Aula 02 - Números Racionais

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Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
1 
 
 
Aula 2 
Números racionais 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre a noção de números racionais, conjunto numérico que amplia o 
conjunto dos números naturais e dos números inteiros. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
• conhecer os números racionais, assim como a sua representação em notação decimal 
e fracionária; 
• conhecer a noção de ordem dos números racionais; 
• conhecer uma representação geométrica dos números racionais; 
• conhecer as duas operações básicas entre números racionais; 
• saber lidar com as representações decimais dos números racionais; 
• entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos. 
 
 
 
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2 
 
Uma nova representação numérica de grandezas 
 
 A quantificação da grandeza comprimento pela associação aos números naturais 
a partir de uma unidade estabelecida apresenta limitações. Por exemplo, nos triângulos 
retângulos a seguir, podemos facilmente medir os dois catetos (no primeiro, temos 
catetos de medidas 2 e 4, no segundo, temos catetos de medidas 1 e 4). 
 
 
Mas, sobre cada hipotenusa, só podemos dizer que o comprimento está entre 4 e 5. Com 
certeza, podemos dizer que uma é maior do que a outra, mas não podemos ser muito 
mais específico do que isto (as linhas pontilhadas no desenho representam o traço de um 
compasso, veja como a primeira hipotenusa é claramente maior). 
 Em situações como esta, além de perdermos a precisão na referência numérica 
do objeto em foco, corremos o risco de perder toda informação sobre tal objeto. 
Enquanto tivermos determinado objeto na nossa frente, podemos sempre obter as 
informações que forem necessárias. O problema é quando ficamos sem o objeto e 
apenas com informações parciais que não ajudem a falar sobre o objeto sumido. 
 Por exemplo, a partir do triângulo representado na figura a seguir, podemos 
medir os seus lados, assim como fazer outras avaliações que forem necessárias. Se for o 
caso, podemos também medir a área do retângulo ou sua altura, entre outras coisas. 
Mas, se formos efetivamente medir os lados do triângulo a partir da unidade 
estabelecida no próprio desenho, vamos encontrar dois lados com medida 4 (o triângulo 
é isósceles) e um lado com medida entre 3 e 4, este lado não tem uma medida precisa 
nesta unidade estabelecida. 
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3 
 
 
 Veja agora, leitor, como os problemas podem aparecer a partir de avaliações 
imprecisas. Suponha que você registre estas informações de medição e suponha também 
que perca a figura acima. Será que, com estes registros, você consegue recuperar o 
triângulo? Veja a figura a seguir. 
 
 Temos aqui 3 triângulos com 2 lados medindo 4 e um lado, a base, medindo 
entre 3 e 4. São triângulos que atendem às especificações dos registros, mas são 
triângulos completamente diferentes. Por exemplo, todos têm alturas diferentes entre si. 
 
Atividade 1 
 De posse de um compasso, regule sua abertura de acordo com a unidade do 
desenho e confira os valores dos lados dos triângulos acima. 
 
Atividade 2 
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4 
 
 O objetivo é ilustrar como informações numéricas podem ajudar a recuperar um 
determinado objeto. Sabe-se que um triângulo tem lados de medida 5, 10 e 12. 
a) Numa folha quadriculada, com o auxílio de uma régua e um compasso, desenhe um 
triângulo com essas medidas. (Sugestão de roteiro: Adote o lado dos quadrados da folha 
quadriculada como unidade de medida. Em cima de uma linha, desenhe dois pontos 
distando 12 unidades. Usando um dos pontos como centro, com o compasso, desenhe 
um círculo de raio 10. Usando o outro ponto como centro desenhe um círculo de raio 5. 
Marque um dos pontos de interseção dos círculos. Verifique que o triângulo formado 
pelos 3 pontos têm lados de medidas 5, 10 e 12, respectivamente.) 
b) Para ilustrar como que as informações dadas sobre as medidas dos lados são 
significativas, obtenha a medida da altura do triângulo que você desenhou com relação 
À base de medida 12. (Você deve encontrar 4, aproximadamente.) Este item ilustra 
como que algumas boas informações numéricas podem ser valiosas para o 
conhecimento de todo um objeto. 
 
 Bom, sabemos que o processo de quantificação por meio dos números naturais, 
ou mesmo dos números inteiros, pode deixar a desejar, dependendo do tipo de grandeza 
que está sendo avaliada. Como resolver esta questão? 
 Uma forma de contornar problemas assim é admitir novas unidades de medida. 
Mais precisamente, deve-se admitir submúltiplos da unidade estabelecida inicialmente, 
ou seja, uma nova unidade segundo a qual a unidade inicial é um múltiplo. Assim, se for 
preciso obter uma avaliação melhor de um comprimento, pode-se adotar uma nova 
unidade de medida que seja, por exemplo, um décimo da outra, ou seja, a unidade 
inicial é 10 vezes a nova unidade. Nesta nova unidade, ou melhor, neste novo processo 
de quantificação, um comprimento pode ser avaliado com precisão 10 vezes maior. 
 
No desenho, a reta r foi munida de uma unidade de medida, OU. Em seguida, uma nova unidade 
é estabelecida, OU´. Note que OU é múltiplo de OU´, é 5 vezes maior. 
Ou seja, a unidade OU´ é um submúltiplo da unidade OU. 
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5 
 
 Por exemplo, a figura a seguir representa dois segmentos acima de uma reta 
graduada. Na unidade fixada, os dois segmentos não possuem uma representação 
numérica exata. Nessa graduação da reta só podemos dizer que os dois segmentos têm 
medida entre 1 e 2. Se quisermos dar mais algum detalhe, podemos dizer que o 
segmento marrom é maior do que o segmento azul e está mais próximo da marca 2 do 
que da marca 1, enquanto o segmento azul está mais ou menos entre as duas marcas. 
Estas são informações um tanto imprecisas. Por exemplo, se guardarmos estas 
informações e, no futuro, quisermos recuperar os segmentos a partir delas, será um 
bastante complicado reproduzir os segmentos. 
 
 Agora, se escolhermos uma nova unidade de medida, uma mais conveniente, 
talvez possamos obter uma melhor representação numérica dos segmentos. A próxima 
figura representa os mesmos segmentos da figura anterior, mas com a reta graduada de 
modo diferente. A unidade de medida é um décimo da unidade anterior, ou seja, a 
unidade antiga é 10 vezes maior do que a nova. 
 
 Como se pode ver na figura, temos agora, na unidade nova, uma representação 
numérica exata do comprimento de cada segmento. O segmento marrom tem 
comprimento 18 e o segmento azul mede 16 unidades novas. 
 
Observação: Na verdade, a troca de unidades é algo bastante comum, e natural, no 
cotidiano de qualquer pessoa. Por exemplo, leitor, você se lembra de alguma situação 
onde costuma mudar de unidades? Certamente você já fez referência a distância entre 
pontos da sua cidade, ou até entre cidades, e certamente escolheu o quilômetro como 
unidade de medida. Por outro lado, certamente você já precisou medir algum espaço da 
sua casa, ou algo parecido, e, neste caso, de distâncias bem menores, certamente você 
adotou o centímetro como unidade de medida (o centímetro é um submúltiplo da 
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6 
 
unidade quilômetro). A escolha de unidades sempre foi variada e até relativamente 
arbitrária. Por exemplo, dependendo do país, a temperatura é medida pela unidade 
conhecida como grau Celsius ou pela unidade conhecida como grau Fahrenheit. Na 
avaliação de distâncias, além de usarmos a unidade metro e a unidade quilômetro, por 
exemplo, também pode-se usar outros tipos de unidades não tão comuns como milhas, 
pés e polegadas, por exemplo. 
 
