Respostas Capítulo 4_EV_ boldrini_1ª parte_2021

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Seja , temos então, pela propriedade (iii) que:n
+ = + =
u
u v v u u
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
( , , , ) ( , , , )
0
0 0
 
0 0
n n n
n n n
n n n n n
x x x y y y x x x
x y x y x y x x x
x y x y x x
x y y x x
x y y x x
+ =
+ + + =
+ =  = − =
+ =  = − =
+ =  = − =
(0,0, ,0) (vetor nulo)V = = v 0
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2
Seja , temos então, pela propriedade (iv) que:
( , , , ) ( , , , ) (0,0, ,0)
( , , , ) (0,0, ,0)
0
0
0
( , , , ) (vetor op
n
n n
n n
n n n n
n
x x x y y y
x y x y x y
x y y x
x y y x
x y y x
x x x

+ = + =
+ =
+ + + =
+ =  = −
+ =  = −
+ =  = −
= − − −  = −
u
u v v u 0
v v u osto)
Solução da 1 b)
Sejam , e pela propriedade (iii) temos:WA, B
11 12 11 12
21 22 21 22
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
11 11 12 12 11 12
21 21 22 22 21 22
 e 
+
a a b b
a a b b
a a b b a a
a a b b a a
a b a b a a
a b a b a a
   
= =   
   
+ = + =
     
=     
     
+ +   
=   
+ +   
A B
A B B A A
11 11 11 11 11 11
12 12 12 12 12 12
21 21 21 21 21 21
22 22 21 22 21 22
11 12
21 22
0
0
0
0
0 0
0 0
a b a b a a
a b a b a a
a b a b a a
a b a b a a
b b
b b
+ =  = − =
+ =  = − =
+ =  = − =
+ =  = − =
   
= =   
  
B
0 0
 (vetor nulo)
0 0
W
 
 
 
Solução da 1 b)
Sejam , e pela propriedade (iv) temos:WA, B
11 12 11 12
21 22 21 22
11 12 11 12
21 22 21 22
11 11 12 12
21 21 22 22
 e 
0 0
+
0 0
0 0
0 0
a a b b
a a b b
a a b b
a a b b
a b a b
a b a b
   
= =   
   
+ =
     
=     
    
+ +   
=   
+ +   
A B
A B 0
11 11 11 11
12 12 12 12
21 21 21 21
22 22 22 22
11 12 11 12
21 22 21 22
0
0
0
0
(vetor oposto) Note que se 
existe : ( )
a b b a
a b b a
a b b a
a b b a
b b a a
b b a a
W
W
+ =  = −
+ =  = −
+ =  = −
+ =  = −
− −   
= = = −   
− −   
 
 −  + − =
B A
A
A A A 0
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
4
)
Sejam , , devemos mostrar que:
i) 
) ,
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , ) ( , , , )
Logo W é um subespaço vetorial de 
a
W
W
ii W
x x t t
x x t t
x x x x t t t t W
x x t t x x t t W
 
     

+ 
 
= −
= −
+ = + − − + + 
= − = − 
u v
u v
u
u
v
u v
u
y x= − z t=
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
)
Sejam , , devemos mostrar que:
i) 
) ,
( , ,0,2 )
( , ,0,2 )
( , ,0,2( ) )
( , ,0,2 ) ( , ,0,2 )
Logo W é um subespaço vetorial
b
W
W
ii W
x y x y
x y x y
x x y y x x y y W
x y x y x y x y W
 
     

+ 
 
= +
= +
+ = + + + + + 
= + = + 
u v
u v
u
u
v
u v
u
4 de 
2t x y= +
)
Sejam e 
0 0
0
0 0
) , , , , , ,
) , , , ,
a
V
a b c d V
a c m n a m c n
i V a c d m n p
c d n p c n d p
a c a c
ii V a c d
c d c d

 
  
 
 
 
= = = =   
 
+ +     
+ = + =        
+ +     
   
= =      
   
A, B
A B
A
(2,2)Logo é um subespaço vetorial de M .V
)
0 1
0
0 0
0 0
0 0
b
a c d
W
 
