AD2-MD2-2021-1_gabarito-2

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
1o Semestre de 2021
Avaliação a Distância 2 - AD2
GABARITO
Questão 1: [4,5 pts] Considere a função definida por f (x) = |x|(x3 −2x) e faça o que se pede abaixo, justifi-
cando todas as suas respostas.
a) [0,5 pto] Encontre o domínio de f .
b) [2,0 pts] Calcule uma expressão para a derivada de f .
c) [0,5 pto] Encontre o maior conjunto onde f é derivável.
d) [1,5 pts] Encontre os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
Solução:
a) O domínio de f é o conjunto de todos os números reais. Logo, Dom( f ) = R.
b) Lembre que a função g (x) = |x| não é derivável em zero e a expressão de sua função derivada não
é contínua em R. No entanto, g (x) = |x| é derivável em qualquer número real diferente de zero. As-
sim, para calcular uma expressão para a derivada de f (x) = |x|(x3−2x), faremos um estudo de 3 casos.
CASO 1: Considerando x > 0.
Observe que, para x > 0, temos que f (x) = |x|(x3 −2x) é derivável e podemos escrever:
f (x) = |x|(x3 −2x) = x(x3 −2x), sempre que x ∈ (0,+∞).
Logo:
f (x) = x(x3 −2x) = x4 −2x2 ⇒ f ′(x) = 4x3 −4x = 4x(x2 −1), ∀x ∈ (0,+∞).
CASO 2: Considerando x < 0.
De maneira análoga ao caso anterior, para x < 0, temos que f (x) = |x|(x3 −2x) é derivável e podemos
escrever:
f (x) = |x|(x3 −2x) =−x(x3 −2x), sempre que x ∈ (−∞,0).
Logo:
f (x) =−x(x3 −2x) =−x4 +2x2 ⇒ f ′(x) =−4x3 +4x =−4x(x2 −1), ∀x ∈ (−∞,0).
CASO 3: Considerando x = 0.
Lembremos que uma função f é derivável em um número real a se o limite lim
h→0
f (a +h)− f (a)
h
existe
e é finito. Logo, para saber se f é derivável em x = 0, devemos calcular:
lim
h→0
f (0+h)− f (0)
h
= lim
h→0
|0+h|((0+h)3 −2(0+h))−|0|(03 −2×0)
h
= lim
h→0
|h|(h3 −2h)
h
.
Como a função s(h) = |h|(h
3 −2h)
h
é o produto de um módulo por um polinômio, devemos calcular
os seguintes limites laterais lim
h→0+
|h|(h3 −2h)
h
e lim
h→0−
|h|(h3 −2h)
h
. Assim:
• lim
h→0+
|h|(h3 −2h)
h
= lim
h→0+
h(h3 −2h)
h
= lim
h→0+
h3 −2h = 0.
• lim
h→0−
|h|(h3 −2h)
h
= lim
h→0−
−h(h3 −2h)
h
= lim
h→0−
−(h3 −2h) = 0.
Portanto, f ′(0) está bem definida, pois lim
h→0
f (a +h)− f (a)
h
= lim
h→0+
|h|(h3 −2h)
h
= lim
h→0−
|h|(h3 −2h)
h
= 0.
Daí, f (x) = |x|(x3 −2x) é derivável em x = 0 e f ′(0) = 0.
Assim, pelo que obtivemos nos Casos 1, 2 e 3 acima, concluímos que qualquer uma das expressões
abaixo são válidas para f ′(x), a saber:
f ′(x) =

4x(x2 −1), se x > 0
−4x(x2 −1), se x < 0
0, se x = 0
ou f ′(x) =
{
4|x|(x2 −1), se x 6= 0
0, se x = 0 ou f
′(x) = 4|x|(x2 −1).
c) Pelo que obtivemos no item (b) acima, observamos que f ′ está definida para todo número real. Por-
tanto, o maior conjunto onde f é derivável é R ou (−∞,+∞).
d) Lembremos que a função f é crescente onde f ′(x) > 0 e f é decrescente onde f ′(x) < 0. Como f ′(x) =
4|x|(x2 −1) e |x| > 0 para x 6= 0, basta fazer o estudo dos sinais da expressão (x2 −1) para encontrar os
intervalos de crescimento e decrescimento de f . O gráfico abaixo mostra os sinais de (x2 −1):
2
Pelo gráfico acima, temos que:
• (x2 −1) > 0 para x ∈ (−∞,−1)∪ (1,+∞); e
• (x2 −1) < 0 para x ∈ (−1,1).