 A possibilidade de escolhade uma unidade conveniente permite obter avaliações 
mais precisas. Por outro lado, cria-se um problema, a saber, como comparar avaliações 
obtidas de unidades diferentes? Vejamos a situação do exemplo anterior. 
 Você acabou de ver uma situação onde uma unidade, u, foi fixada. Depois, por 
questões de conveniência, uma nova unidade, u’, foi criada. Isto foi feito de modo que a 
unidade inicial é 10 vezes a nova undidade. Ou seja, u = 10u’. Outra forma de falar 
sobre esta relação é dizer que a nova unidade é um décimo da unidade inicial. Uma 
maneira de denotar isto é escrevendo u’ = 
10
1
u. 
 Na nova unidade, encontramos as medidas 18u’ e 16u’ para os segmentos 
marrom e azul, respectivamente. Para se fazer referência a unidade inicial, pode-se 
escrever, então, 18
10
1
u e 16
10
1
u, ou, mais implesmente, 
10
18
u e 
10
16
u. 
 Leitor, você entendeu esta passagem final? Na medida do segmento marrom, por 
exemplo, dizer que o valor é 18u’, somente, não ajuda muito, pois, de início, só 
conhecemos a unidade u. O que é a unidade u’? Agora, quando se escreve 
10
18
u a 
informação fica completa. Só com esta notação, fica informado que uma nova unidade 
foi considerada, que está é um décimo da unidade inicial e que o segmento mede 18 
vezes esta unidade nova. 
 
Exemplo: Vejamos uma nova situação de utilização da notação recém introduzida. Um 
segmento, representado por a, não é múltiplo de uma unidade fixada, u. Mas, foi dada a 
informação de que a mede 
4
7
u. O que significa esta informação? Será que conseguimos 
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reproduzir o segmento com esta informação? Para responder a estas questões, considere 
a próxima representação de uma reta com uma unidade u estabelecida. 
 
 Para encontrar a, precisamos primeiro encontrar uma unidade de media que seja 
um quarto da unidade de medida u. Considere, então, o novo desenho a seguir. Veja 
como u’ é um quarto de u, ou seja, u é igual a 4 vezes u’. Com a nova unidade que é um 
quarto da unidade inicial, marcamos 7 vezes a unidade nova. O segmento com esta 
extensão é o segmento de comprimento dado pela informação 
4
7
u, representado no 
desenho em amarelo. 
 
 Com esta nova notação fracionária, isto é, com números fornecidos em forma de 
fração, parece que podemos registrar qualquer objeto por meio de uma representação 
numérica, o que resolve o problema colocado logo no início desta seção. 
 Note que esta representação fracionária estende a representação numérica dos 
números inteiros. Por exemplo, o número 5 pode ser representado em forma de fração, 
basta escrever 
1
5
. De fato, 
1
5
 significa considerar uma nova unidade de modo que 
unidade inicial é uma vez a unidade nova. Ou seja, esta notação indica que devemos 
considerar a mesma unidade. Pegar 5 vezes a unidade inicial significa pegar exatamente 
o número 5. Ou seja, 
1
5
 e 5 representam o mesmo segmento, isto é, 5 pode ser 
representado por 
1
5
. 
 
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Atividade 3 
 A unidade dia é muitas vezes usada para avaliar o tempo. Outras vezes, usamos 
um submúltiplo desta unidade, a unidade hora. 
a) Quantas vezes a unidade dia é maior do que a unidade hora? Como fica a medida 
4dia em horas? 
b) O valor na unidade dia, 
24
2
, equivale a quantas horas? 
c) As pessoas dormem ao longo de uma fração do dia. Em média, dormem um terço do 
dia. Como esta avaliação é representada em horas? Escreva, depois, o resultado na 
unidade dia. 
d) Uma viagem durou 2 dias e 5 horas. Escreva este valor em forma de fração, na 
unidade dia. 
e) Uma viagem durou 
24
48
 dias. Quantas horas a viagem durou? Quantos dias a viagem 
durou? 
 
 Problemas como os narrados aqui, nesta aula, deram origem a um novo conceito 
de conjunto numérico em Matemática. Tal conjunto é chamado de o conjunto dos 
números racionais, e é denotado por �. Os números racionais foram definidos de tal 
maneira que seus elementos são representados pela forma fracionária que acabamos de 
ver. Assim, a representação fracionária dos elementos de � é dada por 
q
p , onde p, q ∈ 
�, com q ≠ 0. Em resumo, temos 
� = {
q
p : p, q ∈ �, q ≠ 0}. 
 Ressaltamos que um número a ∈ � pode ser representado em forma de fração 
fazendo a = 
1
a
. Assim, os conjuntos numéricos que conhecemos até agora seguem as 
relações de inclusão, � � � � �. 
 Na representação fracionária, o número embaixo da barra é chamado 
denominador da fração e o número em cima da barra é chamado numerador da fração. 
 
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Problema! Leitor, é preciso tomar cuidado com a representação fracionária. Você sabia 
que um número racional sempre possui mais de uma representação fracionária? 
 Por exemplo, as frações 
6
4
 e 
3
2
 são equivalentes, isto é, representam o mesmo 
número racional. É fácil perceber este fato através de um desenho representativo. 
Observe as figuras abaixo que representam essas frações. 
 
 Existem outras equivalências de representações que não são tão simples de 
serem percebidas. Por exemplo, será que 
5
4−
 e 
5
4
−
 são equivalentes? 
 Para que não fique nenhuma dúvida, para saber se duas representações 
fracionárias coincidem, basta verificar a seguinte relação, onde a, c ∈ �, b e d ∈ ��: 
 d
c
b
a
= ⇔ ad = cb . 
Por este critério, vemos facilmente que 
5
4−
 e 
5
4
−
 representam o mesmo número 
racional. Além disso, você verá mais adiante que eles ainda possuem um terceiro tipo de 
representação, a saber, −
5
4
, que denota o simétrico de 
5
4
.
 
 
Atividade 4 
a) A seguir, você tem exemplos de unidades e submúltiplos da unidade. Especifique 
quantas vezes a unidade u é maior do que a nova unidade u’. 
1. u = metro (m) e u’ = centímetro (cm) 
2. u = quilômetro (km) e u’ = metro (m) 
3. u = hora (h) e u’ = minuto (min) 
4. u = hora (h) e u’ = segundo (s) 
5. u = dia e u’ = hora (h) 
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10 
 
6. u = ano e u’ = dia 
7. u = quilograma (kg) e u’ = grama (gr) 
8. u = real e u’ = centavo 
b) De acordo com a expressão fracionária e a unidade adotada, dê a expressão numérica 
na nova unidade (mesmo que esta não tenha sido explicitada, você tem que adivinhar – 
veja o item anterior) 
1. 
100
35
 m 
2. 
1000
150
 km 
3. 
60
120
 h 
4. 
365
30
 ano 
5. 
1000
500
 kg 
6. 
100
25
 reais 
c) Dado o número racional, x, escreva a representação fracionária equivalente a partir do 
denominador, q, indicado. 
1. x = 
100
25
 e q = 4 
2. x = 
1000
500
 e q = 2 
3. x = 
60
120
 e q = 1 
4. x = 5 e q = 3 
5. x = 
3
2−
 e q = −21 
d) Resolva a equação 
3
1
1
5
=
−x
. 
e) Escreva o que você entende da seguinte expressão: “
6
4
 de uma pizza”. 
 
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11 
 
 Leitor, existe uma forma simples de obter frações equivalentes: 
 
nq
np
q
p
.
.
= , sempre que n ≠ 0. 
De fato, a igualdade segue da relação p(qn) = (pn)q e da caracterização de frações 
equivalentes. Se você ainda se atrapalha com argumentos usando letras, veja os 
exemplos numéricos. 
 
2.2
2.1
2
1
= , pois 1.2.2 = 4 = 1.2.2; 
 
5.3
5.2
3
2
= , pois 2.3.5 = 30 = 2.5.3. 
Esta regra também pode ser usada para simplificar frações. De fato, veja o próximo 
exemplo numérico. 
 
2
1
2.2
2.1
4
2
== . 
A primeira igualdade decorre de uma simples fatoração de números inteiros. A segunda 
igualdade decorre justamente da propriedade recém enunciada. 
 
Atividade 5 
a) Você acabou de saber um pouco sobre simplificação de frações. Use este 
conhecimento para refazer o item (c) da atividade 4. 
b) Verifique se as frações dadas são equivalentes. 
1. 
5
1−
 e 
30
6−
; 2. 
7
5−
 e 
299
235
; 3. 
8
12
 e 
2
3
; 
4. 
750
2700
 e 
5
18
; 5. 
588
1512
 e 
7
6
. 
c)Uma fração 
q
p é dita irredutível se os mdc entre p e q é 1, ou seja, se não é possível 
“simplificá-la”. Verifique se as frações dadas são irredutíveis, ou não. 
1. 
3
2
; 2. 
3
2−
; 3. 
70
45
; 
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12 
 
4. 
3
231
; 5. 
23
80
; 6. 
12
16
−
. 
d) “Toda número racional pode ser representado por uma fração irredutível”. Verifique 
se esta afirmação é verdadeira para os seguintes números racionais. 
1. 
30
16
; 2. 
97
111
; 3. 
32
46
; 
4. 
750
2700
; 5. 
384
256
; 6. 
421
1263
. 
 
