Eletromagnetismo: Campos Magnéticos e Indutância

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Eletromagnetismo 
Aula 5 
 
 
Prof. Frank Coelho de Alcântara 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno! 
Esta é a quinta aula de Eletromagnetismo e finalmente vamos estudar 
os campos magnéticos, a energia armazenada e as relações entre o campo 
magnético e as forças a ele relacionadas. 
Aos 76 anos de idade, na Londres vitoriana do ano de 1867, faleceu 
Michael Faraday e o mundo ficou mais pobre. Um menino pobre, de língua 
presa, que apanhava na escola por não conseguir pronunciar corretamente o 
idioma da rainha e cuja vida estava destinada a passar em branco como a 
vida de tantos outros meninos. Teimoso, curioso e persistente, esse menino 
resolveu que sua vida seria simples e dedicada a ciência e… mudou o mundo! 
Estudaremos, nesta aula, parte do trabalho de Faraday, que inventou 
o motor elétrico, o gerador elétrico e o transformador – as três máquinas 
básicas da eletricidade. E fez isso sem uma educação formal e sofrendo de 
uma doença que lhe causava perdas de memória que o forçava a recomeçar 
suas experiências de tempos em tempos. 
Veremos, também, que o fenômeno da magnetização pode ser 
explicado com a análise da corrente elétrica dentro dos átomos e moléculas, 
algo que só é bem entendido nos domínios da física quântica. Entretanto, 
veremos que usando o eletromagnetismo e fazendo algumas considerações, 
podemos entender por que Magnes, um pastor grego, ficou tão fascinado 
quando os cravos de sua sandália ficaram presos no chão (pelo menos é isso 
que conta a lenda). 
Terminaremos vendo que um condutor enrolado pode criar um 
componente passivo fundamental da eletricidade: o indutor. Veremos a sua 
grandeza e aprenderemos como sua geometria pode afetar suas 
 
 
 
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propriedades. Estamos no mundo do magnetismo e agora chegamos à 
indutância! 
Agora, vamos à videoaula introdutória, que se encontra no material on-
line! 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Já percebeu um ruído na televisão quando o elevador do prédio é 
acionado? Ou um ruído no celular perto de uma linha de transmissão? 
Certamente, a redução de ruídos é um fator importante para a escolha dos 
seus equipamentos. Todos esses são casos em que o magnetismo e a 
indutância são definitivos. 
O indutor é um dos quatro componentes básicos da Eletricidade e 
Eletrônica. É o coração dos motores, dos solenoides e dos filtros (estes 
últimos fundamentais para eliminar o ruído eletromagnético provocado pelos 
outros). 
Uma das principais preocupações da humanidade neste século é o uso 
da energia. Precisamos economizar. Já falamos sobre isso quando falamos 
de campo elétrico. A indutância é uma medida da energia armazenada em um 
campo magnético. Esta energia depende, fundamentalmente, da geometria 
do indutor. Assim, uma das áreas de maior importância na economia de 
energia está exatamente na criação de novos indutores para uso em motores! 
Estes novos indutores melhoram a transferência de energia e os motores 
podem rodar com mais torque consumindo menos energia. 
Sua geladeira, seu aspirador de pó e seu liquidificador serão, muito em 
breve, dispositivos completamente diferentes – mais eficientes do ponto de 
vista energético e mais silenciosos – graças aos novos indutores. 
Empresas como a WEG despendem milhões de dólares todos os anos 
em pesquisas para melhorar a geometria dos indutores dos seus 
 
 
 
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transformadores e geradores. Caso você não saiba, a WEG é uma 
multinacional brasileira que detém as melhores tecnologias em eficiência 
energética para motores, geradores e transformadores. 
Outra utilização muito comum dos indutores costuma estar nas 
orelhas dos adolescentes: esses fones de ouvido enormes e coloridos. 
Trata-se apenas do uso de indutores especificamente desenvolvidos para 
a reprodução de áudio, com uma geometria que melhora a qualidade e 
fidelidade do som. 
 
Talvez você seja o próximo grande inventor de indutores especiais, 
então, não deixe de assistir à videoaula que se encontra no material on-line! 
 
PESQUISE 
 
Forças do Campo Magnético 
Quando estudamos campos elétricos vimos que uma partícula imersa 
em um campo magnético sofre uma força dada por: 
𝐹 = 𝑞 × 𝐸 
Similarmente, é possível definir a força que sofre uma partícula exposta 
a um campo magnético, mas precisamos fugir da estática e continuar 
considerando grandezas em movimento. Assim, uma partícula em movimento 
em um campo magnético sofre uma força perpendicular à direção da sua 
velocidade, com módulo proporcional a sua carga, a velocidade e a densidade 
de fluxo magnético dada por: 
𝐹 = 𝑄 × 𝐵 
 
 
 
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Esta última equação apresenta alguns pontos interessantes: 
1. A força será sempre aplicada em uma direção normal à direção do 
movimento da partícula. 
2. Esta força não muda a magnitude da velocidade da partícula. 
Em outras palavras, o vetor aceleração é sempre normal ao vetor 
velocidade. 
 
O campo magnético será capaz de mudar a direção da partícula 
carregada. Contudo, o módulo da velocidade 𝑼 não sofrerá qualquer 
alteração. A consequência imediata disto é que a energia cinética desta 
partícula também não sofrerá qualquer alteração. 
O campo magnético é incapaz de transferir energia cinética para a 
partícula. Esta observação contrasta com o efeito do campo elétrico. Este é 
capaz de executar trabalho sobre a partícula carregada de modo que 
podemos dizer que o campo elétrico altera a energia cinética de uma partícula. 
Considere um campo 𝑩 uniforme em uma região específica do espaço 
e uma partícula com velocidade inicial perpendicular a esse campo. A 
trajetória desta partícula será um círculo de raio 𝑟. A força magnética tem 
módulo dado por: 
𝑭 = |𝑄|𝑣𝐵 
E tem direção radial no sentido do centro da circunferência. A 
aceleração centrípeta será dada por: 
𝑤2𝑟 =
𝑣2
𝑟
 