= = =   
 
 
 
 
1 3 4 4 5 7
 
2 3 3 0 5 3
note que 5 1 7
     
+ =     
     
+ 
(2,2)Logo não é um subespaço vetorial de M .W
1 1
2 1 2
0
0
1
| 0 ( 0)
| 0
 01 | 0
| 0
a c
x y
b d
a c L L a
a
b d
c
com a
a
L bL L
b d
     
+ =     
     
→  
 
 
 
 
  → − + 
 
1 | 0
0 | 0
c
a
bc ad
a
 
 
 
− + 
 
 
0 
0
ad bc LI
ou
ad bc LD
−  
− = 
0 ( 1 e 2 ) 
ou
0 ( 2 e 2 ) 
ad bc
p n LD
a
ad bc
p n LI
a
−
= = = 
−
 = = 
1 1
2 1 2
0
0
1
| 0 ( 0)
| 0
 01 | 0
| 0
a c
x y
b d
a c L L a
a
b d
c
com a
a
L bL L
b d
     
+ =     
     
→  
 
 
 
 
  → − + 
 
2 2
1 | 0
0 | 0
c
a
a
L Lbc ad
ad bc
a
 
 
   
− +   
−   
 
0 2 e 2
0 1 e 2
ad bc p n LI
ou
ad bc p n LD
−   = = 
− =  = = 
2 2
1 | 0
0 1 | 0
c
a a
L L
ad bc
 
 
      
−   
OU
11 11
22 22
1 2
11 11
22 22
1 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
nn nn
nn nn
a b
a b
D D
a b
a b
a b
D D W
a b
   
   
   
   + = + =
   
   
   
   
+ 
 
+ 
 + = 
 
 
 + 
11 11
22 22
1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0nn nn
a a
a a
D W
a a


 

   
   
   
   = = 
   
   
   
   
( , ) ( , )Como ( , ,.) é um subespaço vetorial de n n n nW M W M + 
11
22
1
11 22
0 0 0
0 0 0
Continuação a) (gerador) [ ] 0 0
0
0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
nn
nn
a
a
D
a
a a a
  
  
  
   = =
  
  
  
  
   
   
   
   + + +
   
   
   
   
0 0
0
0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
, , ,0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

  
  
  
  
  
  
  
  
      
      
      
      = 
      
      
      
      







 
( ) ( )nDim W Dim D n= =
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
) Seja , 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
b E E W E E
E E W
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   
     + = + =
   
   
   
   
+ 
 
+ 
 + = +
 
 
 + 
1 1
1 1
1 1 1
1 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
E W
 
 
   
 
   
   
   
   = = 
   
   
   
   
( , ) ( , )Como ( , ,.) é um subespaço vetorial de n n n nW M W M + 
1
1
1 11
1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
(gerador) [ ] 0 0 0 0 1
0 0
0 0 0 0 0 0 1
E




      
      
      
       = = =
      
      
     
     
1 0 0 0
0 1 0 0
( ) 10 0 1
0
0 0 0 1
nDim E
  
  
   
 =  = 
  
  
    
Continuação 5 )b
Resolução:
Pode-se notar que o conjunto em questão está contido no
conjunto das matrizes 2x2 (vide página 104)
Logo, se verificarmos que este conjunto é um subespaço das
matrizes M2x2 ele será um Espaço Vetorial também....
(GERADOR) [ ]
a a b
C
a b
 + 
=   
  
i) Sejam C1 e C2 matrizes em C, onde:
1 1 1
1
1 1
a a b
a b
+ 
=  
 
C
2 2 2
2
2 2
a a b
a b
+ 
=  
 
Ce
1 1 1 2 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , ,
a a b a a b
a b a b
a a a b a b
C a a b b
a a b b
+ +   
+ = +   
   
+ + + + 
   
+ + 
C C
ii) Sejam    e C1  C , temos:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
( )
, , .
a a b a a b
a b
a b a b
 
 
 