Representação geométrica dos números racionais: 
 
 Assim como os números naturais e inteiros, os números racionais também 
possuem uma representação geométrica. Considere a reta graduada vista na aula 1. 
 
 
 Um número fracionário positivo, p/q, com q ≠ 0, é representado pelo segmento 
OA, para algum A pertencente à semi-reta OU , se OA é a justaposição de p segmentos 
congruentes a um segmento de comprimento igual a 1/q da unidade. 
 
 
A justaposição do segmento OB com mais dois segmentos 
congruentes coincide com a unidade, donde OB representa o número 1/3. 
O segmento OA coincide com 4 justaposições de segmentos congruentes a OB, 
donde OA representa o número 4/3. 
 
 Para números racionais negativos, o processo é o mesmo, sendo que o ponto A é 
marcado na outra semi-reta. O número 0 é representado pelo segmento OO, que 
coincide com o próprio ponto O. 
 O resultado geométrico de uma reta numerada é parcialmente representado pela 
seguinte figura. 
O U 
B A 
r 
−2 −1 0 1 2 3 4 5 
O U 
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13 
 
 unidade de medida 
 
 O ⅓ ½ U r 
 
 −2 −1 0 1 2 3 4 5 
Perceba como os números são marcados no desenho, cada número é indicado em cima da extremidade do segmento 
que o representa. 
 
Atividade 6 
a) Em medidas, a unidade centímetro (cm) representa um centésimo da unidade metro 
(m). Admitindo o metro como a unidade da sua reta graduada, qual é o número racional 
que representa 32 cm? Escreva 
25
7
 m em centímetros. 
b) A unidade decímetro (dm) é dez vezes a unidade centímetro. Ainda assumindo que o 
metro representa a unidade da sua reta graduada, determine o número racional que 
representa o segmento de medida igual a 4 dm e 7 cm. 
c) Através da representação geométrica, verifique quem está mais próximo de 0: 
1. 
3
1
 ou 
4
1
; 2. 
3
1−
 ou 
4
1−
; 3. 
5
2−
 ou 
5
2
; 
4. 
5
2
 ou 
3
1
. 
Dica: realize esta atividade com uma fita métrica do lado. 
 
Comparando números racionais – relação de ordem 
 
 Leitor, acompanhe o próximo exemplo. 
Situação-problema: Márcio foi a um rodízio de pizzas. No dia seguinte encontrou um 
amigo e contou todo orgulhoso que realizou a façanha de comer 18 fatias de pizza. Seu 
amigo, um sujeito que gostava de contar vantagens, disse que aquilo não era nada, pois 
já tinha comido 23 fatias. E agora, será que é possível o amigo de Márcio ter comido 
tanto assim? Vamos admitir que ele esteja falando a verdade. 
 Como Márcio ficou muito impressionado com a quantidade de fatias comidas 
pelo seu amigo, ele foi fazer uma verificação. No lugar onde comeu, Márcio notou que 
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14 
 
cada pizza era dividida em 6 fatias. Ele nem tinha se dado conta, mas, se ele comeu 18 
fatias, isto significa que comeu 3 pizzas sozinho. 
 Depois de analisar melhor o seu desempenho gastronômico, Márcio foi à 
pizzaria onde o amigo frequentava. Lá ele verificou que as pizzas eram fatiadas em 8 
pedaços. Ou seja, Márcio descobriu que ele e o amigo estavam falando de fatias que 
representavam unidades de medida diferentes (a unidade fatia). Devemos notar que, 
quando a pizza é cortada em 8 partes, precisamos de 24 pedaços para chegar a 3 pizzas 
(24 = 3×8). Assim, 23 fatias de pizzas na pizzaria do amigo de Márcio não alcançam 3 
pizzas. Ou seja, Marcio comeu mais pizzas do que seu amigo. 
 
 Existe uma questão nesta comparação de valores. Fatias de pizza são uma fração 
de uma pizza inteira. O que foi feito aqui foi comparar duas quantidades, mas sem saber 
antes se as unidades eram as mesmas. 
 
Atividade 7 
 Diga o que representa uma quantidade maior, 
15
30
 ou 
9
12
. 
 
 A comparação do exemplo anterior ainda foi simples, pois é fácil comparar 
quantidades inteiras com quantidades fracionárias (você fez a atividade 7?). Mas, será 
que é tão fácil comparar duas quantidades fracionárias? Você sabe, só olhando para a 
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15 
 
expressão, definir o que representa mais, 
12
7
 ou 
8
5
 de uma certa quantidade? Se você 
fez a atividade 6, deve saber que uma maneira fácil de resolver o problema é representar 
as duas frações na reta graduada. O número cuja representação ficar mais longe do 0 é o 
maior. Contudo, a representação geométrica nem sempre é uma boa alternativa, pois 
desenhar frações muito pequenas pode gerar outro problema (o da imprecisão do 
desenho). 
 Se voltar ao exemplo das pizzas, leitor, você irá se lembrar que o maior 
problema na comparação das quantidades foi o fato das unidades de comparação serem 
diferentes. Bom, se é este o problema, por que não tentar igualar as unidades? Para ser 
mais preciso, o que fez a diferença foi a subunidade de pizza, a saber, o tamanho das 
fatias. Voltando às duas frações do parágrafo anterior, 
12
7
 ou 
8
5
, temos que a primeira 
representa 7 vezes 
12
1
 de uma unidade inicial e a segunda representa 5 vezes 
8
1
 da 
mesma unidade inicial. Contudo, sabemos alterar a representação fracionária de um 
número racional sem alterá-lo. Por exemplo, sabemos que 
24
14
2.12
2.7
12
7
== 
 e 
24
15
3.8
3.5
8
5
== . 
 Assim, comparar 
12
7
 e 
8
5
 é a mesma coisa que comparar 
24
14
 e 
24
15
. Agora, 
estamos falando de múltiplos de uma mesma unidade. Você sabe dizer, entre estas duas 
novas representações, qual é maior? É claro que 15 vezes algo é maior do que 14 vezes 
o mesmo algo. Assim, 
8
5
 representa uma quantidade maior do que 
12
7
. 
 Acabamos de ver que, para comparar duas frações, basta buscar representações 
de modo que as duas tenham o mesmo denominador. Lembre-se que a mudança de 
representações é feita multiplicando o numerador e denominador por um mesmo valor. 
Assim, para se obter um mesmo denominador para duas frações, é preciso determinar o 
valor do denominador que seja múltiplo dos dois denominadores originais. Você deve 
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16 
 
saber que existem vários múltipols em comum e, portanto, não deve ser nenhum 
problema determinar um denominador em comum. 
 Vamos rever esta última discussão de forma simbólica. Sejam 
q
p e 
s
r
 
representações de dois números racionais. Se os denominadores q e s são diferentes, 
para comparamos as duas frações, precisamos de representações fracionárias com 
denominadores iguais, ou seja, com um único denominador que seja múltiplo de q e s ao 
mesmo tempo. Que número pode ser múltiplo de q e s ao mesmo tempo? Esta pergunta 
é fácil de responder, o número qs é múltiplo de q e é múltiplo de s. Assim, podemos 
buscar as representações equivalentes, 
qs
ps
sq
sp
q
p
==
.
. 
e 
qs
rq
qs
qr
s
r
==
.
. . 
Agora, temos duas frações com mesmo denominador. 
 Vejamos novamente a mesma discussão, mas com números. Vejamos qual das 
duas frações é a maior, 
7
3
 ou 
9
4
. Temos 
63
27
9.7
9.3
7
3
== 
e 
63
28
7.9
7.4
9
4
== . 
 Com as duas frações sendo representadas por frações equivalentes e de mesmo 
denominador fica fácil dizer que 
9
4
 é maior do que 
7
3
. 
 