Se estudarmos um pouco esse movimento veremos que teremos que 
recorrer às leis de Newton, (mais especificamente à Segunda Lei de Newton). 
Se fizermos isso chegamos a: 
 
 
 
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|𝑄|𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
𝑟
 
De onde podemos tirar que o raio deste círculo será dado por: 
𝑟 =
𝑚𝑣
|𝑄|𝐵
 
Saiba mais sobre a Segunda Lei de Newton! 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/segunda-lei-newton.htm 
 
Calcule a força sobre uma partícula de massa 1,70 × 10−27 𝑘𝑔 e carga 
de 1,60 × 10−19 𝐶, sujeita a um campo 𝐵 = 5 𝑚𝑇, com velocidade inicial de 
83,5 𝑘𝑚/𝑠, considerando que o campo 𝐵 é perpendicular ao vetor velocidade 
desta partícula. 
Trata-se de uma aplicação direta da fórmula, já que o enunciado 
apresenta exatamente as condições necessárias para a determinação da 
força: 
𝐹 = |𝑄|𝑣𝐵 
Substituindo: 
𝐹 = (1,60 × 10−19)(83,5 × 103)(5 × 10−3) 
𝐹 = 66,8 × 10−18 𝑁 
Podemos, também, determinar a força que é exercida sobre uma 
partícula pela aplicação de um campo elétrico e de um campo magnético. 
Nesse caso, podemos encontrar o resultado pela superposição dos efeitos 
desses dois campos e chegaremos a: 
𝐹 = 𝑄(𝐸 + 𝑣 × 𝐵) 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/segunda-lei-newton.htm
 
 
 
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Esta equação é conhecida como equação da força de Lorentz e 
permite, junto com as condições iniciais, determinar a trajetória da partícula. 
Esta é a equação que permitiu a criação dos aceleradores de partícula como 
o que está em uso no CERN. 
http://www.fct.pt/apoios/cooptrans/cern/ 
Podemos escrever a força que atua sobre uma partícula em movimento 
sob o efeito de um campo magnético constante na forma de elementos 
diferenciais.Desta forma: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝑄𝑣 × 𝐵 
Frequentemente encontramos um condutor conduzindo correntes em 
uma região do espaço na qual existe um campo magnético externo. Neste 
caso, a corrente elétrica pode ser definida como: 
𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
∴ 𝑑𝑄 = 𝐼𝑑𝑡 
Se tomarmos a equação diferencial da força provocada pelo campo 
magnético e substituirmos o valor da diferencial de carga, teremos: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝑄𝑣 × 𝐵 = 𝐼𝑑𝑡𝑣 × 𝐵 
Como 𝑣𝑑𝑡 representa o comprimento elementar, infinitesimal, na 
direção da corrente 𝐼, então 𝑑𝑳 = 𝒗𝑑𝑡. Sendo assim, a força que sofre um 
elemento diferencial de corrente é dada por: 
𝑑𝐹 = 𝐼(𝑑𝐿 × 𝑩) 
Podemos integrar esse elemento diferencial ao longo de uma 
distribuição volumétrica, superficial ou linear de cargas. Se assim for, teremos: 
𝑭 = ∫ 𝐽 × 𝑩 𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
𝑭 = ∫ 𝐾 × 𝑩
𝑠𝑢𝑝
 𝑑𝑠 
http://www.fct.pt/apoios/cooptrans/cern/
 
 
 
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𝑭 = ∮ 𝐼𝑑𝐿 × 𝑩 = −𝐼 ∮ 𝑩 × 𝑑𝐿 
Podemos, ainda, considerar um condutor retilíneo e manter o campo 
magnético constante ao longo de todo o comprimento do condutor. Se assim 
for, podemos integrar o elemento diferencial e ter: 
𝑭 = 𝐼𝐿 × 𝑩 
Cuja magnitude será determinada por: 
𝑭 = 𝐼𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 
Onde 𝜃 é o ângulo formado pelos vetores representando a direção do 
fluxo de corrente e a direção do fluxo magnético. 
 
Calcule a força que atua sobre um condutor retilíneo de comprimento 
0,30 𝑚, imerso em um campo 𝑩 = 3.50 × 10−3(𝒂𝑥 − 𝒂𝑦) 𝑻, onde circula uma 
corrente de 5 𝐴 na direção −𝒂𝑧. 
Trata-se da aplicação direta da fórmula do cálculo da força. É 
necessária alguma atenção apenas no cálculo do produto vetorial. 
𝑭 = 𝐼𝑳 × 𝑩 
𝑭 = (5,0)(0,30)(−𝒂𝑧) × (3,50 × 10
−3)(𝒂𝑥 − 𝒂𝑦) 
𝑭 = −1,5𝒂𝑧 × (3,50 × 10
−3𝒂𝑥 − 3,50 × 10
−3𝒂𝑦) 
𝑭 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
0 0 −1,5
3,50 × 10−3 −3,50 × 10−3 0
| 
𝑭 = |
0 −1.5
−3,50 × 10−3 0
| 𝒂𝑥 − |
0 −1,5
3,50 × 10−3 0
| 𝒂𝑦 + |
0 0
−3,50 × 10−3 3,50 × 10−3
| 𝒂𝑧 
 
 
 
 
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Trabalho, potência e torque 
As forças magnéticas estudadas até aqui sobre partículas carregadas 
ou condutores conduzindo correntes resultam do campo magnético. Para 
contrapor estas forças e manter o equilíbrio devemos aplicar uma força 𝐹𝑎 
igual e oposta. Se existir qualquer movimento decorrente da aplicação 
dessas forças, o trabalho executado sobre o sistema pelo agente externo, 
gerador de trabalho, será dado pela integral: 
𝑊 = ∫ 𝑭𝑎 ⋅ 𝑑𝑳
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
Se o resultado dessa integração for positivo, isto indicará que o trabalho 
foi executado pelo agente sobre o sistema para mover as partículas ou o 
condutor de sua posição inicial para a final, contra o campo. Como a força 
magnética geralmente não é conservativa, o percurso total de integração e as 
posições inicial e final devem ser determinados. 
O momento de uma força (ou torque) em relação a um determinado 
ponto é o produto vetorial do braço potente pela força, como pode ser visto na 
figura: 
 