+ +   
= =      
   
C C
Podemos concluir que C é um subespaço de M(2,2)
Resolução:
Pode-se notar que o conjunto em questão está contido no
conjunto das n-uplas (n, +, .)
i) Sejam v1 e v2 vetores em V, onde:
1 1 1 1 1( , , , , )a a a a=v 2 2 2 2 2( , , , , )a a a a=ve
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( , , , , ) ( , , , , )
( , , , , ) V, , .
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
+ = +
+ + + +   
v v
ii) Sejam    e v1  V , temos:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
( , , , , )
( , , , , ) V, , .
a a a a
a a a a a
 
     
=
=   
v
v
Podemos concluir que V é um subespaço de n
Apesar que E  3, ele não é um Subespaço Vetorial, já 
que :
:
(1,0,0) (0,0,0) E
Se a = b = 0, temos que
 
Apesar que F  2, ele não é um Subespaço Vetorial, já
que :
Se 0 (0,3) (0,0)x F=   
2
,1, 1,2 (1,1, 2,4) b(1,1, 1,2) c(1,4, 4,8)
3
a
 
− = − + − + −
 
O vetor pertencerá a S se, e somente se: 
2
,1, 1,2
3
 
= − 
 
v
2
3
4 1
2 4 1
4 2 8 2
a b c
a b c
c b c
a b c

+ + =
 + + = 
− − − = −

+ + =
2
1 1 1
3
1 1 4
1
2 1 4
1
4 2 8
2
Matriz Ampliada
 
 
 
 
− − − −
 
 
 
1 2
2
1 1 1 3
3
1 1 4
1 ~
2 1 4
1
4 2 8
2
L L
 
 
 
 
− − − −
 
 
 
2 1 2
3 1 3
4 1 4
1 1 4 1
33 3 3 2
22 1 4 1
44 2 8 2
L L L
L L L
L L L
 
 
→ − +  
  → +− − − −
   → − + 
2 3
1 1 4 1
0 0 9 1
~
0 1 4 1
0 2 8 2
L L
 
 
− −   
 
  − − −  1 4
1 1 4 1
0 1 4 1
0 0 9 1
20 2 8 2 L L
 
 
  
 − −
   +− − − 
1 1 4 1
0 1 4 1
~
0 0 9 1
0 0 0 0
 
 
  
 − −
  
 
O posto de A = 3 e n = 3 (SPD)
9 1
1
9
c
c
− = −
=
4 1
1 9 4 5
1 4
9 9 9
b c
b
+ =
− 
= − = = 
 
4 1
5 1 9 9
1 4 1 4 0
9 9 9
a b c
a b c
+ + =
− 
= − − = − − = = 
 
2 1 5
,1, 1,2 0(1,1, 2,4) (1,1, 1,2) (1,4, 4,8)
3 9 9
 
− = − + − + − 
 
( )0,0,1,1 (1,1, 2,4) b(1,1, 1,2) c(1,4, 4,8)a= − + − + −
O vetor pertencerá a S se, e somente se: ( )0,0,1,1=v
0
4 0
2 4 1
4 2 8 1
a b c
a b c
c b c
a b c
+ + =

+ + =

− − − =
 + + =
1 1 1 0
1 1 4 0
2 1 4 1
4 2 8 1
Matriz Ampliada
 
 
 
 − − −
  
 
2 1 2
3 1 3
2 1 4
1 1 1 0
1 1 4 0
~
22 1 4 1
44 2 8 1
L L L
L L L
L L L
 
 
→ − +  
  → +− − −
   → − + 
2 3
1 1 1 0
1
0 0 3 0
~3
0 1 2 1
0 2 4 1
L L
 
 
  
 −
  − − 
2 4
1 1 1 0
0 1 2 1
~
0 0 1 0
20 2 4 1 L L
 
 
−  
 
   →− −  2 4
1 1 1 0
0 1 2 1
~
0 0 1 0
20 0 8 3 L L
 
 
−  
 
   →− 
3 4
1 1 1 0
0 1 2 1
~
0 0 1 0
80 0 8 3 L L
 
 
−  
 
   →− 
1 1 1 0
0 1 2 1
0 0 1 0
0 0 0 3
 
 
− 
 
  
 