Dica: Para ser um bom calculista, uma boa dica é evitar as contas grandes. Por exemplo, 
no problemade comparar frações, somos levados a fazer multiplicações. Como vimos, 
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17 
 
dadas frações 
q
p e 
s
r
, temos as representações equivalentes 
qs
ps
 e 
qs
rq . Assim, tivemos 
que realizar produtos por q e s. Contudo, leitor, veja que na comparação de 
12
7
 com 
8
5
, 
multiplicamos 7 e 12 por 2 e multiplicamos 5 e 8 por 3. Você sabe dizer por que isso? 
Ou melhor, por que não multiplicamos 7 e 12 por 8 e 5 e 8 por 8? Leitor, lembre-se que 
o objetivo era igualar os denominadores (e isto foi feito na comparação de 
12
7
 com 
8
5
) 
e, para isto, basta encontrar um múltiplo comum dos denominadores dados. Mas, 
usando o princípio de economizar em contar, é interessante escolher o menor múltiplo 
comum para igualar denominadores. 
 
Atividade 8 
 Determine qual fração é maior: 
a) 
6
13
 e 
8
14
; b) 
6
5
 e 
15
13
; c) 
7
13
 e 
11
20
; 
d) 
221
113
 e 
2
3
; e) 
6
45
 e 7; f) 
12
16
 e 
6
7
. 
 
 Desde os números naturais, incluindo os números inteiros, você deve estar 
acostumado com uma orientação na reta graduada. Esta orientação está de acordo com a 
arrumação crescente dos números 0, 1, 2, 3, ... . Pela convenção estabelecida, mesmo os 
números negativos obedecem a uma orientação; temos em ordem crescente: ..., −3, −2, 
−1. Esta orientação é dada por um sentido “na forma de caminhar” na reta graduada. 
 
0 1 
Sentido crescente dos números 
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18 
 
 Baseado nesta representação geométrica, dados x, y ∈ �, dizemos que x é menor 
do que y (e denotamos por x < y) quando a representação geométrica dos números tem o 
seguinte aspecto. 
 
Desta forma, a noção de ordem fica definida também para números racionais negativos. 
Também é comum escrever y > x para dizer que y é maior do que x. Seguindo estas 
notações, podemos escrever x ≤ y para dizer que x é menor do que ou igual y e podemos 
escrever y ≥ x para dizer que y é maior do que ou igual a x. 
 Também é comum comparar mais de dois números racionais ao mesmo tempo. 
Assim, podemos escrever x < y < z para dizer que x é menor do que y e que y é menor 
do que z; podemos dizer também que y está entre x e z. Esta nomenclatura é usada por 
que, neste caso, a representação geométrica dos 3 números mostra o número y entre x e 
z. 
 A orientação da reta graduada divide o conjunto � em três partes importantes. 
Temos o conjunto dos racionais positivos, �+ = {x ∈�� : x > 0}, e o conjunto dos 
racionais negativos, �− = {x ∈ � : x < 0}. Assim, temos � = �− ∪ {0} ∪ �+. 
 
Atividade 9 
a) O que é maior, 
5
1
 m, 34 cm ou 4 dm? 
b) O que é maior, 
4
5
 ou − 34? 
c) Encontre um número menor do que 
100000
1
. 
d) Encontre um número racional entre 
5
3
 e 
5
4
. 
e) Você consegue um número inteiro entre 
7
8
 e 
7
13
? 
f) ) ) ) Qual fração é maior: (i) 
5
1−
 e 
5
2
−
; (ii) 
8
21−
 e 3; (iii) 
7
15−
 e 
4
7−
. 
0 1 x y 
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19 
 
g) Diga se 
7
8
−
−
 ∈ ��+ ou 
7
8
−
−
 ∈��−? 
h) Qual é a maior fração dentre as duas, 
��
�	
 ou �
��
 ? 
i) Coloque as frações em ordem crescente : 
�
�

 �
�

 ��
�	

 �
�
. 
j) Determine o maior múltiplo de 
3
1
 que seja menor do que 
10
25
. 
k) Se m, n ∈ �* e m < n, o que é maior, 
m
1
 ou 
n
1
? 
l) Pelo que foi comentado no texto, comparar duas frações, 
q
p e 
s
r
, é o mesmo que 
comparar 
qs
ps
 e 
qs
rq . Considere 
q
p e 
s
r
 como duas frações cujos denominadores são 
positivos (q, s > 0) e complete as lacunas: ps < rq ⇔ ___<___ . Use o resultado que 
você deduziu para conferir desigualdades de exercícios que já resolveu. 
 
Soma entre números racionais 
 Dados 
q
p
, 
s
r
 
∈ �, a soma entre 
q
p
 e 
s
r
 é definida por 
qs
qrps
s
r
q
p +
=+ . 
Note que se m, n ∈ �, então a soma racional destes números fica 
m + n = nm
nmnmnm
+=
+
=
+
=+
11.1
.11.
11
. 
Ou seja, a soma de números racionais generaliza a soma de números inteiros. 
 Observe também que o resultado da soma de números racionais independe da 
representação tomada para as frações envolvidas. Por exemplo, temos 
qk
pk
q
p
= como 
duas representações distintas do mesmo número racional e temos a soma: 
qs
qrps
kqs
qrpsk
qks
qkrpks
s
r
qk
pk +
=
+
=
+
=+
)(
. 
 
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20 
 
Exemplo: Pela definição, temos 
8
3
96
36
8.12
1.128.3
8
1
12
3
==
+
=+ . 
 
 Caro aluno, você entendeu a expressão que define a soma de frações? Você 
entendeu porque aparece o produto dos denominadores? Vamos pensar num caso 
simples para tentar entender melhor estas questões. 
 
Exemplo: Qual é a ideia intuitiva da soma de duas frações de mesmo denominador. Por 
exemplo, o que deve significar a soma de 
5
1
 com 
5
2
? Ou seja, se uma parte de cinco é 
somada a duas partes de cinco, quantas partes temos? Temos três partes de cinco, não é? 
 Parece ser bem natural dizer que a soma de frações com mesmo denominador é 
dada pela soma dos numeradores com o denominador repetido, isto é, 
m
rp
m
r
m
p +
=+ . 
 Voltando a pergunta anterior, qual é a razão da expressão da soma de números 
racionais? É bem simples, na verdade. É consequência da transformação das frações 
para um mesmo denominador. Veja os cálculos a seguir. 
qs
qrps
qs
qr
qs
ps
s
r
q
p +
=+=+ . 
 
Exemplo: Nem sempre precisamos seguir explicitamente a definição. Já estudamos aqui 
uma situação quando as frações têm o mesmo denominador. Muitas vezes é mais 
interessante obter o mesmo denominador através do cálculo do mmc. Vamos recalcular 
8
1
12
3
+ (reveja exemplo anterior). 
8
3
24
9
24
36
24
3
24
6
3.8
3.1
2.12
2.3
8
1
12
3
==
+
=+=+=+ . 
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21 
 
Como o objetivo é igualar o denominador, o cálculo via mmc pode ser um processo 
mais interessante (veja como trabalhamos com números menores, em comparação com 
as contas feitas no exemplo anterior). 
 
 A operação soma goza de algumas propriedades importantes. As principais são: 
a) ∀a, b, c ∈ �, temos (a + b) + c = a + (b + c) ; (associatividade); 
b) ∀a ∈��, 0 + a = a + 0 = a; 
c) ∀a ∈�, −a é o único que satisfaz a + (−a) = (−a) + a = 0; (−a é dito o simétrico de a) 
d) ∀a , b ∈ �, temos a + b = b + a; (comutatividade) 
e) ∀a, b , c ∈ �, a equação a + b = a + c é equivalente a b = c; (simplificação de equações) 
f) ∀a ,b � �, existe um único número racional x que é solução da equação a + x = b e 
o valor de x é dado por x = (−a) + b; 
 
Observação: Na propriedade (c), se a é representado em termos de fração, a = 
q
p , o 
símbolo −a representa a fração 
q
p− = 
q
p
−
. Ou seja, o símbolo −
q
p significa 
q
p− = 
q
p
−
. Agora, se a é representado em termos geométricos, −a representa o segmento de 
mesmo comprimento que a, mas de sentido contrário na reta orientada. 
 