 
 
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Diagrama de torque devido a força magnética (HAYT e BUCK, 2012) 
O braço potente 𝑹 é dirigido do ponto onde o torque é obtido ao ponto 
de aplicação da força 𝑃. Neste caso, a força em 𝑃 tem um torque relativo a 
origem 𝑂 dado por: 
𝑻 = 𝑹 × 𝑭 
Cuja unidade será Nm. 
Como o torque tende a rodar o ponto de aplicação em torno de um eixo 
perpendicular ao seu eixo de aplicação, pode-se dizer que o torque atua em 
relação a um eixo e não em relação a um ponto e existe a sugestão de usar a 
unidade 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 para evitar possíveis confusões entre torque e energia. 
 
Momento magnético de uma espira plana 
Vamos aplicar os conceitos de torque vistos antes a uma espira 
retangular de comprimento 𝑙 e largura 𝑤 colocada em um campo elétrico 
uniforme 𝑩 como pode ser visto no gráfico (SADIKU, 2014): 
 
 
 
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Observe que 𝑑𝐿 é paralela ao campo 𝑩 nos percursos 1-2 e 3-4 e 
nenhuma força será exercida sobre esses lados. Sendo assim, a força 
exercida sobre esta espira devida ao campo 𝑩 será a soma da força exercida 
em cada um dos elementos diferenciais de corrente dos lados 2-3 e 4-1. Ou 
seja: 
𝑭 = 𝐼 ∫ 𝑑𝐿 × 𝑩
3
2
+ 𝐼 ∫ 𝑑𝐿 × 𝑩
3
2
 
Ou, substituindo com as condições dadas: 
𝐹 = 𝐼 ∫ 𝑑𝑧𝒂𝑧 × 𝑩
𝑙
0
+ 𝐼 ∫ 𝑑𝑧𝒂𝑧 × 𝑩
03
𝑙
 
𝑭 = 𝑭0 − 𝑭0 = 0 
Onde o módulo de 𝐹0 = 𝐼𝐵𝑙 graças à uniformidade do campo 𝑩. 
Observe que, como a soma das forças é zero, nenhuma força é 
exercida no laço, se o consideramos completamente. Contudo, como existem 
duas forças de mesma intensidade e direção, mas sentidos opostos, a espira 
Rotação de uma espira sob um campo magnético 
 
 
 
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fará um ângulo 𝛼 com o campo 𝑩 e o torque exercido sobre a espira será dado 
por: 
|𝑻| = |𝑭0|𝑤𝑠𝑒𝑛𝛼 
Ou, substituindo: 
𝑇 = 𝐵𝐼𝑙𝑤 𝑠𝑒𝑛𝛼 
Como 𝑙𝑤 é a área 𝑆 da espira temos que: 
𝑇 = 𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 
Podemos, também, definir o momento do dipolo magnético 𝑚, medido 
em 𝐴/𝑚2 como: 
𝑚 = 𝐼𝑆𝑎𝑛 
Onde 𝑎𝑛 é o vetor unitário normal ao plano da espira e sua direção é 
determinada pela regra da mão direita com seu polegar apontando na direção 
de 𝑎𝑛. Dessa forma, chegamos à relação entre torque e momento dipolo 
magnético: 
𝑻 = 𝑚 × 𝑩 
Ainda que tenhamos usado uma espira retangular, as equações 
são aplicáveis a espiras planas de qualquer forma. A única limitação é 
que o campo 𝑩 deve ser uniforme! 
 
Vamos recapitular esse conteúdo assistindo à videoaula do professor 
Frank? Acesse-a no material on-line! 
 
 
 
 
 
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Conceitos de Magnetização 
Podemos analisar a matéria do ponto de vista do campo magnético da 
mesma forma que fizemos com o campo elétrico. Para isso, vamos evitar a 
física quântica e as interações das partículas com a precisão que só essa 
ciência permite e vamos nos focar em um átomo cujo núcleo é positivo, em 
torno do qual orbitam elétrons de carga negativa. Mas, consideraremos que 
os elétrons, além de orbitar o núcleo atômico, possuem uma rotação em torno 
do seu próprio eixo denominada spin. 
Os elétrons orbitando um núcleo positivo podem ser considerados 
como uma corrente em um laço em torno deste núcleo. Neste caso, a corrente 
flui em sentido oposto ao sentido do movimento dos elétrons. Se este material 
for submetido a um campo magnético, este laço sofrerá um momento que 
tenderá a alinhar o campo magnético produzido pelos elétrons com o campo 
magnético aplicado, de forma que o campo produzido pelos elétrons será 
alinhado com o campo externo. 
Por superposição, podemos concluir que o campo elétrico em qualquer 
ponto do material será maior que o campo externo (HAYT e BUCK, 2012). Na 
verdade, esse campo magnético interno é um pouco mais complicado. 
No estudo dos campos magnéticos no interior do átomo, além do 
campo causado pelos elétrons em órbita precisamos considerar o campo 
causado pelo spin. Trata-se de um campo complexo e de difícil determinação 
que não apresenta resultados interessantes a não ser que seja estudado à luz 
da física quântica. Além deste, há ainda um campo provocado pelo spin do 
núcleo. 
O conjunto de prótons e nêutrons que forma o interior do átomo gira em 
torno de um eixo. Esse movimento, provocado pelas forças no interior do 
átomo, faz com que seja gerado um campo magnético proveniente do 
movimento das cargas positivas. Nesse caso, podemos conceber uma 
 
 
 
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corrente elétrica existindo no núcleo, no mesmo sentido de sua rotação, que 
gera outro pequeno campo magnético. 
O que você não pode perder de vistaé que o átomo contém diversos 
momentos magnéticos, gerados pela sua própria estrutura e que estes 
momentos determinam as características magnéticas do material. 
 
