AP4_Amplificadores_Operacionais

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Amplificadores 
Operacionais 
 
 
E.A. 
APLICAÇÕES E PROBLEMAS 
PROF. VIVIANA RAQUEL ZURRO 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 1 Eng. Viviana Zurro MSc. 
Sumário 
APLICAÇÕES ESPECIAIS ............................................................................................................. 2 
Amplificador diferencial (subtrator) .............................................................................................. 2 
Cálculo do ganho do amplificador diferencial: .......................................................................... 3 
Amplificador de Instrumentação .................................................................................................. 4 
Cálculo do ganho da primeira etapa ........................................................................................ 5 
Conversor tensão corrente .......................................................................................................... 6 
Com carga flutuante ................................................................................................................. 6 
Com carga aterrada ................................................................................................................. 7 
PROBLEMAS COM AMPLIFICADORES OPERACIONAIS ............................................................ 9 
Referências ................................................................................................................................... 19 
 
 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 2 Eng. Viviana Zurro MSc. 
APLICAÇÕES ESPECIAIS 
Amplificador diferencial (subtrator) 
Para transdutores que convertem parâmetros físicos em sinais elétricos, amplificadores 
diferenciais são comumente usados, devido a que amplificam a diferença entre os sinais de entrada. 
Muitas vezes estes sinais provêm de um vetor no espaço que não tem nenhum dos seus extremos 
aterrado (nível 0 de tensão) como o vetor da Figura 1. Neste caso, para pegar o vetor inteiro o sinal 
diferença entre os dois extremos tem que ser amplificado (MILLMAN e HALKIAS, 1972) 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Sinal vetorial no espaço. 
A maioria dos transdutores de sinais biológicos entregam um sinal vetorial desse tipo 
(eletrocardiograma ECG, eletroencefalograma EEG, etc). Transdutores de vibração tais como 
cristais piezoelétricos, transdutores de tração – compressão (strain gages e LVDTs) e outros, 
precisam de amplificadores diferenciais, principalmente amplificadores de instrumentação que 
serão explicados na seção seguinte. 
O amplificador diferencial está mostrado no circuito da Figura 2. Para calcular o ganho de 
tensão do mesmo, consideraremos o amplificador operacional ideal aplicando os conceitos de 
massa virtual. 
 
Figura 2: Circuito de um amplificador diferencial com amplificador operacional. 
GND 
v1 
v2 
Sinal vetorial: 
𝛥𝑣 = 𝑣2 − 𝑣1 
𝑖 
 
 
 
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Cálculo do ganho do amplificador diferencial: 
Considerando um divisor de tensão na entrada não inversora v+, e sendo a tensão na entrada 
inversora (v-) igual a v+ por massa virtual: 
 𝑣+ = 𝑣2 (
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
) = 𝑣− (1) 
A corrente i proveniente do gerador de sinal v1 circula como indicado na Figura 2, como não 
há circulação de corrente na entrada inversora do amplificador, a corrente passa diretamente para 
a saída do mesmo (mesmo não tendo carga a corrente retorna a terra entrando no amplificador, 
portanto há circulação de corrente mesmo sem carga): 
 𝑖 =
𝑣1 − 𝑣
−
𝑅1
=
𝑣− − 𝑣𝑜
𝑅2
 (2) 
Trabalhando com a equação (2): 
𝑣1 − 𝑣
−
𝑅1
=
𝑣− − 𝑣𝑜
𝑅2
 
(𝑣1 − 𝑣
−)
𝑅2
𝑅1
= 𝑣− − 𝑣𝑜 
𝑣1
𝑅2
𝑅1
− 𝑣−
𝑅2
𝑅1
− 𝑣− = −𝑣𝑜 
𝑣1
𝑅2
𝑅1
− 𝑣− (
𝑅2
𝑅1
+ 1) = −𝑣𝑜 
 𝑣1
𝑅2
𝑅1
− 𝑣− (
𝑅2 + 𝑅1
𝑅1
) = −𝑣𝑜 (3) 
Substituindo a equação (1) na equação (3): 
𝑣1
𝑅2
𝑅1
− 𝑣2 (
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
) (
𝑅2 + 𝑅1
𝑅1
) = −𝑣𝑜 
𝑣1
𝑅2
𝑅1
− 𝑣2
𝑅2
𝑅1
= −𝑣𝑜 
(𝑣2 − 𝑣1)
𝑅2
𝑅1
= 𝑣𝑜 
Portanto: 
 𝑨𝑽 =
𝒗𝒐
(𝒗𝟐 − 𝒗𝟏)
=
𝑹𝟐
𝑹𝟏
 (4) 
Para que o amplificador seja exato, os resistores têm que ser exatamente iguais (os dois R2 
têm que ter exatamente o mesmo valor, e os R1 também). Como mostra a fórmula do ganho, a 
entrada é diferencial e a saída é em modo comum. Na Figura 3 são apresentados os sinais de 
entrada e o sinal de saída equivalente à diferença dos sinais de entrada. 
 