 Vamos admitir estas propriedades como bem conhecidas. Mas, o aluno 
interessado está convidado a tentar entendê-las e até justificá-las. A definição 
apresentada para a soma de racionais é útil para a verificação destas propriedades. Outra 
forma de tentar entender e justificar as propriedades operacionais é usar a representação 
geométrica dos números racionais. Veja os desenhos a seguir. Quais propriedades eles 
representam? 
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22 
 
 
 
Atividade 10 Se a ∈ � e a ≠ 0, o que podemos dizer de −a, temos que −a ∈ �+ ou −a ∈ 
�−? 
 
Atividade 11 Lembrando que podemos fazer conversões como 1 = 
9
9
5
5
4
4 == e etc., 
efetue as seguintes soma de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para 
confirmar a resposta). 
a) 
8
3
1 + ; b) 
6
5
1 + ; c) 
7
1
1 + . 
 
Atividade 12 Utilizando as propriedadesassociativa e comutativa acima, efetue as 
seguintes somas de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para confirmar 
a resposta). 
a) 
4
3
4
1
5
1
+




 + , b) 




 ++
4
1
6
2
6
4
, c) 
5
1
3
2
5
4
+




 + , d) 




 ++
3
2
7
5
3
1
. 
 
 
Observação: Você sabia que a propriedade associativa é muito importante, e muito 
usada? Ela diz que não precisamos nos preocupar com a sequência de somas numa 
0 a −a a + (−a) = 0 a 
−a 
a b c 
a b c 
c b a 
a 
a 
b 
b
c 
0 + a = a 
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23 
 
expressão com várias parcelas. Por exemplo, experimente efetuar a seguinte soma, de 
acordo com a ordem dos parênteses. 
 (33 + ((−33) + 149)) + ((((−149) + (−19)) + (19 + 875)) + (−875)). 
Como não precisamos nos preocupar com os parênteses, graças à propriedade 
associativa, podemos rever a expressão como 
 (33 + (−33)) + (149 + (−149)) + ((−19) + 19) + (875 + (−875)), 
cujo resultado, zero, pode ser imediatamente deduzido, sem nenhum esforço de cálculo. 
A notação de subtração entre dois números racionais tem o mesmo significado 
que entre números inteiros, x − y = x + (−y). Em termos de representação fracionária, 
temos 
qs
rqps
qs
qrps
s
r
q
p
s
r
q
p
s
r
q
p −
=
−+
=
−
+=−+=−
)(
)( . 
 Caro aluno, como já foi mencionado antes, é interessante dominar as 
propriedades matemáticas. Quanto maior o conhecimento dessas propriedades, mais 
fácil fica adquirir novos conhecimentos e mais fácil fica lidar com problemas da 
Matemática. Procure sempre exercitar este princípio ao longo de seus estudos. 
 
Produto entre números racionais 
 Outra operação importante para os números racionais é a operação produto ou 
multiplicação. Esta é definida da seguinte maneira. Dados 
q
p
, 
s
r
 
∈ �, o produto de 
q
p
 
e 
s
r
 é definido por 
qs
pr
s
r
q
p
=. . 
Notação: Na multiplicação envolvendo letras, pode-se suprimir o ponto que representa o 
produto, isto é, pode-se escrever ab em vez de a.b. 
 
Exemplo: Dados m, n ∈ �, o produto racional destes números fica: 
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24 
 
 m.n = 
11.1
.
1
.
1
mnnmnm
== = mn. 
Ou seja, o produto de números racionais estende o produto de números inteiros. 
 
Exemplo: Dados n ∈ � e 
q
1
 ∈ �, o produto racional destes números fica: 
 n.
 q
1
 = 
q
n
q
n
q
n
==
.1
1.1
.
1
. 
Ou seja, o produto racional estende a noção de produto como uma soma sucessiva 
(lembre-se que a notação 
q
n
 significa tomar n vezes a parte 
q
1
). 
 
Exemplo: Suponha que se queira encontrar a metade de um terço de algo. Quanto dá 
isto, ao todo? Acompanhe o problema pela figura a seguir. 
 
 A primeira figura representa uma quantidade dividida em 3 partes. A segunda 
figura representa uma nova divisão, de modo que a terça parte ficou dividida em duas 
partes. O que restou no final? Um sexto, 
6
1
3.2
1.1
3
1
.
2
1
== . 
 O leitor pode verificar que este fenômeno ocorre com outras quantidades. Assim, 
uma boa interpretação para o produto de frações é que este é a forma matemática de 
expressar frases como “tenho x de y”. Esta frase é equivalente a tenho x.y. 
 
Atividade 13 
a) Efetue as multiplicações a seguir. 
1) 
5
2
.
4
3
; 2) 
5
3
.
4
1
; 3) 
4
1
.2 ; 4) 
3
1
.3 ; 
5) 
15
7
.
7
15
; 6)
 111
321
.0 ; 7) 7.
4
3
; 8) 
9
16
.
4
3
. 
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25 
 
b) Tenho 
4
3
 de um terreno de 100 metros quadrados. Quantos metros quadrados de 
terreno eu tenho? 
c) Quanto é a metade de 
5
2
 de 500? 
 
Observação: Você se lembra da dica do bom calculista, a de evitar contas grandes? Uma 
forma de evitar contas desnecessárias envolvendo produto de frações é efetuar 
simplificações antes dos produtos. Veja, por exemplo, duas formas de calcular o 
produto 
3
8
.
16
9
: 
1ª forma: 
4
15
12.4
12.15
48
180
3.16
20.9
3
20
.
16
9
==== . 
2ª forma: 
4
15
4
5.3
3.4.4
4.5.3.3
3.16
20.9
3
20
.
16
9
==== . 
 Veja como a primeira envolve contas com números maiores e depois ainda 
envolve o esforço de achar o mdc entre o numerador e o denominador para a 
simplificação final. Procure praticar estas simplificações. Você verá que pode 
economizar bastante esforço de conta, além correr menos riscos de cometer erros. 
 
Algumas propriedades da operação produto: 
a) ∀a, b , c ∈ �, temos (ab)c = a(bc); (associatividade) 
b) o número 1 é tal que, para todo número racional a, 1a = a1 = a; 
c) ∀a = 
q
p
 ∈ �, a ≠ 0, existe um número racional, a−1 = 
p
q
, tal que 
aa−1 = a−1a = 1; (a−1 é dito o inverso de a) 
d) ∀a , b ∈ �, temos ab = ba; (comutatividade) 
e) ∀a, b ∈ �, onde a ≠ 0, x = a−1b é a única solução da equação ax = b; 
f) ∀a, b , c ∈ �, onde a ≠ 0, a equação ab = ac é equivalente a b = c; (simplificação de 
equações) 
 
 Chamamos a atenção aqui, mais uma vez, sobre a importância de se conhecer as 
propriedades operacionais. Este conhecimento e a competência em utilizá-lo permitirão 
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26 
 
você chegar muito mais longe em seus estudos em Matemática. Em particular, é 
importante que você entenda um pouco mais sobre estas propriedades. 
 Por exemplo, por que vale que a.1 = a? Podemos responder a esta pergunta 
usando a representação fracionária dos números racionais. Se a = 
q
p
, temos que 
 a.1 = 
q
p
.1 = 
q
p
q
p
q
p
==
1.
1.
1
1
. = a. 
Da mesma forma verifica-se que 1.a = a. 
 Veja outro exemplo de verificação de propriedade. Seja a = 
q
p
, donde a−1 = 
p
q
. 
Assim, 
 a.a−1 = 
pq
pq
qp
pq
p
q
q
p
==. = 1, 
o que garante uma das igualdades da propriedade (d). 
 O estudo da verificação de propriedades operacionais não é o objetivo desta 
disciplina. Mas, tendo um tempo extra, leitor, é interessante pensar um pouco sobre este 
assunto. Agora, uma propriedade que tem que ficar bem entendida é a (f). Lembre-se, 
leitor, que esta diz que dados a, b ∈ �, onde a ≠ 0, temos que x = a−1b é a única solução 
da equação ax = b. 
 Vejamos primeiro que x = a−1b é de fato uma solução da equação ax = b. Temos: 
 ax = a(a−1b) = (aa−1)b = 1.b = b. 
(Veja aqui um exemplo de competência na manipulação das propriedades operacionais.) 
 Vejamos, agora, que x = a−1b é a única solução. Se x é uma solução então: 
 ax = b, donde a−1(ax) = a−1b, donde (a−1a)x = a−1b, donde x = 1x = a−1b. 
 
