aula_03

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17/04/2018
MATEMÁTICA I
LIMITES
continuação
Profa. Ma. Fádua Ferreira
faduafantonio@gmail.com
Limites de Expressões 
Indeterminadas
17/04/2018
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para
o qual 𝑥 está tendendo (valor genérico “𝑎”) na expressão da função
𝑓(𝑥).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para
funções racionais.
Isto acontece quando se faz a substituição direta de 𝑥 por seu valor
de tendência e encontra-se INDETERMINAÇÃO (𝟎/𝟎 ou 𝒃/𝟎 ou ∞/∞
ou ∞/𝟎 ou ∞ − ∞ ou ∞. 𝟎 ou 𝟎𝟎 ou ∞𝟎 ou 𝟏 ). Veja os casos a
seguir.
Mas o que isso significa?
Para entendermos, vamos analisar .
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções tais quelim
→
𝑓(𝑥) = 0 e lim
→
𝑔(𝑥) = 0. Nada
podemos dizer sobre lim
→
. Isso irá depender das funções 𝑓 e 𝑔,
podendo o limite lim
→
assumir qualquer valor real, ou
simplesmente não existir. Por isso, é uma expressão que representa
uma indeterminação.
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Regras adicionais 
• 1ª REGRA: Para funções racionais cujos numeradores e
denominadores são 0 quando se substitui 𝑥 por 𝑎 (valor de
tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do
denominador devem ser divididos por (𝑥 − 𝑎) . Após esta
simplificação, faz-se a substituição de 𝑥 por 𝑎.
lim
→
𝑥 − 4
𝑥 − 2
=
2 − 4
2 − 2
=
0
0
= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴ÇÃ𝑂
lim
→
𝑥 − 4
𝑥 − 2
= lim
→
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= lim
→
𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4
Regras adicionais 
• 2ª REGRA: Quando somente o denominador for 0 na substituição
direta de 𝑥, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se
os limites laterais forem iguais.
lim
→
1
𝑥 − 2
=
1
2 − 2
=
1
0
= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴ÇÃ𝑂
lim
→
1
𝑥 − 2
= −∞ e lim
→
1
𝑥 − 2
= +∞
Portanto o limite não existe
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Regras adicionais 
• 3ª REGRA: Quando se tem uma função polinomial ou uma função
racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou −∞ ,
são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos
abaixo.
1º exemplo (função racional):
lim
→
2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 + 3
𝑥 − 2
= lim
→
2𝑥
𝑥
= lim
→
2𝑥 = 2. ∞ = ∞
2º exemplo (função polinomial):
lim
→
5𝑥 − 2𝑥 + 1 = lim
→
5𝑥 = 5. ∞ = ∞
Expressões indeterminadas 
• Considere o seguinte limite:
lim
→
𝑥 − 27
𝑥 − 3
• Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas
chegaríamos ao seguinte resultado:
lim
→
𝑥 − 27
𝑥 − 3
=
3 − 27
3 − 3
=
0
0
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Expressões indeterminadas
• Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
Expressões indeterminadas
• Apesar da função não estar definida no ponto 𝑥 = 3, quando nos
aproximamos de 𝑥 = 3, 𝑓(𝑥) se aproxima de 27. Portanto:
lim
→
𝑥 − 27
𝑥 − 3
= 27
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este
valor?
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Expressões indeterminadas
• Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!
• Neste exemplo, 𝑥 − 27 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3𝑥 + 9). Logo, podemos 
reescrever a função do seguinte modo:
𝑓 𝑥 =
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3𝑥 + 9)
(𝑥 − 3)
= 𝑥 + 3𝑥 + 9
• Basta então calcular:
lim
→
𝑥 + 3𝑥 + 9 = 27
Produtos Notáveis!!!