 
 
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Figura 3: Sinais no amplificador diferencial: 𝑣1 sinal de entrada 1 (verde), v2 sinal de 
entrada 2 (azul), 𝑣𝑜 sinal de saída proporcional a 𝑣2 − 𝑣1 (vermelho). 
Amplificador de Instrumentação 
Este amplificador é muito usado para sensores e transdutores que precisam de altíssima 
impedância de entrada que geralmente tem sinal de saída extremamente pequeno (dos poucos µV 
até alguns mV). O amplificador de instrumentação é constituído por dois amplificadores na entrada 
formando um par (primeira etapa) com entrada e saída diferencial acoplados a uma segunda etapa 
constituída por um amplificador diferencial com saída em modo comum e pode ter ganho de tensão 
muito alto. 
Os amplificadores reais geram uma tensão de saída diferente de zero mesmo estando as 
duas entradas com o mesmo potencial (modo comum). Isto é devido a que as entradas nunca são 
perfeitamente simétricas. Existe um parâmetro que permite verificar quão “imune” é o amplificador 
a esse sinal de modo comum. Este parâmetro se chama Relação de Rejeição de Modo Comum – 
RRMC (CMRR pela usa sigla em inglês). Quanto maior for este parâmetro, nelhor é o amplificador. 
O amplificador de instrumentação, além de apresentar um ganho elevado, apresenta alta 
rejeição a tensões de modo comum. Outra vantagem é que o ganho é ajustável apenas com um 
resistor (R1 na Figura 4). A Figura 4 mostra o circuito de um amplificador de instrumentação. A 
primeira etapa, constituída pelos amplificadores operacionais AO1 e AO2 apresenta altíssima 
impedância de entrada, com entrada diferencial e saída diferencial e é responsável pelo ganho. A 
segunda etapa constituída pelo amplificador AO3 representa um amplificador com entrada 
diferencial e saída em modo comum (explicado na seção anterior) responsável pela RRMC. Para 
que a RRMC seja alta, os amplificadores de instrumentação são comercializados em um único 
circuito integrado (CI) (ALEXANDER e SADIKU, 2006). 
 
 
 
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Figura 4: Circuito amplificador de instrumentação. 
Cálculo do ganho da primeira etapa 
Considerando os amplificadores ideais, v+=v- nos dois amplificadores, portanto 
 𝑣1 = 𝑣1
+ = 𝑣1
− e 𝑣2 = 𝑣2
+ = 𝑣2
− (5) 
A corrente 𝒊 proveniente da saída do AO2 circula como indicado na Figura 4, como não há 
circulação de corrente nas entradas inversoras dos amplificadores, a corrente passa diretamente 
para a saída do AO1: 
Portanto segundo as Leis de Kirchoff: 
 𝑣𝑜2 − 𝑣𝑜1 = 𝑖(𝑅2 + 𝑅1 + 𝑅2) = 𝑖(𝑅1 + 2𝑅2) (6) 
Verificando a equação (4) temos que: 
 𝑣2
− − 𝑣1
− = 𝑖. 𝑅1 (7) 
Como a função do ganho (função de transferência) é saída por entrada: 
 𝐴𝑉1 =
𝑣𝑜2 − 𝑣𝑜1
𝑣2
− − 𝑣1
− =
𝑖(𝑅1 + 2𝑅2)
𝑖. 𝑅1
=
𝑅1 + 2𝑅2
𝑅1
= 1 + 2
𝑅2
𝑅1
 (8) 
O ganho da segunda etapa é definido pela fórmula (4) substituindo R2 por R4 e R1 por R3. 
 𝐴𝑉2 =
𝑅4
𝑅3
 (9) 
Como o ganho total do amplificador é igual ao produto dos ganhos individuais: 
 𝑨𝑽𝑻 =
𝒗𝒐
𝒗𝟐
− − 𝒗𝟏
− = 𝑨𝑽𝟏. 𝑨𝑽𝟐 = (𝟏 + 𝟐
𝑹𝟐
𝑹𝟏
) .
𝑹𝟒
𝑹𝟑
 (10) 
Para que o amplificador seja exato, os resistores têm que ser exatamente iguais (os R2, R3 e 
R4 têm que ter exatamente o mesmo valor). Como mostra a fórmula do ganho, a entrada é diferencial 
Primeira etapa Segunda etapa 
𝑖 
 
 
 
 
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e a saída é em modo comum. Na Figura 5 são apresentados os sinais de entrada e o sinal de saídaequivalente à diferença dos sinais de entrada. 
 
Figura 5: Sinais no amplificador diferencial: 𝑣1 sinal de entrada 1 (verde), v2 sinal de 
entrada 2 (azul), 𝑣𝑜 sinal de saída proporcional a 𝑣2 − 𝑣1 (vermelho). 
Conversor tensão corrente 
Muitas vezes é necessário converter uma tensão numa corrente. A maioria dos sensores 
fornecem tensões de saída, mas existem alguns dispositivos nos quais a aquisição de dados é feita 
no modo corrente. Os CLPs (Controlador Lógico Programável, do inglês PLC Programmable Logic 
Controller) são dispositivos de automação onde a aquisição de dados é por corrente. Para que estes 
dispositivos consigam processar sinais de tensão dos sensores, será necessária uma interface de 
conversão entre eles para transformar essa tensão numa corrente que possa ser processada pelo 
CLP. 
Estas interfaces de conversão podem ser implementadas usando amplificadores operacionais 
(BRAGA). Nas seções a seguir serão apresentados dois tipos de conversores tensão – corrente. 
Com carga flutuante 
Neste tipo de conversor, a carga não está aterrada. O circuito é bem simples e a corrente de 
saída será proporcional à tensão de entrada. A Figura 6 mostra o circuito deste conversor. 
Considerando o AOP ideal e usando o conceito de massa virtual: 
𝑣+ = 𝑣− = 𝑣𝑠 
Por Lei de Ohm e como não há circulação de corrente na entrada do amplificador (𝐼− = 0): 
 𝒊𝑳 =
𝒗−
𝑹
=
𝒗𝒔
𝑹
 (11) 
 
 
 
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Sendo a carga representada por ZL, com a equação (11) é possível verificar que a corrente 
na carga será proporcional à tensão de entrada sem importar o valor da carga. 
 
Figura 6: Conversor tensão – corrente com carga flutuante. 
Com carga aterrada 
Neste conversor a carga está aterrada, e a corrente que circula por ela depende somente da 
tensão de entrada e da R3. Na Figura 7 é possível ver o circuito deste conversor. 
 
Figura 7: Conversor tensão – corrente com carga aterrada. 
Considerando o AOP ideal e usando o conceito de massa virtual: 
𝑣+ = 𝑣− 
Trabalhando com a corrente 𝑖1: 
 𝑖1 =
𝑣𝑠 − 𝑣
−
𝑅1
=
𝑣− − 𝑣𝑜
𝑅2
 (12) 
𝑖𝐿 
 
𝑖1 
 
𝑖4 
 
𝑖3 
 
𝑖𝐿 
 
𝑣𝑠 
𝐼− 
 
 
 
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𝑣𝑠
𝑅1
−
𝑣−
𝑅1
=
𝑣−
𝑅2
−
𝑣𝑜
𝑅2
 (13) 
 
𝑣𝑜
𝑅2
= 𝑣− (
1
𝑅1
+
1
𝑅2
) −
𝑣𝑠
𝑅1
 (14) 
 𝑣𝑜 = 𝑣
− (
𝑅2
𝑅1
+ 1) − 𝑣𝑠
𝑅2
𝑅1
 (15) 
Trabalhando com as correntes i3, i4 e iL: 
𝑖4 = 𝑖𝐿 + 𝑖3 
 
𝑣𝑜 − 𝑣
+
𝑅4
=
𝑣+
𝑅𝐿
+
𝑣+
𝑅3
 (16) 
 
𝑣𝑜
𝑅4
= 𝑣+ (
1
𝑅4
+
1
𝑅𝐿
+
1
𝑅3
) (17) 
 𝑣𝑜 = 𝑣
+ (1 +
𝑅4
𝑅3
) + 𝑣+.
𝑅4
𝑅𝐿
 (18) 
Considerando: 
𝑅2
𝑅1
=
𝑅4
𝑅3
 
Igualando a equação (15) com a equação (18): 
 𝑣𝑜 = 𝑣
− (
𝑅2
𝑅1
+ 1) − 𝑣𝑠
𝑅2
𝑅1
= 𝑣+ (1 +
𝑅4
𝑅3
) + 𝑣+.
𝑅4
𝑅𝐿
 (19) 
 −𝑣𝑠
𝑅2
𝑅1
= 𝑣+.
𝑅4
𝑅𝐿
.
𝑅3
𝑅3
 (20) 
−𝑣𝑠
𝑅2
𝑅1
= 𝑣+.
𝑅4
𝑅3
.
𝑅3
𝑅𝐿
 
 −𝑣𝑠 = 𝑣
+.
𝑅4
𝑅3
𝑅3
𝑅𝐿
 (21) 
 𝑣+ = −𝑣𝑠.
𝑅𝐿
𝑅3
 (22) 
 𝑖𝐿 =
𝑣+
𝑅𝐿
= −𝑣𝑠.
𝑅𝐿
𝑅3
.
1
𝑅𝐿
 (23) 
Portanto: 
 𝒊𝑳 = −
𝒗𝒔
𝑹𝟑
 (24) 
 
 
 
 
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PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Dica: 
Antes de começar a calcular os circuitos, verificar a configuração em que o amplificador se 
encontra. Amplificadores inversores e não inversores tem ganho fixo determinado pelos resistores 
externos de realimentação e de entrada. No caso de não conseguir identificar a configuração ou de 
não ser possível aplicar as fórmulas de ganho, considerar o amplificador como ideal, diferença de 
potencial zero entre as entradas inversora e não inversora, e sem corrente nas entradas. 
1. AP4 Problema 1 Sendo 𝑣𝑖1 = 2𝑉 e 𝑣𝑖2 = 4𝑉 calcule a tensão de saída 𝑣𝑜 do circuito. 
 
Resolução: 
Este circuito é um amplificador diferencial (subtrator), mas como R2≠R3 e R1≠R4 não poderá 
ser resolvido aplicando a fórmula do amplificador diferencial devido a que cada uma das entradas 
terá um ganho diferente. Deverá ser resolvido passo a passo considerando as condições de um 
amplificador ideal. 
Aplicando divisor de tensão em 𝑣+ 
 𝑣+ = 𝑣𝑖2
𝑅3
𝑅3 + 𝑅4
= 4𝑉
3𝑘
3𝑘 + 500
= 3,42𝑉 = 𝑣− (25) 
Como a tensão em 𝑣− é maior que a tensão 𝑣𝑖1 a corrente 𝑖1 circula no sentido indicado pela seta. 
 𝑖1 =
𝑣− − 𝑣𝑖1
𝑅1
=
1,42𝑉
1𝑘
= 1,42𝑚𝐴 (26) 
Mas como: 
 𝑖1 =
𝑣𝑜 − 𝑣
−
𝑅2
=
𝑣𝑜 − 3,42
5𝑘
 (27) 
 1,42𝑚𝐴. 5𝑘 = 𝑣𝑜 − 3,42 (28) 
Portanto: 
𝒗𝒐 = 𝟓𝑽+ 𝒗
− = 𝟏𝟎, 𝟓𝟐𝑽 
𝑖1 
 
 
 
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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. AP4 Problema 2 Para o circuito da figura calcular a tensão de saída considerando 𝑣𝑖1 = 4𝑉 
e 𝑣𝑖2 = 1𝑉. 
 
Resolução: 
Este circuito é um amplificador diferencial (subtrator), mas como não tem resistores na entrada 
não inversora não poderá ser resolvido aplicando a fórmula do amplificador diferencial. Deverá ser 
resolvido passo a passo considerando as condições de um amplificador ideal. 
 
𝑣𝑖2 = 𝑣
+ = 𝑣− = 1𝑉 (29) 
Como 𝑣𝑖1 > 𝑣
−, as correntes circulam nos sentidos indicados pelas setas. 
 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 (30) 
 𝑖1 =
𝑣𝑖1 − 𝑣1
𝑅4
=
4𝑉 − 𝑣1
1𝑘
 (31) 
 𝑖2 =
𝑣1
𝑅3
=
𝑣1
3𝑘
 (32) 
 𝑖3 =
𝑣1 − 𝑣
−
𝑅1
=
𝑣1 − 1𝑉
1𝑘
 (33) 
Trabalhando com as equações 30 a 33: 
 4𝑉 − 𝑣1
1𝑘
=
𝑣1
3𝑘
+
𝑣1 − 1𝑉
1𝑘
 (34) 
 4𝑉 − 𝑣1 =
𝑣1
3
+ 𝑣1 − 1𝑉 (35) 
Portanto: 
 
5𝑉 =
𝑣1
3
+ 𝑣1 + 𝑣1 = 𝑣1. (2 +
1
3
) = 𝑣1. 2,33 (36) 
𝑖1 
𝑖2 
 
𝑖3 
 
𝑣1 
 
 
 
 
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𝑣1 =
5𝑉
2,33
≅ 2,14𝑉 (37) 
Como não tem corrente entrando na entrada inversora do amplificador, a corrente 𝑖3que 
circula por R1 é a mesma que circula por R2. Portanto: 
 
𝑖3 =
𝑣1 − 𝑣
−
1𝑘
=
1,14𝑉
1𝑘
= 1,14𝑚𝐴 (38) 
 
𝑖3 =
𝑣− − 𝑣𝑜
𝑅2
=
1 − 𝑣𝑜
5𝑘
= 1,14𝑚𝐴 (39) 
Então: 
 −𝑣𝑜 = 1,14𝑚𝐴. 5𝑘 − 1 = 4,71𝑉 (40) 
Portanto: 
 𝒗𝒐 = −𝟒, 𝟕𝟏𝑽 (41) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Considerando que a tensão de saída 𝑣𝑜 = 5𝑉 calcular a tensão de entrada. 
 
Resolução: 
Este circuito está composto por duas etapas bem definidas, portanto podem ser usadas a 
equações de ganho de tensão definidas para cada configuração. A segunda etapa (AO2) está em 
configuração de amplificador não inversor e a primeira etapa (AO1) está em configuração de 
amplificador inversor. 
Segunda etapa, o sinal entra em 𝑣2
+: 
 
𝐴𝑉2 =
𝑣𝑜
𝑣2
+ = 1 +
𝑅4
𝑅3
= 1 +
3𝑘
1𝑘
= 4 (42) 
 
 
 
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𝑣2
+ = 𝑣𝑜1 =
𝑣𝑜
𝐴𝑉2
=
5𝑉
4
= 1,25𝑉 (43) 
Primeira etapa, o sinal de saída desta etapa é o sinal de entrada 𝑣2
+ calculado na seção anterior: 
 
𝐴𝑉1 =
𝑣𝑜1
𝑣𝑖
= −
𝑅2
𝑅1
= −
5𝑘
1𝑘
= −5 (44) 
Então: 
 
𝒗𝒊 =
𝒗𝒐𝟏
𝑨𝑽𝟏
=
𝟏, 𝟐𝟓𝑽
−𝟓
= −𝟐𝟓𝟎𝒎𝑽 (45) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. AP4 Problema 3 Dadas as condições do circuito calcular a tensão 𝑣. 
 
Resolução: 
Neste caso o AO1 está na configuração de amplificador inversor, mas como tem uma tensão 
na entrada não inversora ele vai ter que ser calculado passo a passo considerando essa tensão. O 
AO2 está na configuração de seguidor (buffer). 
Primeira etapa: 
 𝑣1
+ = 12𝑉 = 𝑣1
− (46) 
Como 𝑣1
− é maior que -6V, a corrente 𝑖1 circula no sentido indicado pela seta. 
 
𝑖1 =
𝑣1
− − (−6𝑉)
𝑅2
=
12𝑉 + 6𝑉
22𝑘
= 818,18µ𝐴 (47) 
 
𝑖1 =
𝑣𝑜1 − 𝑣1
−
𝑅3
 (48) 
Portanto: 
𝑖1 
𝑖2 
 
𝐼− 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 13 Eng. Viviana Zurro MSc. 
 𝑣𝑜1 = 𝑖1. 𝑅3 + 𝑣1
− = 818,18µ𝐴. 33𝑘 + 12𝑉 = 39𝑉 (49) 
Segunda etapa, 𝐼− = 0, então não tem quedade tensão no resistor R6 (de 100k), portanto: 
 𝑣2
+ = 𝑣2
− = 𝑣𝑜2 = 1,8𝑉 (50) 
Então: 
 
𝑖2 =
𝑣𝑜1 − 𝑣𝑜2
𝑅4 + 𝑅5
=
39𝑉 − 1,8𝑉
1𝑘8 + 2𝑘2
= 9,3𝑚𝐴 (51) 
 𝒗 = 𝒗𝒐𝟏 − 𝑰𝟐. 𝑹𝟒 = 𝟑𝟗𝑽 − 𝟗, 𝟑𝒎𝑨. 𝟏𝒌𝟖 = 𝟐𝟐, 𝟐𝟔𝑽 (52) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. Calcular a tensão de entrada do AO2 para que 𝑣𝑜 = 15𝑉. Sendo que 𝑣𝑖1 = 0,5𝑉. 
 
Resolução: 
Este circuito está composto por três etapas bem definidas, portanto podem ser usadas a 
equações de ganho de tensão definidas para cada configuração. O AO1 e o AO2 estão em 
configuração de amplificador inversor, e o AO3 em configuração de amplificador somador. 
AO1: 
 
𝐴𝑉1 =
𝑣𝑜1
𝑣𝑖1
= −
𝑅2
𝑅1
= −
5𝑘
1𝑘
= −5 (53) 
 𝑣𝑜1 = 𝐴𝑉1. 𝑣𝑖1 = −5.0,5𝑉 = −2,5𝑉 (54) 
AO3: 
 
𝐴𝑉31 =
𝑣𝑜
𝑣𝑜1
= −
𝑅7
𝑅5
= −
2𝑘
1𝑘
= −2 (55) 
 
𝐴𝑉32 = −
𝑣𝑜
𝑣𝑜2
= −
𝑅7
𝑅6
= −
2𝑘
1𝑘
= −2 (56) 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 14 Eng. Viviana Zurro MSc. 
 𝑣𝑜 = 𝐴𝑉31. 𝑣𝑜1 + 𝐴𝑉32. 𝑣𝑜2 (57) 
 15𝑉 = −2. (−2,5𝑉) − 2. 𝑣𝑜2 (58) 
 15𝑉 = 5𝑉 − 2. 𝑣𝑜2 (59) 
 
𝑣𝑜2 =
5𝑉 − 15𝑉
2
= −5𝑉 (60) 
AO2: 
 
𝐴𝑉2 =
𝑣𝑜2
𝑣𝑖2
= −
𝑅4
𝑅3
= −
3𝑘
1𝑘
= −3 (61) 
 
𝒗𝒊𝟐 =
𝒗𝒐𝟐
𝑨𝑽𝟐
=
−𝟓𝑽
−𝟑
= 𝟏, 𝟔𝟔𝑽 (62) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
6. Se 𝑣𝑖 = 2𝑉 qual é o valor de R3 que deve ser colocado para que 𝑣𝑜 = −19𝑉? 
 
Resolução: 
Este circuito é basicamente um amplificador inversor, mas devido ao resistor R3 o problema 
deverá ser calculado passo a passo. 
 𝑣+ = 𝑣− = 0𝑉 (63) 
 
𝑖1 =
𝑣𝑖 − 𝑣
−
𝑅1
=
2𝑉
1𝑘
= 2𝑚𝐴 (64) 
 
𝑖1 =
𝑣− − 𝑣1
𝑅2
=
−𝑣1
5𝑘
 (65) 
 𝑣1 = −𝐼1. 5𝑘 = −2𝑚𝐴. 5𝑘 = −10𝑉 (66) 
 𝑖1 + 𝑖3 = 𝑖2 (67) 
𝑣1 
𝑖1 
𝑖2 
𝑖3 
 
 
 
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𝑖2 =
𝑣1 − 𝑣𝑜
𝑅4
=
−10𝑉 − (−19𝑉)
3𝑘
= 3𝑚𝐴 (68) 
Da equação (67): 
 𝑖3 = 𝑖2 − 𝑖1 = 3𝑚𝐴 − 2𝑚𝐴 = 1𝑚𝐴 (69) 
 
𝑖3 =
0 − 𝑣1
𝑅3
=
10
𝑅3
 (70) 
Portanto: 
 
𝑹𝟑 =
𝟏𝟎𝑽
𝒊𝟑
= 𝟏𝟎𝒌Ω (71) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
7. Sendo 𝑣𝑖1 = 1𝑉 calcular a tensão de saída nas condições indicadas. 
 
Resolução: 
Este circuito está composto por duas etapas bem definidas, portanto podem ser usadas a 
equações de ganho de tensão definidas para cada configuração. O AO1 está em configuração de 
amplificador inversor e o AO2 em configuração de não inversor. 
AO1: 
 
𝐴𝑉1 =
𝑣𝑜1
𝑣𝑖1
= −
𝑅2
𝑅1
= −
5𝑘
1𝑘
= −5 (72) 
 𝑣𝑜1 = 𝐴𝑉1. 𝑣𝑖1 = −5.1𝑉 = 𝑣2
+ = −5𝑉 (73) 
AO2: 
 
𝐴𝑉2 =
𝑣𝑜2
𝑣2
+ = 1 +
𝑅4
𝑅3
= 1 +
3𝑘
1𝑘
= 4 (74) 
+ 
𝑣𝑜1 
- 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 16 Eng. Viviana Zurro MSc. 
 𝑣𝑜2 = 𝐴𝑉2. 𝑣2
+ = 4. (−5𝑉) = −20𝑉 (75) 
 𝒗𝒐 = 𝒗𝒐𝟐 − 𝒗𝒐𝟏 = −𝟐𝟎𝑽 − (−𝟓𝑽) = −𝟏𝟓𝑽 (76) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
8. Qual é o valor de R5 que deve ser colocado para que 𝑣𝑜 = −30𝑉? 
 
Resolução: 
Este circuito está composto por três etapas bem definidas, portanto podem ser usadas a 
equações de ganho de tensão definidas para cada configuração. O AO1 está em configuração de 
amplificador inversor, o AO2 e o AO3 em configuração de amplificador não inversor. Neste caso 
podem ser usadas as equações de ganho dos amplificadores correspondentes. Como nos 
resistores R3 e R8 não circula corrente, não haverá queda de tensão neles, portanto a tensão de 
entrada do AO2 será igual à tensão de saída do AO1, e a tensão de entrada do AO3 será igual à 
tensão de saída do AO2. 
AO1, amplificador inversor: 
 
𝐴𝑉1 =
𝑣𝑜1
𝑣1
= −
𝑅2
𝑅1
= −
3𝑘3
1𝑘
= −3,3 (77) 
 𝑣𝑜1 = 𝐴𝑉1. 𝑣1 = −3,3.0,5𝑉 = −1,65𝑉 (78) 
AO3, amplificador não inversor, não circula corrente por R8, portanto: 
 𝑣𝑜2 = 𝑣𝑖3 (79) 
 
𝐴𝑉3 =
𝑣𝑜
𝑣𝑖3
= 1 +
𝑅7
𝑅6
= 1 +
82𝑘
22𝑘
= 4,72 (80) 
Então: 
 −30𝑉
𝑣𝑖3
= 4,72 (81) 
Portanto: 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 17 Eng. Viviana Zurro MSc. 
 
𝑣𝑖3 =
−30𝑉
4,72
= −6,35𝑉 (82) 
AO2, amplificador não inversor, não circula corrente por R3, portanto: 
 𝑣𝑜1 = 𝑣𝑖2 (83) 
 
𝐴𝑉2 =
𝑣𝑜2
𝑣𝑖2
=
−6,35
−1,65
= 3,84 (84) 
 
𝐴𝑉2 =
𝑣𝑜2
𝑣𝑖2
= 1 +
𝑅5
𝑅4
= 3,84 (85) 
Então: 
 𝑅5
𝑅4
= 3,84 − 1 (86) 
 𝑹𝟓 = 𝟐,𝟖𝟒. 𝑹𝟒 = 𝟔, 𝟐𝟓𝒌Ω (87) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
9. AP4 Problema 4 O amplificador diferencial da figura tem uma resistência de perda RP=1k 
que atrapalha o funcionamento normal do circuito. Considerando essas condições, qual seria 
o valor da tensão de saída 𝑣𝑜? 
 
Resposta: 
A configuração deste circuito é de amplificador diferencial, mas devido a RP será necessário 
calcular passo a passo. Neste caso não pode ser aplicada a equação do amplificador diferencial. O 
primeiro passo será colocar os sentidos das correntes considerando a maior tensão de entrada. 
 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 (88) 
 
𝑖 =
5 − 𝑣1
𝑅3
 (89) 
𝑖1 
𝑖2 
𝑖3 𝑖4 
𝑖 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 18 Eng. Viviana Zurro MSc. 
 
𝑖1 =
𝑣1 − 𝑣
−
𝑅𝑃
 (90) 
 𝑖2 =
𝑣1
𝑅4 + 𝑅5
 (91) 
Substituindo as equações (89), (90) e (91) na equação (88): 
 5 − 𝑣1
𝑅3
=
𝑣1 − 𝑣
−
𝑅𝑃
+
𝑣1
𝑅4 + 𝑅5
 (92) 
 5 − 𝑣1
1𝑘
=
𝑣1 − 𝑣
−
1𝑘
+
𝑣1
2𝑘 + 2𝑘
 (93) 
 5 − 𝑣1
1𝑘
=
𝑣1 − 𝑣
−
1𝑘
+
𝑣1
4𝑘
 (94) 
Multiplicando os dois termos por 1k: 
 
5 − 𝑣1 = 𝑣1 − 𝑣
− +
1
4
𝑣1 (95) 
Trabalhando com a equação (95); 
 
5𝑉 = 𝑣1 + 𝑣1 − 𝑣
− +
1
4
𝑣1 = 2,25. 𝑣1 − 𝑣
− (96) 
Aplicando divisor de tensão na entrada não inversora do AO: 
 
𝑣+ = 𝑣1
𝑅5
𝑅4 + 𝑅5
= 𝑣− (97) 
 
𝑣− = 𝑣1
2𝑘
2𝑘 + 2𝑘
= 0,5. 𝑣1 (98) 
Substituindo a equação (98) na equação (96): 
 5𝑉 = 2,25. 𝑣1 − 0,5. 𝑣1 (99) 
 5𝑉 = 1,75. 𝑣1 (100) 
Portanto: 
 𝑣1 = 2,85𝑉 (101) 
 𝑣− = 0,5. 𝑣1 = 1,43𝑉 (102) 
As correntes necessárias para calcular 𝑣𝑜 são 𝑖1, 𝑖3 e 𝑖4: 
Substituindo os valores na equação (90): 
 
𝑖1 =
𝑣1 − 𝑣
−
𝑅𝑃
=
2,85 − 1,43
1𝑘
= 1,42𝑚𝐴 (103) 
 
 
 
AP4 Amplificadores Operacionais 19 Eng. Viviana Zurro MSc. 
 
𝑖3 =
𝑣− − 1𝑉
𝑅1
=
1,43 − 1
1𝑘
= 430µ𝐴 (104) 
 𝑖1 = 𝑖3 + 𝑖4 (105) 
Portanto: 
 𝑖4 = 𝑖1 − 𝑖3 = 1,42𝑚𝐴 − 430µ𝐴 ≅ 1𝑚𝐴 (106) 
Então: 
𝑣𝑜 = 𝑣
− − 𝑖4. 𝑅2 = 1,42𝑉 − 1𝑚𝐴. 4𝑘𝛺 
𝒗𝒐 = −𝟐,𝟓𝟖𝑽 
Todos os circuitos e simulações foram projetados e simulados usando o software online 
Multisim (NATIONAL INSTRUMENTS, 2016). 
Referências 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. Tradução de 
Gustavo Guimarães Parma. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
BRAGA, N. C. Conversão tensão para corrente (ART127). Instituto Newton C Braga. Disponivel 
em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/eletronica/57-artigos-e-projetos/892-conversao-
tensao-para-corrente-art127>. 
MILLMAN, J.; HALKIAS, C. C. Integrated Electronics: Analog and Digital Circuits and Systems. 
Tokyo: McGraw-Hill, 1972. 
NATIONAL INSTRUMENTS. MultisimLive. Beta Multisim, 2016. Disponivel em: 
<https://beta.multisim.com/>.