 Esta foi uma pequena discussão de caráter teórico, mas o mais importante neste 
momento é que o leitor saiba aplicar estas propriedades operacionais em problemas 
práticos. 
 
Exemplo: Quando o conhecimento matemático era restrito só aos números naturais, ou 
até inteiros, não era possível resolver uma simples equação como 2x = 3. Agora, esta 
equação se torna simples de se lidar: 
 2x = 3 ⇒ x = 2−1.3 = 
2
1
.3 = 
2
3
1
3
.
2
1
= , isto é, 2x = 3 ⇒ x = 
2
3
. 
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27 
 
 
Exemplo: Uma pessoa conseguiu medir dois quintos do perímetro do seu terreno e 
encontrou 15 metros e meio. Qual é o perímetro do terreno? 
 Se x é o perímetro, dois quintos do perímetro é igual a 
5
2
x. Assim, o problema 
nos diz que x é solução da equação 
5
2
x = 
2
31
 (lembre-se que 15 metros e meio é 
equivalente 
2
31
). Logo, 
 
5
2
x = 
2
31
 ⇒ x = 
4
155
2
31
.
2
5
2
31
.
5
2
1
==





−
 ⇒ x = 
4
155
m = 38m e 75cm 
 
 Quando a é um número inteiro, temos que a−1 = 
1
1
−





 a
= 
a
1
 (veja propriedade 
(d) de produto). Neste caso, quando a e b são números inteiros, a expressão a−1b pode 
ser reescrita como a−1b = 
a
1
b = 
a
b
. Por exemplo, neste caso, a propriedade (f) pode ser 
reescrita como: ax = b ⇒ x = 
a
b
. Provavelmente, leitor, você deve estar mais 
acostumado com esta forma de escrever.Agora, deve-se tomar um cuidado com esta 
notação. A notação de fração, 
a
b
, só faz sentido quando a, b ∈ �. Porém, a propriedade 
(f) é válida para a e b representando números racionais. Neste caso geral, não faz 
sentido, a rigor, reescrever a propriedade com notação de fração. 
 Em função do valor computacional da notação de fração, mesmo com 
numerador e denominador deixando de ser números inteiros, é comum utilizar o 
símbolo 
a
b
, com a, b ∈ �. Leitor, é importante entender que esta nova notação tem um 
significado diferente. Não dá para entender, por exemplo, a expressão 
12
7
3
2
− como 
“tantas vezes uma parte da unidade”, como fizemos na apresentação dos números 
racionais. 
 Em resumo, temos a seguinte notação. 
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28 
 
r
s
q
p
s
r
q
p
.= . 
Observação: Também é comum escrever 
r
s
q
p
s
r
q
p
.: = . 
 
 Você entendeu porque esta notação funciona assim? Vamos recapitular. Seja b = 
q
p
 e seja a = 
s
r
 dois números racionais. Então, 
 
r
s
q
p
s
r
q
p
ba
a
b
s
r
q
p
.
1
1 =




===
−
− 
 
Observação: Esta notação de fração só faz sentido para 
s
r
 diferente de zero. 
 
Propriedade: Outra propriedade importantíssima em contas é a propriedade distributiva 
da operação produto com relação à operação soma: 
 ∀a, b, c ∈ �, a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc. 
 
Atividade 14
 
a) Calcule o valor das seguintes expressões. 
1. )12(
2
1
2
1
+− 2. 
3
2
:3 3. 
5
3
.5 4. 3:
3
2
 
5. 




 −−
4
23
4
23
11
3
11
3
 6. 




 −−
5
1
3
1
2
5
3
 7. 
3
1
1
1
+
 8. 
�
�
��
�
�
�
����
�
 
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29 
 
b) Efetue a expressão: a) 
5
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
−
−
−
+
+
+
; b) 
4
1
1
4
1
1
:
2
1
1
2
1
1
−
+
−
+
. 
 
Desafio: Você consegue aplicar a propriedade distributiva à expressão a + ab? 
 
Atividade 15 A noção de porcentagem é simplesmente um tipo especial de fração, mais 
precisamente, representa uma fração cujo denominador é 100. Assim, n por cento, ou 
n%, representa a fração 
100
n
. Resolva os itens a seguir. 
i) Represente a porcentagem dada em forma de fração simplificada. 
a) 25% b) 30% c) 50% d) 75% e) 44% f) 10% 
ii) Transforme o número dado para a notação de porcentagem. 
a) 
2
1
 b) 
4
3
 c) 
5
3
 d) 
20
14
 e) 1 f) 2 
iii) Calcule: 
a) 50% de 20 b) 150% de 20 c) 25% de 16 d) 30% de 
9
80
 
iv) Efetue: 
a) 
5
4
 × 10% × 28 b) 32%×10%×
12
5
 c)
%50
%20
 d) 





−−
2
1
1
1
 e) 
17
23
12
3
45
11
−
 
 
Equação do 1º grau em � 
 Uma das grandes vantagens de se trabalhar com os números racionais é a 
garantia de resolver equações do tipo ax = b, com a ≠ 0 (a solução é única e é dada por x 
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Ion Moutinho 
30 
 
= 
a
b
). De modo mais geral, uma vez incluído também os números negativos, toda 
equação do tipo ax + b = c, onde a, b e c são dados, a ≠ 0 e x é desconhecido, pode 
facilmente ser resolvida. Entenda por “resolver uma equação na incógnita x” por 
determinar uma expressão de x em função dos dados fornecidos. Mais precisamente, 
entenda que é preciso isolar x a partir da expressão dada. 
 O procedimento é bem simples: 
 ax + b = c ⇒ ax = c − b ⇒ x = 
a
bc −
. 
 Note que a última implicação só valeu porque estamos considerando a ≠ 0. O 
procedimento que acabamos de descrever serve para qualquer grupo de valores a, b e c, 
com a ≠ 0. 
 Uma equação do tipo ax + b = c, onde a, b e c são dados, a ≠ 0 e x é 
desconhecido, é chamada equação do 1º grau (com relação à variável x). Observe que 
às vezes temos uma equação que não é do tipo de uma equação do 1º grau, mas que 
pode ser transformada para uma de tal tipo. 
 
Atividade 16 Resolva as equações a seguir. 
a) 2x + 1 = 9 b) x − 3 = 1 c) 3x + 1 = 3 
d) 15x = 5 e) 9x + 27 = 45 f) 3x + 1 = 0 
g) 
3
1
x + 1= 
2
5−
 h) x + 
2
1
 = 
3
1
 i) 3x − 
11
4−
 = 
7
3
 
j) 3x + 2 = x − 2 k) 2 − x + 3x = x + 1 l) x + 
5
3
 − 
2
1
x + x2 = 1 + x2 
 
Atividade 17 
i) Determine x sabendo que: 
a) 10% de x é 15 b) 200% de x é 30 c) 60% de x é 
5
9
 
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Ion Moutinho 
31 
 
ii) Resolva a equação 
20
500
x = 
3
1
. 
iii) Determine os valores racionais de � para os quais a fração 
����
�
���
�
 não está bem 
definida. Calcule essa fração para � igual a �
�
 . 
 