Classificação da matéria 
Chamamos de material diamagnético aquele que, quando colocado 
no interior de um campo magnético, tem seus momentos orientados no 
sentido oposto ao sentido deste campo. Desta forma, os materiais 
diamagnéticos são repelidos pelo campo magnético onde foram imersos. 
Esse efeito foi descoberto por Michael Faraday, que nomeou este tipo de 
material. São exemplos de materiais diamagnéticos: o bismuto, o cobre, a 
prata, o chumbo etc. 
Alguns materiais diamagnéticos quando resfriados a temperaturas 
próximas do zero absoluto deixam de oferecer resistência a passagem 
elétrica, se tornando supercondutores. No vídeo a seguir você poderá ver um 
material cerâmico diamagnético flutuando. 
https://www.youtube.com/watch?v=Jsg41YtTrHY 
Existem, ainda, materiais cuja distribuição de momentos internos é tal 
que, quando expostos a um campo magnético externo, seus momentos 
magnéticos se alinham na mesma direção e sentido do campo. Nesse caso, 
esse alinhamento tende a aumentar o campo aplicado. Se nenhum efeito 
diamagnético ocorrer, reduzindo o campo interno e este aumentar, dizemos 
que se trata de um material paramagnético. Esses materiais são fracamente 
atraídos por campos magnéticos, entre eles, o alumínio, o magnésio e o 
sulfato de cobre. 
https://www.youtube.com/watch?v=Jsg41YtTrHY
 
 
 
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Você pode ver, no vídeo a seguir, um torrão de alumínio flutuando em 
um campo magnético provocado por uma corrente elétrica em uma espira. 
https://www.youtube.com/watch?v=VydPQuLyEns 
Até aqui falamos de materiais cujo momento magnético interno é fraco, 
ou inexistente. As outras quatro classes dizem respeito a materiais cujos 
momentos magnéticos atômicos são fortes (HAYT e BUCK, 2012): 
ferromagnéticos, antiferromagnéticos, ferrimagnéticos e 
superparamagnéticos. 
Materiais ferromagnéticos são aqueles que possuem momento 
magnético atômico alto e que, devido às suas características internas, criam 
regiões de alinhamento chamadas de domínio. Os domínios são criados pelo 
alinhamento dos momentos magnéticos relacionados ao spin dos elétrons de 
forma paralela. 
Quando expostos a um campo magnético esses domínios tendem a se 
orientar no sentido do campo provocando a atração do material. Uma vez que 
o campo seja removido, os domínios tenderão a voltar a sua orientação 
aleatória original. Na maior parte dos materiais ferromagnéticos a reorientação 
dos domínios não é completa, provocando a existência de um magnetismo 
residual. Observe que, graças a estas características físicas do material, o 
campo resultante possui uma relação com a história magnética do material. 
Os únicos materiais ferromagnéticos a temperatura ambiente são o ferro, o 
níquel e o cobalto. 
Os materiais antiferromagnéticos são aqueles em que as forças 
internas do átomo fazem com que os momentos atômicos se alinhem de forma 
antiparalela. O momento magnético líquido resultante é zero e estes materiais 
são pouco afetados pelo campo magnético externo (HAYT e BUCK, 2012). 
Assim como os materiais ferromagnéticos, os materiais antiferromagnéticos 
também apresentam grande quantidade de elétrons com spins alinhados em 
domínios. Contudo, neste caso, os domínios acabam alinhados na mesma 
direção e sentido oposto aos pares, a este alinhamento damos o nome de 
https://www.youtube.com/watch?v=VydPQuLyEns
 
 
 
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antiparalelo. Ou seja, os domínios estão em paralelo, mas em sentidos 
opostos dois a dois. Exemplos de materiais antiferromagnético são o óxido 
de manganês, o óxido de níquel e o cloreto de cobalto. 
Materiais ferrimagnéticos também apresentam alinhamento 
antiparalelo de momentos atômicos adjacentes. Contudo, os momentos não 
são iguais. Ocorre, no interior dos materiais ferrimagnéticos, uma resposta 
forte à existência de um campo magnético externo, ainda que esta resposta 
seja menor que a resposta dos materiais ferromagnéticos. Em geral, essa 
resposta não é suficiente para provocar atração. 
Na classe dos materiais ferrimagnéticos estão os ferrites, materiais 
que apresentam uma resistência à corrente elétrica várias ordens de grandeza 
maior que a resistência apresentada pelos semicondutores e, dessa forma, se 
opõem a criação de correntes elétricas internas devidas ao efeito de campos 
magnéticos externos (HAYT e BUCK, 2012). São exemplos desses materiais 
a magnetita, óxido de ferro (Fe3O4), um ferrite de níquel-zinco 
(Ni1/2Zn1/2Fe2O4) e um ferrite de níquel (NiFe2O4) (HAYT e BUCK, 2012). 
Por fim, temos os materiais superparamagnéticos, que são materiais 
compostos de um conjunto de moléculas ferromagnéticas em uma matriz de 
material paramagnético. Um exemplo importante é a fita magnética (usada por 
anos para a gravação de vídeo) e o material utilizado para cobrir os discos 
rígidos do seu computador. 
 
Magnetização 
Vamos definir o campo 𝑀 com as mesmas dimensões do campo 
magnético 𝐻, de tal forma que a Magnetização 𝑀 (𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠/𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 
representa o momento dipolo magnético por unidade de área. 
A magnetização 𝑀 será provocada pelas correntes de Ampère que 
ocorrem no interior do material, devido ao movimento de cargas. Podemos 
 
 
 
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definir de forma infinitesimal o momento magnético 𝑚 devido a uma corrente 
de Ampère 𝐼𝑏 que circula por um percurso que envolve um elemento 
diferencial de área 𝑑𝑆. 
𝑚 = 𝐼𝑏𝑑𝑆 
Se temos um número 𝑛 de átomos, em um dado volume diferencial Δ𝑣 
e o enésimo átomo tem o momento dado por 𝑚𝑖, definimos a magnetização 
𝑀: 
𝑀 = lim
Δ𝑣→0
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
Δv
 
