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2 Exercicios resolvidos de CIV 107

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Exercícios do item 1.5: 1) Calcule a força de tração nas duas barras da estrutura abaixo. 
 
0
111 87,36)75,0(tanarc4
3
tan =θ→=θ→=θ 
0
222 13,53)333,1(tanarc3
4
tan =θ→=θ→=θ 
 
 0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o2
o
1x =+−=∑ 
 21
2
121 F75,0F8,0
F6,0
F06,0F8,0F =→=→=+− 
0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o2
o
1y =−++=∑ 
 000.128,0F6,0F 21 =+ 
Colocando-se a força F1 na expressão acima, tem-se: 
 N600.9
25,1
000.12
F000.128,0F6,0F75,0 222 ==→=+⋅ 
 N200.7F9600x75,0F 11 =→= 
2) Calcule a força de tração nos dois cabos da figura. 
 
 
 
 000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+→=+−−=∑ 
N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 =→=−+=∑ 
N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 =→=−−=∑ 
Exercícios do item 1.6: 1) Calcule as reações nos apoios da viga abaixo. 
 
 
 0H:0F Ax ==∑ 
000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+→=+−=∑ 
N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA =→=−=∑ 
N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB =→=−=∑ 
2) Calcule as reações no apoio da viga em balanço (ou viga cantilever). 
 
 
 0H:0F bx ==∑ 
000.1V0000.1V:0F bby =→=−=∑ 
m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO =→=−=∑ 
 
 
Exercícios do item 1.9: 1) Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. 
Dado: γs = 77 kN/m3 
 
 
 
A carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da seção 
transversal: 
2mm000.3300x62x100x6A =+= 
Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A −− == 
m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ==γ= − 
 
 
 
0H0F Ax =→=∑ 
L.qVV0F BAy =+→=∑ 
 
Então: N20790,9x231VV BA ==+ 
 
0
2
L
.L.qL.V0M AB =−→=∑ 
 
2
Lq
V
2
Lq
V BA =→= 
 N5,1039
2
0,9x231
VV BA === 
 
 2) Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. 
 Dado: γs = 77 kN/m3 
 
 
 
 
0H0F Bx =→=∑ 
N20790,9x231L.qV0F By ===→=∑ 
m.N5,9355
2
qL
M0M
2
L
.L.q0M
2
BBo ==→=+−→=∑ 
 
Observação muito importante: A substituição de uma carga distribuída pela força 
resultante somente pode usada para calcularem-se as reações de apoio. Não deve ser 
usada para mais nada. 
 
 
Exercícios do item 2.1: 1) Calcule a tensão normal nos dois cabos da figura. 
Dados: φ1 = φ2 = 25,4 mm 
 
 
 
Área dos cabos 1 e 2: 
 221
2
21 mm7,506AA)7,12(AA ==→π== 
Tensão normal nos cabos 1 e 2: 
 2
2
1
1
1 mm/N48,4
)mm(7,506
)N(2,269.2
A
F ===σ 
 2
2
2
2
2 mm/N36,7
)mm(7,506
)N(8,730.3
A
F ===σ 
2) Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. 
Dados: φ1 = 12,5 mm ; φ2 = 20,0 mm 
 
 
 
 21
o
2
o
1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F =→=+−=∑ 
0000.5)45(senF)45(senF:0F o2
o
1y =−+=∑ 
N1,3536FF000.5707,0F2 211 ==→= 
 
Cálculo da tensão normal nas barras 1 e 2: 
 2
2
1
1
1 mm/N8,28
)25,6(
1,3536
A
F =
π
==σ 
 2
2
2
2
2 mm/N3,11
)10(
1,3536
A
F =
π
==σ 
 
3) Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. As duas barras têm seção 
transversal circular. Dados: φBarra tracionada = 15 mm ; φBarra comprimida = 20 mm 
 
 
 
866,0FF0)30cos(FF:0F 21
o
21x ⋅−=→=+=∑ 
N000.50F0000.52)30(senF:0F 2
o
2y −=→=+=∑ 
N300.43F866,0.)000.50(F 11 =→−−= 
 
Tensão normal nas barras 1 e 2: 
 2
2
1
1
1 mm/N0,245
)5,7(
300.43
A
F =
π
==σ 
 2
2
2
2
2 mm/N2,159
)10(
000.50
A
F −=
π
−==σ 
 
4) Uma barra, de seção transversal retangular, tem altura variável (como indicado) e 
largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tensão normal no ponto de aplicação da 
força F e no engaste. Dado: F = 8.000 N 
 
 
 
 2mm/N44,44
15x12
000.8
A
F ===σ 
 2Engaste mm/N67,2625x12
000.8
A
F ===σ 
 
5) Uma barra prismática está pendurada por uma de suas extremidades. Construa os 
diagramas de força normal e de tensão normal. 
Dados: γ: peso específico; A: área da seção transversal 
 
 
Fazendo-se um corte imaginário à distância x os esforços que eram internos passam a 
ser externos. A parte recortada também tem que estar em equilíbrio, pois qualquer 
parte (ou ponto) de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. N(x): 
representa a ação da parte de cima sobre a parte de baixo. 
 
 
xA)x(N0xA)x(N:0Fy γ=→=γ−=∑ 
 x
A
Ax
A
)x(N γ=γ==σ 
 
Exercícios do item 2.2: 1) Uma barra prismática de seção transversal circular (φ = 25 
mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma força axial de tração F = 
30.000 N. Calcule a tensão normal e a deformação linear específica sabendo que o 
alongamento da barra é de 2,0 mm. 
 
