Aula 10 - Trigonometria - Gabarito das Atividades

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Gabarito das atividades da aula 10/2011-2 
 
Atividade1: 
1) A hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a e os catetos 2 e . 
Detemine a medida da hipotenusa. 
Solução: Por Pitágoras, e a única solução 
positiva é 
 
 
 . Logo, os lados medem 
 
 
 (hipot.) e 
 
 
. 
2) Mostre que o único triângulo retângulo cujos lados são inteiros consecutivos 
possui lados medindo 3,4 e 5. 
Solução: Chamemos os catetos de n e n+1 e a hipotenusa n+2. Por Pitágoras, 
 
 , cujas raízes são n=-1( não serve, pois é negativo) e n=3. Logo, as 
dimensões são 5,4,3. 
 
3) Calcule as medidas dos lados de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro 
é igual a 
 
Solução: Como é isósceles, os dois catetos são iguais, digamos e a hipotenusa . Por 
hipótese, . Logo, por Pitágoras, 
 
 
 
 
 
 
 , cuja única raiz positiva é 
 Assim, as medidas são e 
 
Atividade2: 
1) Num triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa é a=25cm e cosB=0,96. 
Calcule o perímetro do triângulo. 
Solução: 
 
 
 . O cateto b oposto a B é tal que, 
 . O perímetro é igual a 56cm. 
 
2) Num triângulo ABC, retângulo em A, temos b=4cm e a-c=2cm. Calcule , 
sendo os lados a , b e c opostos, respectivamente, A , B e C. 
Solução: Por Pitágoras, . Assim, 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
3) Calcule os valores de da figura. 
 
 
 
Solução:Por Pitágoras no triângulo ACD, temos Novamente 
Pitágoras no triângulo ACB, temos 
 
 
Atividade3: 
1) Com o auxílio de uma régua e um transferidor, aproxime os valores de sen70°, 
cos70° e tg70°. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Num triângulo retângulo, um cateto mede 12 cm e o ângulo oposto é de 60°. 
Calcule a hipotenusa e o outro cateto. Faça um esboço. 
Solução: Seja x o cateto e h a hipotenusa, então 
 
 
 
também 
 
 
 
 
 
 . 
 
3) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Quando tiver percorrido meio 
quilômetro, a que altura estará do solo? Faça um esboço. 
 Solução:Pela figura, 
 
 
 
 
 
3 
 
4) Uma escada de 6m de comprimento está encostada a uma parede vertical, 
formando com ela um ângulo de 30° graus. Calcule a distância do pé da escada à 
parede. 
 Solução: A escada é a hipotenusa do triângulo retângulo e a distância à parede será . 
Então, 
 
 
 . Como 
 
 
, temos que . 
 
5) Quando o sol está a 60° acima da linha do horizonte, qual é o comprimento da 
sombra de um poste de 7,5m de altura? Aproxime o resultado em metros com uma casa 
decimal. 
 Solução: O comprimento da sombra é , onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Veja a figura abaixo. 
 
 
Atividade 4: 
1) Calcule o comprimento do arco de uma circunferência de raio 2, cujo ângulo 
central é 30°. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dê a medida em radianos dos ângulos 72°, 210°, 270° e 315°. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
. 
 
3) Determine o valor do raio , tal que o comprimento do arco 
subtendido ao ângulo de 60° seja . 
 Solução: 
 
 
 
 
4 
 
Atividade5: 
 
1) Se e é um ângulo do 2º quadrante, determine 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 , pois no 2º quadrante o cosseno é negativo. 
2) Determine o sinal de a) b) c) 
 Solução: a) <0 ; b) c) 
 
3) Determine o seno e o cosseno de a)
 
 
 b)1530° c) - 
 
 
 
 Solução: a)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , como 
 
 
 
 
 
 , temos por simetria, 
que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
b)1530°=4 360°+90°, logo cos1530°=cos90°=0 e sen1530°=sen90°=1. 
c)- 
 
 
 
 
 
 , logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Localize os ângulos no círculo trigonométrico e coloque os valores em ordem 
crescente : sen70°, sen160°, sen250°, sen300°. (Não precisa calcular os valores exatos!) 
Solução: sen250°< sen300°< sen160°< sen70°. 
 