Podemos provar que se nos deslocamos em um caminho fechado 
qualquer e encontrarmos, mais frequentemente, momentos dipolo magnético 
apontando na mesma direção do deslocamento, teremos uma corrente 
correspondente dada por: 
𝐼𝐵 = ∮ 𝑴. 𝑑𝐿 
Agora, precisamos lembrar que a relação entre o campo magnético 𝑯 
e a densidade de fluxo magnético 𝑩 é dada por: 
𝑩 = 𝜇0𝑯 ∴ 𝑯 =
𝑩
𝜇0
 
Voltamos à Lei Circuital de Ampère e substituímos o valor do campo 
magnético em função do fluxo magnético para termos: 
𝐼 = ∮ 𝑯 ⋅ 𝑑𝐿 ∴ 𝐼 = ∮
𝑩
𝜇𝑜
⋅ 𝑑𝐿 
Nesse caso, quando consideramos as correntes criadas no interior do 
átomo, graças à influência de um campo magnético, não podemos deixar de 
considerar também a corrente elétrica que será induzida na camada de 
condução por esse mesmo campo elétrico. Então, para ser coerente com este 
 
 
 
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fenômeno precisamos considerar a corrente total 𝐼𝑇 de tal forma que, usando 
a Lei Circuital de Ampère, teremos: 
∮
𝑩
𝜇𝑜
⋅ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑇 = 𝐼 + 𝐼𝑏 
Chamaremos, de agora em diante, 𝐼 de corrente livre, aquela que 
ocorre na camada de condução e que aparece em as nossas equações até o 
momento. Sendo assim, e combinando as definições que temos até o 
momento teremos: 
𝐼 = 𝐼𝑇 − 𝐼𝑏 = ∮ (
𝑩
𝜇𝑜
− 𝑴) ⋅ 𝑑𝐿 
O que permite definir o campo magnético em função da densidade de 
fluxo magnético e da magnetização: 
𝑯 =
𝑩
𝜇𝑜
− 𝑴 
O que concorda com 𝑩 = 𝜇0𝑯 no vácuo já que, no vácuo, a 
magnetização é nula (𝑴 = 0). Podemos trabalhar algebricamente esta 
relação entre 𝑩 e 𝑯, de forma a retirar sinais de subtração e frações, e temos: 
𝑩 = 𝜇𝑜(𝑯 + 𝑴) 
 
 
 
 
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Mais importante ainda: se você tiver um tempo sobrando, pode voltar 
as demonstrações do Teorema de Stokes e chegar aos três rotacionais: 
∇ × 𝑴 = 𝐽𝐵 
∇ ×
𝑩
𝜇0
= 𝐽𝑇 
∇ × 𝑯 = 𝐽 
Em meios isotrópicos lineares, nos quais podemos definiruma 
susceptibilidade magnética Χ𝑚 teremos que a magnetização 𝑀 será dada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Logo: 𝐵 = 𝜇𝑜(𝐻 + Χ𝑚𝐻) = 𝜇𝑜𝜇𝑟𝐻, de onde podemos inferir que: 
𝜇𝑟 = 1 + Χ𝑚 
Em que 𝜇𝑟 é definida como a permeabilidade relativa, característica do 
material que implica na existência de uma permeabilidade dada por 𝜇 = 𝜇0𝜇𝑟 
ou por: 
𝑩 = 𝜇𝑯 
Ou, se preferir, em bom português: a densidade de fluxo magnético 
é a soma vetorial entre o campo magnético e a magnetização 
proporcionalizada pela permeabilidade magnética. Podemos, agora, definir 
todas as nossas correntes em termos de densidades de corrente. 
𝐼𝑏 = ∫𝐽𝑠 ⋅ 𝑑𝑆
𝑠
 
𝐼𝑇 = ∫𝐽𝑇 ⋅ 𝑑𝑆
𝑠
 
𝐼 = ∫𝐽 ⋅ 𝑑𝑆
𝑠
 
 
 
 
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Vamos recapitular esse conteúdo assistindo à videoaula do professor 
Frank? Assista à videoaula disponível no material on-line! 
 
Condições de fronteira e a solução de problemas 
Em um meio único, o campo magnético é contínuo. Isto quer dizer que 
o campo, se não for constante, varia apenas em uma quantidade infinitesimal 
em uma direção também infinitesimal. Contudo, na fronteira entre dois meios 
diferentes, o campo magnético pode mudar abruptamente, tanto em módulo 
quanto em direção (KRAUS e CRAVER, 1990). 
Vamos, como fizemos anteriormente, estudar as condições de fronteira 
em torno dos dois componentes. Campos normais à superfície e campos 
tangentes a ela. 
 
Estudo do campo magnético na fronteira de dois materiais (HAYT e BUCK, 2012) 
A figura nos mostra a região de fronteira entre dois materiais de 
permeabilidade 𝜇1𝑒 𝜇2. Para analisarmos a componente normal do campo 
magnético 𝐻 e da densidade de fluxo magnético 𝐵, vamos estudar essa 
fronteira utilizando uma pequena superfície gaussiana cilíndrica entre os 
 
 
 
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dois meios cuja área tende a zero e será representada pelo elemento 
diferencial 𝚫𝑺. Se aplicarmos a Lei de Gauss a esta superfície teremos que: 
∮𝑩 ⋅ 𝑑𝑆
𝑆
= 0 
Resolvendo, encontraremos que: 
𝐵𝑁1Δ𝑆 − 𝐵𝑁2Δ𝑆 = 0 ∴ 𝐵𝑁1 = 𝐵𝑁2 
Colocando esta última igualdade em termos de campo magnético, 
teremos que: 
𝑯𝑁2 =
𝜇1
𝜇2
𝑯𝑁1 
Observe o domínio das equações do componente tangencial da 
densidade de fluxo magnético 𝑩 e do campo magnético 𝑯. Se observar esses 
domínios verá que a densidade de fluxo magnético 𝑩 é contínua enquanto o 
campo magnético 𝑯 sofre uma descontinuidade devido a relação 𝜇_1/𝜇_2. 
Tendo o campo magnético 𝐻 e a densidade de fluxo magnético 𝑩 
podemos facilmente encontrar a magnetização 𝑴, cujo domínio também é 
descontínuo: 
𝑴𝑁2 =
Χ𝑚2𝜇1
Χ𝑚1𝜇2
𝑴𝑁1 
Para estudar o componente tangencial do campo magnético 𝑯 vamos 
utilizar um percurso amperiano e a Lei Circuital de Ampère: 
∮ 𝑯 ⋅ 𝑑𝐿 = 𝐼 
O percurso amperiano escolhido, completando a volta em sentido 
horário e resolvendo integral será: 
𝑯𝑡1 − 𝑯𝑡2 = 𝐾 
 
