ASTRO FÍSICA

com o fluxo solar efetivamente observado
no alto da atmosfera, ou constante solar (cf. Exerćıcio 1)
S = 1.4× 106 erg cm−2 s−1
⋆ ⋆ ⋆
46. Considere uma estrela esférica de raio R que emite radiação uniformemente
em todas as direções com intensidade I. Estime a intensidade média J e o fluxo
F a uma distância r da estrela (cf. Swihart 1968).
Solução:
A intensidade média à distância r pode ser obtida por
J =
∫
Jν dν =
1
4π
∫
I dω
onde a integral é feita no ângulo sólido compreendido pela estrela.
Sendo θr o raio angular da estrela vista da distância r, senθr = R/r. Como
dω = senθ dθ dφ, a intensidade média é dada por
J(r) =
1
4 π
∫ 2π
0
dφ
∫ θr
0
senθ dθ =
1
2
I (1− cos θr)
J(r) =
I
2 r
[
r − (r2 −R2)1/2
]
considerando que
(a+ b)n ≃ an + n a bn−1 + n(n− 1)
2
an−2 b2 + . . .
e tomando r ≫ R, temos (r2 −R2)1/2 ≃ r −R2/2r, de modo que a
intensidade média fica
J(r) ≃ I R
2
4 r2
Para o fluxo, temos
F (r) =
∫
I cos θ dω
F (r) = I
∫ 2π
0
dφ
∫ θr
0
cos θ senθ dθ = π I sen2θr
F (r) =
π I R2
r2
⋆ ⋆ ⋆
Parte 1 - Astrof́ısica Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
47. Uma estrela esférica de tipo espectral MIII tem luminosidade log(L/L⊙) = 3.0
e raio R/R⊙ = 100. (a) Qual é o fluxo na superf́ıcie da estrela? (b) Supondo que
a estrela está a uma distância de 20 pc, qual seria o fluxo observado no alto da
atmosfera da Terra? Despreze a extinção interestelar.
Solução:
(a) L = 4 π R2 F
F (R) =
L
4 π R2
=
(103)(3.85× 1033)
4 π (100× 6.96× 1010)2
F (R) = 6.32× 109 erg cm−2 s−1 = 6.32× 106 W/m2
(b) Para r = 20 pc
F (r) ≃ F (R)
(
R
r
)2
≃ F (R)
[
100× 6.96× 1010
20× 3.09× 1018
]2
≃ 1.27× 10−14 F (R)
F (r) ≃ 8.03× 10−5 erg cm−2 s−1 ≃ 8.03× 10−8 W m−2
⋆ ⋆ ⋆
48. Um modelo para a fotosfera solar (Cox 2000, p. 349) produz os resultados
mostrados na tabela a seguir, onde τ é a profundidade óptica em λ = 5000 Å,
T é a temperatura determinada pelo modelo e Bλ(T ) é a função de Planck para
cada temperatura (unidades cgs). Estime a variação dBλ/dτ , e a razão entre os
termos anisotrópico e isotrópico definidos no Exerćıcio 43. Faça um gráfico de
T em função de τ e da razão dos termos anisotrópico e isotrópico em função da
profundidade óptica. Inclua neste gráfico a razão obtida com a aproximação do
exerćıcio 44. Adote Tef = 5800K.
Solução
Do Exerćıcio 44, temos
dBν/dτν
Bν(τν)
=
3
4
(
Tef
T
)4
os resultados estão mostrados na figura a seguir
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τ T Bλ(T )
2.39E-04 4400 5.4617E13
4.29E-04 4410 5.5436E13
8.51E-04 4460 5.9657E13
1.98E-03 4560 6.8758E13
4.53E-03 4660 7.8768E13
1.01E-02 4770 9.0874E13
2.70E-02 4880 1.0417E14
4.73E-02 4990 1.1870E14
6.87E-02 5060 1.2861E14
9.92E-02 5150 1.4213E14
1.42E-01 5270 1.6153E14
2.02E-01 5410 1.8621E14
2.87E-01 5580 2.1922E14
4.13E-01 5790 2.6470E14
5.22E-01 5980 3.1044E14
6.75E-01 6180 3.6334E14
8.14E-01 6340 4.0922E14
1.00E+00 6520 4.6462E14
1.25E+00 6720 5.3086E14
1.61E+00 6980 6.2434E14
2.14E+00 7280 7.4243E14
2.95E+00 7590 8.7574E14
4.13E+00 7900 1.0202E15
5.86E+00 8220 1.1108E15
8.36E+00 8540 1.3525E15
1.20E+01 8860 1.5349E15
1.70E+01 9140 1.7029E15
2.36E+01 9400 1.8657E15
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49. A relação entre a temperatura de cada camada de uma atmosfera estelar e a
profundidade óptica no caso da atmosfera cinza com a aproximação de Eddington
pode ser escrita
T 4 =
3
4
T 4ef
(
τ +
2
3
)
Compare esta relação com valores mais precisos, obtidos a partir de modelos
numéricos para atmosferas estelares. Considere uma estrela A0 V t́ıpica, com
temperatura efetiva Tef = 10000K e gravidade log g = 4, ou seja, g = 10
4 cm/s2.