• Diferença de quadrados
𝑎 − 𝑏 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
• Trinômio quadrado perfeito
𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 ± 𝑏 𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 ± 𝑎𝑏 ± 𝑎𝑏 + 𝑏 = 𝑎 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏
• Soma e Diferença de Cubos
𝑎 + 𝑏 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏 )
𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏 )
• Cubo perfeito
𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 ± 3𝑎 𝑏 + 3𝑎𝑏 ± 𝑏
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença
de quadrados a2 - b2.
Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;
Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.
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Exemplo:
Sejam 𝑓 𝑥 = 3𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 .
Exemplo: Cancelando um Fator Comum
Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero.
Testamos o numerador para ver se este também é zero em 𝑥 = 1.
Também é, portanto apresenta o fator (𝑥– 1) em comum com o denominador.
Cancelar o (𝑥– 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para
𝑥1:
𝑥 + 𝑥 − 2
𝑥 − 𝑥
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑥(𝑥 − 1)
=
𝑥 + 2
𝑥
, s𝑒 𝑥 ≠ 1
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando 𝑥 → 1 por substituição:
lim
→
𝑥 + 𝑥 − 2
𝑥 − 𝑥
= lim
→
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑥(𝑥 − 1)
= lim
→
𝑥 + 2
𝑥
=
1 + 2
1
= 3
Calcule: lim
→
𝑥 + 𝑥 − 2
𝑥 − 𝑥
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𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 , onde 𝑥 e 𝑥 são as raízes reais.
Pela regra da soma e do produto das raízes temos:
𝑥 + 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 e 𝑥 . 𝑥 =
𝑐
𝑎
Ou pela Fórmula de Bhaskara
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏 − 4𝑎𝑐
 
2𝑎
Exemplo: desenvolvendo o numerador e 
simplificando
lim
→
2 + 𝑥 − 4
𝑥
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Exemplo: racionalizando o numerador
lim
→
2 + 𝑡
 
− 2
 
𝑡
Exemplo Aplicado: Funções de Custo Médio 
Uma empresa fabrica uma linha de mesas para executivos. Estima-se 
que o custo total da fabricação de 𝑥 mesas de certo modelo é de 
𝐶 𝑥 = 100𝑥 + 200.000 dólares por ano, de modo que o custo médio 
da fabricação de 𝑥 mesas é dado por 
𝐶̅ 𝑥 =
𝐶(𝑥)
𝑥
=
100𝑥 + 200.000
𝑥
= 100 +
200.000
𝑥
dólares por mesa. Calcule lim
→
𝐶̅ 𝑥 e interprete seus resultados.
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Teorema do Valor Intermediário
Teorema do Valor Intermediário
𝒇 𝒄 = 𝑴
Se 𝑓 é uma função contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e 𝑀 é qualquer
número entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), então existe pelo menos um número 𝑐 em [𝑎, 𝑏] tal que
𝑓 𝑐 = 𝑀 .
𝑦
𝑓(𝑏)
𝑓(𝑎)
𝑀
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑥
𝑐 𝑏
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𝟏 𝟐 𝟑
𝑦
𝑓(𝑏)
𝑓(𝑎)
𝑀
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑐
𝑥
𝑐 𝑐 𝑏
Teorema do Valor Intermediário
Geometricamente, esse teorema do valor intermediário nos informa
que qualquer reta horizontal 𝑦 = 𝑀 cruzando o eixo 𝑦 entre os
números 𝑓(𝑎) e 𝑓 𝑏 cruzará a curva da função 𝑓 ao menos uma vez
no intervalo [𝑎, 𝑏]. 𝑦
𝑓(𝑏)
𝑓(𝑎)
𝑀
𝑎
𝑥
𝑏
Teorema do Valor Intermediário
∄ 𝒙|𝒇 𝒙 = 𝑴
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Existência de zeros de uma função contínua
Se 𝑓 é uma função contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏], e se 𝑓(𝑎)
e 𝑓(𝑏) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma solução da
equação 𝑓 𝑥 = 0 no intervalo 𝑎, 𝑏 .
