 3
3 9 0
3 3 0
x
x
x
xx
x x
→−
→−
→−
−−
=
+ +
− −
= =
− +
e observe também que x2 + 9 = (x + 3) (x - 3). Então podemos reescrever a função 
da seguinte forma 
( )
3, se 3
3
3 , se 3
x x
x
x x
+ ≥ −
+ = − + < −
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
37
ou ainda, 
( )
( )( )
( )( )
( )
3 3
, se 3
3
3 3
, se 3
3
x x
x
x
f x
x x
x
x
 + −
≥ − +=  + − < −
 − +
Vamos agora calcular os limites laterais 
( ) ( )
3, se 3
.
3 , se 3
x x
f x
x x
− ≥ −
= − − < −
e
No exemplo acima foram calculados os limites laterais pela esquerda e 
pela direita e estes são diferentes 
( )
3 3
lim lim 3 3 3 6
x x
f x x
+ +→− →−
= − = − − = −
( ) ( ) ( )
3 3
lim lim 3 3 3 6.
x x
f x x
− −→− →−
= − − = − − − =
Isso nem sempre acontece, quando os limites laterais são iguais, pode-se 
concluir que o limite existe e é igual ao limite lateral. A prova dessa propriedade 
é apresentada no teorema a seguir.
Teorema 5: Seja f uma função definida num intervalo (b, c) tal que b < a < c. Então 
( )lim
x a
f x L
→
= se e somente, se ( )lim
x a
f x L
+→
= e se ( )lim
x a
f x L
−→
= .
Demonstração: (→) Como ( )lim
x a
f x L
→
= , então os limites laterais são iguais a L.
(←) Como ( ) ( )lim lim
x a x a
f x L f x
+ −→ →
= = , vamos mostrar que ( )lim
x a
f x L
→
= . 
Dado e > 0. Existe d1 > 0, tal que se a < x < a + d1, então |f (x) - L| < e. Existe 
d2 > 0, tal que se a - d2 < x < a, então |f (x) - L| < e.
Seja d = min{d1, d2}, nesse caso se a - d < x < a + d e x ≠ a, temos que 
a - d2 ≤ a - d < x < a + d ≤ a - d1
e portanto |f (x) - L| < e. Da definição de limite, conclui-se que ( )lim
x a
f x L
→
= . 
Esse teorema nos garante que se o limite existe, os limites laterais também 
existem e são iguais, e sua recíproca garante que se existem os limites laterais e 
eles são iguais, o limite também existe. 
( ) ( )
3 3
lim 6 6 lim .
x x
f x f x
+ −→− →−
= − ≠ =
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
38
O conceito de limites laterais é importante para sabermos o que acontece 
nos pontos onde a função muda, como os limites laterais do exemplo anterior são 
diferentes, além de concluir que o 
2
3
9lim
3x
x
x→−
−
+
 não existe, sabemos que esse ponto é 
um ponto de descontinuidade. O estudo de funções contínuas será aprofundado 
no próximo tópico.
AUTOATIVIDADE
Acadêmico, usando algum software matemático, como GeoGebra ou Wolfram 
Alpha, verifique que a função ( )
2 9
3
xf x
x
−
=
+
 tem um ponto de descontinuidade 
em x = - 3.
Exemplo: Considere a função ( )
24 , se 2
2, se 2
x x
f x
x x
 − <
= 
− >
. Calcule ( )
2
lim
x
f x
+→
 e ( )
2
lim
x
f x
−→
. 
Usando limites laterais, o que se pode concluir sobre ( )
2
lim
x
f x
→
.
Resolução: Note que 
Como os limites laterais existem e são iguais, conclui-se que ( )
2
lim
x
f x
→
 = 0.
3 LIMITE NO INFINITO
A motivação para definirmos limite foi ponto de acumulação e sempre 
consideramos x tendendo para um valor a fixo e finito, mas o que acontece se 
consideramos x tendendo para ∞ ou -∞? Nesta seção você vai estudar limites quando 
x tende ao infinito, esse conceito é muito usado em problemas de crescimento 
populacional, claro que não temos um tempo infinito, mas é importante saber 
como a população de uma determinada espécie se comporta quando o tempo vai 
passando, quando o tempo fica muito grande, o que traduzido para a matemática 
significa o tempo tender para infinito. 
Considerar a função f : [1, ∞) →  dada por ( ) 1f x
x
= com seu gráfico dado 
pelo Gráfico 11:
( )
( ) ( )
2 2
22
2 2
lim lim 2 2 2 0
e
lim lim 4 4 2 0
x x
x x
f x x
f x x
+ +
− −
→ →
→ →
= − = − =
= − = − =
e
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
39
GRÁFICO 11 – FUNÇÃO ( ) 1f x = x NO INTERVALO [1, ∞).
FONTE: Os autores
Você pode observar que quando x tende ao infinito, o gráfico da função 
se aproxima cada vez mais do eixo x, ou seja, se aproxima cada vez mais da reta 
y = 0, mas nunca toca. A definição a seguir formaliza essa noção intuitiva.
Definição 5: Seja f : [a, ∞) →  uma função. Dizemos que o limite da função f 
quando x tende ao infinito é L, ( )lim
x
f x L
→∞
= , se para todo e > 0 existe M > 0 tal que 
se x > M então |f (x) - L| < e.
 