A tabela abaixo mostra os resultados de um modelo (Cox 2000, p. 395) para
alguns pontos na atmosfera da estrela. Obtenha os resultados correspondentes
usando a aproximação acima, e faça um gráfico de T em função de τ incluindo
todos os resultados.
τ T (K)
-3.0 7586
-2.0 8030
-1.0 8982
0.0 11655
1.0 16287
Solução
Os resultados estão na figura a seguir. No intervalo considerado,
0.001 < τ < 10, a diferença entre os resultados é inferior a 10%.
⋆ ⋆ ⋆
50. O ı́on H− tem um potencial de ionização de 0.75 eV. Supondo que o Sol
emita radiação como um corpo negro a uma temperatura de 5800 K, que fração
do número de fótons emitidos pelo Sol pode ionizar o H−?
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Solução:
Nν =
Bν
h ν
=
2h ν3
c2
1
hν
1
ehν/kT − 1 =
2 ν2
c2
1
ehν/kT − 1
f =
∫∞
ν0
ν2 dν
ehν/kT−1
∫∞
0
ν2 dν
ehν/kT−1
fazendo
x =
h ν
k T
dx =
h dν
k T
x0 =
h ν0
k T
= 1.50 ν2 =
(
k T
h
)2
x2
obtemos
f =
∫∞
x0
x2
ex−1 dx
∫∞
0
x2
ex−1 dx
podemos obter uma solução aproximada considerando
ex − 1 ≃ ex
que deve ser uma boa aproximação para a integral no numerador. Obtemos
f ≃
∫∞
x0
x2 e−x dx
∫∞
0
x2 e−x dx
=
I1
I2
a integral pode ser resolvida por partes, e o resultado é
∫
x2 e−x dx = −e−x (x2 + 2x+ 2)
portanto
I1 =
∫ ∞
x0
x2 e−x dx = e−x0 (x20 + 2x0 + 2) = 1.62
I2 =
∫ ∞
0
x2 e−x dx = e−0 (0 + 0 + 2) = 2
e a fração é
f ≃ I1
I2
≃ 1.62
2
≃ 0.81
Este é na realidade um limite superior em vista da aproximação feita acima.
para obter uma aproximação melhor, podemos calcular a função
F (x) =
x2
ex − 1 dx
e integrar nos limites devidos (ver figura a seguir)
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os valores das integrais são
S1 = 0.66715, S2 = 1.73568, S1 + S2 = 2.40284
f =
S2
S1 + S2
≃ 1.73568
2.40284
≃ 0.72
⋆ ⋆ ⋆
51. A linha Hα do hidrogênio (λ ≃ 6563 Å) é uma das linhas espectrais mais
brilhantes em muitas estrelas e nebulosas. Mostre que esta linha corresponde à
transição entre os ńıveis caracterizados pelos números quânticos principais n = 2
e n = 3 do H.
Solução:
1
λ
= R
(
1
n2b
− 1
n2a
)
= R
(
1
22
− 1
32
)
= R
(
1
4
− 1
9
)
R = constante de Rydberg = 1.097× 105 cm−1
λ = 6563 Å
⋆ ⋆ ⋆
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52. Considere a linha Hα (λ ≃ 6563 Å) em absorção na fotosfera solar, com uma
temperatura T = 5800K. Admitindo alargamento Doppler, determine (a) a largura
Doppler ∆νD, (b) a largura total à meia altura FWHM em Hz e Å; (c) a largura
natural desta linha ∆νh(N) em Å, considerando Akj ≃ 1.0× 108 Hz.
Solução:
(a) Usando m = mH = 1.67× 10−24 g, o parâmetro b é
b =
(
2 k T
mH
)1/2
≃ 9.79× 105 cm/s ≃ 9.8 km/s
a largura Doppler é
∆νD = b
νjk
c
=
b
λjk
≃ 1.49× 1010Hz
(b) A FWHM é
∆νh(D) = 2 ∆νD
√
ln 2 ≃ 2.48× 1010 Hz
∆λh(D) = λjk
∆νh(D)
νjk
= λ2jk
∆νh(D)
c
≃ 3.56× 10−9 cm ≃ 0.36 Å
(c) A largura natural desta linha pode ser estimada por
∆νh(N) =
Γk
2 π
≃ Akj
2 π
= 1.59× 107 Hz
medindo esta largura em Å
∆λh(N) =
λ2jk ∆νh(N)
c
≃ 2.28× 10−12 cm = 2.28× 10−4 Å
ou seja, a largura natural é cerca de 1500 vezes menor que a largura Doppler.
⋆ ⋆ ⋆
53. Mostre que a equação de Saha
n(Xr+1) ne
n(Xr)
≃
(
2πmekT
h2
)3/2
2
gr+1,1
gr,1
e(−∆Er/kT )
pode ser colocada na forma
log
[
n(Xr+1)ne
n(Xr)
]
= 15.38 + log
(
2 gr+1,1
gr,1
)
+ 1.5 logT − 5040
T
∆Er
onde T está em K, ∆Er em eV e n em cm
−3.
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Solução
Tomando os logaritmos
log
[
n(Xr+1)ne
n(Xr)
]
= 1.5 log
(
2 πme k
h2
)
+ 1.5 logT+
log
(
2 gr+1,1
gr,1
)
− ∆Er
k T
log e
log
[
n(Xr+1)ne
n(Xr)
]
= 15.38