5) Resolva as equações em [0,4 ]: a) 
 
 
 b) . 
 Solução:a) Por simetria no círculo trigonométrico, dando 2 voltas, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
 
6) Calcule k, tal que 
 Solução: Usando a identidade trigonométrica fundamental, temos 
 
 
 
 
 
 
 
7) Se e , calcule a. 
 Solução: Somando as duas equações, temos 
Usando a 1ª equação, temos Pela 
5 
 
identidade trigonométrica fundamental, segue que 
 
 
 
 
8) Se calcule 
 Solução: Pela identidade trigonométrica fundamental, segue que 
 
 
 
 ou 
 
 
 . 
 
9) Se calcule cosx. 
 Solução: Pela identidade trigonométrica fundamental, segue que 
 Logo, resolvendo a equação do 2º grau 
 as raízes são t=1 ou t=-2/3. Assim, 
 
 
 . 
Portanto, se , temos da equação original que e se senx=-2/3, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Os possíveis valores do são 0 
ou 
 
 
 
 
10) Se , calcule o valor de em função de . 
 Solução: 
 
 
Atividade 6 
1) Calcule , sabendo que 
 
 
 e que 
 
 
. 
Solução:Pela identidade trigonométrica fundamental, temos que 
 
 
 
 
 
 
 pois x é um ângulo do 3º quadrante. Logo, 
 
 
 
2) Simplifique as expressões: 
a)
 
 
 b)
 
 
 c)
 
 
 
Solução: a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dado 
 
 
 e , calcule y= 
Solução: Observe que x é um ângulo do 1º quadrante, pois cosx>0 e tgx>0. Assim, 
pela identidade trigonométrica fundamental, temos que 
 
 
 
 
 
. Portanto, 
y= 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
4) Determine o sinal de a) 
 
 
 b) 
Solução: a) 
 
 
 
 
 
 logo é congruente a 
 
 
 que é do 1° quadrante. Logo, 
 
 
 
 >0. 
b) , e 
 
 
5) Para que ângulos, no intervalo a tangente não está definida? E a 
cotangente? 
Solução: A cotangente não está definida para ângulos do tipo , com k inteiro, 
portanto no intervalo dado, a cotangente não está definida para 
 . Já a tangente, não está definida para 
 
 
, com k inteiro. Assim, no intervalo dado a tangente não está definida para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 7 
 
1) O que você acha sobre a igualdade , é falsa ou verdadeira em ? 
Solução: É falsa. Contraexemplo: 
 
 
 
 
 
 mas 
 
 
 
 
 
. 
(Existem inúmeros outros!) 
2) Calcule o valor de 
Solução:3) Simplifique as expressões abaixo: 
a) 
 
 
 
7 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: a) 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
4) Calcule . 
Solução: Pela fórmula do arco metade, 
 
 
 
 
 
 , e como o 
ângulo é do 2º quadrante, 
 
 
. 
5) Calcule 
Solução: Pela fórmula do arco metade, 
 
 
 
 
 
 , e como o ângulo é 
do 1º quadrante, 
 
 
. 
 
6) Demonstre as identidades a) 
 
 
 
 
 
 
. 
Solução: a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 onde a última 
igualdade foi obtida dividindo-se o numerador e o denominador da fração anterior por 
 
b)Idem à anterior ou substitua em a) . 
7) Se 
 
 
 qual o valor de ? 
(Sugestão: use o exercício 6) acima) 
Solução: Pelo item a) do ex.6 com , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Mostre que 
8 
 
Solução: Pelo item a) do ex.6 com , temos 
 
 
. 
Chamemos , então devemos resolver a equação 1= 
 
 
, logo 
donde t é solução da equação do 2° grau . As raízes dessa equação são 
 e como t>0 (1° quadrante), temos t= . 
9) Mostre que 
 
 
 . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 8 
Nos exercícios a seguir, encontre a solução e marque no círculo trigonométrico. 
1) , 
2) . 
3) , 
4) . 
5) . 
6) 
7) 
 
 
 , 
8) , 
9) . 
10) , em [0,2 ]. Atenção: Mude o enunciado dessa 
questão para 
2 , em [0,2 ]. 
Solução: 
1) S = {/6,-5/6, /2, 7/6, 11/6} 
2) S = {k/4; k  } 
3) S = {/24 + k/4; k  {0, 2, ..., 7}  {5/24 + k/4; k  {0, 1, 2, 3, 4}} 
4) S = {/6 + 2k/3; k  }  {5/6 + 2k/3; k  } 
5) Use a identidade trigonométrica fundamental , então 
 
 , fazendo a mudança t=cosx e resolvendo a eq. 2º grau, temos 
t=2(não serve) ou t=-1. Logo cosx=-1, portanto S = {(2k + 1); k  } 
 
6) Pela identidade do arco duplo, temos 
 
 
 