A definição nos afirmaque quanto maior for o valor de x, mais próximo 
da reta y = L a função f está. Observamos aqui que a principal diferença entre a 
definição de limite e limite no infinito é que no limite considerávamos um intervalo 
para x pequeno através do d, já no limite no infinito não consideramos nenhum 
intervalo para x, mas sim consideramos o x grande através do M.
 
Exemplo: Considere a função anterior ( ) 1f x
x
= definida no intervalo [1, ∞). Mostre 
usando a definição de limite no infinito que 
1lim 0
x x→∞
= .
Resolução: Dado e > 0, precisa-se encontrar um M > 0, tal que para x > M, tem-se 
Considere 1M
e
= , para x > 1M
e
= encontra-se 
( ) 10 0 .f x
x
e− = − <
( ) 1 10 0 .f x
x x
e− = − = <
Se uma função f está definida no intervalo (-∞, b), também pode-se calcular 
o limite da função f (x) quando x tende a menos infinito.
Definição 6: Seja f : [-∞, b) →  uma função. O limite da função f (x) quando x 
tende a menos infinito é L, ( )lim
x
f x L
→−∞
= , se para todo e < 0 existe M < 0 tal que se 
x < M então |f (x) - L| < e.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
40
AUTOATIVIDADE
Mostre, usando definição de limite no infinito, que ( )lim
x
f x L
→−∞
= 0 se ( ) 1f x
x
= 
definida no intervalo (-∞, -1].
As definições acima nos garantem que quanto maior for o x, mais próxima 
a função f fica da reta y = L, mas nunca toca a reta y = L, ou seja, a reta y = L é dita 
ser uma assíntota horizontal.
Definição 7: Uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal de uma função y = 
f (x) se, ou ( )lim
x
f x L
→−∞
= , ou ( )lim
x
f x L
→∞
= .
 
Dada uma função f, uma e apenas uma das situações abaixo pode ocorrer:
i) A função f não tem assíntotas horizontais;
ii) A função f tem apenas uma assíntota horizontal;
iii) A função f tem duas assíntotas horizontais. 
Exemplo: Encontre a assíntota horizontal da função ( )
2
2
4
4
xf x
x
−
=
+
 se existir.
Resolução: Para encontrar as assíntotas horizontais é necessário calcular os 
limites no infinito. Usando as propriedades de limites, tem-se que 
E agora? O limite chegou a uma indeterminação?
Mesmo usando as propriedades já estudadas, nem sempre é tão fácil 
calcular alguns limites, o próximo teorema irá ajudar você nessa tarefa. 
Teorema 6: Para todo número natural positivo k temos
i) 1lim 0kx x→−∞
= ; ii) 1lim 0kx x→∞
= .
Demonstração: i) Dado e > 0, precisa-se encontrar M < 0, tal que se x < M, então 
1 0kx
e− < .
( )
22
2 2
lim 44 4lim lim .
4 lim 4 4
x
x x
x
xxf x
x x
→∞
→∞ →∞
→∞
−− ∞ − ∞
= = = =
+ + ∞ + ∞
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
41
Dado e > 0, considere 
1 0
k
M
e
= − < , então 
1 0kx
e− < para todo x < M.
 
ii) A demonstração desse item é similar à demonstração do item i). Faça a 
demonstração desse item para você praticar. 
Exemplo: Encontre a assíntota horizontal da função ( )
2
2
4
4
xf x
x
−
=
+
 se existir.
Resolução: Dividindo o numerador e o denominador da função acima por x2, 
encontra-se 
1 1 10 
1 1 1 .
kk k
k
k k
x x x
x x x
e e e
e e e
− < ⇔ < ⇔ < ⇔
⇔ > ⇔ > ⇔ < −
Usando as propriedades de limites, temos 
2
2 2 2
22
22
4 414 .444 1
x
x x x
xx
xx
−
−−
= =
++ +
Agora usando o Teorema 6, conclui-se 
( )
2 2
2
2
4lim1 4lim lim .44 lim1
x
x x
x
x xf x
x
x
→∞
→∞ →∞
→∞
−−
= =
+ +
Da mesma maneira, temos que 
( ) 1 0lim 1.
1 0x
f x
→∞
−
= =
+
( )
2
2
4lim 1 1 0lim 1.4 1 0lim 1
x
x
x
xf x
x
→−∞
→−∞
→−∞
− −
= = =
++
Portanto, a reta y = 1 é a única assíntota horizontal da função. Veja que isso 
realmente acontece no gráfico da função.
Como, precisa-se
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
42
GRÁFICO 12 – FUNÇÃO ( )
2
2
x -4f x =
x +4
FONTE: Os autores
Exemplo: Encontre a assíntota horizontal da função ( )
24 1 2 7
5 2
x xf x
x
+ + −
=
+
 se existir.
Resolução: Dividindo o numerador e o denominador da função acima por x que 
é a maior potência que aparece para x, encontra-se 
quando x > 0, pois 2x x= .
 