Logo,
• f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞,−1)∪ (1,+∞); e
• f ′(x) < 0 para x ∈ (−1,0)∪ (0,1).
Portanto, f é crescente em (−∞,−1)∪ (1,+∞) e decrescente em (−1,0)∪ (0,1).
Observação: Note que f ′(x) se anula em x = 0 e como zero não é negativo e nem positivo, ele foi
excluído do intervalo de decrescimento de f .
Questão 2: [3,0 pts] Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique
por quê; caso contrário, corrija a afirmação ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
a) [1,0 pto] Se f (x) = 10x , então f ′(x) = x10x−1.
b) [1,0 pto] Se f é derivável em todo número real e g (x) = √ f (x), então g ′(x) = f ′(x)
2
√
f (x)
está definida
para todo número real.
c) [1,0 pto] Se, para uma determinada função f , temos que f ′(2) = 4, então lim
x→2 f (x) = 4.
Solução:
a) Falso. Conforme vimos no EP11, para encontrar a derivada primeira da função f , escrevemos: f (x) =
10x = ex ln10. Assim, vamos derivar a expressão f (x) = ex ln10 utilizando a derivada da função expo-
nencial de base e e a Regra da Cadeia, a saber:
f (x) = ex ln10 ⇒ f ′(x) = ex ln10. ln10 = (ln10)ex ln10 = (ln10).10x .
Assim, f ′(x) = (ln10).10x é a derivada primeira de f e não f ′(x) = x10x−1, conforme a afirmativa.
b) Falso. Seja f (x) = x. Então f é derivável em R, mas g (x) = √ f (x) =px não está definida para todo
número real e a expressão g ′(x) = f
′(x)
2
√
f (x)
= 1
2
p
x
não está definida para x = 0.
c) Falso. Considere f (x) = x2 +1. Então f ′(x) = 2x, donde f ′(2) = 4. No entanto,
lim
x→2 f (x) = limx→2 x
2 +1 = 4+1 = 5 6= 4.
Questão 3 [2,5 pts] Um fazendeiro quer construir dois currais retangulares, iguais e com um lado em co-
mum. A soma das áreas dos currais deverá ser 216m2. Quais devem ser as dimensões dos currais (compri-
mento e largura) para que o comprimento total de cerca seja o menor possível? Justifique.
3
Solução: Um esboço do terreno seria o seguinte:
Portanto, a soma das áreas de cada curral é dada por 2x y = 216. Dessa forma, podemos escrever:
2x y = 216 ⇒ x y = 216
2
= 108 ⇒ y = 108
x
.
O comprimento de cerca total para delimitar os dois currais é dado pela função
f (x) = 4x + 324
x
, com x ∈ (0,+∞).
Assim, f ′(x) = 4− 324
x2
e o número crítico de f é dado por
f ′(x) = 4− 324
x2
= 0 ⇔ x2 = 81 ⇔ x = 9, pois devemos ter x ∈ (0,+∞).
Como x = 9 é o único ponto crítico de f em (0,+∞) e f é contínua nesse intervalo, podemos analisar o sinal
de f ′(x) para valores próximos de x = 9. Dessa forma, temos que:
• f ′(x) é negativa para 0 < x < 9 (isto é, os valores da função f (x) decrescem para x no intervalo (0,9));
• f ′(x) é positiva para x > 9 (ou seja, a função f (x) é crescente no intervalo (9,+∞)).
Logo, concluímos que f possui um mínimo absoluto em x = 9 (veja o gráfico de f esboçado abaixo) e, por-
tanto, as dimensões dos currais deverão ser x = 9 e y = 12.
4