Área entre curvas - coordenadas polares - exercício resolvido

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• Encontre a área de interseção dos círculos r=1 e r=2sen(theta), usando coordenadas 
polares.
Resolução:
inerseção : 2sen 𝜃 = 1( )
 sen 𝜃 =( )
1
2
𝜃 = ou 𝜃 =
𝜋
6
5𝜋
6
 
Por simetria :
A = 2 ⋅ 2sen 𝜃 d𝜃+ 1 d𝜃
0
∫
𝜋
6
( ( ))2 ∫
𝜋
2
𝜋
6
( )2
A = 2 ⋅ 4 sen 𝜃 d𝜃+ 1d𝜃
0
∫
𝜋
6 2( ) ∫
𝜋
2
𝜋
6
substituindo : sen 𝜃 =2( )
1 - cos 𝜃
2
( )
 
A = 2 ⋅ 4 d𝜃+ 1d𝜃
0
∫
𝜋
6 1 - cos 𝜃
2
( ) ∫
𝜋
2
𝜋
6
 
 
 
A = 8 d𝜃- 4 cos 2𝜃 d𝜃+ 2 1d𝜃
0
∫
𝜋
6 1
2 0
∫
𝜋
6
( ) ∫
𝜋
2
𝜋
6
 
cos 2𝜃 d𝜃, fazendo : u = 2𝜃∫ ( )
 du = 2d𝜃
 = d𝜃
 du
2
substituindo : cos u = + c = + c∫ ( ) du
2
sen u
2
( ) sen 2𝜃
2
( )
 
Voltando para a integral definida :
A = 4 𝜃 - 4 ⋅ ⋅ sen 2𝜃 + 2 𝜃[ ]
𝜃=
𝜃=0
𝜋
6 1
2
[ ( )]
𝜃=
𝜃=0
𝜋
6 [ ]
𝜃=
𝜋
2
𝜋
6
A = 4 ⋅ - 4 ⋅ 0 - 2 ⋅ sen 2 ⋅ + 2 ⋅ sen 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ - 2 ⋅
𝜋
6
𝜋
6
( )
𝜋
2
𝜋
6
A = +𝜋- - 2 ⋅ = -
2𝜋
6
𝜋
3 2
3 2𝜋+ 3𝜋-𝜋
6
3
 
A = - u. a.
4𝜋
3
3
 
 
 
(Resposta)