ASTRO FÍSICA

3.56 logm+ 0.90 (logm)
2
a
aBP
≃
10.03
10.03
≃ 1.00
b
bBP
≃
3.56
3.56
≃ 1.00
c
cBP
≃
0.90
1.00
≃ 0.90
a razão entre as escalas de tempo está no intervalo
log tsp
log tBP
≃ 0.9 a 1.1
⋆ ⋆ ⋆
465. A relação entre a escala de tempo das estrelas na sequência principal e sua
massa tem diversas aproximações, como
log t ≃ 10.0− 2.5 logm (1)
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ou a a relação de Bahcall & Piran (1983)
log t ≃ 10.0− 3.6 logm+ (logm)2 (2)
Em (1) e (2) t está em anos e m em massas solares. Uma terceira aproximação é
dada por Romano et al. (2005)



















log t = −0.6545 logm+ 1 (m ≤ 1.3)
log t = −3.7 logm+ 1.35 (1.3 < m ≤ 3)
log t = −2.51 logm+ 0.77 (3 < m ≤ 7)
log t = −1.78 logm+ 0.17 (7 < m ≤ 15)
log t = −0.86 logm− 0.94 (15 < m ≤ 60)
t = 1.2m−1.85 + 0.003 (m > 60)
(3)
onde t está em Gano e m em M⊙. Calcule o tempo de vida para estrelas no
intervalo de massa 0.1 ≤ m(M⊙) ≤ 100 usando as 3 formulações acima e faça um
gráfico de log t(anos) em função de logm emM⊙. Considerando as formulações (2)
e (3) para que massas ocorrem as maiores discrepâncias? Quais seriam as razões
para isso?
Solução:
O gráfico está a seguir. As maiores incertezas ocorrem para para m < 1M⊙
e M > 2.5M⊙. As incertezas para m < 1M⊙ devem-se principalmente às
baixas luminosidades das estrelas. Para m > 25M⊙ as extrapolações são
inadequadas. Outras causas seriam: binaridade, heterogeneidade da
composição qúımica, inadequação dos modelos, rotação e convecção.
⋆ ⋆ ⋆
466. A tabela a seguir (Maciel 1999, cap. 1) mostra valores médios da magnitude
absoluta visualMv, luminosidade log(L/L⊙) e massa m emM⊙ para um conjunto
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de estrelas da sequência principal. (a) Obtenha correlações entre estas quantidades
na forma
log(L/L⊙) = a+ bMv
log(m/M⊙) = c+ dMv
(b) A partir destas duas correlações obtenha uma terceira correlação entre a lu-
minosidade e a massa e mostre que L ∝ mα. Qual é o valor de α? Faça gráficos
mostrando as correlações obtidas. (c) Use diretamente os dados da tabela e estime
um novo valor para a constante α.
Sp Mv log(L/L⊙) m/M⊙
O3 -6.0 6.15 120.0
O5 -5.7 5.90 60.0
O6 -5.5 5.62 37.0
O8 -4.9 5.23 23.0
B0 -4.0 4.72 17.5
B3 -1.6 3.28 7.6
B5 -1.2 2.92 5.9
B8 -0.2 2.26 3.8
A0 0.6 1.73 2.9
A5 1.9 1.15 2.0
F0 2.7 0.81 1.6
F5 3.5 0.51 1.4
G0 4.4 0.18 1.1
G5 5.1 -0.10 0.9
K0 5.9 -0.38 0.8
K5 7.4 -0.82 0.7
M0 8.8 -1.11 0.5
M2 9.9 -1.35 0.4
M5 12.3 -1.96 0.2
M6 13.5 -2.28 0.1
Solução:
(a) Aplicando as correlações aos dados da tabela temos
a = 2.662, b = −0.443
c = 0.751, d = −0.135
com estes valores é fácil ver que
log(L/L⊙) = e+ f log(m/M⊙)
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onde
e = a−
b c
d
≃ 0.198
f =
b
d
≃ 3.281
de modo que
L ∝ m3.28 α ≃ 3.28
(b) Usando diretamente os dados da tabela obtemos
e′ ≃ 0.210, f ′ ≃ 3.244
de modo que
L ∝ m3.244 α′ ≃ 3.24
⋆ ⋆ ⋆
467. Uma estrela da sequência principal com tipo espectral A0 tem Mv = 0.65 e
BC = −0.30. (a) Estime sua luminosidade, log(L/L⊙). (b) A mesma estrela tem
Tef = 9790K e R = 2.4R⊙. Estime sua luminosidade a partir destes dados. (c)
Compare os resultados anteriores com o valor dado na tabela do exerćıcio anterior.