 
 
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22 
Isso só é possível porque assumimos que existirá uma corrente 
superficial 𝐾 cuja direção será determinada pelo produto vetorial entre a 
diferença entre os campos magnéticos e um vetor unitário normal direcionado 
para a região 1, de tal forma que: 
(𝑯1 − 𝑯2) × 𝒂𝑁12 = 𝐾 
Utilizando as relações entre o campo magnético 𝑯, a densidade de 
fluxo magnético 𝑩 e a magnetização 𝑴, acrescidas de um pouco de álgebra 
vetorial, podemos chegar às equações que definem os componentes 
tangenciais desses campos: 
𝑯𝑡1 − 𝑯𝑡2 = 𝒂𝑁12 × 𝐾 
𝑩𝑡1
𝜇1
−
𝑩𝑡2
𝜇2
= 𝐾 
𝑴𝑡2 =
Χ𝑚2
Χ𝑚1
𝑴𝑡1 − Χ𝑚2𝐾 
Cabe a você fazer a análise dos domínios destas funções e determinar 
as condições de descontinuidade. Por fim, observe que se nenhum dos 
materiais envolvidos for condutor, a densidade superficial de corrente será 
zero, o que tornará o cálculo dos componentes tangenciais muito mais 
simples. 
 
Circuitos Magnéticos 
Um circuito elétrico forma um caminho fechado por onde a corrente flui. 
Analisaremos circuitos magnéticos partido da analogia com circuitos elétricos. 
Para isso, vamos começar revendo a equação do potencial elétrico: 
𝑬 = −∇𝑉 
 
 
 
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23 
Já definimos um potencial magnético escalar e dissemos que sua 
principal finalidade seria em demonstrações de conceitos. Só para lembrar: 
𝑯 = −∇𝑉𝑚 
No âmbito dos circuitos magnéticos, essa grandeza potencial 
magnético escalar é denominada de força magnetomotriz 𝑓𝑚𝑚, cuja unidade 
é o ampère. 
Lembre-se que quando definimos o potencial magnético escalar 
fizemos questão de provar que ele só pode ser definido em regiões onde 
a densidade de corrente é zero. 
Podemos recorrer a diferença de potencial elétrico entre dois pontos e 
inferir a relação correspondente para a força magnetomotriz: 
𝑉𝐴𝐵 = ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝐿
𝐵
𝐴
 
𝑉𝑚𝐴𝐵 = ∫ 𝑯 ⋅ 𝑑𝐿
𝐵
𝐴
 
Da mesma forma, podemos observar a Lei de Ohm em sua forma 
pontual, conforme definimos anteriormente e, por analogia observar a relação 
entre campo e densidade de fluxo magnético. 
𝐽 = 𝜎𝑬 
𝑩 = 𝜇𝑯 
Se continuarmos a analogia poderemos, por exemplo, calcular a 
corrente total e o fluxo magnético total. 
𝐼 = ∫𝐽 ⋅ 𝑑𝑆
𝑠
 
Φ = ∫𝑩 ⋅ 𝑑𝑆
𝑆
 
 
 
 
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24 
A corrente total e o fluxo magnético total determinam o fluxo total que 
atravessa a seção reta de um circuito magnético. Da mesma forma que 
definimos a resistência como 𝑉 = 𝐼𝑅 podemos definir a relutância magnética 
(ℜ), medida em Ampère-espira por Weber (𝐴𝑒/𝑊𝑏) como a relação entre o 
fluxo magnético total e a força magnetomotriz: 
𝑉𝑚 = Φℜ 
Quando estudamos os resistores, feitos de materiais homogêneos, 
isotrópicos e lineares, de condutividade 𝜎 vimos que no caso da seção reta 𝑆 
e comprimento 𝑑, podemos calcular a resistência por: 
𝑅 =
𝑑
𝜎𝑆
 
Se encontrarmos um material magnético com as mesmas 
características de uniformidade, continuidade, linearidade e isotropia de área 
𝑆 e comprimento 𝑑 poderemos definir a relutância total como: 
ℜ =
𝑑
𝜇𝑆
 
Infelizmente, em nosso curso, o único material que atende estas 
condições é o ar. 
Em um circuito elétrico a fonte de tensão é parte do circuito. Sabemos 
também que a integral de linha fechada do produto escalar do campo elétrico 
pelo elemento infinitesimal do percurso é zero: 
∮ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑳 = 0 
Da mesma forma, podemos fazer uma analogia para o fenômeno 
magnético equivalente com uma pequena diferença: 
∮ 𝑯 ⋅ 𝑑𝑳 = 𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 
 
 
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25 
Ou considerando que a corrente total ocorre em função de um número 
𝑁 de espiras: 
∮ 𝑯 ⋅ 𝑑𝑳 = 𝑁𝐼 
Ao contrário do campo elétrico, “quando desenhamos o circuito 
magnético podemos não ser capazes de identificar onde a força motriz está 
aplicada” (HAYT e BUCK, 2012). 
Vamos recapitular esse conteúdo assistindo à videoaula do professor 
Frank? Acesse-a no material on-line! 
 