2
2
mm/N1,61
)5,12(
000.30
A
F =
π
==σ 
 
310x5,2
)mm(800
)mm(0,2
L
L −==∆=ε 
 
2) Um elástico tem comprimento não esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformação 
linear específica do elástico quando for esticado ao redor de um poste com diâmetro 
externo igual a 16 cm. 
 
P: Perímetro externo do poste: cm27,508.2R2P =π=π= 
 68,0
30
3027,50
L
LL
L
L
i
if
i
=−=−=∆=ε 
 
Exercícios do item 2.3: 1) Uma barra prismática de seção transversal circular (d = 20 
mm) fica solicitada por uma força axial de tração F = 6.000 N. Experimentalmente, 
determinou-se a deformação linear específica longitudinal oo
o
L /3=ε . Calcule a 
tensão normal, a variação do comprimento e do diâmetro da barra. Dado: ν = 0,25. 
 
 
2
2x
mm/N1,19
)10(
000.6
A
F =
π
==σ 
003,0
1000
3
/3 oo
o
xL ===ε=ε 
mm5,4L1500.10x0,3LL
L
L
x
3
xxx
x
x
x =∆→=ε=∆→
∆=ε − 
yyy
y
y
y LLL
L
ε=∆→
∆
=ε 
ddL yy ε=∆=∆ 
43
xy
x
y 10x5,710x0,3x25,0 −− −=−=εν−=ε→
ε
ε
−=ν 
mm015,020x10x5,7d 4 −=−=∆ − 
 
2) Calcule o volume final da barra do problema anterior. 
Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final da barra 
 
32
iii mm9,238.471500.1x)10(LAV =π== 
3
2
fff mm9,943.471)5,41500(x4
)015,020(
LAV =+−π== 
3
if mm7059,238.4719,943.471VVV =−=−=∆ 
 
 
Exercício do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Força-Alongamento de um 
ensaio de tração simples. A barra tem seção transversal circular (d = 30 mm) e 
comprimento inicial (referência) igual a 800 mm. Calcule: 
a) a tensão (ou limite) de proporcionalidade (σP); 
b) a tensão (ou limite) de escoamento (σY); 
c) a tensão última (σU); 
 
 
 
4
30.
4
D
R.A
22
2 π=π=π= = 2mm86,706 
a) MPa15,14mm/N15,14
86,706
000.10
P
2
P =σ→==σ 
b) MPa98,16mm/N98,16
86,706
000.12
Y
2
Y =σ→==σ 
c) MPa29,28mm/N29,28
86,706
000.20
U
2
U =σ→==σ 
Exercícios do item 2.5: 1) Calcule o módulo de Young (Ε) da barra do problema 
anterior. 
εΕ=σ . 
310x75,3
mm800
mm3
L
L −=ε→=∆=ε 
3
2
10x75,3
mm/N15,14
−=ε
σ=Ε 2mm/N3,773.3=Ε→ 
MPa3,773.3:Ou =Ε GPa77,3= 
 
2) Uma circunferência de raio R = 300 mm é desenhada em uma placa. Calcule ao 
aplicar-se a tensão normal σx = 81,0 MPa os valores dos diâmetros ab e cd. Dados da 
placa: Ε = 120 GPa; ν = 0,36 
 
 
Lei de Hooke: σ=Εε xx σ=Εε→ 
 
9
6
x
x
10x120
10x81=
Ε
σ
=ε → 4x 10x75,6
−=ε 
 mm405,0600x10x75,6L
L
L 4
x
x
x
x ==∆→
∆=ε − 
 mm405,600405,0600LFab =+= 
 
Coeficiente de Poisson (ν): 
 
x
y
ε
ε
−=ν → xy εν−=ε =
410x75,6x36,0 −− = 410x43,2 −− 
 mm1458,0600x10x43,2L
L
L 4
y
y
y
y −=−=∆→
∆
=ε − 
 mm8542,5991458,0600LFcd =−= 
3) Um bloco de massa m = 1.500 kg é sustentado por dois cabos de seção transversal 
circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; Ε1 = 70 GPa e Ε2 = 120 GPa, calcule: 
a) o valor do ângulo θ sabendo σ1 = σ2 ; 
b) valor da tensão normal nas duas barras; 
c) a deformação linear específica das duas barras. 
 
 
 
 
 
 
θ
=→=−θ→=∑ sen
P
F0PsenF0F 22y 
 θ
θ
=→=θ−→=∑ cossen
P
F0cosFF0F 121x 
a) 
2
2
1
1
21 A
F
A
F =→σ=σ 
 
36
1
16
cos
)6(
sen
P
)4(
sen
cosP
22
=θ→
π
θ=
π
θ
θ
 
 o61,63
36
16
cosarc =θ→




=θ 
 
b) 
2
o
o
1
1
1
)4(
)61,63(sen
)61,63(cosP
A
F
π
==σ = 2mm/N2,145496,0
16
81,91500 =⋅
⋅π
⋅
 
=
⋅π
⋅
=
π
==σ
36
8958,0
81,91500
)6(
)61,63(sen
P
A
F
2
o
2
2
2 
2mm/N2,145 
 
c) Lei de Hooke: