Medidas de Tendência e Posição em Estatística

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Estatística e Probabilidade
Prof. Me. Diego Souza
Medidas de Tendência, Posição e Separatrizes
O estudo que fizemos sobre distribuições de frequência, até
agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos dos
valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos
localizar a maior concentração de valores de uma dada
distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no
final, ou, ainda, se há uma distribuição por igual. Para ressaltar,
porém, as tendências características de cada distribuição,
isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos
introduzir conceitos que se expressem através de números, que
nos permitam traduzir essas tendências.
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Média
A medida de tendência central mais popular é a que o leigo
chama de “média” e o Estatístico denomina média aritmética ou,
também, simplesmente média. A média é definida como: A
média de n números é sua soma dividida por n.
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖
𝑛
Com esta fórmula iremos calcular a média, apenas quando se
tratar de dados brutos, ou seja, não agrupados.
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Média
• A média pode ser calculada para qualquer conjunto de dados
numéricos e, portanto, sempre existe.
• Qualquer conjunto de dados numéricos tem uma, e uma só,
média e, portanto, é sempre única.
• A média se presta a outros tratamentos estatísticos; por
exemplo, como veremos, as médias de vários conjuntos de
dados podem ser sempre combinadas em uma média global
de todos os dados.
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Média
• A média é relativamente confiável, no sentido de que as
médias de amostras repetidas extraídas da mesma população
geralmente não flutuam, ou variam, tanto quanto outras
medidas estatísticas usadas para estimar a média de uma
população.
• A média leva em conta todos os elementos de um conjunto
de dados.
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Média
Nove alunos de um colégio que foram numa excursão ao
zoológico têm 18, 16, 16, 17, 18, 15, 17, 17 e 17 anos de idade e
o professor de Biologia que os acompanhou tem 49. Qual é a
idade média das dez pessoas na excursão?
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖
𝑛
= ҧ𝑥 =
18 + 16 + 16 + 17 + 18 + 15 + 17 + 17 + 17 + 49
10
= 20
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Média
Observe, entretanto, que qualquer afirmação que se refira à
idade média dos participantes da excursão como sendo de 20
anos pode ser facilmente mal interpretada. Para evitar a
possibilidade de sermos induzidos ao erro por algum valor
extremo (muito pequeno ou muito grande), pode ser
recomendável omitir um tal dado estranho (o 49 de nosso
exemplo), ou então usar uma outra medida estatística que não a
média.
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Média Ponderada
Quando calculamos uma média e as grandezas em jogo não têm
todas a mesma importância ou a mesma significância, podemos
muito bem não estar obtendo uma medida estatística que nos
diga o que estamos esperando descrever. Em outras palavras,
podemos estar obtendo um resultado totalmente inútil.
ҧ𝑥 =
σ𝑤 ∗ 𝑥𝑖
σ𝑤
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Média Ponderada
Considere o seguinte exemplo:
A cada quarta-feira, uma rede de supermercados (e
presumivelmente outras redes também) anuncia suas ofertas
especiais da semana, e nesta semana as ofertas incluem carne
moída R$ 9,99 por Kg, contrafilé a R$ 14,99 por Kg e picanha a
R$ 27,99 por Kg. Calcule o preço médio por quilograma desses
três tipos de carne, sabendo que o supermercado vendeu 83,52
kg de carne moída, 140,72 kg de contrafilé e 35,60 kg de
picanha.
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Média Ponderada
Resolução:
ҧ𝑥 =
σ𝑤 ∗ 𝑥𝑖
σ𝑤
=
9,99 ∗ 83,52 + 14,99 ∗ 140,72 + 27,99 ∗ 35,60
83,52 + 140,72 + 35,60
= 15,16
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Média para dados agrupados
Sem intervalos de classe
Neste caso, como as frequências são números indicadores da
intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como
fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média
aritmética ponderada, dada pela fórmula:
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖 ∗ 𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
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Média para dados agrupados
Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em
um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto
médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio
da fórmula:
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖 ∗ 𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
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Moda
Outra medida estatística por vezes utilizada para descrever o
meio ou o centro de um conjunto de dados é a moda, definida
simplesmente como o valor ou categoria que ocorre com a
maior frequência e mais do que uma vez. As duas vantagens
principais da moda são que não exige cálculo algum, apenas uma
contagem, e que pode ser determinada tanto para dados
numéricos quanto para categóricos.
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Moda
Quando lidamos com valores não agrupados, a moda é
facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição,
procurar o valor que mais se repete.
• Amostras ou dados amodais
• Amostras ou dados bimodais
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Moda: dados agrupados
Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar
imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior
frequência.
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Moda: dados agrupados
Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe
modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso,
é o valor dominante que está compreendido entre os limites da
classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda
consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse
valor a denominação de moda bruta.
𝑀𝑜 =
𝑙 + 𝐿
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Moda: dados agrupados
• Lh = limite inferior da classe modal.
• a = amplitude do intervalo de classe.
• fh = frequência da classe modal.
• f(h–1) = frequência da classe anterior à classe modal.
• f(h+1) = frequência da classe posterior à classe modal.
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Moda: quando usar a moda?
• Quando desejamos obter uma medida rápida E aproximada
de posição;
• Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da
distribuição.
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Mediana
Para evitar a possibilidade de sermos enganados por um ou alguns
valores muito pequenos ou muito grandes, ocasionalmente
descrevemos o “meio” ou “centro” de um conjunto de dados com
outras medidas estatísticas que não a média. Uma dessas, a mediana
de n valores, requer que primeiro ordenemos os dados de acordo com
seu tamanho. Então definimos a mediana como:
A mediana é o valor do elemento do meio se n é ímpar, e a média dos 
dois valores do meio se n é par.
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Mediana
• O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento
da série, como vimos.
• Quando o número de elementos da série é ímpar, há
coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando esse
número é par.
• A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o
mesmo valor.
• A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano.
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Mediana
Para dados agrupados – sem intervalos de classe
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo
da mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados
não agrupados, implicando, porém, a determinação prévia das
frequências acumuladas. Ainda aqui, temos de determinar um valor tal
que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo
número de elementos. Neste caso, é o bastante identificar a
frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das
frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde
a tal frequência acumulada.
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Mediana
Para dados agrupados – com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do
intervalo em que está compreendida a mediana. Para tanto,
temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a
mediana. Feito isto, um problema de interpolação resolve a
questão, admitindo-se, agora, que os valores se distribuam
uniformemente em todo o intervalo de classe. Outro método de
cálculo da mediana é utilizando a fórmula a seguir:
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Mediana
𝑴𝒅 = 𝒍 +
𝒂
𝒇𝒉
( ൗ𝒏 𝟐 ∗ 𝑭𝒉−𝟏)
• Md = mediana.
• l = limite inferior da classe que contém a mediana.
• a = amplitude do intervalo de classe.
• fh = frequência da classe que contém a mediana.
• n = número de dados no conjunto.
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Mediana: quando usar?
• Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes 
iguais;
• Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a 
média;
• A variávelem estudo é salário.
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Qual medida usar?
• A escolha da medida a ser utilizada para representar um
conjunto de dados dependerá do objetivo da pesquisa e da
forma em que se apresentam os dados a serem estudados.
• A média não faz sentido para descrever dados qualitativos,
como, por exemplo, o grau de satisfação dos clientes com os
serviços prestados.
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Qual medida usar?
• A mediana pode ser mais adequada, quando existe uma
grande variabilidade entre os dados quantitativos. E a moda é
adequada quando se pretende lançar um produto novo no
mercado, pois nesse caso estamos preocupados em pesquisar
as necessidades da maioria das pessoas interessadas no
produto.
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Outras medidas de 
posição/separatrizes
Quartis, decis e percentis
Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em
quatro partes iguais, com o mesmo número de elementos, de tal
forma que cada intervalo do quartil contenha 25% dos
elementos coletados. Há, portanto, três quartis:
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Quartis
• O primeiro quartil (Q1) - valor situado de tal modo na série que
uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três
quartas partes restantes (75%) são maiores.
• O segundo quartil (Q2) - evidentemente, coincide com a mediana
(Q2 = Md).
• O terceiro quartil (Q3) - valor situado de tal modo que as três
quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta
parte (25%) é maior.
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Quartis
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Quartis
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Para saber em que classe está o quartil
Para saber o valor do quartil
Decis
• Nos decis, a série é dividida em dez partes iguais, com o mesmo número
de elementos, de tal forma que cada intervalo do decil contenha 10% dos
elementos coletados.
• Os elementos separatrizes da série são: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8 e
D9.
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Decis
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Para saber em que classe está o decil
Para saber o valor do decil
Percentis
Nos percentis, a série é dividida em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ... Pn), de tal
forma que cada intervalo do percentil contenha 1% dos elementos coletados.
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Para saber em que classe está o percentil
Para saber o valor do percentil
POSITIVA
Exercício de Aplicação
PRÓXIMA AULA?
• Medidas de Dispersão e 
Variabilidade