Energia Potencial Magnética 
Quando estudamos Eletrostática consideramos uma relação linear 
entre o campo elétrico 𝑬 e a densidade de fluxo elétrico 𝑫, assim não foi difícil 
estabelecer o trabalho necessário para trazer uma carga pontual do infinito 
até seu ponto de repouso desejado. 
Se considerarmos a energia envolvida de forma genérica chegaremos 
a: 
𝑊𝐸 =
1
2
∫ (𝑫 ⋅ 𝑬)𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
A demonstração da equação da energia armazenada em um campo 
magnético foge do nosso escopo no momento. Depende de equações de 
onda ou da introdução de grandezas cujo benefício não superará o custo 
envolvido. Assim, vamos apenas apresentar a equação: 
𝑊𝐻 =
1
2
∫ 𝑩 ⋅ 𝑯𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
Como temos a relação 𝑩 = 𝜇𝑯 podemos encontrar: 
 
 
 
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𝑊𝐻 =
1
2
∫ 𝜇𝑯2𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
𝑊𝐻 =
1
2
∫
𝑩2
𝜇
𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
O estudo da energia acumulada no campo magnético tem 
aplicação no estudo de campos variáveis no tempo, ondas e frequências. 
Mas, para nós basta, por enquanto, inferir que essa energia estará 
distribuída por um volume com uma densidade de energia dada por 
1
2
𝑩 ⋅
𝑯. 
 
Vamos recapitular esse conteúdo assistindo à videoaula do professor 
Frank? Acesse-a no material on-line! 
 
Cálculo da Indutância 
Ao longo desta disciplina já definimos resistência e capacitância. Neste 
tema definiremos a indutância. Definimos a resistência e a capacitância, em 
última análise, apenas em referência às características físicas do material e 
sua geometria. Vamos tentar fazer o mesmo com a indutância. 
Para completar os quatro componentes básicos da eletrônica: 
resistor, capacitor, indutor e memristor, ficará faltando apenas as 
características do memristor. Todavia, como o memristor não pode ser 
definido apenas com o nível de eletromagnetismo necessário para um 
engenheiro, deixaremos este a seu cargo! 
http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/do-laboratorio-para-a-fabrica/a-
vitoriosa-escalada-do-memristor 
 
http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/do-laboratorio-para-a-fabrica/a-vitoriosa-escalada-do-memristor
http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/do-laboratorio-para-a-fabrica/a-vitoriosa-escalada-do-memristor
 
 
 
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Antes de qualquer coisa, precisamos definir o conceito de enlace de 
fluxo. Vamos considerar um toroide de 𝑁 espiras no qual uma corrente 𝐼 
produz um fluxo total Φ. Consideramos que cada espira envolve o fluxo total 
e que o fluxo envolve todas as espiras. Sendo assim, o enlace de fluxo 𝜆 será 
dado pelo produto do fluxo pelo número de espiras. 
Podemos, agora, definir a indutância 𝐿 como a relação: 
𝐿 =
𝜆
𝐼
=
𝑁Φ
𝐼
∴ 𝜆 = 𝑁Φ 
Para bobinas de 𝑁 espiras ou por: 
𝐿 =
𝜆
𝐼
=
Φ
𝐼
∴ 𝜆 = Φ 
Para uma bobina com uma espira o enlace de fluxo é igual ao fluxo 
total. Esta definição só é válida para meios magnéticos lineares nos quais o 
fluxo magnético será proporcional à corrente. A indutância é medida em Henry 
(H), equivalente a um Weber-espira por Ampère. 
A indutância aqui definida deve ser considerada como uma medida da 
quantidade de energia armazenada no indutor. Da teoria dos circuitos 
aprendemos que a quantidade de energia armazenada em um indutor é dada 
por: 
𝑊𝑚 =
1
2
𝐿𝐼2 ∴ 𝐿 =
2𝑊𝑚
𝐼2
 
Por fim, é preciso destacar que um indutor é apenas um condutor 
arranjado em uma forma adequada para o armazenamento de energia. 
Exemplos típicos de indutores são os toroides, solenoides, cabos coaxiais 
e cabos paralelos. 
 
Indutância de cabos coaxiais 
 
 
 
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28 
Podemos utilizar a equação do campo magnético 𝐻 no interior de um 
condutor, que vimos anteriormente, para encontrar a equação da densidade 
de fluxo magnético 𝐵 no interior do dielétrico do cabo coaxial, espaço 
localizado entre os dois condutores, condutor principal e malha. 
Sendo assim: 
𝑯 =
𝐼
2𝜋𝑅
𝒂𝜙 
Como 𝐵 = 𝜇𝐻, podemos dizer que: 
𝑩 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝑅
𝒂𝜙 
Devemos, agora, considerar que o fluxo atravessa uma superfície 
transversal ao cilindro onde 𝜙 é constante, como pode ser visto na Figura 5. 
Trata-se de uma superfície onde o comprimento varia de 0 até 𝑙 e a largura 
varia segundo o raio do cilindro 𝜌 entre 𝑎 e 𝑏. Se calcularmos o fluxo por esta 
área teremos: 
 
𝜆 = ∫ ∫ 𝑩𝑑𝑙
𝑏
𝑎
𝑙
0
=
𝜇0𝐼𝑙
2𝜋
ln
𝑏
𝑎
 
Logo, a indutância será dada por: 
 
 
 
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29 
𝐿 =
𝜆
𝐼
=
𝜇0𝐼𝑙
2𝜋 ln
𝑏
𝑎
𝐼
=
𝜇0𝑙
2𝜋
ln
𝑏
𝑎
 
E a indutância por metro será dada por: 
𝐿
𝑚
=
𝜇0
2𝜋
ln
𝑏
𝑎
 (𝐻/𝑚) 
Esta é uma demonstração muito útil no mundo real porque esse valor 
limita a frequência que podemos utilizar no cabo. Mas, não é uma 
demonstração única. Podemos, por exemplo, usar também a energia 
armazenada em um indutor: 
𝑊𝑚 =
1
2
𝐿𝐼2 
Nós já vimos que a energia armazenada em um campo magnético pode 
ser calculada por: 
𝑊𝑚 =
1
2
∫ (𝑩 ⋅ 𝑯)𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
Se trabalharmos algebricamente essas equações chegaremos ao 
cálculo da indutância devido ao produto escalar entre a densidade de fluxo e 
o campo magnéticos. Sendo assim, no problema do cabo coaxial, tudo que 
precisamos fazer é resolver esta integral considerando os limites de 
integração apresentados anteriormente. 
Já trazendo os fatores constantes para fora teremos: 
𝐿 =
𝜇0
𝐼2
∫ ∫ ∫ (
𝐼2
4𝜋2𝑟2
) 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧
𝑏
0
2𝜋
0
=
𝜇0𝐼𝑙
2𝜋
ln
𝑏
𝑎
𝑙
0
 𝐻 
 
