Ângulos no Triângulo e na Circunferência

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Triângulos
Circunferências
Figuras geométricas construídas a partir de 3 segmentos de reta cujas 
extremidades são três pontos distintos e não colineares.
 Quanto aos lados:
Equilátero: três lados de mesma medida. Os 3 ângulos internos
também são congruentes e medem 60º cada.
Isósceles: dois lados congruentes; o maior lado não é congruente
e é chamado de base. 
Escaleno: três lados com medidas diferentes entre si;. 
 Quanto aos ângulos:
Retângulo: apresenta um ângulo interno reto (90º) e, consequen-
temente, dois ângulos agudos que são complementares (soma dá
90º), assim o total dá 180º, a soma dos ângulos internos de todo
triângulo;
Acutângulo: três ângulos internos agudos; 
Obtusângulo: um ângulo obtuso e dois ângulos agudos; 
No triângulo ABC, temos os seguintes elementos:
Vértices: pontos A, B e C;
Lados: segmentos AB, BC e AC;
Ângulos internos: α, β, γ
Ângulos externos: α (e), β (e), γ (e)
Cada ângulo interno e seu respectivo ângulo extrerno são suplementares adjacentes.
A
C
B
α
α
ß
ß
γ
γ
e
e
e
Classificação dos triângulos Teorema do ângulo externo
Teorema das somas do ângulo externo
Posições relativas entre reta e circunferência
Diz que o ângulo externo de um triângulo é maior que os 
dois ângulos internos não adjacentes a ele ou ainda que o 
ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois 
ângulos internos não adjacentes a ele.
Em qualquer triângulo, a soma de seus 3 ângulos externos 
deve dar 360º. Lembrando que a soma dos 3 ângulos inter-
nos deve dar 180º. 
É o conjunto dos pontos do plano situado à mesma distância de um
ponto fixo. Esse ponto é chamado de centro. Uma das partes mais im-
portantes da circunferência é seu arco, a porção compreendida entre 
dois pontos dela e que forma um ângulo partindo do centro. 
Caso a reta seja tangente à circunferência, o segmento determinado pelo
raio e a reta tangente formam, no ponto de tangência, um ângulo reto.
Tangentes (um único
ponto comum)
Secantes (dois
pontos comuns)
Externas (nenhum
ponto comum)
C
C r
ponto de tangência
C
r
rt C r
s
u
distância entre centro e tangente = raio distância entre centro e secante < raio
distância entre centro e externa > raio
Posições relativas entre duas circunferências
Ângulos na circunferência
Considere uma circunferência de centro C e uma reta r, secante à circunferência, que forma os pontos A e B;
Sendo M o ponto médio de AB, temos que o segmento CM será perpendicular à secante r. 
C
A
B
M
r
Posição: secantes
Pontos comuns: 2
Distância entre os centros: r1 - r2 < d < r1 + r2
Posição: tangentes internas
Pontos comuns: 1
Distância entre os centros: d = r1 - r2
Posição: tangentes externas
Pontos comuns: 1
Distância entre os centros: d = r1 + r2
Posição: internas concêntricas
Pontos comuns: 0
Distância entre os centros: d = 0
Posição: internas não concêntricas
Pontos comuns: 0
Distância entre os centros: d < r1 - r2
Posição: externas
Pontos comuns: 0
Distância entre os centros: d > r1 + r2
}Sendo as circunferências tangentes,os centros e os pontos de tangênciasão sempre colineares.
Ângulo que tem como vértice o centro da
circunferência e seus lados passam por pontos
pertencentes a ela.
Esse ângulo central AÔB determina na circunferência
dois arcos, cujas medidas somam 360º.
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma mes-
ma circunferência têm o mesmo arco correspondente,
então a medida do ângulo central equivale ao dobro da
medida do ângulo inscrito.
Tendo mais de um ângulo inscrito, todos eles terão o 
mesmo valor se determinarem o mesmo arco.
o
A
B
o
A
B
x
y
Como consequência disso, temos que, se um ângulo central AÔB
descreve um arco de 180º, onde AB é o diâmetro, ao tomar um 
ponto P qualquer na circunferência, o triângulo ABP será retângulo,
pois o ângulo APB será reto (180º/2 = 90º).
Mais simples: se um triângulo está inscrito em uma circunferência e 
um dos lados coincide com o diâmetro, esse triângulo será retângulo. 
Ângulo de Segmento
Tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e 
outro tangente a ela. Na figura, α é um ângulo de segmento. A medida desse ângulo
é metade da medida angular do arco determinado na circunferência por um de seus lados.
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Um polígono regular é aquele que possui todos os ângulos congruentes, assim como
todos os ângulos. Assim, dividindo uma circunferência em partes iguais e unindo os
pontos obtidos por segmentos, determinará-se um polígono regular. Para isso, basta 
dividir 360º (em torno do centro) pelo número de partes que quiser obter.
 Exemplo: em 4 partes de 90º.
O
A B
P
180º
O
A
B
t
α
O