O posto de A = 4 e posto de C = 3 , então não tem posto (SI)
Logo o vetor (0,0,1,1) não pertence ao conjunto S.
2 0
0
2 2 0 2 2 1
1 0 1 1
a
a
a b b b
a b b b
=
=
+ = −  + = −  = −
− =  − =  = −
Logo o vetor pertence ao conjunto W.
0 2
0 1
− 
 
 
Logo o vetor
0 2
3 1
 
 
 
não pertence ao conjunto W.
2 2 0 2
0 3 1
a a b
a b
+   
=   
−   
Observe que
0 3
0 2 0 0 0 0 0 1
3 4 1 1 0 1 0 0
5 0 0 0 1 0 0 0
a b c
       
       
= + − +       
       
       
0 0 0 0
0 0 2
0 0 3
0 4
0 0 5
0 0 0 0
c
a
a b
b
+ + =

+ + =

 + + =

− − =
 + + =

+ + =
2
3
5
4 3 5 4 (F)
c
a
b
a b
=
=
=
− =  − =
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
x y z w
         
+ + + =         
         
0
0
0
0
x
y
z
w
=

=

=
 =
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
         
+ + + =         
         
Os vetores são LI e geram M(2,2)
Logo, esse conjunto é uma base de M(2,2)
Os vetores são LI e geram M(2,2)
Logo, esse conjunto é uma base de M(2,2)
Ou
4[(1,0,0,),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)]
a b
c d
  
   
  
1 0 0 0
0 1 0 0
4 e 4
0 0 1 0
0 0 0 1
p n LI
 
 
  = = 
 
 
 
11 12 1
21 21 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
11 12 1 11 12 1
21 21 2
1 2
21 22
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
n n
n
n n nn
a a a a a a
a a a
a a a
a a
       
       
       = + + +
       
       
      
   
   
   +
   
  
   
2
1 2
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
n
n n nn
a
a a a
 
 
 + + +
 
  
 
     
     
     + + +
     
     
     
1
11 12 1
2
21 22 2
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
n
n
n
n
a
a a a
a
a a a
     
     
     + + + +
     
     
     
     
     
     + + + +
     
     
     
0 0 0
0 0 0
0 0 1
nna
 
 
 +
 
 
 
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
, , , , , , ,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
, ,
0 0 0

         
         
         = 
         

         
         
 
 
 
 
 
 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, , ,
1 0 0 0 1 0 0 0 1
     
     
     

     

     
     
2( )Dim W n=
(1,0,0) (1,1,1) ( 1,1,0) (1,0, 1)a b c= + − + −
2 1 2
3 1 3
1 1 1 1 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
a b c
a b L L L
a c L L L
 − + = −
 
+ =  →− +  
  − = − → − +  
2 3
1 1 1 1
~ 0 2 1 1
0 1 2 1
L L
 −
 
− − → 
 − − 
3 2 3
1 1 1 1
~ 0 1 2 1
0 2 1 1 2L L L
 −
 
− −  
 − − → − + 
1 1 1 1
~ 0 1 2 1
0 0 3 1
 −
 
− − 
 
 
1
3 1
3
c c=  = 2 1 1 2b c b c− = −  = − +
1
2 1 1 2
3
3 2 1
3 3
b c b
b
 
− = −  = − +  
 
− +
= = −
1 1
1 1
1
3 3
a b c a b c
a
− + =  = − +
= − − +
2 3 1
3 3
a
− +
= =
(1,0,0) (1,1,1) ( 1,1,0) (1,0, 1)a b c= + − + −
1 1 1
(1,0,0) (1,1,1) ( 1,1,0) (1,0, 1)
3 3 3
= − − + −
2
0 1 2( ( ) , ,.)
n
n nP x a a x a x a x= + + + + +
2{1, , , } ( ( )) 1n nx x x Dim P x n =  = +
2
2 0 1 2
2 2 2
0 1 2
( )
(1 0 0 ) (0 0 ) (0 0 )
P x a a x a x
a x x a x x a x x
= + + =
+ + + + + + + +
2{1, , }x x =