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Solução:
(a) Neste caso, Mbol =Mv +BC = 0.35
Mbol −M
⊙
bol = −2.5 log(L/L⊙)
log(L/L⊙) = 0.4 (Mbol −M
⊙
bol) ≃ 1.76
L
L⊙
≃ 57.0
(b) L = 4 π R2 σ T 4ef
L
L⊙
=
4 π R2 σ T 4ef
L⊙
≃ 47.4
log(L/L⊙) ≃ 1.68
(c) Da tabela temos
logL/L⊙) ≃ 1.73
L
L⊙
≃ 53.7
⋆ ⋆ ⋆
468. A tabela abaixo mostra valores da magnitude absoluta visualMv e da massa
m para estrelas da sequência principal (Cox 2000, p. 489). Faça um gráfico de
Mv em função de logm e obtenha ajustes de primeira e segunda ordem para esta
função. Onde estaria o Sol neste gráfico?
Mv m(M⊙) Mv m(M⊙)
18.00 0.070 3.46 1.274
16.96 0.085 2.00 1.862
15.45 0.116 1.00 2.512
14.36 0.147 0.00 3.467
13.21 0.193 -1.00 5.248
12.47 0.240 -2.00 7.943
11.73 0.317 -3.00 12.023
11.08 0.394 -4.00 18.197
9.96 0.502 -5.00 26.915
8.35 0.626 -6.00 41.687
6.43 0.780 -7.00 63.100
5.08 0.950
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Solução:
O gráfico está na figura acima. Os ajustes são
Mv = a+ b logm+ c (logm)
2
onde m está em massas solares e
a = 6.532, b = −8.799 e c = 0 (caso linear)
a = 5.457, b = −9.676 e c = 1.530 (caso quadrático)
O ajuste de segunda ordem é razoável para as massas muito pequenas
ou muito grandes, e pior para as massas intermediárias.
A posição do Sol está assinalada, adotando logm = 0. e Mv = 4.82.
⋆ ⋆ ⋆
469. Uma aproximação para a relação massa-luminosidade de estrelas de pequena
massa 0.1 ≤ m(M⊙) ≤ 1.0 pode ser escrita na forma
Mv = k1 + k2 logm+ k3 (logm)
2
onde k1 = 4.78, k2 = −10.19 e k3 = 2.34, e m está em massas solares. As estrelas
A, B, C, D têm valores de massa e magnitude absoluta visual dados na tabela
abaixo. (a) Faça um gráfico de logm ×Mv, inclua a relação aproximada e estas
estrelas. Em que intervalo de massas a aproximação é melhor? (b) Admita que a
relação entre a luminosidade e a magnitude absoluta seja exatamente a mesma do
Exerćıcio 466. Neste caso podemos escrever que L ∝ mα? Qual seria o valor do
expoente α?
A B C D
Mv 5.0 9.0 12.0 15.0
logm 0.0 -0.25 -0.60 -1.0
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Solução:
(a) O ajuste e as estrelas A, B, C, D estão na figura a seguir. As estrelas
A e C têm um bom ajuste, enquanto que as estrelas B e D apresentam maiores
desvios. A relação parece se ajustar melhor aos intervalos
logm > −0.2 −→ m > 0.6M⊙
−0.8 < logm < −0.5 −→ 0.16 < m/M⊙ < 0.32
(b) Usando a relação do Exerćıcio 466 temos
log(L/L⊙) = a+ b [k1 + k2 logm+ k3 (logm)
2]
log(L/L⊙) = (a+ b k1) + (b k2) logm+ (b k3) (logm)
2
No Exerćıcio 466, com uma variação linear entre log(L/L⊙) e log(m/M⊙),
o expoente α é simplesmente
α =
d log(L/L⊙)
d log(m/M⊙)
= f ≃ 3.28
no presente caso, temos
α =
d log(L/L⊙)
d log(m/M⊙)
= (b k2) + (2 b k3) logm
com os valores numéricos temos
α = 4.514− 2.073 log(m/M⊙)
portanto o parâmetro α não é mais uma constante, variando de α ≃ 6.59
para logm = −1 a α ≃ 4.51 para logm = 0.
⋆ ⋆ ⋆
470. A função de luminosidade das estrelas anãs brancas pode ser usada para
estimar a idade do disco galáctico. As anãs brancas mais quentes e luminosas
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resfriam-se mais rapidamente que as mais frias, de modo que sua densidade espacial
deve aumentar à medida que a luminosidade das estrelas diminui. Por outro lado,
para estrelas com luminosidades muito baixas, os tempos de resfriamento são muito
longos, eventualmente da ordem ou maiores que a idade da Galáxia, de modo que
a função de luminosidade deve cair abruptamente quando os dois tempos forem
iguais. Considere a função luminosidade dada na figura abaixo (Cowan et al.
1991), e estime a idade do disco.
Solução:
Da figura pode-se estimar que a luminosidade onde ocorre a queda abrupta
é de aproximadamente log(Ld/L⊙) ≃ −5, ou Ld/L⊙ ≃ 10
−5.
Usando por exemplo a relação de Iben & Laughlin (1989)
t(Gano) ≃ 9
[
10−4.7
Ld/L⊙
]0.28
obtemos
t ≃ 9
[
10−4.7
10−5
]0.28
≃ 10.9Gano ≃ 1.09× 1010 ano
⋆ ⋆ ⋆
IMF - SFR - AMR
471. Considere a IMF de Salpeter (1955) mostrada na figura abaixo, e dada