y
x
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)
ca b
y
x
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)
a b𝑐 𝑐
𝑓 𝑐 = 𝑓 𝑐 = 0
EXERCÍCIO DE REVISÃO
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1. Estudos estatísticos mostram que cada vez mais motoristas estão
abastecendo seus próprios veículos, dispensando o auxílio dos frentistas. A
seguinte função fornece o valor de vendas de combustível dos motoristas
que abastecem seus próprios carros como uma porcentagem sobre o total
de vendas de combustível nos Estados Unidos:
𝑓 𝑥 =
6𝑡 + 17, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑡 ≤ 6
15,98 𝑡 − 6 / + 53, 𝑠𝑒 6 < 𝑡 ≤ 20
Aqui, 𝑡 é medido em anos, com 𝑡 = 0 correspondendo ao início de 1974.
a. Esboce o gráfico da função 𝑓.
b. Que porcentagem do total de vendas de combustível no início de 1978
correspondeu ao total de vendas dos motoristas que abastecem seus
próprios carros? E no início de 1994?
3. Os aposentados recebem um reajuste automático anual de acordo
com o custo de vida. O benefício que recebem mensalmente aumenta
proporcionalmente à variação do índice de preços ao consumidor
durante o ano anterior. Suponha que o índice de preços ao consumidor
aumentou de 5,3% durante o ano passado.
a. Expresse o benefício mensal de um aposentado após o reajuste em
função de seu benefício atual.
b. Se o benefício mensal do Sr. Harrington é atualmente de $ 620, qual
será seu benefício após o reajuste?
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5. Os gastos com planos de saúde por pessoa no setor privado incluem
pagamentos por indivíduos, corporações e suas companhias de seguros, e
seu valor é aproximado pela função
𝑓 𝑡 = 2,48𝑡 + 18,47𝑡 + 509 (0 ≤ 𝑡 ≤ 6)
onde 𝑓(𝑡) é medida em dólares e 𝑡 é medido em anos, com 𝑡 = 0
correspondendo ao início de 1994. O gasto correspondente do governo
(incluindo despesas com Medicaid, Medicare e outras organizações públicas
federais, estaduais e municipais) é dado por
𝑔(𝑡) = −1,12𝑡+ 29,09𝑡 + 429(0 ≤ 𝑡 ≤ 6)
onde 𝑡 tem o mesmo significado de antes.
a. Determine a função que fornece a diferença entre os gastos privados e
governamentais com saúde por pessoa em qualquer instante 𝑡.
b. Qual foi a diferença entre as despesas do setor privado e do governo por
pessoa no início de 1995? E no início de 2000?
8. Thomas Young sugeriu a regra a seguir para calcular a dosagem de
medicamento para crianças com idade de 1 a 12 anos. Se 𝑎 denota a
dose adulta (em miligramas) e 𝑡 é a idade da criança (em anos), então a
dosagem da criança é dada por
𝐷 𝑡 =
𝑎𝑡
𝑡 + 12
.
Se a dose adulta de uma substância é de 500 mg, qual deve ser a dose
para uma criança de quatro anos?
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13. Uma grande corporação está construindo um complexo de casas,
escritórios, lojas, escolas e igrejas em uma área de 4.325 acres na
comunidade rural de Glen Cove. Os planejadores estimaram que,
devido a este projeto, a população de Glen Cove (em milhares) daqui a
t anos será de
𝑃 𝑡 =
25𝑡 + 125𝑡 + 200
𝑡 + 5𝑡 + 40
a. Qual é a população atual de Glen Cove?
b. Qual será a população de Glen Cove a longo prazo?
15. O salário-base de um vendedor trabalhando por comissão é de $
12.000. Para cada $ 50.000 de vendas acima de S 100.000 ele recebe
uma comissão de $ 1.000. Esboce um gráfico mostrando os
vencimentos do vendedor como função do nível 𝑥 de suas vendas.
Determine os valores de 𝑥 para os quais essa função 𝑓 é descontínua.