. 
Logo, S= {k /2 ou 
 
 
 
 
 
  }. 
9 
 
7) Como temos que a equação dada é equivalente a 
 
 
 
, portanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Os 
valores de , tais que os x correspondentes pertencem a são 0 e 1; os de são 
1 e 2. Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Fazendo e resolvendo a equação do 2º grau resultante, obtemos as 
raízes t 
 
 
. Logo, 
 
 
 Portanto, 
 
 
 ou 
 
 
 
 ou 
 
 
 . Escolhendo os valores de k , tais que as soluções 
pertençam a obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Usando a identidade do arco metade, obtemos , portanto a 
equação dada é equivalente a Logo, 
 
10) 2 
 . Fazendo a mudança de variável, obtemos uma equação do 
2º grau, cujas raízes são 
 
 
. Voltando a x, temos 
 , ou 
 
 
 , cujas soluções são 
 
 
 ou 
 
 
 
 Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 9 
 
 
Nos exercícios de 1) a 5) resolva e marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
1) 
 
 
 , 
2) 
 
 
 , 
3) , 
 
 
 
 
 
 
4) 
5) , 
 
6) Determine o domínio das funções 
a) 
 
 
 
b) 
 
Solução: 
1) S = {x  ; /6  x  5/6} = [/6, 5/6]. 
2) S = (/6, 11/6). 
10 
 
3) S = [/4, /2) 
 
 
 
 
 
 . 
4) Note que 2cos
2
 x + cos x  1 < 0  1 < cos x < ½. S = (/3, 5/3)  {}. 
5) Note que cos 2x  6cos x + 5 = 2cos
2
 x  6cos x + 4, donde 2x  6cos x + 5  0  
cosx  1 ou 2  cos x. Logo, S = [0, 2]. 
6) a) Devemos ter 1  cos x  0, isto é, cos x  1, donde x  2k, para todo k  . 
Logo, dom (f) =  {2k ; k  }. 
b) Devemos ter 1  2cos x  0, isto é, cos x  
2
1
. Logo, 
 dom (f) = {x  ; /3 + 2k  x  5/3 + 2k, k  }. 
 
 
Atividade 10 
1) Num triângulo ABC, temos AC=8 cm, BC=6 cm, e Se 
 calcule 
 
2) Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60°. 
Calcular o outro lado. 
 
3) Determine os ângulos do triângulo cujos lados medem . 
 
4) Prove que , 
a) se é o maior lado do triângulo ABC e , então o triângulo é 
acutângulo; 
b) se é o maior lado do triângulo ABC e , então o triângulo é 
obtusângulo; 
De a) e b), segue que se , então o triângulo é ___________________. 
(Recíproca do teorema de Pitágoras.) 
 
5) Dados os lados dos triângulos, usando o exercício 4), verifique se o triângulo é 
acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
a) 10,24,26 
b) 10,15,20 
c) 9,40,41 
d) 16,33,30 
 
Solução: 
1) 
60sen 
8
sen 
6


, donde sen  = 
8
33
. 
 
2) Temos a
2
 = 81 + 36 – 54 = 63, donde a = 73 . 
 
3) Se  representa a medida do ângulo oposto ao lado de medida 2 3 , obtemos, 
aplicando a lei dos cossenos, cos  = 0, isto é,  = 90º. (O triângulo é retângulo) 
Se  representa a medida do ângulo oposto ao lado de medida 3 , temos cos  = 
2
3
32
3
 , donde  = 30º. 
Como a soma dos ângulos do triângulo é 180º, segue que o terceiro Ângulo mede 60º. 
11 
 
 
4) a) a
2
 < b
2
 + c
2
  0 < a
2
 + b
2
 + c
2
 = 2bccos A  cos A > 0  A < 90º. Como A 
representa o ângulo maior, segue que os três ângulo são menores do que 90º, isto é, o 
triângulo é acutângulo. 
b) Trocando sinal, verifica-se que existe um ângulo de medida maior do que 90º, 
donde o triângulo é obtusângulo. 
c) retângulo 
 
 
5) 
a)26
2
 = 676 e 10
2
 + 24
2
 = 676. Logo, o triângulo é retângulo. 
 
 b)20
2
 = 400 e 10
2
 + 15
2
 = 325. Logo, o triângulo é obtusângulo. 
 
 c)41
2
 = 1681 e 9
2
 + 40
2
 = 1681. Logo, o triângulo é retângulo. 
 
d) 33
2
 = 1089 e 16
2
 + 30
2
 = 1156. Logo, o triângulo é acutângulo.