Usando as propriedades de limites e o Teorema 6, temos
2
2 2
1 74 1 2 7 4 24 1 2 7
5 2 25 2 5
x x
x x x xx
xx
x x
+ + − + + −
+ + −
= =
++ +
Quando x < 0, 2x x= - 2x x= logo
( )
2
1 7lim 4 lim lim 2 lim
lim 2lim 5 lim
4 0 2 0 4 .
 5 0 5
x x x x
x
x x
x xf x
x
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞
→∞ →∞
+ + −
=
+
+ + −
= =
+
2
2 2
1 74 1 2 7 4 24 1 2 7
5 2 25 2 5
x x
x x x xx
xx
x x
+ + − − + + −
+ + −
= =
++ +
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
43
FONTE: Os autores
e o limite, quando x tende a menos infinito, é 
Portanto, a reta y = 4
5
 e y = 0 são as duas assíntotas horizontais da função. 
Veja que isso realmente acontece no gráfico da função.
( )
2
1 7lim 4 lim lim 2 lim
lim 2lim 5 lim
4 0 2 0 2 2 0.
 5 0 5
x x x x
x
x x
x xf x
x
→−∞ →−∞ →∞ →∞
→−∞
→∞ →∞
− + + −
=
+
− + + − − +
= = =
+
GRÁFICO 13 – FUNÇÃO ( )
24x +1+2x-7f x =
5x+2
4 LIMITES INFINITOS
Considere agora a função ( ) 2
1f x
x
= , o gráfico dessa função está 
apresentado no gráfico a seguir.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
44
GRÁFICO 14 – FUNÇÃO ( ) 2
1f x =
x
FONTE: Os autores
Você pode observar que à medida que x se aproxima de 0 pelo lado direito, 
a função f admite valores cada vez maiores, ou seja, tende ao infinito. O mesmo 
ocorre quando x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo, a função f tende ao infinito.
Definição 8: Sejam X um subconjunto de , a ∈  e uma função f: X → . Então 
( )lim
x a
f x
→
= ∞
se dado um número real M > 0, existe d > 0, tal que se x ∈ X e 0 < |x - a| < d, então f (x) > M.
Note que considerando M > 0 (M grande) em vez de e > 0 (pequeno), 
conseguimos encontrar um d > 0, que determina o intervalo (pequeno) em que 
vamos considerar o valor de x para provar que f tende para infinito.
Exemplo: Mostre, usando limites infinitos, que 20
1lim 
x x→
= ∞ .
Resolução: Dado M > 0, precisamos encontrar d > 0, tal que se 0 < |x| < d, então 20
1lim 
x x→
= ∞ > M. 
Como
2
2
1 1 1 , M x x
x M M
> ⇔ > ⇔ <
considere d = 
1
M então f (x) = 20
1lim 
x x→
= ∞ > M para todo x, tal que 0 < |x| < d.
No caso de a função tender a menos infinito quando x tende a um número 
real a, temos a seguinte definição.
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
45
FONTE: Os autores
Definição 9: Sejam X um subconjunto de , a ∈  e uma função f: X → . Então 
se dado um número real M < 0, existe d > 0, tal que se x ∈ X e 0 < |x - a| < d, então f (x) < M.
Diferente da Definição 8, aqui estamos considerando um M muito grande, 
mas com valor negativo, já que queremos mostrar que f (x) tende a menos infinito.
( )lim
x a
f x
→
= −∞
AUTOATIVIDADE
Mostre, usando a definição acima, que ( )lim
x a
f x
→
= −∞ .
Em algumas situações você não irá conseguir calcular o limite, mas 
somente os limites laterais, por exemplo, a função ( ) 1f x
x
= , cujo gráfico é 
apresentado a seguir. 
GRÁFICO 15 – FUNÇÃO ( ) 1f x = x
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
46
Observando a figura, você pode notar que quando x tende a 0 pela direita, 
a função f tende a infinito positivo, mas quando 0 tende a 0 pela esquerda, a 
função f tende a infinito negativo. A reta x = 0 nunca é tocada pelo gráfico da 
função f, então temos uma assíntota vertical. 
Definição 10: Uma reta x = a é chamada de assíntota vertical de uma função f se 
pelo menos uma das condições abaixo é verdadeira:
O próximo teorema será uma ferramenta muito útil que