Atividade 18 
a) A equação de estado de um gás ideal é dada por 
pV = nRT, 
onde p é a pressão, V é o volume e T é a temperatura de uma dada massa gasosa, 
contendo n moles do gás. A variável R representa a constante 0,082 
mol.K
atm.litro
. Um 
recipiente de volume igual a 8,0 litros contém um gás à temperatura de 300 K sob uma 
pressão de 5,0 atm. Determine o número de moles do gás colocados no recipiente. 
b) Na atividade 8, item (b), da aula 1, foi pedido para prever quando a piscina ficaria 
cheia, levando-se em consideração que entrava 6 litros de água a cada 2 minutos e 
vazava 1 litro de água a cada 10 minutos. Este tipo de questão, do ponto de vista dos 
números naturais, é um tanto complicado, pois é difícil comparar as informações. 
 Os números racionais também são úteis neste tipo de problema, pois eles 
permitem “normalizar” as informações. Por exemplo, considerando quocientes, temos 
que a piscina recebe 
2
6
 = 3 litros por minutos, enquanto perde 
10
1
 litros por minuto. 
Assim, a piscina recebe ao todo 3 − 
10
1
 = 
10
29
10
130
=
−
 litros por minuto. 
 Com esta última informação não é difícil deduzir que a expressão matemática 
que fornece o voluma da piscina, V, em função do tempo, t, é dada por 
V = 
10
29
t. 
(Ainda vamos discutir no neste curso como deduzir este tipo de fórmula.) 
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Ion Moutinho 
32 
 
 De posse desta expressão matemática, não precisamos perder tempo com 
contagens. Basta resolver a equação acima com V = 1000 litros. Faça isto (coloque a 
resposta na forma de representação mista e confira a resposta (exata) com a resposta 
obtida na atividade 8). 
c) Em uma competição, o premio de mil reais é dividido entre os três primeiros 
colocados. Mas, a divisão não é proporcional. A organização tinha definido que o 
terceiro ficaria com o menor premio, o segundo receberia 100 reais a mais e o primeiro 
colocado ficaria com metade do premio. Quanto deve receber o segundo e o terceiro 
colocados? 
d) A cada minuto que passa, a temperatura da água dentro de uma panela no fogo 
aumenta 12ºC. A panela com água, quando foi para o fogo, tinha a temperatura de 15ºC. 
Determine quanto tempo levará para a água ferver (ela deve ferver quando atingir 
100ºC). 
 
 
Resposta das Atividades 
 
 
Atividade 2: Observe que a altura do triângulo traçado é a proximadamente 4, usando o 
lado dos quadrados da malha como unidade 
 
 
Atividade 3: 
a) 24 vezes. 4 dia = 4×24 h = 96 h. 
b) 2h 
c) 8h ; �
��
dia 
d) 	�
��
 dia 
e) 48 horas; 2 dias 
 
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Ion Moutinho 
33 
 
Atividade 4: 
a) 
1. u = 100u’ 
2. u = 1000u’ 
3. u = 60u’ 
4. u = 3600u’ 
5. u = 24u’ 
6. u = 365u’ 
7. u = 1000u’ 
8. u = 100u’ 
b) 
1. �	
�
�� � ��� � 
2. �	
�
�!� � "�#�� 
3. ���
$
�% � "&#��'( 
4. � �
�$	
)(* � �#�+') 
5. � 	
�
!, �500g 
6. � �	
�
�-.)/ �25 centavos 
 
c) 
1. 
4100
25 a
= ⇔ 4.25 = 100a ⇔ a = 1. Logo, � � �
�
 
2. � � �
�
 
�. � � �
�
�
4. � � �	
�
 
5. x = 
21
14
−
. 
d) �"� � � 1 " 2 � � "3�
e) Significa que dividimos a pizza em 6 partes iguais e tomamos 4 dessas partes. 
 
Atividade 5: 
a) 
1. � � �	
�
� �.�	
�.�	
� �
�
 
2. � � 	
�
� �.	
�.	
� �
�
 
3. � � ��
$
� �.$
�.$
� �
�
� & 
4. � � � � 	
�
� 	.�
�.�
� �	
�
 
5. � � ��
�
� ��.��
�.��� ��
���
 
 b) 
Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
34 
 
1. 
5
1−
 = 
30
6−
, pois (-1).30=-30=(-6).5, logo são equivalentes. 
2. �	
�
4 ��	
�55
 , pois (−5).299 ≠ 7.235, logo não são equivalentes. 
3. 
8
12
 = 
2
3
, pois 2.12=24=8.3, logo são equivalentes. 
4. 
750
2700
 = 
5
18
, pois 5.2700=13500=750.18, logo são equivalentes. 
5. �	��
	��
4 $
�

 pois 10584=1512.74588.6=3528, logo não são equivalentes. 
 c) 
1. Irredutível 
2. Irredutível 
3. �	
�
� 5
��
 
4. 
3
231
=��
�
 
5. Irredutível 
6. 
12
16
−
= �
��
� 1 �
�
 
 d) 
1. 
30
16
= �
�	
 e mdc(8,15)=1. 
2. Já é irredutível, pois 97 é primo e 111 não é múltiplo de 97. 
3. �$
��
� ��
�$
 e mdc(23,16)=1. 
4. ���
�	
� ��.�	
	.�	
� ��
	
 (Dica: nesse caso, calcule mdc(2700,750)=150 e faça a 
simplificação usando esse valor.) 
5. ��	$
���
� �
�
, onde usamos o mdc(256,384)=128. 
6. ���$�
���
� �
�
, note que 421 é primo e 1263=3.421 . 
 
Atividade 6: 
a) �&� � � ��
�
�� e �
�	
� � �.�
�	
 � � �
�	
 � � &6 �, ou, de outro modo, 
�
�	
� � ��
�
� = 28 cm.�
b) Temos que 4dm = 40cm, donde 4dm e 7cm = 47cm =� ��
�
m. 
c) 1. �
�
 está mais próximo, veja a representação abaixo: 
 
 2. 1 �
�
 está mais próximo, veja a representação abaixo 
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Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
35 
 
 
 
 3. Estão à mesma distância: 
 
6. 1/3 está mais próximo conforme a figura abaixo. 
 
Atividade 7: 
Observe que �
�	
 = 2, isto é, esta fração representa duas unidades inteiras. Por outro lado, 
é claro que ��
5
 é menor do que ��
5
 = 2. Ou seja, temos �
�	
 é maior. Agora, se quiser 
resolver o problema igualando denominadores, temos �
�	
7 �
�	
� �
�
� ��
5
. 
 
�
Atividade 8: 
a) 	�
��
� ��.�
$.�
� ��
$
7 ��
�
=��.�
�.�
� �5
��
, pois mmc(6,8)=24. 
 
b) �$
�
� ��.�
�	.�
� ��
�	
7 	
$
=	.	
$.	
� �	
�
 , pois mmc(6,15)=30. 
 
c) ���
��
� ��.��
�.��
� ��
�
7 �
��
=�
.�
��.�
� ��
��
 , pois mmc(11,7)=77. 
 
 
d) �
�
7 ���
���
, pois �
�
7 " e " 7 ���
���
. 
 
e) �	
$
7 8 � �.$
$
� ��
$
 
 
f) �$
��
� �
$
7 �
$
 
 
Atividade 9: 
a) Como �
	
� � �
	
 � � &# � e 9+� � 9# �, o maior é 9+�. 
b) 	
�
, pois um número positivo é sempre maior do que um negativo. 
c) Por exemplo �
�
�
, ou �
�
, ou �
�
, .... 
 
d) Vamos usar frações equivalentes, para facilitar. Então, �
	
� $
�
 e �
	
� �
�
, assim 
$
�
: �
�
: �
�
, donde �
�
 nos serve. (Você consegue encontrar outro número 
racional entre 
5
3
 e 
5
4
?) 
Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
36 
 
 
 
e) Não, pois " : �
�
: ��
�
: & e não existe inteiro entre 1 e 2. 
 
 
f) 1. �
�	
 ; 2. 3 ; 3.�$
��
� ��	
�
: ��
�
� ��5
��
, ��5
��
 é a maior. 
 
g) ��
��
� ��, pois ��
��
� �
�
, já que (-8).7=-56=(-7).8. 
 
h) �	�
�$	
� ��.��
�	.��
� ��
�	
7 �
��
� �
.�	
��.�	
� �	
�$	
, logo a maior é ��
�	
. 
 
i) �� ;�
8
6
��< � 69#, então �
�
� ��
��
< ��
�	
� �$�
��
 : �
�
� ��
��
�< �
�
� ��	
��
. 
 
 
j) ��Queremos determinar o maior valor de n, tal que =
�
� (. �
�
: �	
�
. Este é mais um 
dos problemas que podem ser resolvidos por contagem, nos moldes da aula 1. 
Primeiro, note que �
�
� �
�
. Assim, temos os múltiplos de �
�
 listados a seguir: 
�
�

 �
�

 �
�

 > 
 �
�

 �
�
 e 8 vezes �
�
 já ultrapassou a fração �	
�
� �	
�
. Logo, a resposta 
é n = 7. 
 Agora, se você quiser evitar contagens, podemos trabalhar 
algebricamente. Temos �
.=
�
� =
�
: �	
�
� �	
�
 se, e só se, 10n < 75. E o maior valor 
de n tal que a desigualdade é válida é 7. 
 
k) Temos �
=
: �
?
. 
 
l) Temos @A : -B� C D
E
: F
G
.�
Por exemplo, no item (h), para se comparar as frações , ��
�	
 ou �
��
 podemos diretamente 
que 11.14 = 154 > 150 = 15.10, donde ��
�	
 > �
��
. 
 