Indutância em toroides 
Considere agora uma distribuição toroidal, como pode ser visto na 
figura. Neste caso, o campo 𝑯 tem a direção do componente 𝜙 e a densidade 
 
 
 
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30 
de fluxo magnético para uma espira específica de seção reta 𝑆 e raio 𝑎 será 
dada por: 
𝐵𝜙 =
𝜇0𝑁𝐼
2𝜋𝜌
 
 
Se pudermos desconsiderar as dimensões da seção reta em relação 
ao raio 𝜌0. Ou seja, se as dimensões da seção reta forem muito menores que 
o raio do toroide, teremos que o fluxo magnético total será dado por: 
Φ =
𝜇0𝑁𝐼𝑆
2𝜋𝜌0
 
Agora, multiplicando o fluxo Φ pelo número de espiras para encontrar 
o enlace de fluxo 𝜆: 
𝜆 =
𝜇0𝑁
2𝐼𝑆
2𝜋𝜌0
 
Se dividirmos pela corrente teremos a indutância: 
𝐿 = 
𝜇0𝑁
2𝑆
2𝜋𝜌0
 
Mais uma vez, consideramos todo o fluxo. Essa é uma aproximação 
válida para uma bobina toroidal de muitas espiras enroladas muito próximas. 
 
 
 
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30 
Caso as espiras não estejam muito próximas, o enlace não será resultado de 
um produto de um único fluxo – será o resultado do somatório dos fluxos 
produzidos por cada uma das espiras. 
Na prática, nós usaremos grandezas empíricas, denominadas de 
fatores de enrolamento, que nos permitirão calcular a indutância devida a 
diversas geometrias de forma precisa. Contudo, podemos fazer a análise 
matemática dessa situação se partirmos da análise da energia acumulada 
para encontrar a indutância. Se o fizermos, veremos que a indutância pode 
ser encontrada apenas em função da sua geometria: 
𝐿 =
𝜇
4𝜋
∮ (∮
𝑑𝑳
𝑅
) . 𝑑𝑳 
Vamos recapitular esse conteúdo assistindo à videoaula do professor 
Frank? Acesse-a no material on-line! 
 
NA PRÁTICA 
Eficiência energética 
Os motores são os maiores vilões do consumo de energia na área 
industrial. Boa parte do consumo é desperdiçado em indutores mal 
dimensionados ou mal utilizados. 
Como podemos otimizar os motores para aumentar sua eficiência 
energética? 
O quanto o Brasil poderia economizar se todos os motores fossem 
construídos com as novas tecnologias? 
Reflita e pesquise a respeito! 
 
SÍNTESE 
 
 
 
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31 
Nossa quinta aula está chegando ao fim. 
Nela, vimos que um campo magnético exerce uma força sobre um 
condutor onde circula uma corrente. Esta força pode ser utilizada para 
produzir um movimento. Notadamente um movimento em torno de um eixo – 
base do funcionamento de todos os motores. 
Entretanto, não se engane, os motores não são todos iguais! A 
geometria dos indutores pode ser definida de forma a aumentar ou direcionar 
esta força e permite, por exemplo, criar motores planos, de corrente contínua, 
de corrente alternada e muitos outros tipos. 
Vimos, ainda, que o mesmo efeito atribuído à corrente pode ser 
utilizado para explicar a existência de materiais magnéticos ou magnetizáveis. 
Desde de que consideremos os deslocamentos dos elétrons como corrente. 
Precisamos, para isso, considerar o movimento entre átomos da mesma 
molécula, em torno do núcleo e até o movimento que o elétron faz em torno 
de simesmo. Ainda assim, a teoria eletromagnética pode ser utilizada para 
explicar o imã. 
Também vimos a energia potencial que pode ser armazenada em um 
campo magnético. Não nos demoramos muito neste ponto por que evitamos 
a física quântica e também porque tudo que precisamos é este conceito: 
Energia pode ser armazenada na forma de campos magnéticos. 
Indutor: um dos componentes passivos fundamentais da eletricidade e 
eletrônica. Nas suas próximas matérias, você verá que os indutores serão 
utilizados em filtros, transformadores, motores e solenoides. A geometria 
destes condutores será definida de forma a criar efeitos específicos para cada 
utilização. 
Agora, vamos assistir à videoaula disponível no material on-line para 
recapitular todos os conceitos que estudamos nesta aula! 
 
 
 
 
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32 
Referências 
BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: Tchenical 
Publications Pune, 2000. 
CHISHOLM, H. Ohm, Georg Simon. In: ______Encyclopædia Britannica 
Eleventh Edition. Cambridge: [s. n.], 1911. p. 34. 
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo. [S. l.]: McGraw Hill, 1979. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
JOHN D.; KRAUS, K. R. C. Eletromagnetismo. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora 
Guanabara, 1990. 
OPENSTAX – RICE UNIVERSITY. College Physics. Houston, TX, USA: Rice 
University, 2013. 
SADIKU, M. Elements of Electromagnetics. London, UK: Oxford University 
Press, 2014. 
TAFLOVE, A. Why Study Electromagnetics: The First Unit in an 
Undergraduate Electromagnetics Course. Evanston, IL, USA. 2002. 
WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. André-Marie Ampère. Wikipedia, The Free 
Encyclopedia, 2016. Disponivel em: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9-
Marie_Amp%C3%A8re?oldformat=true>. Acesso em: 18 Fev. 2016.