Atividade 10: Nada podemos dizer sobre −a. Por exemplo, se a = 
3
2 , −a ∈ �−, Se a = 
−5, −a ∈ �+. 
 
Atividade 11: 
Solução: 
Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
37 
 
a) 
8
11
8
3
8
8
8
3
1 =+=+ ; b) 
6
11
6
5
6
6
6
5
1 =+=+ ; 
c) 
7
8
7
1
7
7
7
1
1 =+=+ . 
 
Atividade 12: 
Solução: 
a) 
4
3
4
1
5
1
+




 + = 
5
6
5
5
5
1
1
5
1
4
3
4
1
5
1
=+=+=




 ++ . 
b) 




 ++
4
1
6
2
6
4
 = 
4
5
4
1
1
4
1
6
2
6
4
=+=+




 + . 
c) 
5
1
3
2
5
4
+




 + = 
3
5
5
1
5
4
3
2
5
1
5
4
3
2
=




 ++=+




 + . 
d) 




 ++
3
2
7
5
3
1
 = 
7
12
7
5
3
2
3
1
7
5
3
2
3
1
=+




 +=




 ++ . 
 
Atividade 13: 
a) 
1) 
10
3
5.2
1.3
5
2
.
4
3
== ; 2) 
20
3
5
3
.
4
1
= ; 3) 
2
1
4
1
.2 = ; 4) 1
3
1
.3 = ; 
5) 1
15
7
.
7
15
= ; 6)
 111
321
.0 = 0; 7) 
4
21
7.
4
3
= ; 8) 
3
4
3.1
4.1
9
16
.
4
3
== . 
 
b) Resposta: 
4
3
.100 = 3.25 = 75 m2. 
c) Resposta: 100
5
500
500.
5
2
.
2
1
== . 
 
Atividade 14: 
a) (Novo exercício: uma das respostas do gabarito deste item está errada. Encontre-a.) 
1. 1)12(
2
1
2
1
−=+− 2. 
2
9
3
2
:3 = 3. 3
5
3
.5 = 4. 23:
3
2
= 
5. 
11
3
4
23
4
23
11
3
11
3
=




 −− 6. 
3
1
5
1
3
1
2
5
3
=




 −− 7. 
4
3
3
1
1
1
=
+
 
Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
38 
 
8. 
�
�
��
�
�
�
����
�
�
��
��
��
�H
� ��
�	
. ��
�	
� �$
��	
. 
 
b) a) 
105
32
5
1
.
21
32
5
21
32
41
21
11
1
4
1
1
1
11
21
1
1
4
5
1
1
1
11
10
1
1
1
5
4
1
1
1
1
10
11
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
===
+
+
=
−
−
+
=
−
−
+
+
=
−
−
+
+
=
−
−
−
+
+
+
. 
b) 
5
9
5
4
.
4
3
.
1
2
.
2
3
4
3
4
5
2
1
2
3
4
1
1
4
1
1
2
1
1
2
1
1
==÷=
−
+
÷
−
+
. 
 
 Resposta do desafio: a + ab = a.1 + ab = a(1 + b). 
 
Atividade 15: 
i) a) 25% = 
4
1
100
25
= . b) 30% = 
10
3
100
30
= 
c) 50% = 
2
1
100
50
= d) 75% = 
4
3
100
75
= 
e) 44% = 
25
11
50
22
100
44
== f) 10% = 
10
1
100
10
= 
 
ii) a) 
100
50
50.2
50.1
2
1
== = 50% b) 
100
75
25.4
25.3
4
3
== = 75% 
c) 
100
60
20.5
20.3
5
3
== = 60% d) 
100
70
5.20
5.14
20
14
== = 70% 
e) 1 = 
100
100
1
1
= = 100% f) 2 = 
100
200
100.1
100.2
1
2
== = 200% 
iii) a) 50% de 20 = 50%.20 = 1020.
2
1
20.
100
50
== 
Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
39 
 
b) 150% de 20 = 150%.20 = 302.15
10
20.15
20.
10
15
20.
100
150
==== 
c) 25% de 16 = 25%.16 = 4
4
16
16.
4
1
16.
100
25
=== 
d) 30% de 
9
80
= 30%.
9
80
=
3
8
9
80
.
10
3
9
80
.
100
30
== 
iv) a) 
5
4
 × 10% × 28 = 24,2
100
224
4.25
4.56
25
56
5.5
28.2
10.5
28.4
28.
100
10
.
5
4
====== = 224% 
Observação: As últimas simplificações no item (a) foram apenas por gosto. Não existe 
nenhuma obrigação em converter a resposta para alguma notação específica (a menos 
que seja pedido). Assim, a resposta poderia ter terminado com 
25
56
, com 
100
224
, com 2,24 
ou com 224%, tanto faz. 
b) 32%×10%×
12
5
 = 
75
1
100.3
4
12.100.2
32
12
5
.
100
10
.
100
32
=== . 
Observação: A resposta 
75
1
 pode ser colocada em notação de decimal ou de 
porcentagem, mas não será uma resposta simplificada, com números mais “bonitos”. O 
que não pode ser feito em hipótese alguma é escrever a resposta arredondada, ou 
aproximada, como 
75
1
 ≈ 0,133, por exemplo. 
c) %404,0
10
4
5
2
50
100
.
100
20
100
50
100
20
%50%20
%50
%20
=====÷=÷= 
d) 
4140
17
23
17
.
180
1
17
23
180
45
180
44
17
23
12
3
45
11
−
=
−
=
−
=
−
 
 
Atividade 16: Pegue a sua resposta e substitua na expressão. Veja se o valor coincide. 
 
Atividade 17: 
i) Determine x sabendo que: 
a) 10% de x é 15 b) 200% de x é 30 c) 60% de x é 
5
9
 
Solução: 
a) 10% de x é 15 ⇔10
1
.x = 15 ⇔ x = 15.10 ⇔ x = 150 
b) 200% de x é 30 ⇔ 2x = 30 ⇔ x = 15 
Matemática Básica Aula 2 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
40 
 
c) 60% de x é 
5
9
 ⇔ 
5
3
x = 
5
9
 ⇔ x = 3 
 
ii) 
20
500
x = 
3
1
 ⇒ x = 
75
1
50.3
2
= (note que não tem como simplificar mais esta fração) 
iii) 
����
�
���
�
 não está bem definida quando x = 1 ou quando x = 0. Quando x = 1/3, temos 
����
�
���
�
�
��
��
��
� �
�
. 
 
Atividade 18: 
a) n = 63,1
6,24
40
300082,0
85
≈=
×
×
=
RT
pV
. 
Observação: Como este é um problema prático, faz sentido arredondar o valor da 
resposta (pois, sendo um problema prático, todas as medidas envolvidas estão sujeitas a 
erros e, portanto, não se pode garantir o valor exato da resposta, só aproximações). 
 
b) Quando V = 1000, temos 
 1000 = 
10
29
t ∴ t = 
29
10000
 ≈ 344 minutos (uma informação bem mais precisa do 
que a obtida no gabarito do EP1) 
 
c) Como o 1º colocado recebe 500 reais, sobram 500 reais para serem divididos entre o 
2º e o 3º colocados. Seja x a quantia recebida pelo 3º colocado, então o 2º receberá x + 
100 e sabemos que x + x + 100 = 500. Logo, 2x + 100 = 500, donde x = 200. Ou seja, o 
3º colocado receberá 200 reais e o 2º, 300 reais. 
d) A temperatura da água na panela no fogo pode ser representada por T = 15 + 12t, 
onde t é o tempo dado em minutos. Portanto, atingirá 100º quando 100 = 15 + 12t, isto 
é, quando t = �	
��
 min = 7min 5s.